88 Að leysa línulegar jöfnur

8.4 Leysa jöfnur með brota- eða tugabrotastuðlum

Námsmarkmið

Að loknum þessum hluta eigið þið að geta:

Leysa jöfnur með brotastuðlum
Leysa jöfnur með tugabrotastuðlum

Leysa jöfnur með brotastuðlum

Notum almennu aðferðina við lausn línulegra jafna sem kynnt var áður til að leysa jöfnuna $\frac{1}{8} x + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} .$


Dragið 1 2 1/2 xfrá báðum hliðum til 1/2að einangra 𝑥 x -liðinn.
Einfaldið vinstri hliðina.
Breytið föstu liðunum í jafngild brot með minnsta samnefnaranum.
Dragið frá.
Margfaldið báðar hliðar með margföldunarandhverfu 1 8 . 1/8 .
Einfaldið.

Þessi aðferð virkaði vel, en mörgum nemendum finnst erfitt að sjá öll þessi brot. Því sýnum við aðra aðferð til að leysa jöfnur með brotum. Með henni er brotunum eytt úr jöfnunni.

Við beitum reglunni um að margfalda báðar hliðar jöfnu með sömu tölu og margföldum báðar hliðar með minnsta samnefnara allra brotanna í jöfnunni. Þá fæst ný jafngild jafna án brota. Þetta ferli kallast að eyða brotum úr jöfnu. Leysum sömu jöfnu aftur, en notum nú þessa aðferð.

Dæmi 8.37

Leysið: $\frac{1}{8} x + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} .$

Lausn

Finnið minnsta samnefnara allra brotanna í jöfnunni.
Margfaldið báðar hliðar jöfnunnar með þessum minnsta samnefnara, 8. Þannig er brotunum eytt.
Beitið dreifireglunni.
Einfaldið. Athugið að nú eru engin brot eftir.
Leysið með almennu aðferðinni við lausn línulegra jafna.
Einfaldið.
Sannprófun: Setjið 𝑥 = − 2 x = −2 . x = −2

Athugið að eftir að brotunum var eytt úr jöfnunni í dæmi 8.37 varð hún eins og jöfnurnar sem við leystum fyrr í kaflanum. Við breyttum verkefninu í verkefni sem við kunnum þegar að leysa og beittum síðan almennu aðferðinni við lausn línulegra jafna.

Dæmi 8.38

Leysið: $7 = \frac{1}{2} x + \frac{3}{4} x - \frac{2}{3} x .$

Lausn

Við viljum eyða brotunum með því að margfalda báðar hliðar jöfnunnar með minnsta samnefnara allra brotanna.

Finnið minnsta samnefnara allra brotanna í jöfnunni.
Margfaldið báðar hliðar jöfnunnar með 12.
Beitið dreifireglu.
Einfaldið. Athugið að nú eru engin brot eftir.
Sameinið samkynja liði.
Deilið með 7.
Einfaldið.
Sannprófun: Setjið x = 12 .

Í næsta dæmi eru breytur og brot á báðum hliðum jöfnunnar.

Dæmi 8.39

Leysið: $x + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} x - \frac{1}{2} .$

Lausn

Finnið minnsta samnefnara allra brotanna í jöfnunni.
Margfaldið báðar hliðar með minnsta samnefnaranum.
Beitið dreifireglu.
Einfaldið. Nú eru engin brot eftir.
Dragið x frá báðum hliðum.
Einfaldið.
Dragið 2 frá báðum hliðum.
Einfaldið.
Deilið með 5.
Einfaldið.
Sannprófun: Setjið x = −1 .

Í dæmi 8.40 byrjum við á að beita dreifireglunni. Með því skrefi hverfa brotin strax.

Dæmi 8.40

Leysið: $1 = \frac{1}{2} (4 x + 2) .$

Lausn


Beitið dreifireglu.
Einfaldið. Nú þarf ekki að eyða neinum brotum.
Dragið 1 frá báðum hliðum.
Einfaldið.
Deilið með 2.
Einfaldið.
Sannprófun: Setjið x = 0 .

Oft eru enn brot eftir þótt dreifireglunni hafi verið beitt.

Dæmi 8.41

Solve: 12⁢(𝑦−5)=14⁢(𝑦−1). $\frac{1}{2} (y - 5) = \frac{1}{4} (y - 1) .$

Lausn


Beitið dreifireglu.
Einfaldið.
Margfaldið með minnsta samnefnaranum, 4.
Beitið dreifireglu.
Einfaldið.
Safnið y -liðunum vinstra megin.
Einfaldið.
Safnið föstu liðunum hægra megin.
Einfaldið.
Sannprófun: Setjið 9 inn fyrir y .

Leysa jöfnur með tugabrotastuðlum

Sumar jöfnur innihalda tugabrot. Slíkar jöfnur koma fyrir þegar við leysum verkefni um peninga og prósentur. Tugabrot eru þó aðeins önnur leið til að tákna almenn brot. Til dæmis er $0.3 = \frac{3}{10}$ og $0.17 = \frac{17}{100} .$ Þegar jafna inniheldur tugabrot getum við því beitt sömu aðferð og við notuðum til að eyða brotum: margfaldað báðar hliðar jöfnunnar með minnsta samnefnaranum.

Dæmi 8.42

Leysið: $0.8 x - 5 = 7 .$

Lausn

Eina tugabrotið í jöfnunni er $0.8 .$ Þar sem $0.8 = \frac{8}{10},$ er minnsti samnefnarinn $10 .$ Við getum margfaldað báðar hliðar með $10$ til að eyða tugabrotinu.


Margfaldið báðar hliðar með minnsta samnefnaranum.
Beitið dreifireglu.
Margfaldið. Athugið að nú eru engin tugabrot eftir.
Leggið 50 við báðar hliðar til að safna öllum föstum liðum hægra megin.
Einfaldið.
Deilið báðum hliðum með 8.
Einfaldið.
Sannprófun: Setjið x = 15 .

Dæmi 8.43

Leysið: $0.06 x + 0.02 = 0.25 x - 1.5 .$

Lausn

Skoðið tugabrotin og hugsið um jafngild almenn brot.

0.06=6100,0.02=2100,0.25=25100,1.5=1510 $0.06 = \frac{6}{100}, 0.02 = \frac{2}{100}, 0.25 = \frac{25}{100}, 1.5 = 1 \frac{5}{10}$

Athugið að minnsti samnefnarinn er $100 .$

Með því að margfalda með minnsta samnefnaranum eyðum við tugabrotunum.


Margfaldið báðar hliðar með 100.
Beitið dreifireglu.
Margfaldið. Nú eru engin tugabrot eftir.
Safnið breytuliðunum hægra megin.
Einfaldið.
Safnið föstu liðunum vinstra megin.
Einfaldið.
Deilið með 19.
Einfaldið.
Sannprófun: Setjið x = 8 .

Í næsta dæmi er jafna af því tagi sem við munum sjá í peningaverkefnum í næsta kafla. Athugið að við dreifum tugabrotinu fyrst og eyðum síðan öllum tugabrotum úr jöfnunni.

Dæmi 8.44

Solve: 0.25⁢𝑥+0.05⁢(𝑥+3)=2.85. $0.25 x + 0.05 (x + 3) = 2.85 .$

Lausn


Beitið dreifireglunni fyrst.
Sameinið samkynja liði.
Margfaldið með 100 til að eyða tugabrotunum.
Beitið dreifireglu.
Dragið 15 frá báðum hliðum.
Einfaldið.
Deilið með 30.
Einfaldið.
Sannprófun: Setjið x = 9 .

Æfingar úr kafla 8.4

Æfingin skapar meistarann

Leysa jöfnur með brotastuðlum

Leysið jöfnuna í eftirfarandi æfingum með því að eyða brotunum.

209.

14𝑥−12=−34 $\frac{1}{4} x - \frac{1}{2} = - \frac{3}{4}$

210.

34𝑥−12=14 $\frac{3}{4} x - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

211.

56𝑦−23=−32 $\frac{5}{6} y - \frac{2}{3} = - \frac{3}{2}$

212.

56𝑦−13=−76 $\frac{5}{6} y - \frac{1}{3} = - \frac{7}{6}$

213.

12𝑎+38=34 $\frac{1}{2} a + \frac{3}{8} = \frac{3}{4}$

214.

58𝑏+12=−34 $\frac{5}{8} b + \frac{1}{2} = - \frac{3}{4}$

215.

2=13𝑥−12𝑥+23𝑥 $2 = \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} x + \frac{2}{3} x$

216.

2=35𝑥−13𝑥+25𝑥 $2 = \frac{3}{5} x - \frac{1}{3} x + \frac{2}{5} x$

217.

14𝑚−45𝑚+12𝑚=−1 $\frac{1}{4} m - \frac{4}{5} m + \frac{1}{2} m = −1$

218.

56𝑛−14𝑛−12𝑛=−2 $\frac{5}{6} n - \frac{1}{4} n - \frac{1}{2} n = −2$

219.

𝑥+12=23𝑥−12 $x + \frac{1}{2} = \frac{2}{3} x - \frac{1}{2}$

220.

𝑥+34=12𝑥−54 $x + \frac{3}{4} = \frac{1}{2} x - \frac{5}{4}$

221.

13𝑤+54=𝑤−14 $\frac{1}{3} w + \frac{5}{4} = w - \frac{1}{4}$

222.

32𝑧+13=𝑧−23 $\frac{3}{2} z + \frac{1}{3} = z - \frac{2}{3}$

223.

12𝑥−14=112𝑥+16 $\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} = \frac{1}{12} x + \frac{1}{6}$

224.

12𝑎−14=16𝑎+112 $\frac{1}{2} a - \frac{1}{4} = \frac{1}{6} a + \frac{1}{12}$

225.

13𝑏+15=25𝑏−35 $\frac{1}{3} b + \frac{1}{5} = \frac{2}{5} b - \frac{3}{5}$

226.

13𝑥+25=15𝑥−25 $\frac{1}{3} x + \frac{2}{5} = \frac{1}{5} x - \frac{2}{5}$

227.

1=16⁢(12⁢𝑥−6) $1 = \frac{1}{6} (12 x - 6)$

228.

1=15⁢(15⁢𝑥−10) $1 = \frac{1}{5} (15 x - 10)$

229.

14⁢(𝑝−7)=13⁢(𝑝+5) $\frac{1}{4} (p - 7) = \frac{1}{3} (p + 5)$

230.

15⁢(𝑞+3)=12⁢(𝑞−3) $\frac{1}{5} (q + 3) = \frac{1}{2} (q - 3)$

231.

12⁢(𝑥+4)=34 $\frac{1}{2} (x + 4) = \frac{3}{4}$

232.

13⁢(𝑥+5)=56 $\frac{1}{3} (x + 5) = \frac{5}{6}$

Leysa jöfnur með tugabrotastuðlum

Leysið jöfnuna í eftirfarandi æfingum með því að eyða tugabrotunum.

233.

0.6⁢𝑦+3=9 $0.6 y + 3 = 9$

234.

0.4⁢𝑦−4=2 $0.4 y - 4 = 2$

235.

3.6⁢𝑗−2=5.2 $3.6 j - 2 = 5.2$

236.

2.1⁢𝑘+3=7.2 $2.1 k + 3 = 7.2$

237.

0.4⁢𝑥+0.6=0.5⁢𝑥−1.2 $0.4 x + 0.6 = 0.5 x - 1.2$

238.

0.7⁢𝑥+0.4=0.6⁢𝑥+2.4 $0.7 x + 0.4 = 0.6 x + 2.4$

239.

0.23⁢𝑥+1.47=0.37⁢𝑥−1.05 $0.23 x + 1.47 = 0.37 x - 1.05$

240.

0.48⁢𝑥+1.56=0.58⁢𝑥−0.64 $0.48 x + 1.56 = 0.58 x - 0.64$

241.

0.9⁢𝑥−1.25=0.75⁢𝑥+1.75 $0.9 x - 1.25 = 0.75 x + 1.75$

242.

1.2⁢𝑥−0.91=0.8⁢𝑥+2.29 $1.2 x - 0.91 = 0.8 x + 2.29$

243.

0.05⁢𝑛+0.10⁢(𝑛+8)=2.15 $0.05 n + 0.10 (n + 8) = 2.15$

244.

0.05⁢𝑛+0.10⁢(𝑛+7)=3.55 $0.05 n + 0.10 (n + 7) = 3.55$

245.

0.10⁢𝑑+0.25⁢(𝑑+5)=4.05 $0.10 d + 0.25 (d + 5) = 4.05$

246.

0.10⁢𝑑+0.25⁢(𝑑+7)=5.25 $0.10 d + 0.25 (d + 7) = 5.25$

247.

0.05⁢(𝑞−5)+0.25⁢𝑞=3.05 $0.05 (q - 5) + 0.25 q = 3.05$

248.

0.05⁢(𝑞−8)+0.25⁢𝑞=4.10 $0.05 (q - 8) + 0.25 q = 4.10$

Stærðfræði daglegs lífs

249.

Mynt Taylor á $$2.00$ í tíu senta og eins senta myntum. Eins senta myntirnar eru $2$ fleiri en tíu senta myntirnar. Leysið jöfnuna $0.10 d + 0.01 (d + 2) = 2$ með tilliti til $d,$ fjölda tíu senta mynta.

250.

Frímerki Travis keypti frímerki að verðmæti $$9.45$ . Um var að ræða $49 senta$ frímerki og $21 senta$ frímerki. Fjöldi $21 senta$ frímerkja var $5$ færri en fjöldi $49 senta$ frímerkja. Leysið jöfnuna $0.49 s + 0.21 (s - 5) = 9.45$ með tilliti til $s,$ til að finna fjölda $49 senta$ frímerkja sem Travis keypti.

Ritunarverkefni

251.

Útskýrið hvernig finna má minnsta samnefnara $\frac{3}{8}, \frac{1}{6}, og \frac{2}{3} .$

252.

Ef jafna inniheldur mörg brot, hvernig auðveldar það lausnina að margfalda báðar hliðar með minnsta samnefnaranum?

253.

Ef brot eru aðeins öðrum megin í jöfnu, hvers vegna þarf samt að margfalda báðar hliðar jöfnunnar með minnsta samnefnaranum?

254.

Hver er minnsti samnefnarinn í jöfnunni $0.35 x + 2.1 = 3.85,$ og hvernig vitið þið það?

Sjálfsmat

ⓐ Að verkefnunum loknum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hve góðum tökum þið hafið náð á markmiðum hlutans.

ⓑ Þegar þið lítið á gátlistann í heild, teljið þið ykkur vel undirbúin fyrir næsta kafla? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?