2.1 Tungumál algebrunnar – Fornám í stærðfræði, 2. útgáfa (IS) | Námsgögn
22 Tungumál algebrunnar
2.1 Tungumál algebrunnar
2.1 Tungumál algebrunnar
Námsmarkmið
Í lok þessa hluta eigið þið að geta:
Notað breytur og algebrutákn
Greint stæður og jöfnur
Einfaldað stæður með veldisvísum
Einfaldað stæður með forgangsröð reikniaðgerða
Notum breytur og algebrutákn
Greg og Alex eiga sama afmælisdag en fæddust ekki sama ár. Á þessu ári er Greg ára og Alex svo Alex er árum eldri en Greg. Þegar Greg var ára var Alex Þegar Greg verður ára verður Alex Sama hve gamall Greg er verður Alex alltaf árum eldri, er það ekki?
Á tungumáli algebrunnar segjum við að aldur Gregs og aldur Alex séu breytur en talan þrír sé fasti. Aldurinn breytist, svo hann er breyta. Áramunurinn helst alltaf sá sami og er því fasti.
Í algebru eru bókstafir notaðir til að tákna breytur. Segjum að við táknum aldur Gregs með Þá getum við táknað aldur Alex með . Sjá töflu 2.1.
Aldur Gregs
Aldur Alex
1 2 12
1 5 15
2 0 20
2 3 23
3 5 35
3 8 38
𝑔 g
𝑔 + 3 g + 3
Bókstafir eru notaðir til að tákna breytur. Algengir bókstafir fyrir breytur eru 𝑥 , 𝑦 , 𝑎 , 𝑏 o g 𝑐 . x , y , a , b og c .
Til að skrifa á algebrumáli þurfum við tákn auk talna og breyta. Við munum nota nokkrar gerðir tákna. Í kaflanum um núll og jákvæðar heiltölur kynntumst við táknum reikniaðgerðanna fjögurra: reikniaðgerða: samlagningar, frádráttar, margföldunar og deilingar. Hér tökum við þau saman ásamt orðunum sem við notum um aðgerðirnar og útkomu þeirra.
Reikniaðgerð
Ritháttur
Lesið:
Útkoman er …
Samlagning
𝑎 + 𝑏 a + b
𝑎 p l u s 𝑏 a plus b
summa a og b
Frádráttur
𝑎 − 𝑏 a − b
𝑎 m i n u s 𝑏 a minus b
mismunur a og b
Margföldun
𝑎 · 𝑏 , ( 𝑎 ) ( 𝑏 ) , ( 𝑎 ) 𝑏 , 𝑎 ( 𝑏 ) a · b , ( a ) ( b ) , ( a ) b , a ( b )
𝑎 t i m e s 𝑏 a times b
margfeldi a og b
Deiling
𝑎 ÷ 𝑏 , 𝑎 / 𝑏 , 𝑎 𝑏 , 𝑏 𝑎 a ÷ b , a / b , a/b , b a
a deilt með b
kvóti a og b
Í algebru er krossmerkið ekki notað sem margföldunarmerki vegna þess að það getur valdið ruglingi. Táknar þá (þrír sinnum ) eða (þrír sinnum )? Til að taka af allan vafa skuluð þið nota • eða sviga til að tákna margföldun.
Þessar reikniaðgerðir eru framkvæmdar á tveimur tölum. Þegar táknmáli er breytt í orð eða orðum í táknmál þarf að huga að orðunum af og og til að finna tölurnar.
Sú summatalnannaog þýðir að leggja saman við sem við skrifum
Sá mismunurtalnannaog þýðir að draga frá sem við skrifum
Það margfelditalnannaog þýðir að margfalda með sem við getum skrifað
Sá kvótitalnannaog þýðir að deila með sem við getum skrifað
Dæmi 2.1
Þýðið táknmál algebrunnar yfir á orð:
ⓐ 12 +14
ⓑ (30)(5)
ⓒ 64 ÷8
ⓓ 𝑥 −𝑦
Lausn
ⓐ
1 2 + 1 4 12 + 14
12 plús 14
summa talnanna tólf og fjórtán
ⓑ
( 3 0 ) ( 5 ) ( 30 ) ( 5 )
30 sinnum 5
margfeldi tölunnar þrjátíu og tölunnar fimm
ⓒ
6 4 ÷ 8 64 ÷ 8
64 deilt með 8
kvóti tölunnar sextíu og fjögur og tölunnar átta
ⓓ
𝑥 − 𝑦 x − y
x mínus y
mismunur x og y
Þegar tvær stærðir hafa sama gildi segjum við að þær séu jafnar og tengjum þær með jafnaðarmerki.
Hugtakið ójafna er notað í algebru til að bera saman tvær stærðir sem kunna að hafa ólík gildi. Talnalínan getur auðveldað ykkur að skilja ójöfnur. Munið að tölurnar á talnalínunni stækka frá vinstri til hægri. Ef við vitum að er stærra en er því hægra megin við á talnalínunni. Við notum táknin og fyrir ójöfnur.
Stæðurnar má lesa frá vinstri til hægri eða frá hægri til vinstri, þótt venjan sé að lesa þær frá vinstri til hægri. Almennt gildir:
Þegar strik er undir ójöfnumerki, eins og í merkir það að eða Þetta lesum við er minna en eða jafnt og Skástrik yfir jafnaðarmerki, merkir hins vegar að stærðirnar séu ekki jafnar.
Tákn jafnaðar og ójafna eru tekin saman í töflu 2.2.
Algebruritháttur
Lesið
𝑎 = 𝑏 a = b
a er jafnt og b
𝑎 ≠ 𝑏 a ≠ b
a er ekki jafnt og b
𝑎 < 𝑏 a < b
a er minna en b
𝑎 > 𝑏 a > b
a er stærra en b
𝑎 ≤ 𝑏 a ≤ b
a er minna en eða jafnt og b
𝑎 ≥ 𝑏 a ≥ b
a er stærra en eða jafnt og b
Dæmi 2.2
Þýðið táknmál algebrunnar yfir á orð:
ⓐ 20 ≤35
ⓑ 11 ≠15 −3
ⓒ 9 >10 ÷2
ⓓ 𝑥 +2 <10
Lausn
ⓐ
2 0 ≤ 3 5 20 ≤ 35
20 er minna en eða jafnt og 35
ⓑ
1 1 ≠ 1 5 − 3 11 ≠ 15 − 3
11 er ekki jafnt og 15 mínus 3
ⓒ
9 > 1 0 ÷ 2 9 > 10 ÷ 2
9 er stærra en 10 deilt með 2
ⓓ
𝑥 + 2 < 1 0 x + 2 < 10
x plús 2 er minna en 10
Dæmi 2.3
Upplýsingarnar á mynd 2.2 bera saman eldsneytisnýtingu nokkurra bíla í mílum á gallon (mpg). Skrifið viðeigandi tákn í hverja stæðu til að bera saman eldsneytisnýtingu bílanna.
Mynd 2.2. (mynd: breytt verk eftir Bernard Goldbach, Wikimedia Commons)
ⓐ Mílur á gallon hjá Prius_____ mílur á gallon hjá Mini Cooper
ⓑ Mílur á gallon hjá Versa_____ mílur á gallon hjá Fit
ⓒ Mílur á gallon hjá Mini Cooper_____ mílur á gallon hjá Fit
ⓓ Mílur á gallon hjá Corolla_____ mílur á gallon hjá Versa
ⓔ Mílur á gallon hjá Corolla_____ mílur á gallon hjá Prius
Lausn
ⓐ
Mílur á gallon hjá Prius____mílur á gallon hjá Mini Cooper
Finnið gildin í töflunni.
48____27
Berið saman.
48 > 27
Mílur á gallon hjá Prius > mílur á gallon hjá Mini Cooper
ⓑ
Mílur á gallon hjá Versa____mílur á gallon hjá Fit
Finnið gildin í töflunni.
26____27
Berið saman.
26 < 27
Mílur á gallon hjá Versa < mílur á gallon hjá Fit
ⓒ
Mílur á gallon hjá Mini Cooper____mílur á gallon hjá Fit
Finnið gildin í töflunni.
27____27
Berið saman.
27 = 27
Mílur á gallon hjá Mini Cooper = mílur á gallon hjá Fit
ⓓ
Mílur á gallon hjá Corolla____mílur á gallon hjá Versa
Finnið gildin í töflunni.
28____26
Berið saman.
28 > 26
Mílur á gallon hjá Corolla > mílur á gallon hjá Versa
ⓔ
Mílur á gallon hjá Corolla____mílur á gallon hjá Prius
Finnið gildin í töflunni.
28____48
Berið saman.
28 < 48
Mílur á gallon hjá Corolla < mílur á gallon hjá Prius
Flokkunartákn í algebru gegna svipuðu hlutverki og kommur, tvípunktar og önnur greinarmerki í rituðu máli. Þau sýna hvaða stæður eiga að haldast saman og aðskildar frá öðrum stæðum. Í töflu 2.3 eru þrjú algengustu flokkunartákn algebrunnar.
Algeng flokkunartákn
svigar
( ) ( )
hornklofar
[ ] [ ]
slaufusvigar
{ } { }
Hér eru nokkur dæmi um stæður sem innihalda flokkunartákn. Síðar í þessum hluta einföldum við stæður af þessu tagi.
Greinum stæður og jöfnur
Hver er munurinn á orðasambandi og setningu? Orðasamband miðlar einni hugsun sem er ekki fullgerð ein og sér, en setning felur í sér heila fullyrðingu. „Hleypur mjög hratt“ er orðasamband en „Knattspyrnumaðurinn hljóp mjög hratt“ er setning. Setning hefur frumlag og sögn.
Í algebru höfum við stæður og jöfnur. Stæða er eins og orðasamband. Hér eru nokkur dæmi um stæður og samsvarandi orðasambönd:
Stæða
Orð
Orðasamband
3 + 5 3 + 5
3 p l u s 5 3 plus 5
summa talnanna þriggja og fimm
𝑛 − 1 n − 1
n mínus einn
mismunur n og tölunnar eins
6 · 7 6 · 7
6 t i m e s 7 6 times 7
margfeldi talnanna sex og sjö
𝑥 𝑦 x/y
x deilt með y
kvóti x og y
Takið eftir að orðasamböndin mynda ekki fullgerðar setningar því þau hafa enga sögn. Jafna er mynduð úr tveimur stæðum sem tengdar eru með jafnaðarmerki. Þegar þið lesið orðin sem táknin í jöfnunni standa fyrir færið fullgerða setningu. Jafnaðarmerkið gegnir hlutverki sagnarinnar. Hér eru nokkur dæmi um jöfnur:
Jafna
Setning
3 + 5 = 8 3 + 5 = 8
Summa talnanna þriggja og fimm er jöfn átta.
𝑛 − 1 = 1 4 n − 1 = 14
n mínus einn er jafnt og fjórtán.
6 · 7 = 4 2 6 · 7 = 42
Margfeldi talnanna sex og sjö er jafnt og fjörutíu og tveir.
𝑥 = 5 3 x = 53
x er jafnt og fimmtíu og þrír.
𝑦 + 9 = 2 𝑦 − 3 y + 9 = 2 y − 3
y plús níu er jafnt og tveir y mínus þrír.
Dæmi 2.4
Ákvarðið hvort hvert atriði sé stæða eða jafna:
ⓐ 16 −6 =10
ⓑ 4 ·2 +1
ⓒ 𝑥 ÷25
ⓓ 𝑦 +8 =40
Lausn
ⓐ 1 6 − 6 = 1 0 16 − 6 = 10
Þetta er jafna—tvær stæður eru tengdar með jafnaðarmerki.
ⓑ 4 · 2 + 1
Þetta er stæða—ekkert jafnaðarmerki er til staðar.
ⓒ 𝑥 ÷ 2 5 x ÷ 25
Þetta er stæða—ekkert jafnaðarmerki er til staðar.
ⓓ 𝑦 + 8 = 4 0 y + 8 = 40
Þetta er jafna—tvær stæður eru tengdar með jafnaðarmerki.
Einföldum stæður með veldisvísum
Að einfalda talnastæðu felur í sér að framkvæma allar mögulegar reikniaðgerðir. Til að einfalda margföldum við til dæmis fyrst og fáum en leggjum síðan við og fáum Gott er að venja sig á að vinna niður síðuna og skrifa hvert skref undir skrefið á undan. Dæmið sem var lýst lítur þá svona út:
Segjum að við höfum stæðuna Við getum skrifað hana á styttri hátt með veldisrithætti. Veldisritháttur er notaður í algebru til að tákna stærð sem er margfölduð nokkrum sinnum með sjálfri sér. Við skrifum sem og sem Í stæðum á borð við talan kallast veldisstofn en er veldisvísir. Veldisvísirinn segir okkur hve marga þætti jafna veldisstofninum á að margfalda saman.
Við segjum að sé á veldisrithætti en á liðaðri framsetningu.
Veldin þar sem og hafa sérstök heiti.
Tafla 2.4 sýnir nokkur dæmi um stæður á veldisrithætti.
Veldisritháttur
Með orðum
7 2 7 2
7 í öðru veldi, eða 7 í ferningi
5 3 5 3
5 í þriðja veldi, eða 5 í teningi
9 4 9 4
9 í fjórða veldi
1 2 5 12 5
12 í fimmta veldi
Dæmi 2.5
Skrifið hverja stæðu á veldisrithætti:
ⓐ 16 ·16 ·16 ·16 ·16 ·16 ·16
ⓑ 9 ·9 ·9 ·9 ·9
ⓒ 𝑥 ·𝑥 ·𝑥 ·𝑥
ⓓ 𝑎 ·𝑎 ·𝑎 ·𝑎 ·𝑎 ·𝑎 ·𝑎 ·𝑎
Lausn
ⓐ Veldisstofninn 16 er þáttur sjö sinnum.
1 6 7 16 7
ⓑ Veldisstofninn 9 er þáttur fimm sinnum.
9 5 9 5
ⓒ Veldisstofninn x er þáttur fjórum sinnum.
𝑥 4 x 4
ⓓ Veldisstofninn a er þáttur átta sinnum.
𝑎 8 a 8
Dæmi 2.6
Skrifið hverja veldisstæðu á liðaðri framsetningu:
ⓐ 86
ⓑ 𝑥5
Lausn
ⓐ Veldisstofninn er og veldisvísirinn svo merkir
ⓑ Veldisstofninn er og veldisvísirinn svo merkir
Til að einfalda veldisstæðu án reiknivélar skrifum við hana fyrst á liðaðri framsetningu og margföldum síðan þættina.
Dæmi 2.7
Einfaldið:
Lausn
3 4 3 4
Skrifið stæðuna með útvíkkaðri ritun.
3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3
Margfaldið frá vinstri til hægri.
9 ⋅ 3 ⋅ 3
2 7 ⋅ 3 27 ⋅ 3
Margfaldið.
8 1 81
Einföldum stæður með forgangsröð reikniaðgerða
Við höfum kynnt flest tákn og þann rithátt sem notaður er í algebru en þurfum nú að skýra forgangsröð reikniaðgerða. Annars gætu stæður haft ólíka merkingu og gefið ólík gildi.
Skoðum til dæmis stæðuna:
Hugsið ykkur ruglinginn ef hvert dæmi hefði nokkur ólík rétt svör. Sama stæðan á alltaf að gefa sömu niðurstöðu. Stærðfræðingar setjið því reglur um forgangsröð reikniaðgerða sem segja til um í hvaða röð á að einfalda hluta stæðu.
Nemendur spyrja oft: „Hvernig á ég að muna röðina?“ Hér er minnisregla: Takið fyrsta staf hvers lykilorðs og tengið hann við þessa skringilegu setningu: Svanur Vill Mála Dökka Stóla Fagurbláa.
Forgangsröð reikniaðgerða
Svanur
Svigar
Vill
Veldi
Mála Dökka
Margföldun og Deiling
Stóla Fagurbláa
Samlagning og Frádráttur
Gott er að „Mála Dökka“ haldist saman því það minnir okkur á að margföldun og deiling hafa sama forgang. Við margföldum hvorki alltaf á undan deilingu né deilum alltaf á undan margföldun heldur framkvæmum aðgerðirnar í röð frá vinstri til hægri.
Á sama hátt helst „Stóla Fagurbláa“ saman og minnir okkur á að samlagning og frádráttur hafa einnig sama forgang og eru framkvæmd frá vinstri til hægri.
Dæmi 2.8
Einfaldið stæðurnar:
ⓐ 4 +3 ·7
ⓑ (4+3) ·7
Lausn
ⓐ
Eru einhverjir svigar? Nei.
Eru einhver veldi? Nei.
Er einhver margföldun eða deiling? Já.
Margfaldið fyrst.
Leggið saman.
ⓑ
Eru einhverjir svigar? Já.
Einfaldið innan sviganna.
Eru einhver veldi? Nei.
Er einhver margföldun eða deiling? Já.
Margfaldið.
Dæmi 2.9
Einfaldið:
ⓐ 18 ÷9 ·2
ⓑ 18 ·9 ÷2
Lausn
ⓐ
Eru einhverjir svigar? Nei.
Eru einhver veldi? Nei.
Er einhver margföldun eða deiling? Já.
Margfaldið og deilið frá vinstri til hægri. Deilið.
Margfaldið.
ⓑ
Eru einhverjir svigar? Nei.
Eru einhver veldi? Nei.
Er einhver margföldun eða deiling? Já.
Margfaldið og deilið frá vinstri til hægri.
Margfaldið.
Deilið.
Dæmi 2.10
Einfaldið:
Lausn
Svigar? Já, dragið fyrst frá.
Veldi? Nei.
Margföldun eða deiling? Já.
Deilið fyrst því margföldun og deiling eru framkvæmdar frá vinstri til hægri.
Er einhver frekari margföldun eða deiling? Já.
Margfaldið.
Er einhver frekari margföldun eða deiling? Nei.
Er einhver samlagning eða frádráttur? Já.
Þegar fleiri en ein gerð flokkunartákna kemur fyrir einföldum við fyrst innan innstu sviganna og vinnum okkur út á við.
Dæmi 2.11
Einfaldið:5+23+3[6−3(4−2)].
Lausn
Eru einhverjir svigar eða önnur flokkunartákn? Já.
Beinið athyglinni að hringsvigunum innan hornklofanna.
Dragið frá.
Haldið áfram innan hornklofanna og margfaldið.
Haldið áfram innan hornklofanna og dragið frá.
Ekki þarf að einfalda stæðuna innan hornklofanna frekar.
Eru einhver veldi? Já.
Reiknið veldin.
Er einhver margföldun eða deiling? Já.
Margfaldið.
Er einhver samlagning eða frádráttur? Já.
Leggið saman.
Leggið saman.
Dæmi 2.12
Einfaldið:
Lausn
Ef stæða inniheldur nokkur veldi má einfalda þau í sama skrefi.
Reiknið veldin.
Deilið.
Leggið saman.
Dragið frá.
Æfingar úr hluta 2.1
Æfingin skapar meistarann
Notum breytur og algebrutákn
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið þýða táknmál algebrunnar yfir á orð.
1.
16−9
2.
25−7
3.
5·6
4.
3·9
5.
28÷4
6.
45÷5
7.
𝑥+8
8.
𝑥+11
9.
(2)(7)
10.
(4)(8)
11.
14<21
12.
17<35
13.
36≥19
14.
42≥27
15.
3𝑛=24
16.
6𝑛=36
17.
𝑦−1>6
18.
𝑦−4>8
19.
2≤18÷6
20.
3≤20÷4
21.
𝑎≠7·4
22.
𝑎≠1·12
Greinum stæður og jöfnur
Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið ákvarða hvort hvert atriði sé stæða eða jafna.
23.
9·6=54
24.
7·9=63
25.
5·4+3
26.
6·3+5
27.
𝑥+7
28.
𝑥+9
29.
𝑦−5=25
30.
𝑦−8=32
Einföldum stæður með veldisvísum
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið skrifa stæðurnar á veldisrithætti.
31.
3·3·3·3·3·3·3
32.
4·4·4·4·4·4
33.
𝑥·𝑥·𝑥·𝑥·𝑥
34.
𝑦·𝑦·𝑦·𝑦·𝑦·𝑦
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið skrifa stæðurnar á liðaðri framsetningu.
35.
53
36.
83
37.
28
38.
105
Einföldum stæður með forgangsröð reikniaðgerða
Einfaldið í eftirfarandi dæmum.
39.
ⓐ 3 +8 ·5
ⓑ (3+8) ·5
40.
ⓐ 2 +6 ·3
ⓑ (2+6) ·3
41.
23−12÷(9−5)
42.
32−18÷(11−5)
43.
3·8+5·2
44.
4·7+3·5
45.
2+8(6+1)
46.
4+6(3+6)
47.
4·12/8
48.
2·36/6
49.
6+10/2+2
50.
9+12/3+4
51.
(6+10)÷(2+2)
52.
(9+12)÷(3+4)
53.
20÷4+6·5
54.
33÷3+8·2
55.
20÷(4+6)·5
56.
33÷(3+8)·2
57.
42+52
58.
32+72
59.
(4+5)2
60.
(3+7)2
61.
3(1+9·6)−42
62.
5(2+8·4)−72
63.
2[1+3(10−2)]
64.
5[2+4(3−2)]
Stærðfræði daglegs lífs
65.
Körfubolti Í úrslitakeppni NBA árið 2014 sigruðu San Antonio Spurs lið Miami Heat. Taflan hér að neðan sýnir hæð byrjunarliðsmanna hvors liðs. Notið töfluna til að setja inn viðeigandi tákn
Spurs
Hæð
Heat
Hæð
Tim Duncan
8 3 ″ 83″
Rashard Lewis
8 2 ″ 82″
Boris Diaw
8 0 ″ 80″
LeBron James
8 0 ″ 80″
Kawhi Leonard
7 9 ″ 79″
Chris Bosh
8 3 ″ 83″
Tony Parker
7 4 ″ 74″
Dwyane Wade
7 6 ″ 76″
Danny Green
7 8 ″ 78″
Ray Allen
7 7 ″ 77″
ⓐ Hæð hjá Tim Duncan____hæð hjá Rashard Lewis
ⓑ Hæð hjá Boris Diaw____hæð hjá LeBron James
ⓒ Hæð hjá Kawhi Leonard____hæð hjá Chris Bosh
ⓓ Hæð hjá Tony Parker____hæð hjá Dwyane Wade
ⓔ Hæð hjá Danny Green____hæð hjá Ray Allen
66.
Hæð yfir sjávarmáli Í Colorado eru fleiri en fjöll sem ná meira en Taflan sýnir tíu hæstu fjöllin. Notið töfluna til að setja inn viðeigandi ójöfnumerki.
Fjall
Hæð yfir sjávarmáli
Mt. Elbert
1 4 , 4 3 3 ′ 14,433′
Mt. Massive
1 4 , 4 2 1 ′ 14,421′
Mt. Harvard
1 4 , 4 2 0 ′ 14,420′
Blanca Peak
1 4 , 3 4 5 ′ 14,345′
La Plata Peak
1 4 , 3 3 6 ′ 14,336′
Uncompahgre Peak
1 4 , 3 0 9 ′ 14,309′
Crestone Peak
1 4 , 2 9 4 ′ 14,294′
Mt. Lincoln
1 4 , 2 8 6 ′ 14,286′
Grays Peak
1 4 , 2 7 0 ′ 14,270′
Mt. Antero
1 4 , 2 6 9 ′ 14,269′
ⓐ Hæð La Plata Peak____hæð Mt. Antero
ⓑ Hæð Blanca Peak____hæð Mt. Elbert
ⓒ Hæð Grays Peak____hæð Mt. Lincoln
ⓓ Hæð Mt. Massive____hæð Crestone Peak
ⓔ Hæð Mt. Harvard____hæð Uncompahgre Peak
Ritunarverkefni
67.
Útskýrið muninn á stæðu og jöfnu.
68.
Hvers vegna er mikilvægt að fylgja forgangsröð reikniaðgerða þegar stæða er einfölduð?