2.1 Tungumál algebrunnar

Greg og Alex eiga sama afmælisdag en fæddust ekki sama ár. Á þessu ári er Greg $20$ ára og Alex $23,$ svo Alex er $3$ árum eldri en Greg. Þegar Greg var $12,$ ára var Alex $15.$ Þegar Greg verður $35,$ ára verður Alex $38.$ Sama hve gamall Greg er verður Alex alltaf $3$ árum eldri, er það ekki?

Á tungumáli algebrunnar segjum við að aldur Gregs og aldur Alex séu breytur en talan þrír sé fasti. Aldurinn breytist, svo hann er breyta. Áramunurinn $3$ helst alltaf sá sami og er því fasti.

Í algebru eru bókstafir notaðir til að tákna breytur. Segjum að við táknum aldur Gregs með $g.$ Þá getum við táknað aldur Alex með $g+3$. Sjá töflu 2.1.

Bókstafir eru notaðir til að tákna breytur. Algengir bókstafir fyrir breytur eru 𝑥 , 𝑦 , 𝑎 , 𝑏 o g 𝑐 . x , y , a , b og c . $x,y,a,b,\text{og}c.$

Til að skrifa á algebrumáli þurfum við tákn auk talna og breyta. Við munum nota nokkrar gerðir tákna. Í kaflanum um núll og jákvæðar heiltölur kynntumst við táknum reikniaðgerðanna fjögurra: reikniaðgerða: samlagningar, frádráttar, margföldunar og deilingar. Hér tökum við þau saman ásamt orðunum sem við notum um aðgerðirnar og útkomu þeirra.

Í algebru er krossmerkið $\times ,$ ekki notað sem margföldunarmerki vegna þess að það getur valdið ruglingi. Táknar $3xy$ þá $3\times y$ (þrír sinnum $y$) eða $3·x·y$ (þrír sinnum $x\text{sinnum}y$)? Til að taka af allan vafa skuluð þið nota • eða sviga til að tákna margföldun.

Þessar reikniaðgerðir eru framkvæmdar á tveimur tölum. Þegar táknmáli er breytt í orð eða orðum í táknmál þarf að huga að orðunum af og og til að finna tölurnar.

Þegar tvær stærðir hafa sama gildi segjum við að þær séu jafnar og tengjum þær með jafnaðarmerki.

Hugtakið ójafna er notað í algebru til að bera saman tvær stærðir sem kunna að hafa ólík gildi. Talnalínan getur auðveldað ykkur að skilja ójöfnur. Munið að tölurnar á talnalínunni stækka frá vinstri til hægri. Ef við vitum að $b$ er stærra en $a,$ er $b$ því hægra megin við $a$ á talnalínunni. Við notum táknin $\text{“<”}$ og $\text{“>”}$ fyrir ójöfnur.

Stæðurnar $a<b\text{og}a>b$ má lesa frá vinstri til hægri eða frá hægri til vinstri, þótt venjan sé að lesa þær frá vinstri til hægri. Almennt gildir:

Þegar strik er undir ójöfnumerki, eins og í $a\le b,$ merkir það að $a<b$ eða $a=b.$ Þetta lesum við $a$ er minna en eða jafnt og $b.$ Skástrik yfir jafnaðarmerki, $\text{≠,}$ merkir hins vegar að stærðirnar séu ekki jafnar.

Tákn jafnaðar og ójafna eru tekin saman í töflu 2.2.

Flokkunartákn í algebru gegna svipuðu hlutverki og kommur, tvípunktar og önnur greinarmerki í rituðu máli. Þau sýna hvaða stæður eiga að haldast saman og aðskildar frá öðrum stæðum. Í töflu 2.3 eru þrjú algengustu flokkunartákn algebrunnar.

Í algebru höfum við stæður og jöfnur. Stæða er eins og orðasamband. Hér eru nokkur dæmi um stæður og samsvarandi orðasambönd:

Að einfalda talnastæðu felur í sér að framkvæma allar mögulegar reikniaðgerðir. Til að einfalda $4·2+1$ margföldum við til dæmis fyrst $4·2$ og fáum $8$ en leggjum síðan $1$ við og fáum $9.$ Gott er að venja sig á að vinna niður síðuna og skrifa hvert skref undir skrefið á undan. Dæmið sem var lýst lítur þá svona út:

Segjum að við höfum stæðuna $2·2·2·2·2·2·2·2·2.$ Við getum skrifað hana á styttri hátt með veldisrithætti. Veldisritháttur er notaður í algebru til að tákna stærð sem er margfölduð nokkrum sinnum með sjálfri sér. Við skrifum $2·2·2$ sem $2^3$ og $2·2·2·2·2·2·2·2·2$ sem $2^9.$ Í stæðum á borð við $2^3,$ talan $2$ kallast veldisstofn en $3$ er veldisvísir. Veldisvísirinn segir okkur hve marga þætti jafna veldisstofninum á að margfalda saman.

Við segjum að $2^3$ sé á veldisrithætti en $2·2·2$ á liðaðri framsetningu.

Veldin þar sem $n=2$ og $n=3,$ hafa sérstök heiti.

Tafla 2.4 sýnir nokkur dæmi um stæður á veldisrithætti.

Nemendur spyrja oft: „Hvernig á ég að muna röðina?“ Hér er minnisregla: Takið fyrsta staf hvers lykilorðs og tengið hann við þessa skringilegu setningu: Svanur Vill Mála Dökka Stóla Fagurbláa.

Gott er að „Mála Dökka“ haldist saman því það minnir okkur á að margföldun og deiling hafa sama forgang. Við margföldum hvorki alltaf á undan deilingu né deilum alltaf á undan margföldun heldur framkvæmum aðgerðirnar í röð frá vinstri til hægri.

Á sama hátt helst „Stóla Fagurbláa“ saman og minnir okkur á að samlagning og frádráttur hafa einnig sama forgang og eru framkvæmd frá vinstri til hægri.

Notum breytur og algebrutákn