11 Núll og jákvæðar heiltölur

1.5 Deiling núlls og jákvæðra heiltalna

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

Notað deilingarrithátt
Sett upp líkan af deilingu núlls og jákvæðra heiltalna
Deilt núlli og jákvæðum heiltölum
Þýtt orðasambönd yfir á stærðfræðirithátt
Notað deilingu núlls og jákvæðra heiltalna í dæmum

Notum deilingarrithátt

Hingað til höfum við skoðað samlagningu, frádrátt og margföldun. Nú skulum við skoða deilingu. Segjum að þið séuð með $12$ smákökur á mynd 1.13 og viljið setja þær í poka með $4$ smákökum í hverjum poka. Hve marga poka þurfum við?

Mynd af þremur röðum með fjórum kökum í hverri röð, alls tólf kökum.

Þið gætuð sett $4$ kökur í fyrsta pokann, $4$ í annan poka og haldið þannig áfram þar til kökurnar eru búnar. Með þessari aðferð fyllið þið $3$ poka.

Mynd af 3 pokum með kökum, þar sem 4 kökur eru í hverjum poka.

Með öðrum orðum: Ef byrjað er með $12$ kökur eru $4$ kökur teknar frá í hvert sinn. Deiling er leið til að tákna endurtekinn frádrátt,rétt eins og margföldun táknar endurtekna samlagningu.

Í stað þess að draga $4$ endurtekið frá getum við skrifað

12 \div 4

Við lesum þetta sem tólf deilt með fjórum og niðurstaðan er kvóti talnanna $12$ og $4 .$ Kvótinn er $3$ vegna þess að við getum dregið $4$ frá $12$ nákvæmlega $3$ sinnum. Talan sem deilt er í kallast deilistofn og talan sem deilt er með kallast deilir. Hér er deilistofninn $12$ og deilirinn er $4 .$

Þið kunnið ef til vill ritháttinn $4 12$ en einnig má skrifa þessa deilingu sem $12 \div 4, 12 / 4, \frac{12}{4} .$ Í öllum tilvikum er $12$ deilistofninn og $4$ deilirinn.

Aðgerðartákn fyrir deilingu

Við getum táknað og lýst deilingu með táknum og orðum.

Aðgerð	Ritháttur	Stæða	Lesið sem	Niðurstaða
D i v i s i o n Deiling	÷ ÷ 𝑎 𝑏 a/b 𝑏 ⁢ 𝑎 b ⁢ a 𝑎 / 𝑏 a / b	1 2 ÷ 4 12 ÷ 4 1 2 4 $\frac{12}{4}$ 4 ⁢ 1 2 4 ⁢ 12 1 $\frac{2}{4}$ $\frac{12}{4}$	T w e l v e d i v i d e d b y f o u r Tólf deilt með fjórum	k v ó t i 1 2 o g 4 kvóti 12 og 4

Í deilingu er unnið með tvær tölur í senn. Þegar þýtt er úr táknmáli stærðfræðinnar yfir á orð eða úr orðum yfir á táknmál stærðfræðinnar skuluð þið leita að orðunum af og og til að finna tölurnar.

Dæmi 1.56

Þýðið stærðfræðiritháttinn yfir á orð.

ⓐ 64 ÷8 $64 \div 8$ ⓑ 427 $\frac{42}{7}$ ⓒ 4⁢28 $4 28$

Lausn

ⓐ Við lesum þetta sem sextíu og fjórum deilt með átta og niðurstaðan er kvóti sextíu og fjögurra og átta.
ⓑ Við lesum þetta sem fjörutíu og tveimur deilt með sjö og niðurstaðan er kvóti fjörutíu og tveggja og sjö.
ⓒ Við lesum þetta sem tuttugu og átta deilt með fjórum og niðurstaðan er kvótinn þegar tuttugu og átta er deilt með fjórum.

Setjum upp líkan af deilingu núlls og jákvæðra heiltalna

Eins og við gerðum við margföldun setjum við deilingu upp með talningarskífum. Deiling hjálpar okkur að raða hlutum í jafnstóra hópa: Við byrjum með fjöldann í deilistofninum og drögum fjöldann í deilinum endurtekið frá.

Dæmi 1.57

Setjið deilinguna upp með líkani: 2 4 ÷ 8 . 24 ÷ 8 . $24 \div 8 .$

Lausn

Til að finna kvótann $24 \div 8,$ viljum við vita hve margir hópar af $8$ eru í $24 .$

Setjið upp líkan af deilistofninum. Byrjið með $24$ talningarskífur.

Mynd af 24 talningarskífum sem liggja á víð og dreif.

Deilirinn segir okkur hve margar talningarskífur eiga að vera í hverjum hópi. Myndið hópa með $8$ talningarskífum.

Mynd af 24 talningarskífum í 3 hringjum, með 8 talningarskífur í hverjum hring.

Teljið hópana. Hóparnir eru $3$ .

24÷8=3 $24 \div 8 = 3$

Deilum núlli og jákvæðum heiltölum

Við sögðum að samlagning og frádráttur væru andhverfar aðgerðir vegna þess að önnur aðgerðin upphefur hina. Á sama hátt er deiling andhverf aðgerð margföldunar. Við vitum að $12 \div 4 = 3$ vegna þess að $3 \cdot 4 = 12 .$ Það er mjög mikilvægt að kunna margföldunartöfluna þegar deilt er.

Við athugum svar okkar við deilingu með því að margfalda kvótann með deilinum og kanna hvort margfeldið sé jafnt deilistofninum. Í dæmi 1.57vitum við að $24 \div 8 = 3$ er rétt vegna þess að $3 \cdot 8 = 24 .$

Dæmi 1.58

Deilið. Athugið síðan með margföldun. ⓐ $42 \div 6$ ⓑ $\frac{72}{9}$ ⓒ $7 63$

Lausn

ⓐ

$42 \div 6$

Deilið 42 með 6. $7$

Athugið með margföldun.
$7 \cdot 6$

$42 ✓$
ⓑ
$\frac{72}{9}$

Deilið 72 með 9. $8$

Athugið með margföldun.
$8 \cdot 9$

$72 ✓$
ⓒ
$7 63$

Deilið 63 með 7. $9$

Athugið með margföldun.
$9 \cdot 7$

$63 ✓$

Hver er kvótinn þegar tölu er deilt með sjálfri sér?

\frac{15}{15} = 1 vegna þess að 1 \cdot 15 = 15

Þegar hvaða tölu sem er $(nema 0)$ er deilt með sjálfri sér fæst kvótinn $1 .$ Þegar hvaða tölu sem er er deilt með $1$ fæst talan sjálf sem kvóti. Þessar tvær staðreyndir kallast einingareglur deilingar.

Dæmi 1.59

Deilið. Athugið síðan með margföldun:

ⓐ 11 ÷11 $11 \div 11$
ⓑ 191 $\frac{19}{1}$
ⓒ 1⁢7 $1 7$

Lausn

ⓐ

$11 \div 11$

Tala deilt með sjálfri sér er 1. $1$

Athugið með margföldun.
$1 \cdot 11$

$11 ✓$
ⓑ
$\frac{19}{1}$

Tala deilt með 1 er talan sjálf. $19$

Athugið með margföldun.
$19 \cdot 1$

$19 ✓$
ⓒ
$1 7$

Tala deilt með 1 er talan sjálf. $7$

Athugið með margföldun.
$7 \cdot 1$

$7 ✓$

Segjum að við höfum $$0,$ og viljum skipta því jafnt á milli $3$ einstaklinga. Hve mikið fengi hver? Hver fengi $$0 .$ Núll deilt með hvaða tölu sem er er $0 .$

Segjum nú að við viljum deila $$1 0$ með $0 .$ Þá þyrftum við að finna tölu sem við margföldum með $0$ til að fá $10 .$ Þetta er ómögulegt vegna þess að $0$ sinnum hvaða tala sem er gefur $0 .$ Deiling með núlli er óskilgreind.

Þessar tvær staðreyndir kallast núllreglur deilingar.

Önnur leið til að útskýra hvers vegna deiling með núlli er óskilgreind er að muna að deiling er í raun endurtekinn frádráttur. Hve oft getum við dregið $0$ frá $10 ?$ Þar sem heildin breytist aldrei þegar $0$ er dregið frá fáum við aldrei svar. Því getum við ekki deilt tölu með $0 .$

Dæmi 1.60

Deilið. Athugið með margföldun: ⓐ $0 \div 3$ ⓑ $10 / 0 .$

Lausn

ⓐ
$0 \div 3$

Núll deilt með hvaða tölu sem er er núll. $0$

Athugið með margföldun.
$0 \cdot 3$

$0 ✓$
ⓑ
$10 / 0$

Deiling með núlli er óskilgreind. óskilgreint

Þegar deilirinn eða deilistofninn hefur fleiri en einn tölustaf er yfirleitt auðveldara að nota ritháttinn $4 12$ . Þetta ferli kallast langdeiling. Förum í gegnum ferlið með því að deila $78$ með $3 .$

Deilið fyrsta tölustaf deilistofnsins, 7, með deilinum, 3.
Deilirinn 3 gengur tvisvar upp í 7 því 2 $\times$ 3 = 6. Skrifið 2 fyrir ofan 7 í kvótanum.
Margfaldið 2 í kvótanum með 3 og skrifið margfeldið, 6, undir 7.
Dragið þetta margfeldi frá fyrsta tölustaf deilistofnsins. Dragið 7 − 6. Skrifið mismuninn,1,undir fyrsta tölustaf deilistofnsins.
Færið næsta tölustaf deilistofnsins niður. Færið 8 niður.
Deilið 18 með deilinum, 3. Deilirinn 3 gengur sex sinnum upp í 18.
Skrifið 6 í kvótann fyrir ofan 8.
Margfaldið 6 í kvótanum með deilinum og skrifið margfeldið, 18, undir deilistofninn. Dragið 18 frá 18.

Við myndum endurtaka ferlið þar til engir fleiri tölustafir deilistofnsins væru eftir til að færa niður. Í þessu dæmi eru engir fleiri tölustafir eftir, svo deilingunni er lokið.

v 783 = 26

Athugið með því að margfalda kvótann með deilinum og fá þannig deilistofninn. Margfaldið $26 \times 3$ til að ganga úr skugga um að margfeldið sé jafnt deilistofninum, $78 .$

\begin{matrix} \overset{1}{2} 6 \\ \underset{___}{\times 3} \\ 78 ✓ \end{matrix}

Það er rétt, svo svarið okkar er rétt.

Dæmi 1.61

Deilið $2,596 \div 4 .$ Athugið með margföldun:

Lausn

Endurritum dæmið til að setja það upp sem langdeilingu.
Deilið fyrsta tölustaf deilistofnsins, 2, með deilinum, 4.
Þar sem 4 gengur ekki upp í 2 notum við fyrstu tvo tölustafi deilistofnsins og deilum 25 með 4. Deilirinn 4 gengur sex sinnum upp í 25.
Við skrifum 6 í kvótann fyrir ofan 5.
Margfaldið 6 í kvótanum með deilinum 4 og skrifið margfeldið, 24, undir fyrstu tvo tölustafi deilistofnsins.
Dragið þetta margfeldi frá fyrstu tveimur tölustöfum deilistofnsins. Dragið 25 − 24. Skrifið mismuninn,1,undir annan tölustaf deilistofnsins.
Færið nú 9 niður og endurtakið skrefin. Deilirinn gengur 4 sinnum upp í 19. Skrifið 4 fyrir ofan 9. Margfaldið 4 með 4 og dragið margfeldið frá 19.
Færið 6 niður og endurtakið skrefin. Deilirinn gengur 9 sinnum upp í 36. Skrifið 9 fyrir ofan 6. Margfaldið 9 með 4 og dragið margfeldið frá 36.
Því er 2,596 ÷ 4 = 649.
Athugið með margföldun.

Margfeldið er jafnt deilistofninum, svo svarið okkar er rétt.

Dæmi 1.62

Deilið $4,506 \div 6 .$ Athugið með margföldun:

Lausn

Endurritum dæmið til að setja það upp sem langdeilingu.
Fyrst athugum við hvort 6 gangi upp í 4.
Þar sem það gengur ekki athugum við hvort 6 gangi upp í 45.Hann gengur 7 sinnum upp í 45. Við skrifum 7 fyrir ofan 5.
Margfaldið 7 með 6 og dragið margfeldið frá 45.
Færið nú 0 niður og endurtakið skrefin. Deilirinn gengur 5 sinnum upp í 30.Skrifið 5 fyrir ofan 0. Margfaldið 5 með 6 og dragið margfeldið frá 30.
Færið nú 6 niður og endurtakið skrefin. Deilirinn gengur 1 sinni upp í 6. Skrifið 1 fyrir ofan 6. Margfaldið 1 með 6 og dragið margfeldið frá 6.
Athugið með margföldun.

Margfeldið er jafnt deilistofninum, svo svarið okkar er rétt.

Dæmi 1.63

Deilið $7,263 \div 9 .$ Athugið með margföldun.

Lausn

Endurritum dæmið til að setja það upp sem langdeilingu.
Fyrst athugum við hvort 9 gangi upp í 7.
Þar sem það gengur ekki athugum við hvort 9 gangi upp í 72. Deilirinn gengur 8 sinnum upp í 72. Við skrifum 8 fyrir ofan 2.
Margfaldið 8 með 9 og dragið margfeldið frá 72.
Færið nú 6 niður og endurtakið skrefin. Deilirinn gengur 0 sinnum upp í 6. Skrifið 0 fyrir ofan 6. Margfaldið 0 með 9 og dragið margfeldið frá 6.
Færið nú 3 niður og endurtakið skrefin. Deilirinn gengur 7 sinnum upp í 63. Skrifið 7 fyrir ofan 3. Margfaldið 7 með 9 og dragið margfeldið frá 63.
Athugið með margföldun.

Margfeldið er jafnt deilistofninum, svo svarið okkar er rétt.

Hingað til hafa öll deilingardæmin gengið upp án afgangs. Ef við ættum til dæmis $24$ smákökur og vildum setja $8$ smákökur í hvern poka fengjum við $3$ poka. En hvað ef við ættum $28$ smákökur og vildum setja $8 ?$ smákökur í hvern poka? Byrjum með $28$ smákökurnar sem sýndar eru á mynd 1.14.

Mynd af 28 smákökum sem liggja á víð og dreif.

Reynið að skipta smákökunum í hópa með átta í hverjum eins og á mynd 1.15.

Mynd af 28 smákökum. Þar eru 3 hringir með 8 smákökum í hverjum og 3 smákökur liggja utan hringjanna.

Það eru $3$ hópar með átta smákökum í hverjum og $4$ smákökur verða afgangs. Við köllum þær $4$ smákökur sem verða afgangs afgang og táknum hann með því að skrifa A4 við hliðina á $3 .$ (A stendur fyrir afgang.)

Til að athuga deilinguna margföldum við $3$ með $8$ og fáum $24,$ og bætum síðan við afganginum $4 .$

\begin{matrix} 3 \\ \underset{___}{\times 8} \\ 24 \\ \underset{___}{+ 4} \\ 28 \end{matrix}

Dæmi 1.64

Deilið $1,439 \div 4 .$ Athugið með margföldun.

Lausn

Endurritum dæmið til að setja það upp sem langdeilingu.
Fyrst athugum við hvort 4 gangi upp í 1. Þar sem það gengur ekki athugum við hvort 4 gangi upp í 14. Deilirinn gengur 3 sinnum upp í 14. Við skrifum 3 fyrir ofan 4.
Margfaldið 3 með 4 og dragið margfeldið frá 14.
Færið nú 3 niður og endurtakið skrefin. Deilirinn gengur 5 sinnum upp í 23. Skrifið 5 fyrir ofan 3. Margfaldið 5 með 4 og dragið margfeldið frá 23.
Færið nú 9 niður og endurtakið skrefin. Deilirinn gengur 9 sinnum upp í 39. Skrifið 9 fyrir ofan 9. Margfaldið 9 með 4 og dragið margfeldið frá 39. Engir fleiri tölustafir eru eftir til að færa niður, svo við erum búin. Afgangurinn er 3.
Athugið með margföldun.

Því er $1,439 \div 4$ jafnt $359$ með afganginn $3 .$ Svarið okkar er rétt.

Dæmi 1.65

Deilið og athugið síðan með margföldun: 1, 4 6 1 ÷ 1 3. 1,461 ÷ 13 . $1,461 \div 13 .$

Lausn

Endurritum dæmið til að setja það upp sem langdeilingu.	1 3 ⁢ 1 , 4 6 1 13 ⁢ 1,461
Fyrst athugum við hvort 13 gangi upp í 1. Þar sem það gengur ekki athugum við hvort 13 gangi upp í 14. Deilirinn gengur 1 sinni upp í 14. Við skrifum 1 fyrir ofan 4.
Margfaldið 1 með 13 og dragið margfeldið frá 14.
Færið nú 6 niður og endurtakið skrefin. Deilirinn gengur 1 sinni upp í 16. Skrifið 1 fyrir ofan 6. Margfaldið 1 með 13 og dragið margfeldið frá 16.
Færið nú 1 niður og endurtakið skrefin. Deilirinn gengur 2 sinnum upp í 31. Skrifið 2 fyrir ofan 1. Margfaldið 2 með 13 og dragið margfeldið frá 31. Engir fleiri tölustafir eru eftir til að færa niður, svo við erum búin. Afgangurinn er 5. 1,462 ÷ 13 er jafnt 112 með afganginn 5.
Athugið með margföldun.

Svarið okkar er rétt.

Dæmi 1.66

Deilið og athugið með margföldun: 7 4, 5 2 1 ÷ 2 4 1. 74,521 ÷ 241 . $74,521 \div 241 .$

Lausn

Endurritum dæmið til að setja það upp sem langdeilingu.	2 4 1 ⁢ 7 4 , 5 2 1 241 ⁢ 74,521
Fyrst athugum við hvort 241 gangi upp í 7. Þar sem það gengur ekki athugum við hvort 241 gangi upp í 74. Það gengur ekki heldur, svo við athugum hvort 241 gangi upp í 745. Þar sem 2 gengur þrisvar upp í 7 prófum við 3. Þar sem 3 $\times ⁠$ 241 = 723, skrifum við 3 fyrir ofan 5 í 745. Athugið að 4 væri of stórt því 4 $\times ⁠$ 241 = 964, sem er stærra en 745.
Margfaldið 3 með 241 og dragið margfeldið frá 745.
Færið nú 2 niður og endurtakið skrefin. 241 gengur ekki upp í 222. Við skrifum 0 fyrir ofan 2 sem staðgildi og höldum síðan áfram.
Færið nú 1 niður og endurtakið skrefin. Prófið 9. Þar sem 9 $\times ⁠$ 241 = 2,169, skrifum við 9 fyrir ofan 1. Margfaldið 9 með 241 og dragið margfeldið frá 2,221.
Engir fleiri tölustafir eru eftir til að færa niður, svo við erum búin. Afgangurinn er 52. Því er 74,521 ÷ 241jafnt 309 með afganginn 52.
Athugið með margföldun.

Stundum sést ekki strax hve oft deilirinn gengur upp í tölustafi deilistofnsins. Þá þurfum við að giska og prófa tölur til að finna stærstu töluna sem gengur upp í tölustafina án þess að fara yfir þá.

Þýða orðalag yfir á táknmál stærðfræðinnar

Fyrr í þessum kafla þýddum við táknmál deilingar yfir á orð. Nú þýðum við orðalag yfir á táknmál stærðfræðinnar. Nokkur orð og orðasambönd sem vísa til deilingar eru sýnd í töflu 1.8.

Aðgerð	Orðalag	Dæmi	Stæða
Deiling	deilt meðkvótideilt upp í	12 deilt með 4kvóti 12 og 44 deilt upp í 12	1 2 ÷ 4 12 ÷ 4 1 2 4 12/4 1 2 / 4 12 / 4 4 ⁢ 1 2 4 ⁢ 12

Dæmi 1.67

Þýðið yfir á táknmál og einfaldið: kvóti $51$ og $17 .$

Lausn

Orðið kvóti segir okkur að deila.

kvóti 51 og 17 Þýðið. 51÷17Deilið.3 $\begin{matrix} kvóti 51 og 17 \\ Þýðið. & 51 \div 17 \\ Deilið. & 3 \end{matrix}$

Við hefðum alveg eins getað þýtt kvóta $51$ og $17$ með rithættinum

17⁢51eða5117. $17 51 eða \frac{51}{17} .$

Deiling jákvæðra heiltalna í hagnýtum verkefnum

Við notum sömu aðferð og í fyrri köflum til að leysa hagnýt verkefni. Fyrst ákveðum við að hverju við leitum. Síðan skrifum við orðalag sem gefur upplýsingarnar sem þarf til að finna það. Því næst þýðum við orðalagið yfir á táknmál stærðfræðinnar og einföldum til að fá svarið. Að lokum skrifum við setningu sem svarar spurningunni.

Dæmi 1.68

Cecelia keypti $160 únsna$ pakka af haframjöli í stórverslun. Hún vill skipta $160$ únsum af haframjöli í $8 únsna$ skammta. Hún setur hvern skammt í plastpoka svo hún geti tekið einn poka með í vinnuna á hverjum degi. Hve marga skammta fær hún úr stóra pakkanum?

Lausn

Við eigum að finna hve marga skammta hún fær úr stóra pakkanum.

Skrifið orðalag.	160 únsum deilt með 8 únsum
Þýðið yfir á táknmál stærðfræðinnar.	1 6 0 ÷ 8 160 ÷ 8
Einfaldið með því að deila.	2 0 20
Skrifið setningu sem svarar spurningunni.	Cecelia fær 20 skammta úr stóra pakkanum.

Æfingar úr kafla 1.5

Æfingin skapar meistarann

Nota deilingarrithátt

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið þýða táknmál stærðfræðinnar yfir á orð.

343.

54÷9 $54 \div 9$

344.

567 $\frac{56}{7}$

345.

328 $\frac{32}{8}$

346.

6⁢42 $6 42$

347.

48÷6 $48 \div 6$

348.

639 $\frac{63}{9}$

349.

7⁢63 $7 63$

350.

72÷8 $72 \div 8$

Sýna deilingu jákvæðra heiltalna með líkani

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið sýna deilinguna með líkani.

351.

15÷5 $15 \div 5$

352.

10÷5 $10 \div 5$

353.

147 $\frac{14}{7}$

354.

186 $\frac{18}{6}$

355.

4⁢20 $4 20$

356.

3⁢15 $3 15$

357.

24÷6 $24 \div 6$

358.

16÷4 $16 \div 4$

Deiling jákvæðra heiltalna

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið deila og athuga síðan með margföldun.

359.

18÷2 $18 \div 2$

360.

14÷2 $14 \div 2$

361.

273 $\frac{27}{3}$

362.

303 $\frac{30}{3}$

363.

4⁢28 $4 28$

364.

4⁢36 $4 36$

365.

455 $\frac{45}{5}$

366.

355 $\frac{35}{5}$

367.

72/8 $72 / 8$

368.

8⁢64 $8 64$

369.

357 $\frac{35}{7}$

370.

42÷7 $42 \div 7$

371.

15⁢15 $15 15$

372.

12⁢12 $12 12$

373.

43÷43 $43 \div 43$

374.

37÷37 $37 \div 37$

375.

231 $\frac{23}{1}$

376.

291 $\frac{29}{1}$

377.

19÷1 $19 \div 1$

378.

17÷1 $17 \div 1$

379.

0÷4 $0 \div 4$

380.

0÷8 $0 \div 8$

381.

50 $\frac{5}{0}$

382.

90 $\frac{9}{0}$

383.

260 $\frac{26}{0}$

384.

320 $\frac{32}{0}$

385.

12⁢0 $12 0$

386.

16⁢0 $16 0$

387.

72÷3 $72 \div 3$

388.

57÷3 $57 \div 3$

389.

968 $\frac{96}{8}$

390.

786 $\frac{78}{6}$

391.

5⁢465 $5 465$

392.

4⁢528 $4 528$

393.

924÷7 $924 \div 7$

394.

861÷7 $861 \div 7$

395.

5,2266 $\frac{5,226}{6}$

396.

3,7768 $\frac{3,776}{8}$

397.

4⁢31,324 $4 31,324$

398.

5⁢46,855 $5 46,855$

399.

7,209÷3 $7,209 \div 3$

400.

4,806÷3 $4,806 \div 3$

401.

5,406÷6 $5,406 \div 6$

402.

3,208÷4 $3,208 \div 4$

403.

4⁢2,816 $4 2,816$

404.

6⁢3,624 $6 3,624$

405.

91,8819 $\frac{91,881}{9}$

406.

83,2568 $\frac{83,256}{8}$

407.

2,470÷7 $2,470 \div 7$

408.

3,741÷7 $3,741 \div 7$

409.

8⁢55,305 $8 55,305$

410.

9⁢51,492 $9 51,492$

411.

431,1745 $\frac{431,174}{5}$

412.

297,2774 $\frac{297,277}{4}$

413.

130,016÷3 $130,016 \div 3$

414.

105,609÷2 $105,609 \div 2$

415.

15⁢5,735 $15 5,735$

416.

4,93321 $\frac{4,933}{21}$

417.

56,883÷67 $56,883 \div 67$

418.

43,725/75 $43,725 / 75$

419.

30,144314 $\frac{30,144}{314}$

420.

26,145÷415 $26,145 \div 415$

421.

273⁢542,195 $273 542,195$

422.

816,243÷462 $816,243 \div 462$

Blandaðar æfingar

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið einfalda.

423.

15⁢(204) $15 (204)$

424.

74·391 $74 \cdot 391$

425.

256−184 $256 - 184$

426.

305−262 $305 - 262$

427.

719+341 $719 + 341$

428.

647+528 $647 + 528$

429.

25⁢875 $25 875$

430.

1104÷23 $1104 \div 23$

Þýða orðalag yfir á algebrustæður

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið þýða yfir á táknmál og einfalda.

431.

kvóti $45$ og $15$

432.

kvóti $64$ og $16$

433.

kvóti $288$ og $24$

434.

kvóti $256$ og $32$

Deiling jákvæðra heiltalna í hagnýtum verkefnum

Leysið eftirfarandi verkefni.

435.

Hnetu- og ávaxtablanda Ric keypti $64$ únsur af hnetu- og ávaxtablöndu. Hann vill skipta henni í litla poka með $2$ únsum af blöndunni í hverjum poka. Hve marga poka getur Ric fyllt?

436.

Kex Evie keypti $42$ únsna kexpakka. Hún vill skipta kexinu í poka með $3$ únsum af kexi í hverjum poka. Hve marga poka getur Evie fyllt?

437.

Stjörnufræðitími Í stjörnufræðitíma eru $125$ nemendur. Kennarinn skiptir þeim í hópa. Í hverjum hópi eru $5 .$ Hve margir nemendahópar eru það?

438.

Blómaverslun Blómaverslun Melissu fékk sendingu með $152$ rósum. Hún vill búa til vendi með $8$ rósum í hverjum. Hve marga vendi getur Melissa búið til?

439.

Bakstur Ein rúlla af plastfilmu er $48$ fet á lengd. Marta notar $3$ fet af plastfilmu utan um hverja köku sem hún bakar. Utan um hve margar kökur getur hún sett plastfilmu úr einni rúllu?

440.

Tannþráður Einn pakki af tannþræði inniheldur $54$ fet. Brian notar $2$ fet af tannþræði á hverjum degi. Hve marga daga endist einn pakki handa Brian?

Blandaðar æfingar

Leysið eftirfarandi verkefni.

441.

Mílur á hvert gallon Tvinnbíll Susönu kemst $45$ mílur á hverju galloni. Pallbíll sonar hennar kemst $17$ mílur á hverju galloni. Hver er munurinn á ekinni vegalengd á hvert gallon hjá bíl Susönu og pallbíl sonar hennar?

442.

Vegalengd Mayra býr $53$ mílur frá heimili móður sinnar og $71$ mílur frá heimili tengdamóður sinnar. Hve miklu lengra er frá Mayru til tengdamóður hennar en til móður hennar?

443.

Vettvangsferð Í jarðfræðitíma eru $45$ nemendur sem fara í vettvangsferð í sendibílum skólans. Hver sendibíll rúmar $9$ nemendur. Hve marga sendibíla þurfa þau í ferðina?

444.

Pottamold Aki keypti $128$ únsna poka af pottamold. Hve marga $4$ únsna potta getur hann fyllt úr pokanum?

445.

Gönguferð Bill gekk $8$ mílur fyrsta dag gönguferðarinnar, $14$ mílur annan daginn, $11$ mílur þriðja daginn og $17$ mílur fjórða daginn. Hve margar mílur gekk Bill samtals?

446.

Lestur Í gærkvöldi las Emily $6$ blaðsíður í viðskiptafræðibókinni sinni, $26$ blaðsíður í sögubókinni, $15$ blaðsíður í sálfræðibókinni og $9$ blaðsíður í stærðfræðibókinni. Hve margar blaðsíður las Emily samtals?

447.

Sjúklingar LaVonne sinnir $12$ sjúklingum á dag á tannlæknastofunni sinni. Í síðustu viku vann hún $4$ daga. Hve mörgum sjúklingum sinnti hún í síðustu viku?

448.

Skátar Í skátasveit Daves eru $14$ drengir. Í sumarbúðum vann hver drengur sér inn $5$ færnimerki. Hve mörg færnimerki unnu drengirnir í skátasveit Daves sér samtals inn í sumarbúðunum?

Ritunarverkefni

449.

Snertilinsur Jenna setur í sig nýtt par af snertilinsum á $14$ daga fresti. Hve mörg pör af snertilinsum þarf hún í $365$ daga?

450.

Kattamatur Einn poki af kattamat dugar ketti Löru í $25$ daga. Hve marga poka af kattamat þarf Lara í $365$ daga?

Hagnýt stærðfræði

451.

Útskýrið hvernig þið notið margföldunarstaðreyndir til að auðvelda deilingu.

452.

Oswaldo deildi $300$ með $8$ og sagði að svarið væri $37$ með afganginn $4 .$ Hvernig getið þið athugað hvort hann hafi rétt fyrir sér?

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið æfingunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hve vel þið hafið náð markmiðum kaflans.

ⓑ Þegar þið hafið farið yfir gátlistann,teljið þið ykkur á heildina litið hafa undirbúið ykkur vel fyrir næsta kafla? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?

Hvaða tala sem er (nema 0) deilt með sjálfri sér er einn.	𝑎 ÷ 𝑎 = 1 a ÷ a = 1
Hvaða tala sem er deilt með einum er sama tala.	𝑎 ÷ 1 = a a ÷ 1 = a

Núll deilt með hvaða tölu sem er er 0.	0 ÷ 𝑎 = 0 0 ÷ a = 0
Deiling tölu með núlli er óskilgreind.	a ÷ 0 𝑎 ÷ 0 a ÷ 0 óskilgreint

ⓐ
	$42 \div 6$
Deilið 42 með 6.	$7$
Athugið með margföldun. $7 \cdot 6$
$42 ✓$

ⓑ
	$\frac{72}{9}$
Deilið 72 með 9.	$8$
Athugið með margföldun. $8 \cdot 9$
$72 ✓$

ⓒ
	$7 63$
Deilið 63 með 7.	$9$
Athugið með margföldun. $9 \cdot 7$
$63 ✓$

ⓐ
	$11 \div 11$
Tala deilt með sjálfri sér er 1.	$1$
Athugið með margföldun. $1 \cdot 11$
$11 ✓$

ⓑ
	$\frac{19}{1}$
Tala deilt með 1 er talan sjálf.	$19$
Athugið með margföldun. $19 \cdot 1$
$19 ✓$

ⓒ
	$1 7$
Tala deilt með 1 er talan sjálf.	$7$
Athugið með margföldun. $7 \cdot 1$
$7 ✓$

ⓐ
	$0 \div 3$
Núll deilt með hvaða tölu sem er er núll.	$0$
Athugið með margföldun. $0 \cdot 3$
$0 ✓$