1.3 Frádráttur núlls og jákvæðra heiltalna – Fornám í stærðfræði, 2. útgáfa (IS) | Námsgögn
11 Núll og jákvæðar heiltölur
1.3 Frádráttur núlls og jákvæðra heiltalna
1.3 Frádráttur núlls og jákvæðra heiltalna
Námsmarkmið
Í lok þessa hluta eigið þið að geta:
Notað frádráttarrithátt
Sýnt frádrátt núlls og jákvæðra heiltalna með líkönum
Dregið núll og jákvæðar heiltölur frá
Þýtt orðasambönd yfir á stærðfræðirithátt
Dregið núll og jákvæðar heiltölur frá í hagnýtum verkefnum
Frádráttarritháttur
Segjum að sjö bananar séu í skál. Elana notar þrjá þeirra í þeyting. Hve margir bananar eru eftir í skálinni? Til að svara spurningunni drögum við þrjá frá sjö. Í frádrætti tökum við eina tölu frá annarri til að finna mismuninn. Rithátturinn sem við notum til að draga frá er
Við lesum sem sjö mínus þrír og niðurstaðan er mismunur sjö og þriggja.
Dæmi 1.26
Þýðið stærðfræðiritháttinn yfir á orð: ⓐⓑ .
Lausn
ⓐ Við lesum þetta sem átta mínus einn. Niðurstaðan er mismunur átta og eins.
ⓑ Við lesum þetta sem tuttugu og sex mínus fjórtán. Niðurstaðan er mismunur tuttugu og sex og fjórtán.
Frádráttur núlls og jákvæðra heiltalna með líkönum
Líkan getur hjálpað okkur að sjá frádráttarferlið fyrir okkur, rétt eins og við samlagningu. Við notum aftur -kubba. Munið að kubbur táknar 1 og stöng táknar 10. Byrjum á að sýna frádráttarstæðuna sem við vorum að skoða,
Fyrst sýnum við fyrri töluna, 7, með líkani.
Takið nú seinni töluna, 3, frá. Við drögum hring um 3 kubba til að sýna að þeir eru teknir frá.
Teljið kubbana sem eru eftir.
Eftir eru 4 einingarkubbar.
Við höfum sýnt að 7 − 3 = 4 .
Dæmi 1.27
Sýnið frádráttinn með líkani:
Lausn
8 − 2 merkir mismun 8 og 2.
Sýnið fyrri töluna, 8, með líkani.
Takið seinni töluna, 2, frá.
Teljið kubbana sem eru eftir.
Eftir eru 6 einingarkubbar.
Við höfum sýnt að 8 − 2 = 6 .
Dæmi 1.28
Sýnið frádráttinn með líkani:
Lausn
Sýnið fyrri töluna, 13, með líkani. Við notum 1 tug og 3 einingar.
Takið seinni töluna, 8, frá. Við höfum þó ekki 8 einingar og skiptum því 1 tug út fyrir 10 einingar.
Nú getum við tekið 8 einingar frá.
Teljið kubbana sem eru eftir.
Eftir eru fimm einingar.
Við höfum sýnt að 13 − 8 = 5 .
Eins og við samlagningu getum við lýst líkönunum sem einingarkubbum og tugstöngum eða einfaldlega talað um einingar og tugi.
Dæmi 1.29
Sýnið frádráttinn með líkani:
Lausn
Þar sem merkir frádrátt þar sem er upphafstalan og er dregin frá henni. Byrjum á líkani fyrir
Nú þurfum við að taka frá, það er tugi og einingar. Við getum ekki tekið einingar frá einingum. Því skiptum við tug út fyrir einingar.
Nú getum við tekið tugi og einingar frá.
Teljið kubbana sem eru eftir. Eftir er tugur og einingar, það er
43−26=17
Frádráttur núlls og jákvæðra heiltalna
Samlagning og frádráttur eru andhverfar aðgerðir. Samlagning upphefur frádrátt og frádráttur upphefur samlagningu.
Við vitum að vegna þess að Góð kunnátta í grunnstaðreyndum samlagningar hjálpar okkur við frádrátt. Við getum því sannreynt frádrátt með samlagningu. Frádráttardæmin hér á undan má sannreyna með samlagningu.
Dæmi 1.30
Dragið frá og sannreynið síðan með samlagningu:
ⓐ 9 −7
ⓑ 8 −3.
Lausn
ⓐ
9 − 7
Dragið 7 frá 9.
2 2
Sannreynið með samlagningu. 2 + 7 = 9 ✓
ⓑ
8 − 3
Dragið 3 frá 8.
5 5
Sannreynið með samlagningu. 5 + 3 = 8 ✓
Þegar tölur með fleiri en einum tölustaf eru dregnar frá er yfirleitt auðveldara að skrifa þær lóðrétt í dálka, rétt eins og við samlagningu. Látið tölustafi í sömu sætum standast á og dragið síðan frá í hverjum dálki. Byrjið á einingunum og færið ykkur til vinstri.
Dæmi 1.31
Dragið frá og sannreynið síðan með samlagningu:
Lausn
Skrifið tölurnar þannig að eininga- og tugastafirnir standist á lóðrétt.
8 9 − 6 1 _ _ _ _ 89 − 61 ____
Dragið frá í hverju sæti.Dragið einingarnar frá: 9 - 1 = 8Dragið tugina frá: 8 - 6 = 2
8 9 − 6 1 _ _ _ _ 2 8 89 − 61 ____ 28
Sannreynið með samlagningu. 28 + 61 ____ 89
Svarið okkar er rétt.
Þegar við sýndum með líkani að væru dregin frá skiptum við tug út fyrir einingar. Án líkans segjum við að við tökum tug til láns úr tugasætinu og bætum við einingasætið.
Dæmi 1.32
Dragið frá:
Lausn
Skrifið tölurnar þannig að sömu sæti standist á lóðrétt.
Dragið einingarnar frá. Við getum ekki dregið 6 frá 3 og tökum því 1 tug til láns. Þá fáum við 3 tugi og 13 einingar. Við skrifum þessar tölur fyrir ofan viðkomandi sæti og strikum yfir upphaflegu tölustafina.
Nú getum við dregið einingarnar frá. 13 − 6 = 7. Við skrifum 7 í einingasæti mismunarins.
Nú drögum við tugina frá. 3 − 2 = 1. Við skrifum 1 í tugasæti mismunarins.
Sannreynið með samlagningu. Svarið okkar er rétt.
Dæmi 1.33
Dragið frá og sannreynið síðan með samlagningu:
Lausn
Skrifið tölurnar þannig að sömu sæti standist á lóðrétt.
Dragið tugina frá. Við getum ekki dregið 6 frá 0 og tökum því 1 hundrað til láns og bætum 10 tugum við þá 0 tugi sem fyrir voru. Þá höfum við samtals 10 tugi. Við skrifum 10 fyrir ofan tugasætið og strikum yfir 0. Síðan strikum við yfir 2 í hundraðasætinu og skrifum 1 fyrir ofan það.
Nú drögum við tugina frá. 10 − 6 = 4. Við skrifum 4 í tugasæti mismunarins.
Að lokum drögum við hundruðin frá. Enginn tölustafur er í hundraðasæti neðri tölunnar og því getum við hugsað okkur 0 í því sæti. Þar sem 1 − 0 = 1, skrifum við 1 í hundraðasæti mismunarins.
Sannreynið með samlagningu. Svarið okkar er rétt.
Dæmi 1.34
Dragið frá og sannreynið síðan með samlagningu:
Lausn
Skrifið tölurnar þannig að sömu sæti standist á lóðrétt.
Dragið einingarnar frá. Við getum ekki dregið 6 frá 0 og tökum því 1 tug til láns og bætum 10 einingum við þær 0 einingar sem fyrir voru. Þá höfum við 10 einingar. Við skrifum 0 fyrir ofan tugasætið og strikum yfir 1. Við skrifum 10 fyrir ofan einingasætið og strikum yfir 0. Nú getum við dregið einingarnar frá. 10 − 6 = 4.
Skrifið 4 í einingasæti mismunarins.
Dragið tugina frá. Við getum ekki dregið 8 frá 0 og tökum því 1 hundrað til láns og bætum 10 tugum við þá 0 tugi sem fyrir voru. Þá höfum við 10 tugi. Skrifið 8 fyrir ofan hundraðasætið og strikið yfir 9. Skrifið 10 fyrir ofan tugasætið.
Skrifið tölurnar þannig að sömu sæti standist á lóðrétt.
Dragið einingarnar frá. Þar sem við getum ekki dregið 9 frá 2 tökum við 1 tug til láns og bætum 10 einingum við einingarnar 2, svo þær verði 12. Skrifið 5 fyrir ofan tugasætið og strikið yfir 6. Skrifið 12 fyrir ofan einingasætið og strikið yfir 2.
Nú getum við dregið einingarnar frá.
1 2 − 9 = 3 12 − 9 = 3
Skrifið 3 í einingasæti mismunarins.
Dragið tugina frá. Þar sem við getum ekki dregið 7 frá 5 tökum við 1 hundrað til láns og bætum 10 tugum við tugina 5, svo þeir verði 15. Skrifið 0 fyrir ofan hundraðasætið og strikið yfir 1. Skrifið 15 fyrir ofan tugasætið.
Nú getum við dregið tugina frá.
1 5 − 7 = 8 15 − 7 = 8
Skrifið 8 í tugasæti mismunarins.
Nú getum við dregið hundruðin frá.
Skrifið 6 í hundraðasæti mismunarins.
Dragið þúsundin frá. Enginn tölustafur er í þúsundasæti neðri tölunnar og því hugsum við okkur 0. 1 − 0 = 1. Skrifið 1 í þúsundasæti mismunarins.
Eins og við samlagningu geta orðasambönd sagt okkur að beita frádrætti á tvær tölur. Til að þýða orðasamband yfir á stærðfræðirithátt leitum við að lykilorðum sem gefa frádrátt til kynna. Nokkur orð og orðasambönd sem gefa til kynna frádrátt eru talin upp í töflu 1.3.
Reikniaðgerð
Orðasamband
Dæmi
Stæða
Frádráttur
mínus
5 mínus 1
5 − 1 5 − 1
mismunur
mismunur 9 og 4
9 − 4 9 − 4
minnkað um
7 minnkað um 3
7 − 3 7 − 3
minna en
5 minna en 8
8 − 5 8 − 5
dregið frá
1 dregið frá 6
6 − 1 6 − 1
Dæmi 1.36
Þýðið og einfaldið síðan:
ⓐ mismunur og
ⓑ dragið frá
Lausn
ⓐ
Orðið mismunur segir okkur að draga tölurnar tvær frá. Tölurnar eru í sömu röð og í orðasambandinu.
mismunur 13 og 8
Þýðið.
Einfaldið.
5
ⓑ
Orðasambandið dragiðfrá segir okkur að taka fyrri töluna frá þeirri seinni. Við verðum að gæta þess að röðin sé rétt.
dragið 24 frá 43
Þýðið.
Einfaldið.
19
Frádráttur núlls og jákvæðra heiltalna í hagnýtum verkefnum
Við notum sömu aðferð við að leysa hagnýt verkefni með frádrætti og við samlagningu. Fyrst þurfum við að ákvarða hvað beðið er um. Síðan skrifum við orðasamband sem gefur upplýsingarnar sem þarf til að finna það. Við þýðum orðasambandið yfir á stærðfræðirithátt og einföldum til að fá svarið. Að lokum skrifum við setningu sem svarar spurningunni og notum viðeigandi einingar.
Dæmi 1.37
Einn morgun var hitinn í Chicago gráður á Fahrenheit. Kuldaskil gengu yfir og um hádegi var hitinn gráður á Fahrenheit. Hver var munurinn á hitanum um morguninn og um hádegi?
Lausn
Við eigum að finna muninn á morgunhitanum og hádegishitanum.
Ritið orðasamband.
mismunur 73 og 27
Þýðið yfir á stærðfræðirithátt. Mismunur segir okkur að draga frá.
7 3 − 2 7 73 − 27
Síðan drögum við frá.
Skrifið setningu sem svarar spurningunni.
Hitamunurinn var 46 gráður á Fahrenheit.
Dæmi 1.38
Þvottavél er á tilboði á Almennt verð hennar er Hver er munurinn á almenna verðinu og tilboðsverðinu?
Lausn
Við eigum að finna muninn á almenna verðinu og tilboðsverðinu.
Ritið orðasamband.
mismunur 588 og 399
Þýðið yfir á stærðfræðirithátt.
5 8 8 − 3 9 9 588 − 399
Dragið frá.
Skrifið setningu sem svarar spurningunni.
Munurinn á almenna verðinu og tilboðsverðinu er $189.
Æfingar úr hluta 1.3
Æfingin skapar meistarann
Frádráttarritháttur
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið þýða stærðfræðiritháttinn yfir á orð.
141.
15−9
142.
18−16
143.
42−35
144.
83−64
145.
675−350
146.
790−525
Frádráttur núlls og jákvæðra heiltalna með líkönum
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið sýna frádráttinn með líkani.
147.
5−2
148.
8−4
149.
6−3
150.
7−5
151.
18−5
152.
19−8
153.
17−8
154.
17−9
155.
35−13
156.
32−11
157.
61−47
158.
55−36
Frádráttur núlls og jákvæðra heiltalna
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið draga frá og sannreyna síðan með samlagningu.
159.
9−4
160.
9−3
161.
8−0
162.
2−0
163.
38−16
164.
45−21
165.
85−52
166.
99−47
167.
493−370
168.
268−106
169.
5,946−4,625
170.
7,775−3,251
171.
75−47
172.
63−59
173.
461−239
174.
486−257
175.
525−179
176.
542−288
177.
6,318−2,799
178.
8,153−3,978
179.
2,150−964
180.
4,245−899
181.
43,650−8,982
182.
35,162−7,885
Þýðing orðasambanda yfir á algebrustæður
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið þýða og einfalda.
183.
Mismunur og
184.
Mismunur og
185.
Mismunur og
186.
Mismunur og
187.
Dragið frá
188.
Dragið frá
189.
Dragið frá
190.
Dragið frá
191.
minnkað um
192.
minnkað um
193.
minnkað um
194.
minnkað um
195.
minna en
196.
minna en
197.
minna en
198.
minna en
Blandaðar æfingar
Einfaldið í eftirfarandi dæmum.
199.
76−47
200.
91−53
201.
256−184
202.
305−262
203.
719+341
204.
647+528
205.
2,015−1,993
206.
2,020−1,984
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið þýða og einfalda.
207.
Sjötíu og fimm meira en þrjátíu og fimm
208.
Sextíu meira en níutíu og þrír
209.
minna en
210.
minna en
211.
Mismunur og
212.
Mismunur og
Frádráttur núlls og jákvæðra heiltalna í hagnýtum verkefnum
Leysið eftirfarandi verkefni.
213.
Hitastig Hæsti hiti í Las Vegas í júní var gráður og lægsti hitinn var gráður. Hver var munurinn á hæsta og lægsta hitanum?
214.
Hitastig Hæsti hiti í Phoenix í júní var gráður og lægsti hitinn var gráður. Hver var munurinn á hæsta og lægsta hitanum?
215.
Bekkjarstærð Í þriðja bekk Olivia eru börn. Í fyrra voru börn í öðrum bekk hennar. Hver er munurinn á fjölda barna í þriðja og öðrum bekk Olivia?
216.
Hópstærð Í skólalúðrasveitinni eru nemendur og í skólahljómsveitinni. Hver er munurinn á fjölda nemenda í lúðrasveitinni og hljómsveitinni?
217.
Innkaup Fjallahjól er á tilboði á Almennt verð þess er Hver er munurinn á almenna verðinu og tilboðsverðinu?
218.
Innkaup Dýna og botn eru á tilboði á Almennt verð settsins er Hver er munurinn á almenna verðinu og tilboðsverðinu?
219.
Sparnaður John vill kaupa fartölvu sem kostar Hann á á sparnaðarreikningi. Hve mikið til viðbótar þarf hann að spara til að geta keypt fartölvuna?
220.
Bankaviðskipti Mason átti á tékkareikningi. Hann eyddi Hve mikið fé á hann eftir?
Stærðfræði daglegs lífs
221.
Bílferð Noah ók frá Philadelphia til Cincinnati, mílna leið. Hann ók mílur, stöðvaði til að taka eldsneyti og ók síðan mílur til viðbótar fyrir hádegismat. Hve margar mílur átti hann þá eftir?
222.
Prófstig Sara þarf stig til að standast námskeiðið. Hún fékk í fyrstu fjórum prófunum. Hve mörg stig til viðbótar þarf Sara til að standast námskeiðið?
Ritunarverkefni
223.
Útskýrið hvernig frádráttur og samlagning tengjast.
224.
Hvernig hjálpar kunnátta í grunnstaðreyndum samlagningar ykkur að draga tölur frá?
Sjálfsmat
ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta tök ykkar á markmiðum hlutans.
ⓑ Hvað segir gátlistinn um hve góðum tökum þið hafið náð á efni hlutans? Hvað ætlið þið að gera til að bæta ykkur?
