11 Núll og jákvæðar heiltölur

1.1 Núll og jákvæðar heiltölur

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

Borið kennsl á talningartölur, núll og jákvæðar heiltölur
Sýnt núll og jákvæðar heiltölur með líkönum
Greint sætisgildi tölustafs
Notað sætisgildi til að lesa núll og jákvæðar heiltölur
Notað sætisgildi til að skrifa núll og jákvæðar heiltölur
Námundað núll og jákvæðar heiltölur

Að bera kennsl á talningartölur, núll og jákvæðar heiltölur

Að læra algebru svipar til þess að læra tungumál. Fyrst tileinkið þið ykkur grunnorðaforða og bætið síðan við hann jafnt og þétt. Þið þurfið að æfa ykkur reglulega þar til orðaforðinn verður ykkur tamur. Því meira sem þið notið hann, þeim mun kunnuglegri verður hann.

Í algebru eru tölur og tákn notuð til að tákna orð og hugmyndir. Skoðum tölurnar fyrst. Einföldustu tölurnar sem notaðar eru í algebru eru þær sem við teljum hluti með: $1, 2, 3, 4, 5, \dots$ og svo framvegis. Þær nefnast talningartölur. Táknið „…“ nefnist úrfellingarpunktar og sýnir hér „og svo framvegis“, það er að mynstrið heldur endalaust áfram. Talningartölur nefnast einnig náttúrlegar tölur.

Talningartölur, núll og jákvæðar heiltölur má sýna á talnalínu eins og á mynd 1.2.

Mynd af talnalínu frá 0 til 6 með einnar einingar bili. Fyrir ofan talnalínuna vísar ör til hægri og er merkt „stærri“. Önnur ör vísar til vinstri og er merkt „minni“. — **Mynd 1.2.** Tölurnar á talnalínunni stækka frá vinstri til hægri og minnka frá hægri til vinstri.

Punkturinn sem er merktur $0$ nefnist upphafspunktur. Punktarnir hægra megin við $0$ eru með jöfnu millibili og merktir talningartölunum. Þegar tala er pöruð við punkt nefnist hún hnit punktsins.

Uppgötvun tölunnar núll var stórt skref í sögu stærðfræðinnar. Þegar núlli er bætt við talningartölurnar fæst nýtt talnamengi: núll og jákvæðar heiltölur.

Við létum staðar numið við $5$ þegar fyrstu talningartölurnar og núll og jákvæðar heiltölur voru taldar upp. Hægt hefði verið að skrifa fleiri tölur ef þess hefði þurft til að skýra mynstrin.

Dæmi 1.1

Hverjar af eftirfarandi tölum eru ⓐ talningartölur? ⓑ núll eða jákvæðar heiltölur?

0,14,3,5.2,15,105 $0, \frac{1}{4}, 3, 5.2, 15, 105$

Lausn

ⓐ Talningartölurnar byrja á $1,$ svo $0$ er ekki talningartala. Tölurnar $3, 15, og 105$ eru allar talningartölur.
ⓑ Núll og jákvæðar heiltölur eru talningartölurnar ásamt $0 .$ Tölurnar $0, 3, 15, og 105$ eru núll eða jákvæðar heiltölur.

Tölurnar $\frac{1}{4}$ og $5.2$ eru hvorki talningartölur né núll eða jákvæðar heiltölur. Fjallað verður um þessar tölur síðar.

Að sýna núll og jákvæðar heiltölur með líkönum

Talnakerfið okkar nefnist sætiskerfi því að gildi tölustafs ræðst af stöðu hans, eða sæti, í tölu. Talan $537$ hefur annað gildi en talan $735 .$ Þótt sömu tölustafir séu notaðir er gildi talnanna ólíkt vegna þess að $7$ og $5 .$

Peningar gefa kunnuglegt líkan af sætisgildi. Gerum ráð fyrir að í veski séu þrír $$100$ seðlar, sjö $$10$ seðlar og fjórir $$1$ seðlar. Upphæðirnar eru teknar saman á mynd 1.3. Hve miklir peningar eru í veskinu?

Mynd af þremur stöflum bandarískra peningaseðla. Fyrsti staflinn frá vinstri inniheldur þrjá $100 seðla og er merktur „Þrír $100 seðlar, 3 sinnum $100 eru $300“. Annar staflinn inniheldur sjö $10 seðla og er merktur „Sjö $10 seðlar, 7 sinnum $10 eru $70“. Þriðji staflinn inniheldur fjóra $1 seðla og er merktur „Fjórir $1 seðlar, 4 sinnum $1 eru $4“.

Finnið heildarverðmæti hverrar seðlategundar og leggið síðan saman til að finna heildarupphæðina. Í veskinu eru $$374 .$

Mynd af stæðunni „$300 + $70 + $4“ þar sem „3“ í „$300“, „7“ í „$70“ og „4“ í „$4“ eru rauð en aðrir stafir svartir. Fyrir neðan stæðuna stendur gildið „$374“. Ör vísar frá rauða „3“ í stæðunni að „3“ í „$374“, önnur frá rauða „7“ að „7“ í „$374“ og sú þriðja frá rauða „4“ að „4“ í „$374“.

Tugakerfiskubbar eru önnur leið til að sýna sætisgildi með líkani, eins og á mynd 1.4. Kubbarnir geta táknað hundruð, tugi og einingar. Takið eftir að tugstöng er gerð úr $10$ einingarkubbum og hundraðaflötur úr $10$ tugstöngum, eða $100$ einingarkubbum.

Mynd með þremur hlutum. Fyrsti hlutinn er stakur kubbur merktur „Stakur kubbur táknar 1“. Annar hlutinn er lárétt stöng úr 10 kubbum, merkt „Stöng táknar 10“. Þriðji hlutinn er ferningur úr 100 kubbum, merktur „Ferningur táknar 100“. Ferningurinn er 10 kubba hár og 10 kubba breiður.

Mynd 1.5 sýnir töluna $138$ með $tugakerfis$ -kubbum.

Mynd með þremur hlutum. Fyrsti hlutinn er ferningur úr 100 kubbum, 10 kubba breiður og 10 kubba hár, merktur „1 hundrað“. Annar hlutinn er þrjár láréttar stangir með 10 kubbum hver, merktar „3 tugir“. Þriðji hlutinn er átta stakir kubbar, merktir „8 einingar“. — **Mynd 1.5.** Við notum sætisgildisrithátt til að sýna gildi tölunnar $138 .$

Mynd af stæðunni „100 + 30 + 8“ þar sem „1“ í „100“, „3“ í „30“ og „8“ eru rauð en aðrir stafir svartir. Fyrir neðan stæðuna stendur gildið „138“. Ör vísar frá rauða „1“ í stæðunni að „1“ í „138“, önnur frá rauða „3“ að „3“ í „138“ og sú þriðja frá rauða „8“ að „8“ í „138“.

Tölustafur	Sætisgildi	Tala	Gildi	Heildargildi
1 1	hundruð	1 1	1 0 0 100	1 0 0 100
3 3	tugir	3 3	1 0 10	3 0 30
8 8	einingar	8 8	1 1	+ ⁢ 8 + ⁢ 8
				S u m = 1 3 8 Summa = 138

Dæmi 1.2

Notið sætisgildisrithátt til að finna gildi tölunnar sem $tugakerfis$ -kubbar sýna.

Mynd með þremur hlutum. Fyrsti hlutinn er tveir ferningar með 100 kubbum hvor, 10 kubba breiðir og 10 kubba háir. Annar hlutinn er ein lárétt stöng með 10 kubbum. Þriðji hlutinn er fimm stakir kubbar.

Lausn

Hundraðafletirnir eru $2$ og tákna því $200 .$

Tugstöngin er $1$ og táknar því $10 .$

Einingarkubbarnir eru $5$ og tákna því $5 .$

Mynd af stæðunni „200 + 10 + 5“ þar sem „2“ í „200“, „1“ í „10“ og „5“ eru rauð en aðrir stafir svartir. Fyrir neðan stæðuna stendur gildið „215“. Ör vísar frá rauða „2“ í stæðunni að „2“ í „215“, önnur frá rauða „1“ að „1“ í „215“ og sú þriðja frá rauða „5“ að „5“ í „215“.

Tölustafur	Sætisgildi	Tala	Gildi	Heildargildi
2 2	hundruð	2 2	1 0 0 100	2 0 0 200
1 1	tugir	1 1	1 0 10	1 0 10
5 5	einingar	5 5	1 1	+ ⁢ 5
				2 1 5 215

Kubbar í $tugakerfis$ -kerfi sýna töluna $215 .$

Að greina sætisgildi tölustafs

Með $tugakerfis$ -kubbum sáum við að hvert sæti í tölu hefur sérstakt gildi. Sætisgildistafla er gagnleg leið til að taka þessar upplýsingar saman. Sætisgildunum er skipt í þriggja stafa hópa sem nefnast talnaflokkar. Talnaflokkarnir eru einingar, þúsundir, milljónir, milljarðar og billjónir og svo framvegis. Í ritaðri tölu skilja kommur talnaflokkana að.

Líkt og í $tugakerfis$ -kubbum, þar sem gildi tugstangar er tífalt gildi einingarkubbs og gildi hundraðaflatar tífalt gildi tugstangar, er gildi hvers sætis í sætisgildistöflu tífalt gildi sætisins hægra megin við það.

Mynd 1.6 sýnir hvernig talan $5,278,194$ er sett í sætisgildistöflu.

Tafla með fyrirsögninni „Sætisgildi“, fimmtán dálkum og fjórum línum. Dálkunum er skipt í fimm þriggja dálka hópa. Í fyrirsagnarlínunni standa Billjónir, Milljarðar, Milljónir, Þúsundir og Einingar. Í næstu línu standa hundruð billjóna, tugir billjóna, billjónir, hundruð milljarða, tugir milljarða, milljarðar, hundruð milljóna, tugir milljóna, milljónir, hundruð þúsunda, tugir þúsunda, þúsundir, hundruð, tugir og einingar. Fyrstu átta reitir næstu línu eru auðir. Frá og með níunda dálki standa gildin „5“, „2“, „7“, „8“, „1“, „9“ og „4“.

Tölustafurinn $5$ er í milljónasætinu. Gildi hans er $5,000,000 .$
Tölustafurinn $2$ er í hundruð þúsunda sætinu. Gildi hans er $200,000 .$
Tölustafurinn $7$ er í tugþúsundasætinu. Gildi hans er $70,000 .$
Tölustafurinn $8$ er í þúsundasætinu. Gildi hans er $8,000 .$
Tölustafurinn $1$ er í hundraðasætinu. Gildi hans er $100 .$
Tölustafurinn $9$ er í tugasætinu. Gildi hans er $90 .$
Tölustafurinn $4$ er í einingasætinu. Gildi hans er $4 .$

Dæmi 1.3

Í tölunni $63,407,218;$ skuluð þið finna sætisgildi hvers eftirfarandi tölustafs:

ⓐ 7 $7$
ⓑ 0 $0$
ⓒ 1 $1$
ⓓ 6 $6$
ⓔ 3 $3$

Lausn

Setjið töluna í sætisgildistöflu og byrjið hægra megin.

Mynd með fyrirsögninni „Sætisgildi“, fimmtán dálkum og tveimur línum. Dálkunum er skipt í fimm þriggja dálka hópa. Í fyrstu línu standa hundruð billjóna, tugir billjóna, billjónir, hundruð milljarða, tugir milljarða, milljarðar, hundruð milljóna, tugir milljóna, milljónir, hundruð þúsunda, tugir þúsunda, þúsundir, hundruð, tugir og einingar. Fyrstu sjö reitir annarrar línu eru auðir. Frá og með áttunda dálki standa „6“, „3“, „4“, „0“, „7“, „2“, „1“ og „8“. Fyrsti hópurinn er merktur „billjónir“, annar „milljarðar“, þriðji „milljónir“, fjórði „þúsundir“ og sá fimmti „einingar“.

ⓐ Tölustafurinn $7$ er í þúsundasætinu.
ⓑ Tölustafurinn $0$ er í tugþúsundasætinu.
ⓒ Tölustafurinn $1$ er í tugasætinu.
ⓓ Tölustafurinn $6$ er í tugmilljónasætinu.
ⓔ Tölustafurinn $3$ er í milljónasætinu.

Að nota sætisgildi til að lesa núll og jákvæðar heiltölur

Þegar þið skrifið ávísun skrifið þið upphæðina bæði með orðum og tölustöfum. Til að rita tölu með orðum skuluð þið lesa töluna í hverjum talnaflokki og bæta síðan heiti flokksins við. Byrjið á tölustafnum lengst til vinstri, sem hefur hæsta sætisgildið. Kommur skilja talnaflokkana að, svo þar sem komma er í tölunni er höfð komma milli orðanna. Heiti einingaflokksins, sem hefur lægsta sætisgildið, er ekki skrifað.

Mynd með þremur gildum sem kommur skilja að. Fyrsta gildið er „37“ og merkt „milljónir“. Annað gildið er „519“ og merkt „þúsundir“. Þriðja gildið er „248“ og merkt „einingar“. Ör vísar frá „37“ að „þrjátíu og sjö milljónir“, frá „519“ að „fimm hundruð og nítján þúsund“ og frá „248“ að „tvö hundruð fjörutíu og átta“.

Talan $37,519,248$ er því skrifuð þrjátíu og sjö milljónir, fimm hundruð og nítján þúsund, tvö hundruð fjörutíu og átta.

Takið eftir að orðið og er notað innan talnaflokks þegar það á við, en ekki til að tengja talnaflokkana saman.

Dæmi 1.4

Lesið töluna $8,165,432,098,710$ með orðum.

Lausn

Byrjið á tölustafnum lengst til vinstri, 8. Hann er í billjónasætinu.	átta billjónir
Næsti talnaflokkur til hægri er milljarðaflokkurinn.	eitt hundrað sextíu og fimm milljarðar
Næsti talnaflokkur til hægri er milljónaflokkurinn.	fjögur hundruð þrjátíu og tvær milljónir
Næsti talnaflokkur til hægri er þúsundaflokkurinn.	níutíu og átta þúsund
Talnaflokkurinn lengst til hægri sýnir einingarnar.	sjö hundruð og tíu

Mynd með fimm gildum sem kommur skilja að. Fyrsta gildið er „8“ og merkt „billjónir“. Annað gildið er „165“ og merkt „milljarðar“. Þriðja gildið er „432“ og merkt „milljónir“. Fjórða gildið er „098“ og merkt „þúsundir“. Fimmta gildið er „710“ og merkt „einingar“. Ör vísar frá „8“ að „átta billjónir“, frá „165“ að „eitt hundrað sextíu og fimm milljarðar“, frá „432“ að „fjögur hundruð þrjátíu og tvær milljónir“, frá „098“ að „níutíu og átta þúsund“ og frá „710“ að „sjö hundruð og tíu“.

Þegar orðin eru sett saman skrifum við $8,165,432,098,710$ sem átta billjónir, eitt hundrað sextíu og fimm milljarðar, fjögur hundruð þrjátíu og tvær milljónir, níutíu og átta þúsund, sjö hundruð og tíu.

Dæmi 1.5

Nemandi kannaði fjölda farsímanotenda í Bandaríkjunum í einum mánuði árið $2014$ og komst að því að þeir voru $327,577,529 .$ Lesið töluna með orðum.

Lausn

Greinið talnaflokka tölunnar.

Lesið töluna í hverjum talnaflokki og bætið heiti flokksins við. Setjið inn kommur til að aðgreina flokkana.

Milljónaflokkur: þrjú hundruð tuttugu og sjö milljónir

Þúsundaflokkur: fimm hundruð sjötíu og sjö þúsund

Einingaflokkur: fimm hundruð tuttugu og níu

Fjöldi farsímanotenda í Bandaríkjunum í apríl var því þrjú hundruð tuttugu og sjö milljónir, fimm hundruð sjötíu og sjö þúsund, fimm hundruð tuttugu og níu.

Að nota sætisgildi til að skrifa núll og jákvæðar heiltölur

Nú snúum við ferlinu við og skrifum tölu sem gefin er með orðum með tölustöfum.

Dæmi 1.6

Skrifið eftirfarandi tölur með tölustöfum.

ⓐ fimmtíu og þrjár milljónir, fjögur hundruð og eitt þúsund, sjö hundruð fjörutíu og tvö
ⓑ níu milljarðar, tvö hundruð fjörutíu og sex milljónir, sjötíu og þrjú þúsund, eitt hundrað áttatíu og níu

Lausn

ⓐ Finnið orðin sem gefa talnaflokkana til kynna.

Allir talnaflokkar nema sá fyrsti verða að hafa þrjú sæti. Teiknið þrjú auð sæti fyrir hvern flokk og aðgreinið flokkana með kommum.

Skrifið síðan tölustafina í hvern talnaflokk.

Mynd með þremur textareitum sem vísa á tölugildi. Í fyrsta reitnum stendur „fimmtíu og þrjár milljónir“, hann er merktur „milljónir“ og vísar á gildið 53. Í öðrum stendur „fjögur hundruð og eitt þúsund“, hann er merktur „þúsundir“ og vísar á 401. Í þeim þriðja stendur „sjö hundruð fjörutíu og tvö“, hann er merktur „einingar“ og vísar á 742.

Setjið tölurnar saman ásamt kommunum. Talan er $53,401,742 .$

ⓑ Finnið orðin sem gefa talnaflokkana til kynna.

Allir talnaflokkar nema sá fyrsti verða að hafa þrjú sæti. Teiknið þrjú auð sæti fyrir hvern flokk og aðgreinið flokkana með kommum.

Skrifið síðan tölustafina í hvern talnaflokk.

Mynd með fjórum textareitum sem vísa á tölugildi. Í fyrsta reitnum stendur „níu milljarðar“, hann er merktur „milljarðar“ og vísar á gildið 9. Í öðrum stendur „tvö hundruð fjörutíu og sex milljónir“, hann er merktur „milljónir“ og vísar á 246. Í þeim þriðja stendur „sjötíu og þrjú þúsund“, hann er merktur „þúsundir“ og vísar á 073. Í þeim fjórða stendur „eitt hundrað áttatíu og níu“, hann er merktur „einingar“ og vísar á 189.

Talan er $9,246,073,189 .$

Takið eftir að í lið ⓑ þurfti núll sem staðgengil í hundraðþúsundasætinu. Munið að skrifa núll þar sem þeirra er þörf svo allir talnaflokkar nema hugsanlega sá fyrsti hafi þrjú sæti.

Dæmi 1.7

Fjárhagsáætlun fylkis nam um $$77$ milljörðum. Skrifið upphæðina á staðalformi.

Lausn

Greinið talnaflokkana. Hér eru aðeins gefnir tveir tölustafir og þeir eru í milljarðaflokknum. Skrifið núll í alla aðra talnaflokka til að rita töluna í heild.

Mynd með fjórum textareitum sem vísa á tölugildi. Í fyrsta reitnum stendur „77 milljarðar“, hann er merktur „milljarðar“ og vísar á gildið „77“. Annar reiturinn er auður, merktur „milljónir“ og vísar á „000“. Þriðji reiturinn er auður, merktur „þúsundir“ og vísar á „000“. Fjórði reiturinn er auður, merktur „einingar“ og vísar á „000“.

Fjárhagsáætlunin nam því um $$77,000,000,000.$

Að námunda núll og jákvæðar heiltölur

Árið $2013,$ greindi bandaríska manntalsskrifstofan frá því að íbúafjöldi New York-fylkis væri $19,651,127$ manns. Nægilegt gæti verið að segja að íbúafjöldinn væri um $20$ milljónir. Orðin um það bil merkja að $20$ milljónir séu ekki nákvæmur íbúafjöldi heldur tala sem er nálægt réttu gildinu.

Ferlið við að nálga tölu nefnist námundun. Tölur eru námundaðar að tilteknu sæti eftir því hve mikillar nákvæmni er þörf. Talan $20$ milljónir fékkst með námundun að milljónasætinu. Ef við hefðum námundað að hundraðþúsundasætinu hefði niðurstaðan orðið $19,700,000$ . Ef við hefðum námundað að tugþúsundasætinu hefði niðurstaðan orðið $19,650,000$ og svo framvegis. Sætið sem námundað er að ræðst af því hvernig nota á töluna.

Talnalína getur hjálpað ykkur að sjá og skilja námundun. Skoðið talnalínuna á mynd 1.7. Gerum ráð fyrir að námunda eigi töluna $76$ að næsta tug. Er $76$ nær $70$ eða $80$ á talnalínunni?

Mynd af talnalínu frá 70 til 80 með einnar einingar bili. Allar tölurnar eru svartar nema 70 og 80, sem eru rauðar. Appelsínugulur punktur er við gildið „76“ á talnalínunni. — **Mynd 1.7.** Við sjáum að $76$ er nær $80$ en $70 .$ Þegar $76$ er námundað að næsta tug fæst því $80 .$

Skoðum nú töluna $72 .$ Finnið $72$ á mynd 1.8.

Hvernig námundum við $75$ að næsta tug? Finnið $75$ á mynd 1.9.

Til að allir námundi eins í slíkum tilvikum hefur verið ákveðið að námunda að hærri tölunni, $80 .$ Þegar $75$ er námundað að næsta tug fæst því $80 .$

Nú þegar við höfum skoðað ferlið á talnalínu getum við sett fram almenna aðferð. Til að námunda tölu að tilteknu sæti skuluð þið skoða tölustafinn hægra megin við það sæti. Ef tölustafurinn er minni en $5,$ er námundað niður. Ef hann er stærri en eða jafn $5,$ er námundað upp.

Til að námunda $76$ að næsta tug skoðum við því tölustafinn í einingasætinu.

Mynd af gildinu „76“. Textinn „tugasæti“ er blár og vísar á tölustafinn 7 í „76“. Rauði textinn „er stærri en 5“ vísar á tölustafinn 6 í „76“.

Tölustafurinn í einingasætinu er $6 .$ Þar sem $6$ er stærri en eða jafn $5,$ hækkum við tölustafinn í tugasætinu um einn. Tölustafurinn $7$ í tugasætinu verður því $8 .$ Síðan setjum við núll í stað allra tölustafa hægra megin við $8$ . Talan $76$ námundast því í $80 .$

Mynd af gildinu „76“. Strikað er yfir „6“ í „76“ og ör vísar á hann með textanum „setjið 0 í staðinn“. Ör vísar á „7“ með textanum „bætið 1 við“. Fyrir neðan gildið „76“ stendur gildið „80“.

Skoðum aftur námundun $72$ að næsta $10 .$ Aftur skoðum við einingasætið.

Mynd af gildinu „72“. Textinn „tugasæti“ er blár og vísar á tölustafinn 7 í „72“. Rauði textinn „er minni en 5“ vísar á tölustafinn 2 í „72“.

Tölustafurinn í einingasætinu er $2 .$ Þar sem $2$ er minni en $5,$ höldum við tölustafnum í tugasætinu óbreyttum og setjum núll í stað tölustafanna hægra megin við hann. Þegar $72$ er námundað að næsta tug fæst því $70 .$

Mynd af gildinu „72“. Strikað er yfir „2“ í „72“ og ör vísar á hann með textanum „setjið 0 í staðinn“. Ör vísar á „7“ með textanum „ekki bæta 1 við“. Fyrir neðan gildið „72“ stendur gildið „70“.

Dæmi 1.8

Námundið $843$ að næsta tug.

Lausn

Finnið tugasætið.
Undirstrikið tölustafinn hægra megin við tugasætið.
Þar sem 3 er minni en 5 breytist tölustafurinn í tugasætinu ekki.
Setjið núll í stað allra tölustafa hægra megin við tugasætið.
	Þegar 843 er námundað að næsta tug fæst 840.

Dæmi 1.9

Námundið hvora tölu að næsta hundraði:

ⓐ 23,658 $23,658$
ⓑ 3,978 $3,978$

Lausn

ⓐ
Finnið hundraðasætið.
Tölustafurinn hægra megin við hundraðasætið er 5. Undirstrikið hann.
Þar sem 5 er stærri en eða jafn 5 er námundað upp með því að bæta 1 við tölustafinn í hundraðasætinu. Setjið síðan núll í stað allra tölustafa hægra megin við hundraðasætið.	Þegar 23,658 er námundað að næsta hundraði fæst því 23,700.

ⓑ
Finnið hundraðasætið.
Undirstrikið tölustafinn hægra megin við hundraðasætið.
Tölustafurinn hægra megin við hundraðasætið er 7. Þar sem 7 er stærri en eða jafn 5 er námundað upp með því að bæta 1 við 9. Setjið síðan núll í stað allra tölustafa hægra megin við hundraðasætið.	Þegar 3,978 er námundað að næsta hundraði fæst því 4,000.

Dæmi 1.10

Námundið hvora tölu að næsta þúsundi:

ⓐ 147,032 $147,032$
ⓑ 29,504 $29,504$

Lausn

ⓐ
Finnið þúsundasætið. Undirstrikið tölustafinn hægra megin við það.
Tölustafurinn hægra megin við þúsundasætið er 0. Þar sem 0 er minni en 5 breytum við tölustafnum í þúsundasætinu ekki.
Síðan setjum við núll í stað allra tölustafa hægra megin við þúsundasætið.	Þegar 147,032 er námundað að næsta þúsundi fæst því 147,000.

ⓑ
Finnið þúsundasætið.
Undirstrikið tölustafinn hægra megin við þúsundasætið.
Tölustafurinn hægra megin við þúsundasætið er 5. Þar sem 5 er stærri en eða jafn 5 er námundað upp með því að bæta 1 við 9. Setjið síðan núll í stað allra tölustafa hægra megin við þúsundasætið.	Þegar 29,504 er námundað að næsta þúsundi fæst því 30,000.

Takið eftir að í lið ⓑ þegar við bætum $1$ þúsundi við $9$ þúsund verða samtals $10$ þúsund. Við færum það yfir sem $1$ tug þúsunda og $0$ þúsund. Við bætum $1$ tug þúsunda við $2$ tugina af þúsundum og setjum $0$ í þúsundasætið.

Æfingar 1.1

Æfingin skapar meistarann

Að bera kennsl á talningartölur, núll og jákvæðar heiltölur

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið ákvarða hverjar talnanna eru ⓐ talningartölur og ⓑ núll eða jákvæðar heiltölur.

0,23,5,8.1,125 $0, \frac{2}{3}, 5, 8.1, 125$

0,710,3,20.5,300 $0, \frac{7}{10}, 3, 20.5, 300$

0,49,3.9,50,221 $0, \frac{4}{9}, 3.9, 50, 221$

0,35,10,303,422.6 $0, \frac{3}{5}, 10, 303, 422.6$

Að sýna núll og jákvæðar heiltölur með líkönum

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið nota sætisgildisrithátt til að finna gildi tölunnar sem $tugakerfis$ -kubbar sýna.

Mynd með þremur hlutum. Fyrsti hlutinn er fimm ferningar með 100 kubbum hver, 10 kubba breiðir og 10 kubba háir. Annar hlutinn er sex láréttar stangir með 10 kubbum hver. Þriðji hlutinn er einn stakur kubbur.

Mynd með þremur hlutum. Fyrsti hlutinn er þrír ferningar með 100 kubbum hver, 10 kubba breiðir og 10 kubba háir. Annar hlutinn er átta láréttar stangir með 10 kubbum hver. Þriðji hlutinn er fjórir stakir kubbar.

Mynd með tveimur hlutum. Fyrsti hlutinn er fjórir ferningar með 100 kubbum hver, 10 kubba breiðir og 10 kubba háir. Annar hlutinn er sjö stakir kubbar.

Mynd með tveimur hlutum. Fyrsti hlutinn er sex ferningar með 100 kubbum hver, 10 kubba breiðir og 10 kubba háir. Annar hlutinn er tvær láréttar stangir með 10 kubbum hvor.

Að greina sætisgildi tölustafs

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið finna sætisgildi tilgreindu tölustafanna.

579,601 $579,601$

ⓐ 9
ⓑ 6
ⓒ 0
ⓓ 7
ⓔ 5

10.

398,127 $398,127$

ⓐ 9
ⓑ 3
ⓒ 2
ⓓ 8
ⓔ 7

11.

56,804,379 $56,804,379$

ⓐ 8
ⓑ 6
ⓒ 4
ⓓ 7
ⓔ 0

12.

78,320,465 $78,320,465$

ⓐ 8
ⓑ 4
ⓒ 2
ⓓ 6
ⓔ 7

Að nota sætisgildi til að lesa núll og jákvæðar heiltölur

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið lesa hverja tölu með orðum.

13.

1,078 $1,078$

14.

5,902 $5,902$

15.

364,510 $364,510$

16.

146,023 $146,023$

17.

5,846,103 $5,846,103$

18.

1,458,398 $1,458,398$

19.

37,889,005 $37,889,005$

20.

62,008,465 $62,008,465$

21.

Hæð Rainier-fjalls er $14,410$ fet.

22.

Hæð Adams-fjalls er $12,276$ fet.

23.

Sjötíu ár eru $613,200$ klukkustundir.

24.

Í einu ári eru $525,600$ mínútur.

25.

Áætlun bandarísku manntalsskrifstofunnar um íbúafjölda Miami-Dade-sýslu var $2,617,176 .$

26.

Íbúafjöldi Chicago var $2,718,782 .$

27.

Áætlað er að eftir fimm ár verði $23,867,000$ nemendur í háskólum og öðrum æðri menntastofnunum í Bandaríkjunum.

28.

Fyrir um tólf árum voru $20,665,415$ skráðar bifreiðar í Kaliforníu.

29.

Búist var við að íbúafjöldi Kína yrði $1,377,583,156$ árið $2016 .$

30.

Áætlaður íbúafjöldi Indlands var $1,267,401,849$ hinn 1. júlí $1, 2014 .$

Að nota sætisgildi til að skrifa núll og jákvæðar heiltölur

Ritið hverja tölu með tölustöfum í eftirfarandi verkefnum.

31.

fjögur hundruð og tólf

32.

tvö hundruð fimmtíu og þrjú

33.

þrjátíu og fimm þúsund, níu hundruð sjötíu og fimm

34.

sextíu og eitt þúsund, fjögur hundruð og fimmtán

35.

ellefu milljónir, fjörutíu og fjögur þúsund, eitt hundrað sextíu og sjö

36.

átján milljónir, eitt hundrað og tvö þúsund, sjö hundruð áttatíu og þrjú

37.

þrír milljarðar, tvö hundruð tuttugu og sex milljónir, fimm hundruð og tólf þúsund, sautján

38.

ellefu milljarðar, fjögur hundruð sjötíu og ein milljón, þrjátíu og sex þúsund, eitt hundrað og sex

39.

Áætlað var að íbúar heimsins væru sjö milljarðar, eitt hundrað sjötíu og þrjár milljónir.

40.

Aldur sólkerfisins er talinn vera fjórir milljarðar, fimm hundruð sextíu og átta milljónir ára.

41.

Tahoe-vatn rúmar þrjátíu og níu billjónir gallona af vatni.

42.

Fjárhagsáætlun alríkisstjórnarinnar var þrjár billjónir, fimm hundruð milljarðar dala.

Að námunda núll og jákvæðar heiltölur

Námundið að tilgreindu sætisgildi í eftirfarandi verkefnum.

43.

Námundið að næsta tug:

ⓐ 386 $386$
ⓑ 2,931 $2,931$

44.

Námundið að næsta tug:

ⓐ 792 $792$
ⓑ 5,647 $5,647$

45.

Námundið að næsta hundraði:

ⓐ 13,748 $13,748$
ⓑ 391,794 $391,794$

46.

Námundið að næsta hundraði:

ⓐ 28,166 $28,166$
ⓑ 481,628 $481,628$

47.

Námundið að næsta tug:

ⓐ 1,492 $1,492$
ⓑ 1,497 $1,497$

48.

Námundið að næsta þúsundi:

ⓐ 2,391 $2,391$
ⓑ 2,795 $2,795$

49.

Námundið að næsta hundraði:

ⓐ 63,994 $63,994$
ⓑ 63,949 $63,949$

50.

Námundið að næsta þúsundi:

ⓐ 163,584 $163,584$
ⓑ 163,246 $163,246$

Stærðfræði í daglegu lífi

51.

Að skrifa ávísun Jorge keypti bíl fyrir $$24,493 .$ Hann greiddi fyrir bílinn með ávísun. Skrifið kaupverðið með orðum.

52.

Að skrifa ávísun Endurbætur á eldhúsi Marissu kostuðu $$18,549 .$ Hún skrifaði verktakanum ávísun. Skrifið upphæðina með orðum.

53.

Bílakaup Jorge keypti bíl fyrir $$24,493 .$ Námundið verðið að næsta:

ⓐ tug dala
ⓑ hundraði dala
ⓒ þúsundi dala
ⓓ tíu þúsundum dala

54.

Endurbætur á eldhúsi Endurbætur á eldhúsi Marissu kostuðu $$18,549 .$ Námundið kostnaðinn að næsta:

ⓐ tug dala
ⓑ hundraði dala
ⓒ þúsundi dala
ⓓ tíu þúsundum dala

55.

Íbúafjöldi Íbúafjöldi Kína var $1,355,692,544$ árið $2014 .$ Námundið íbúafjöldann að næsta:

ⓐ milljarði íbúa
ⓑ hundrað milljónum íbúa
ⓒ milljón íbúa

56.

Stjörnufræði Meðalfjarlægð jarðar frá sólu er $149,597,888$ kílómetrar. Námundið fjarlægðina að næsta:

ⓐ hundrað milljónum kílómetra
ⓑ tíu milljónum kílómetra

Ritunaræfingar

57.

Útskýrið með eigin orðum muninn á talningartölum og núlli og jákvæðum heiltölum.

58.

Nefnið dæmi úr daglegu lífi þar sem gagnlegt er að námunda tölur.

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta tök ykkar á markmiðum hlutans.

ⓑ Ef flestar merkingarnar þínar voru við…

… af öryggi. Til hamingju! Þið hafið náð markmiðum þessa hluta. Íhugið hvaða námsaðferðir þið notuðuð svo þið getið haldið áfram að beita þeim. Hvað gerðuð þið til að öðlast öryggi í þessum viðfangsefnum? Nefnið tiltekin atriði.

…með nokkurri hjálp. Bregðast þarf fljótt við því að atriði sem þið náið ekki tökum á verða að hindrunum á leiðinni að árangri. Í stærðfræði byggist hvert viðfangsefni á fyrri vinnu. Mikilvægt er að tryggja traustan grunn áður en haldið er áfram. Hvern getið þið beðið um hjálp? Samnemendur og kennari eru góðir kostir. Er aðstaða í skólanum þar sem stærðfræðileiðbeinendur eru tiltækir? Getið þið bætt námsaðferðir ykkar?

…nei — ég skil þetta ekki! Þetta er viðvörunarmerki sem þið megið ekki hunsa. Leitið strax aðstoðar, annars gæti efnið fljótt orðið yfirþyrmandi. Ræðið stöðuna við kennarann eins fljótt og hægt er. Saman getið þið gert áætlun um þá hjálp sem þið þurfið.