2.3 Leysa jöfnur með frádráttar- og samlagningarreglu jafnaðar – Fornám í stærðfræði, 2. útgáfa (IS) | Námsgögn
22 Tungumál algebrunnar
2.3 Leysa jöfnur með frádráttar- og samlagningarreglu jafnaðar
2.3 Leysa jöfnur með frádráttar- og samlagningarreglu jafnaðar
Námsmarkmið
Í lok þessa hluta eigið þið að geta:
Ákvarðað hvort tala sé lausn jöfnu
Sýnt frádráttarreglu jafnaðar með líkani
Leyst jöfnur með frádráttarreglu jafnaðar
Leyst jöfnur með samlagningarreglu jafnaðar
Þýtt orðalag yfir á algebrujöfnur
Þýtt yfir á jöfnu og leyst hana
Þegar sumir heyra orðið algebra hugsa þeir um að leysa jöfnur. Jöfnulausnir nýtast á ótal vegu í öllum starfs- og fræðigreinum. Í þessum kafla byrjum við að leysa jöfnur. Fyrst leysum við einfaldar jöfnur og byggjum síðan smám saman upp færni til að takast á við margar ólíkar gerðir jafna.
Ákvarða hvort tala sé lausn jöfnu
Að leysa jöfnu er eins og að finna lausn á þraut. Algebrujafna segir að tvær algebrustæður séu jafnar. Að leysa jöfnu felst í að finna þau gildi breytunnar sem gera jöfnuna að sannri staðhæfingu. Sérhver tala sem gerir jöfnuna sanna nefnist lausn jöfnunnar. Hún er svarið við þrautinni!
Að finna lausn jöfnu merkir að finna það gildi breytunnar sem gerir jöfnuna sanna. Getið þið borið kennsl á lausn jöfnunnar Ef þið sögðuð höfðuð þið rétt fyrir ykkur! Við segjum að sé lausn jöfnunnar því að þegar er sett inn fyrir verður staðhæfingin sönn.
Þar sem er sönn staðhæfing vitum við að er sannarlega lausn jöfnunnar.
Táknið spyr hvort vinstri hlið jöfnunnar sé jöfn hægri hliðinni. Þegar svarið liggur fyrir má skipta tákninu út fyrir jafnaðarmerki eða merkið fyrir ekki jafnt og
Dæmi 2.28
Ákvarðið hvort 𝑥=5er lausn 6𝑥−17=16.
Lausn
Margfaldið.
Dragið frá.
Því er ekki lausn jöfnunnar
Dæmi 2.29
Ákvarðið hvort 𝑦=2er lausn 6𝑦−4=5𝑦−2.
Lausn
Hér kemur breytan fyrir beggja vegna jafnaðarmerkisins. Við verðum að setja inn fyrir hvert
Margfaldið.
Dragið frá.
Þar sem gefur sanna jöfnu vitum við að er lausn jöfnunnar
Sýna frádráttarreglu jafnaðar með líkani
Við notum líkan til að auðvelda ykkur að skilja hvernig það að leysa jöfnu líkist því að leysa þraut. Umslag táknar breytuna, þar sem innihald þess er óþekkt, og hver talningarskífa táknar eina einingu.
Hugsum okkur að borði sé skipt í tvennt með ímyndaðri línu. Við setjum þrjár talningarskífur og umslag vinstra megin á borðið og átta talningarskífur hægra megin, eins og á mynd 2.3. Jafnmargar talningarskífur eru hvorum megin við línuna en nokkrar þeirra eru faldar í umslaginu. Getið þið sagt hve margar talningarskífur eru í umslaginu?
Hvaða skref takið þið í huganum til að finna hve margar talningarskífur eru í umslaginu? Kannski hugsið þið: „Ég þarf að fjarlægja talningarskífur vinstra megin svo umslagið standi eitt eftir. Þessum talningarskífum vinstra megin samsvara talningarskífur hægra megin og því get ég fjarlægt þær báðum megin. Þá standa fimm talningarskífur eftir hægra megin og því hljóta talningarskífur að vera í umslaginu.“ Mynd 2.4 sýnir þetta ferli.
Hvaða algebrujafna lýsir þessum aðstæðum? Hvor helmingur borðsins táknar stæðu og miðlínan kemur í stað jafnaðarmerkisins. Við táknum innihald umslagsins með og því er fjöldi talningarskífa vinstra megin á borðinu Hægra megin á borðinu eru talningarskífur. Okkur er sagt að sé jafnt og , svo jafnan er
Skrifum nú á algebrumáli skrefin sem við tókum til að finna hve margar talningarskífur voru í umslaginu.
Fyrst fjarlægðum við þrjár talningarskífur hvorum megin.
Þá stóðu fimm eftir.
Sannreynum nú lausnina. Við setjum inn fyrir í upphaflegu jöfnunni og athugum hvort við fáum sanna staðhæfingu.
Lausnin er rétt. Fimm talningarskífur í umslaginu og þrjár til viðbótar eru samtals átta.
Dæmi 2.30
Skrifið jöfnuna sem umslögin og talningarskífurnar sýna og leysið hana síðan:
Lausn
Vinstra megin skrifum við x fyrir innihald umslagsins og leggjum 4 talningarskífum við, svo við fáum x + 4.
𝑥 + 4 x + 4
Hægra megin eru 5 talningarskífur.
5 5
Hliðarnar tvær eru jafnar.
𝑥 + 4 = 5 x + 4 = 5
Leysið jöfnuna með því að draga 4 talningarskífur frá hvorri hlið.
Við sjáum að ein talningarskífa er í umslaginu. Með algebru má sýna þetta þannig:
Setjið inn fyrir í jöfnunni til að sannreyna lausnina.
Þar sem gerir staðhæfinguna sanna vitum við að er sannarlega lausn.
Leysa jöfnur með frádráttarreglu jafnaðar
Þrautin sýnir hvað við þurfum að gera til að leysa jöfnu. Markmiðið er að einangra breytuna öðrum megin við jafnaðarmerkið. Í fyrri dæmum notuðum við frádráttarreglu jafnaðar. Hún segir að jafnaðurinn haldist þegar sama stærð er dregin frá báðum hliðum jöfnu.
Hugsið um tvíburabræðurna Andy og Bobby. Þeir eru ára. Hve gamall var Andy fyrir árum? Hann var árum yngri en svo hann var eða Hvað með aldur Bobbys fyrir árum? Auðvitað var hann einnig ára. Þeir eru jafngamlir núna og þegar sama tala er dregin frá aldri þeirra beggja eru þeir einnig jafngamlir fyrir árum.
Dæmi 2.31
Leysið:
Lausn
Við notum frádráttarreglu jafnaðar til að einangra
Dragið 8 frá báðum hliðum.
Einfaldið.
Þar sem gerir að sannri staðhæfingu vitum við að er lausn jöfnunnar.
Dæmi 2.32
Leysið:
Lausn
Til að leysa jöfnu verðum við alltaf að einangra breytuna og þá skiptir ekki máli hvorum megin hún er. Til að einangra drögum við frá báðum hliðum.
Dragið 74 frá báðum hliðum.
Einfaldið.
Setjið 26 inn fyrir y til að sannreyna lausnina.
Þar sem gerir að sannri staðhæfingu höfum við fundið lausn jöfnunnar.
Leysa jöfnur með samlagningarreglu jafnaðar
Í öllum jöfnunum sem við höfum leyst hingað til var tala lögð við breytuna öðrum megin í jöfnunni. Við notuðum frádrátt til að „afturkalla“ samlagninguna og einangra breytuna.
En hugsum okkur jöfnu þar sem tala er dregin frá breytunni, til dæmis Við viljum einangra breytuna og því leggjum við töluna við báðar hliðar til að „afturkalla“ frádráttinn.
Við notum samlagningarreglu jafnaðar. Hún segir að leggja megi sömu tölu við báðar hliðar jöfnu án þess að jafnaðurinn breytist. Takið eftir að hún er hliðstæð frádráttarreglu jafnaðar.
Munið þið eftir tvíburunum Andy og Bobby? Eftir tíu ár verður aldur Andys enn jafn aldri Bobbys. Þá verða þeir báðir orðnir
Við getum lagt sömu tölu við báðar hliðar og jafnaðurinn helst samt.
Dæmi 2.33
Leysið:
Lausn
Við notum samlagningarreglu jafnaðar til að einangra breytuna.
Leggið 5 við báðar hliðar.
Einfaldið.
Dæmi 2.34
Leysið:
Lausn
Við leggjum við hvora hlið til að einangra breytuna.
Leggið 16 við hvora hlið.
Einfaldið.
Lausn jöfnunnar er
Þýða orðalag yfir á algebrujöfnur
Munið að jafnaðarmerki stendur á milli tveggja algebrustæða í jöfnu. Ef setning segir okkur að tvö orðasambönd tákni sömu stærð getum við því þýtt hana yfir á jöfnu. Við leitum að vísbendingarorðum sem merkja jafnt og. Meðal orða og orðasambanda sem þýða má með jafnaðarmerki eru:
er jafnt og
er það sama og
er
gefur
var
verður
Gagnlegt getur verið að setja ramma utan um orðið eða orðin sem merkja „jafnt og“ í setningunni. Þá getið þið einbeitt ykkur að hvoru orðalagi fyrir sig. Þýðið síðan hvort orðalag yfir á stæðu og skrifið stæðurnar sitt hvorum megin við jafnaðarmerkið.
Við æfum okkur í að þýða setningar yfir á algebrujöfnur. Sumar setningarnar eru einfaldar staðhæfingar um tölur án breytu sem þarf að leysa fyrir. Aðrar verða að jöfnum með breytum. Núna leggjum við aðeins áherslu á að þýða orðin yfir á algebru.
Dæmi 2.35
Þýðið setninguna yfir á algebrujöfnu: Summa talnanna og er
Lausn
Orðið „er“ segir okkur að jafnaðarmerkið standi á milli 9 og 15.
Finnið orðið eða orðin sem merkja „jafnt og“.
Skrifið jafnaðarmerkið =.
Þýðið orðin vinstra megin við orðið sem merkir „jafnt og“ yfir á algebrustæðu.
Þýðið orðin hægra megin við orðið sem merkir „jafnt og“ yfir á algebrustæðu.
Dæmi 2.36
Þýðið setninguna yfir á algebrujöfnu: Margfeldi talnanna og er
Lausn
Staðsetning orðsins „er“ segir okkur að jafnaðarmerkið standi á milli 7 og 56.
Finnið orðið eða orðin sem merkja „jafnt og“.
Skrifið jafnaðarmerkið =.
Þýðið orðin vinstra megin við orðið sem merkir „jafnt og“ yfir á algebrustæðu.
Þýðið orðin hægra megin við orðið sem merkir „jafnt og“ yfir á algebrustæðu.
Dæmi 2.37
Þýðið setninguna yfir á algebrujöfnu: Tvöfalt gildi mismunarins á og gefur
Lausn
Finnið orðið eða orðin sem merkja „jafnt og“.
Berið kennsl á lykilorðin og orðasamböndin: tvöfalt gildi; mismunurinn á ... og ....
Tvöfalt gildi merkir tvisvar sinnum gildið.
Þýðið.
Þýða yfir á jöfnu og leysa hana
Æfum okkur nú í að þýða setningar yfir á algebrujöfnur og leysa þær síðan. Við leysum jöfnurnar með frádráttarreglu og samlagningarreglu jafnaðar.
Dæmi 2.38
Þýðið og leysið: Þremur meira en er jafnt og
Lausn
Þremur meira en x er jafnt og 47.
Þýðið.
Dragið 3 frá báðum hliðum jöfnunnar.
Einfaldið.
Við getum sannreynt lausnina. Látum x = 44.
Því er lausnin.
Dæmi 2.39
Þýðið og leysið: Mismunur og er
Lausn
Mismunur y og 14 er 18.
Þýðið.
Leggið 14 við báðar hliðar.
Einfaldið.
Við getum sannreynt lausnina. Látum y = 32.
Því er lausnin.
Æfingar úr kafla 2.3
Æfingin skapar meistarann
Ákvarða hvort tala sé lausn jöfnu
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið ákvarða í hverju tilviki hvort gefið gildi sé lausn jöfnunnar.
147.
𝑥+13=21
ⓐ 𝑥 =8
ⓑ 𝑥 =34
148.
𝑦+18=25
ⓐ 𝑦 =7
ⓑ 𝑦 =43
149.
𝑚−4=13
ⓐ 𝑚 =9
ⓑ 𝑚 =17
150.
𝑛−9=6
ⓐ 𝑛 =3
ⓑ 𝑛 =15
151.
3𝑝+6=15
ⓐ 𝑝 =3
ⓑ 𝑝 =7
152.
8𝑞+4=20
ⓐ 𝑞 =2
ⓑ 𝑞 =3
153.
18𝑑−9=27
ⓐ 𝑑 =1
ⓑ 𝑑 =2
154.
24𝑓−12=60
ⓐ 𝑓 =2
ⓑ 𝑓 =3
155.
8𝑢−4=4𝑢+40
ⓐ 𝑢 =3
ⓑ 𝑢 =11
156.
7𝑣−3=4𝑣+36
ⓐ 𝑣 =3
ⓑ 𝑣 =11
157.
20ℎ−5=15ℎ+35
ⓐ ℎ =6
ⓑ ℎ =8
158.
18𝑘−3=12𝑘+33
ⓐ 𝑘=1
ⓑ 𝑘=6
Sýna frádráttarreglu jafnaðar með líkani
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið skrifa jöfnuna sem umslögin og talningarskífurnar sýna og leysa hana síðan með frádráttarreglu jafnaðar.
159.
160.
161.
162.
Leysa jöfnur með frádráttarreglu jafnaðar
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið leysa hverja jöfnu með frádráttarreglu jafnaðar.
163.
𝑎+2=18
164.
𝑏+5=13
165.
𝑝+18=23
166.
𝑞+14=31
167.
𝑟+76=100
168.
𝑠+62=95
169.
16=𝑥+9
170.
17=𝑦+6
171.
93=𝑝+24
172.
116=𝑞+79
173.
465=𝑑+398
174.
932=𝑐+641
Leysa jöfnur með samlagningarreglu jafnaðar
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið leysa hverja jöfnu með samlagningarreglu jafnaðar.
175.
𝑦−3=19
176.
𝑥−4=12
177.
𝑢−6=24
178.
𝑣−7=35
179.
𝑓−55=123
180.
𝑔−39=117
181.
19=𝑛−13
182.
18=𝑚−15
183.
10=𝑝−38
184.
18=𝑞−72
185.
268=𝑦−199
186.
204=𝑧−149
Þýða orðalag yfir á algebrujöfnur
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið þýða gefna setningu yfir á algebrujöfnu.
187.
Summa talnanna og er
188.
Summa talnanna og er
189.
Mismunur talnanna og er
190.
Mismunur talnanna og er
191.
Margfeldi talnanna og er
192.
Margfeldi talnanna og er
193.
Kvóti talnanna og er
194.
Kvóti talnanna og er
195.
Tvöfalt gildi mismunarins á og gefur
196.
Tvöfalt gildi mismunarins á og gefur
197.
Summa þrefalds gildis og er
198.
Summa áttfalds gildis og er
Þýða yfir á jöfnu og leysa hana
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið þýða gefna setningu yfir á algebrujöfnu og leysa hana síðan.
199.
Fimm meira en er jafnt og
200.
Níu meira en er jafnt og
201.
Summa og er
202.
Summa og er
203.
Mismunur og er
204.
Mismunur og er
205.
minna en er
206.
minna en er
207.
minna en gefur
208.
minna en gefur
Stærðfræði daglegs lífs
209.
Tryggingar: Bílatryggingin sem Vince er með felur í sér sjálfsábyrgð. Finnið upphæðina sem tryggingafélagið greiðir af tjónskröfu, með því að leysa jöfnuna
210.
Tryggingar: Heimilistrygging Mörtu felur í sér sjálfsábyrgð. Tryggingafélagið greiddi fyrir viðgerðir á skemmdum af völdum storms. Finnið heildarkostnaðinn vegna skemmdanna með því að leysa jöfnuna
211.
Útsölukaup: Arthur keypti jakkaföt á útsölu með afslætti. Hann greiddi fyrir jakkafötin. Finnið upphaflega verðið með því að leysa jöfnuna
212.
Útsölukaup: Rita keypti sófa á útsölu á Hún greiddi samtals að söluskatti meðtöldum. Finnið upphæð söluskattsins með því að leysa jöfnuna
Ritunaræfingar
213.
Er lausn jöfnunnar Hvernig vitið þið það?
214.
Skrifið jöfnuna með orðum. Búið síðan til orðadæmi sem samsvarar jöfnunni.
