8.1 Leysa jöfnur með frádráttar- og samlagningarreglu jafnaðar – Fornám í stærðfræði, 2. útgáfa (IS) | Námsgögn
88 Að leysa línulegar jöfnur
8.1 Leysa jöfnur með frádráttar- og samlagningarreglu jafnaðar
8.1 Leysa jöfnur með frádráttar- og samlagningarreglu jafnaðar
Námsmarkmið
Að loknum þessum hluta eigið þið að geta:
Leyst jöfnur með því að draga sömu tölu frá eða leggja sömu tölu við báðar hliðar
Leyst jöfnur sem þarf að einfalda
Þýtt yfir á jöfnu og leyst hana
Sett hagnýt verkefni fram með jöfnum og leyst þau
Nú er komið að því sem mörgum þykir áhugaverðast. Þið hafið náð tökum á undirstöðuatriðunum og getið hafist handa við eitt mikilvægasta viðfangsefni algebru: að leysa jöfnur. Notkunarmöguleikarnir eru óþrjótandi og ná til allra starfs- og fræðigreina. Færnin og aðferðirnar sem þið lærið hér efla einnig gagnrýna hugsun og hæfni til að leysa verkefni. Þetta er mikill ávinningur af stærðfræðinámi og mun nýtast ykkur í lífinu á fleiri vegu en þið sjáið ef til vill núna.
Leysið jöfnur með því að draga sömu tölu frá eða leggja sömu tölu við báðar hliðar
Við hófum að leysa jöfnur í fyrri köflum. Nokkuð er liðið síðan við unnum síðast með jöfnu og því rifjum við upp nokkur lykilatriði áður en lengra er haldið.
Við líktum því að leysa jöfnu við að finna lausn á gátu. Markmiðið er að finna það gildi eða þau gildi breytunnar sem gera báðar hliðar jöfnunnar jafnar. Sérhvert gildi breytunnar sem gerir jöfnuna sanna kallast lausn jöfnunnar. Það er svarið við gátunni.
Í fyrri köflum settum við fram skref til að ákvarða hvort gildi sé lausn. Við rifjum þau upp hér.
Dæmi 8.1
Ákvarðið hvort sé lausn jöfnunnar
Lausn
Margfaldið.
Leggið saman.
Þar sem gefur sanna jöfnu er lausn jöfnunnar
Við kynntum frádráttar- og samlagningarreglu jafnaðar í kaflanum Leysa jöfnur með frádráttar- og samlagningarreglu jafnaðar. Þar sýndum við með líkönum hvernig reglurnar virka og notuðum þær síðan til að leysa jöfnur með núlli og jákvæðum heiltölum. Við notuðum reglurnar aftur í hvert sinn sem nýtt talnakerfi var kynnt. Rifjum þær upp hér.
Þegar sama stærð er lögð við eða dregin frá báðum hliðum jöfnu helst jafnaðarmerkið í gildi.
Við kynntum frádráttarreglu jafnaðar áður með því að sýna jöfnur með umslögum og talningarskífum. Mynd 8.2 sýnir jöfnuna
Markmiðið er að einangra breytuna öðrum megin við jafnaðarmerkið. Við „tókum því burt“ frá báðum hliðum jöfnunnar og fengum lausnina
Sumir sjá fyrir sér vog, eins og á mynd 8.3, þegar þeir leysa jöfnur.
Stærðirnar sitt hvorum megin við jafnaðarmerkið í jöfnu eru jafnar, eða í jafnvægi. Rétt eins og á vog verður að gera það sama við hina hlið jöfnunnar og gert er við aðra hliðina til að halda jafnvæginu.
Rifjum upp hvernig frádráttar- og samlagningarregla jafnaðar er notuð til að leysa jöfnur. Við þurfum að einangra breytuna öðrum megin við jafnaðarmerkið. Við sannreynum lausnirnar með því að setja gildið inn í jöfnuna og ganga úr skugga um að fullyrðingin sé sönn.
Dæmi 8.2
Leysið:
Lausn
Til að einangra eyðum við frádrætti með samlagningarreglu jafnaðar.
Við „eyðum“ frádrætti 11 með því að leggja 11 við báðar hliðar.
Einfaldið.
Sannprófun:
Setjið inn x = 8 .
Þar sem gerir að sannri fullyrðingu vitum við að gildið er lausn jöfnunnar.
Í upphaflegu jöfnunni í dæminu á undan var dregið frá og því lögðum við við til að „eyða“ frádrættinum. Í næsta dæmi þurfum við að eyða samlagningu með frádráttarreglu jafnaðar.
Dæmi 8.3
Leysið:
Lausn
Dragið 4 frá báðum hliðum til að eyða samlagningunni.
Einfaldið.
Sannprófun:
Setjið inn m = −9 .
Lausn jöfnunnar m − 4 = −5 er m = −1 .
Rifjum nú upp hvernig jöfnur með brotum eru leystar.
Dæmi 8.4
Leysið:
Lausn
Notið samlagningarreglu jafnaðar.
Finnið minnsta samnefnarann til að leggja saman brotin hægra megin.
Í dæmunum hingað til höfum við getað einangrað breytuna með aðeins einni reikniaðgerð. Til að leysa margar jöfnur í algebru þarf fleiri skref. Yfirleitt þurfum við að einfalda aðra hlið jöfnunnar eða báðar áður en frádráttar- eða samlagningarreglu jafnaðar er beitt. Ávallt skal einfalda eins mikið og unnt er áður en reynt er að einangra breytuna.
Dæmi 8.6
Leysið:
Lausn
Vinstra megin í jöfnunni er stæða sem við ættum að einfalda áður en reynt er að einangra breytuna.
Endurraðið liðunum með víxlreglu samlagningar.
Sameinið samkynja liði.
Leggið 11 við báðar hliðar til að einangra x .
Einfaldið.
Sannprófun. Setjið x = 12 inn í upphaflegu jöfnuna.
Lausnin stenst sannprófun.
Dæmi 8.7
Leysið:
Lausn
Vinstra megin í jöfnunni er stæða sem við ættum að einfalda.
Beitið dreifireglunni vinstra megin.
Notið víxlregluna til að endurraða liðunum.
Sameinið samkynja liði.
Einangrið n með samlagningarreglu jafnaðar.
Einfaldið.
Sannprófun. Setjið n = 9 inn í upphaflegu jöfnuna. Lausnin stenst sannprófun.
Dæmi 8.8
Leysið:
Lausn
Báðum megin í jöfnunni eru stæður sem við ættum að einfalda áður en breytan er einangruð.
Dreifið þættinum vinstra megin og dragið frá hægra megin.
Notið víxlreglu samlagningar.
Sameinið samkynja liði.
Eyðið frádrættinum með samlagningarreglu jafnaðar.
Einfaldið.
Sannprófun. Setjið k = −7 . Lausnin stenst sannprófun.
Þýða yfir á jöfnu og leysa hana
Í fyrri köflum þýddum við setningar yfir á jöfnur. Fyrsta skrefið er að finna orðið eða orðin sem samsvara jafnaðarmerkinu. Tafla 8.1 rifjar upp nokkur orðasambönd sem samsvara jafnaðarmerkinu.
Jafnt og (=)
er
er jafnt og
er það sama og
niðurstaðan er
gefur
var
verður
Rifjum upp skrefin sem við notuðum til að þýða setningu yfir á jöfnu.
Nú erum við tilbúin að skoða dæmi.
Dæmi 8.9
Þýðið yfir á jöfnu og leysið: fimm meira en er jafnt og
Lausn
Þýðið.
Dragið 5 frá báðum hliðum.
Einfaldið.
Sannprófun: Er 26 fimm meira en 21? Lausnin stenst sannprófun.
Dæmi 8.10
Þýðið yfir á jöfnu og leysið: Mismunur og er
Lausn
Þýðið.
Einfaldið.
Sannprófun:
Lausnin stenst sannprófun.
Setjið hagnýt verkefni fram sem jöfnur og leysið þau
Í flestum hagnýtu verkefnunum sem við leystum áður gátum við fundið stærðina sem leitað var að með því að einfalda algebrustæðu. Nú notum við jöfnur til að leysa hagnýt verkefni. Við byrjum á að endursegja verkefnið í einni setningu, skilgreinum breytu og þýðum síðan setninguna yfir á jöfnu sem við leysum. Þegar breyta er valin er gott að nota bókstaf sem minnir á stærðina sem leitað er að.
Dæmi 8.11
Robles-fjölskyldan á tvo hunda, Buster og Chandler. Saman vega þeir pund.
Chandler vegur pund. Hve mikið vegur Buster?
Lausn
Lesið verkefnið vandlega.
Ákvarðið hvað þið eigið að finna og veljið breytu sem táknar það.
Hve mikið vegur Buster? Látum b = þyngd Busters
Skrifið setningu sem gefur upplýsingarnar sem þarf til að finna svarið.
Þyngd Busters að viðbættri þyngd Chandlers er 71 pund.
Við endursegjum verkefnið og setjum síðan inn gefnu upplýsingarnar.
Þyngd Busters að viðbættum 28 er 71.
Þýðið setninguna yfir á jöfnu og notið breytuna b .
Leysið jöfnuna með viðeigandi algebruaðferðum.
Sannreynið svarið út frá verkefninu og gangið úr skugga um að það sé skynsamlegt.
Er 43 pund eðlileg þyngd fyrir hund? Já. Er samanlögð þyngd Busters og Chandlers 71 pund?
4 3 + 2 8 ? = 7 1 43 + 28 = ? 71
7 1 = 7 1 ✓ 71 = 71 ✓
Skrifið heila setningu sem svarar spurningunni: „Hve mikið vegur Buster?“
Buster vegur 43 pund.
Dæmi 8.12
Shayla greiddi fyrir nýja bílinn sinn. Það var minna en listaverðið. Hvert var listaverð bílsins?
Lausn
Hvað eigið þið að finna?
„Hvert var listaverð bílsins?“
Skilgreinið breytu.
Látum s = listaverð bílsins.
Skrifið setningu sem gefur upplýsingarnar sem þarf til að finna svarið.
$24,575 er $875 minna en listaverðið $24,575 er $875 minna en s
Leysið jöfnur með því að draga sömu tölu frá eða leggja sömu tölu við báðar hliðar
Ákvarðið í eftirfarandi verkefnum hvort gefna gildið sé lausn jöfnunnar.
1.
Er lausn jöfnunnar
2.
Er lausn jöfnunnar
3.
Er lausn jöfnunnar
4.
Er lausn jöfnunnar
Leysið hverja jöfnu í eftirfarandi verkefnum.
5.
𝑥+7=12
6.
𝑦+5=−6
7.
𝑏+14=34
8.
𝑎+25=45
9.
𝑝+2.4=−9.3
10.
𝑚+7.9=11.6
11.
𝑎−3=7
12.
𝑚−8=−20
13.
𝑥−13=2
14.
𝑥−15=4
15.
𝑦−3.8=10
16.
𝑦−7.2=5
17.
𝑥−15=−42
18.
𝑧+5.2=−8.5
19.
𝑞+34=12
20.
𝑝−25=23
21.
𝑦−34=35
Leysa jöfnur sem þarf að einfalda
Leysið hverja jöfnu í eftirfarandi verkefnum.
22.
𝑐+3−10=18
23.
𝑚+6−8=15
24.
9𝑥+5−8𝑥+14=20
25.
6𝑥+8−5𝑥+16=32
26.
−6𝑥−11+7𝑥−5=−16
27.
−8𝑛−17+9𝑛−4=−41
28.
3(𝑦−5)−2𝑦=−7
29.
4(𝑦−2)−3𝑦=−6
30.
8(𝑢+1.5)−7𝑢=4.9
31.
5(𝑤+2.2)−4𝑤=9.3
32.
−5(𝑦−2)+6𝑦=−7+4
33.
−8(𝑥−1)+9𝑥=−3+9
34.
3(5𝑛−1)−14𝑛+9=1−2
35.
2(8𝑚+3)−15𝑚−4=3−5
36.
−(𝑗+2)+2𝑗−1=5
37.
−(𝑘+7)+2𝑘+8=7
38.
6𝑎−5(𝑎−2)+9=−11
39.
8𝑐−7(𝑐−3)+4=−16
40.
8(4𝑥+5)−5(6𝑥)−𝑥=53
41.
6(9𝑦−1)−10(5𝑦)−3𝑦=22
Þýða yfir á jöfnu og leysa hana
Þýðið yfir á jöfnu og leysið hana í eftirfarandi æfingum.
42.
Fimm meira en er jafnt og
43.
Summa og er
44.
Tíu minna en er
45.
Þremur minna en er
46.
Summa og er
47.
Átta meira en er jafnt og
48.
Mismunur og er
49.
Mismunur og er
50.
Mismunur og er
51.
Mismunur og er
52.
Summa og er
53.
Summa og er
Setjið hagnýt verkefni fram sem jöfnur og leysið þau
Setjið hvert eftirfarandi verkefni fram sem jöfnu og leysið hana.
54.
Pilar ók að heiman í skólann og síðan heim til frænku sinnar, alls mílur. Vegalengdin frá heimili Pilar í skólann er mílur. Hve langt er frá skólanum heim til frænku hennar?
55.
Jeff las alls blaðsíður í ensku- og sálfræðibókunum sínum. Hann las blaðsíður í enskubókinni. Hve margar blaðsíður las hann í sálfræðibókinni?
56.
Faðir Pablos er árum eldri en móðir hans. Móðir Pablos er ára. Hve gamall er faðir hans?
57.
Dóttir Evu er árum yngri en sonur hennar. Sonur Evu er ára. Hve gömul er dóttir hennar?
58.
Allie vegur pundum minna en tvíburasystir hennar, Lorrie. Allie vegur pund. Hve mikið vegur Lorrie?
59.
Fyrir afmæliskvöldverð fjölskyldunnar keypti Celeste kalkún sem vó pundum minna en kalkúnninn sem hún keypti fyrir þakkargjörðarhátíðina. Afmæliskalkúnninn vó pund. Hve mikið vó þakkargjörðarkalkúnninn?
60.
Hjúkrunarfræðingurinn sagði að dóttir Triciu hefði þyngst um pund frá síðustu skoðun og væri nú pund. Hve mikið vó dóttir Triciu við síðustu skoðun?
61.
Líkamshiti Connors var gráðum hærri í morgun en í gærkvöldi. Í morgun var hitinn gráður. Hver var líkamshiti hans í gærkvöldi?
62.
Stærðfræðibók Melissu kostaði minna en myndlistarbókin hennar. Stærðfræðibókin kostaði Hvað kostaði myndlistarbókin?
63.
Launaávísun Rons þessa viku var lægri en launaávísunin í síðustu viku. Launaávísunin þessa viku var Hve há var launaávísun Rons í síðustu viku?
Stærðfræði daglegs lífs
64.
Bakstur Kelsey þarf bolla af sykri í smákökuuppskriftina sem hún ætlar að nota. Hún á aðeins bolla af sykri og fær afganginn lánaðan hjá nágranna sínum. Látum tákna sykurmagnið sem hún fær lánað. Leysið jöfnuna til að finna hve mikinn sykur hún ætti að biðja um að fá lánaðan.
65.
Smíðar Miguel ætlar að bora gat fyrir skrúfu. Skrúfan á að vera úr tommu stærri en gatið. Látum tákna stærð gatsins sem hann á að bora. Leysið jöfnuna til að finna hve stórt gatið á að vera.
Ritunarverkefni
66.
Er lausn jöfnunnar Hvernig vitið þið það?
67.
Skrifið setningu sem samsvarar jöfnunni og búið síðan til hagnýtt verkefni þar sem jafnan er notuð við lausnina.
Sjálfsmat
ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hve vel þið hafið náð markmiðum hlutans.
ⓑ Ef flest gátmerkin ykkar voru við:
…örugglega. Til hamingju! Þið hafið náð markmiðum þessa kafla. Hugleiðið hvaða námsaðferðir þið notuðuð svo að þið getið haldið áfram að beita þeim. Hvað gerðuð þið til að öðlast fullvissu um að þið réðuð við þessi verkefni? Verið nákvæm.
…með nokkurri hjálp. Bregðast þarf fljótt við, því þau viðfangsefni sem þið hafið ekki náð tökum á geta orðið hindranir á leiðinni til árangurs. Í stærðfræði byggist hvert viðfangsefni á fyrra námi. Mikilvægt er að tryggja traustan grunn áður en lengra er haldið. Hvern getið þið beðið um hjálp? Samnemendur og kennari eru góðir ráðgjafar. Er hægt að fá aðstoð stærðfræðileiðbeinenda í skólanum? Getið þið bætt námsaðferðir ykkar?
…nei — ég skil þetta ekki! Þetta er viðvörunarmerki sem þið megið ekki hunsa. Leitið strax hjálpar, annars getur efnið fljótt orðið yfirþyrmandi. Ræðið stöðuna við kennarann eins fljótt og unnt er. Saman getið þið gert áætlun um þá aðstoð sem þið þurfið.
