1010 Tilgátuprófun með tveimur úrtökum

10.1 Tvö þýðismeðaltöl með óþekktum staðalfrávikum

Óháðu úrtökin tvö eru einföld slembiúrtök úr tveimur aðskildum þýðum.
Ef úrtaksstærðirnar eru litlar skipta dreifingar þýðanna máli og ættu að vera normaldreifðar; ef úrtaksstærðirnar eru stórar skipta dreifingarnar ekki máli og þurfa ekki að vera normaldreifðar.

Prófið sem ber saman tvö óháð þýðismeðaltöl þegar staðalfrávik þýðanna eru óþekkt og hugsanlega ójöfn kallast Aspin-Welch-t-próf. Formúlan fyrir frígráður var þróuð af Aspin og Welch.

Samanburður tveggja þýðismeðaltala er mjög algengur. Munur á úrtökunum tveimur ræðst bæði af meðaltölum og staðalfrávikum. Mjög ólík meðaltöl geta komið fram fyrir tilviljun ef mikill breytileiki er í einstökum úrtökum. Til að taka tillit til breytileikans tökum við mismun úrtaksmeðaltalanna, x̄1 − x̄2, og deilum með staðalskekkjunni til að staðla mismuninn. Niðurstaðan er t-gildi sem prófstærð.

Þar sem staðalfrávik þýðanna eru óþekkt metum við þau með staðalfrávikum óháðu úrtakanna tveggja. Í tilgátuprófinu reiknum við metið staðalfrávik, eða staðalskekkju, fyrir mismun úrtaksmeðaltalanna, x̄1 − x̄2.

Staðalskekkjan er reiknuð svona:

\sqrt{\frac{(s_{1})^{2}}{n_{1}} + \frac{(s_{2})^{2}}{n_{2}}}

10.1

Prófstærðin, t-gildið, er reiknuð svona:

\frac{({\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2}) - (μ_{1} - μ_{2})}{\sqrt{\frac{{(s_{1})}^{2}}{n_{1}} + \frac{{(s_{2})}^{2}}{n_{2}}}}

þar sem

s₁ og s₂, staðalfrávik úrtakanna, eru möt á σ1 og σ2, í þessari röð;
σ1 og σ2 eru óþekkt staðalfrávik þýðanna;
x̄1 og x̄2 eru úrtaksmeðaltölin;
μ1 og μ2 eru þýðismeðaltölin.

Fjöldi frígráða (df) krefst nokkuð flókins útreiknings. Tölva eða reiknivél reiknar hann þó auðveldlega. Frígráðurnar eru ekki alltaf heil tala. Prófstærðin hér að ofan er nálguð með t-dreifingu Students með eftirfarandi frígráðum:

Frígráður

d f = \frac{{(\frac{{(s_{1})}^{2}}{n_{1}} + \frac{{(s_{2})}^{2}}{n_{2}})}^{2}}{(\frac{1}{n_{1} - 1}) {(\frac{{(s_{1})}^{2}}{n_{1}})}^{2} + (\frac{1}{n_{2} - 1}) {(\frac{{(s_{2})}^{2}}{n_{2}})}^{2}}

Þegar báðar úrtaksstærðirnar, n₁ og n₂, eru fimm eða stærri er nálgunin með t-dreifingu Students mjög góð. Athugaðu að úrtaksdreifnirnar (s₁)² og (s₂)² eru ekki samvegnar. Ef spurningin vaknar: ekki sameina dreifnirnar.

Það er ekki nauðsynlegt að reikna þetta í höndunum. Reiknivél eða tölva finnur gildið auðveldlega.

Dæmi 10.1

Óháðir hópar

Talið er að strákar og stelpur á aldrinum 7 til 11 ára verji að meðaltali jafn löngum tíma á dag í íþróttir. Rannsókn er gerð og gögnin í töflu 10.1 fást. Hvort þýði er normaldreift.

Tafla 10.1
	Úrtaksstærð	Meðalfjöldi klukkustunda í íþróttum á dag	Staðalfrávik úrtaks
Stelpur	9	2	0,866
Strákar	16	3,2	1,00

Verkefni

Er munur á meðaltíma sem strákar og stelpur á aldrinum 7 til 11 ára verja daglega í íþróttir? Prófaðu við 5 prósenta marktektarstig.

Lausn

Staðalfrávik þýðanna eru ekki þekkt. Látum g vera vísi fyrir stelpur og b vera vísi fyrir stráka. Þá er μg þýðismeðaltal stelpna og μb þýðismeðaltal stráka. Þetta er próf fyrir tvo óháða hópa, tvö þýðismeðaltöl.

Slembibreytan er x̄g − x̄b, mismunur á úrtaksmeðaltíma sem stelpur og strákar verja daglega í íþróttir.

H₀: μg = μb
H₀: μg − μb = 0
Hₐ: μg ≠ μb
Hₐ: μg − μb ≠ 0

Orðin „jafn löngum tíma“ segja þér að H₀ inniheldur jafnaðarmerki. Þar sem engin önnur orð vísa sérstaklega til Hₐ er gert ráð fyrir að gagntilgátan segi að meðaltölin séu ólík. Þetta er tvíhliða próf.

Dreifing prófsins: Notaðu tdf, þar sem df er reiknað með frígráðuformúlunni fyrir óháða hópa og tvö þýðismeðaltöl. Með reiknivél fæst df ≈ 18,8462. Ekki sameina dreifnirnar.

Reiknaðu p-gildið með t-dreifingu Students: p-gildi = 0,0054.

Graf:

This is a normal distribution curve representing the difference in the average amount of time girls and boys play sports all day. The mean is equal to zero, and the values -1.2, 0, and 1.2 are labeled on the horizontal axis. Two vertical lines extend from -1.2 and 1.2 to the curve. The region to the left of x = -1.2 and the region to the right of x = 1.2 are shaded to represent the p-value. The area of each region is 0.0028.

sg = 0,866 og sb = 1. Því er x̄g − x̄b = 2 − 3,2 = −1,2. Helmingur p-gildisins er neðan við −1,2 og helmingur þess er ofan við 1,2.

Ákvörðun: Þar sem α > p-gildi höfnum við H₀. Það merkir að við höfnum μg = μb. Meðaltölin eru ólík.

Notkun TI-83, TI-83+, TI-84 og TI-84+ reiknivélar

Ýttu á STAT. Farðu með örvunum að TESTS og ýttu á 4:2-SampTTest. Farðu að Stats og ýttu á ENTER. Færðu inn 2 fyrir fyrsta úrtaksmeðaltalið, 0,866 fyrir Sx1, 9 fyrir n1, 3,2 fyrir annað úrtaksmeðaltalið, 1 fyrir Sx2 og 16 fyrir n2. Farðu niður að μ1: og veldu „does not equal μ2“. Ýttu á ENTER. Farðu niður að Pooled: og veldu No. Ýttu á ENTER. Farðu niður að Calculate og ýttu á ENTER. p-gildið er p = 0,0054, frígráðurnar eru um það bil 18,8462 og prófstærðin er −3,14. Endurtaktu ferlið, en veldu Draw í stað Calculate.

Niðurstaða: Við 5 prósenta marktektarstig sýna úrtaksgögnin nægar vísbendingar til að álykta að meðalfjöldi klukkustunda á dag sem stelpur og strákar á aldrinum 7 til 11 ára verja í íþróttir sé ólíkur.

Reyndu sjálf/ur 10.1

Tvö úrtök eru sýnd í töflu 10.2. Bæði eru normaldreifð. Talið er að meðaltöl þýðanna tveggja séu þau sömu. Er munur á meðaltölunum? Prófaðu við 5 prósenta marktektarstig.

Tafla 10.2
	Úrtaksstærð	Úrtaksmeðaltal	Staðalfrávik úrtaks
Þýði A	25	5	1
Þýði B	16	4,7	1,2

Dæmi 10.2

Samfélagshópur rannsakar tvo nálæga framhaldsskóla til að kanna hvor útskrifar nemendur sem hafa tekið fleiri stærðfræðinámskeið. Í skóla A eru 11 útskrifaðir nemendur valdir í úrtak. Meðaltal þeirra er 4 stærðfræðinámskeið og staðalfrávikið er 1,5 námskeið. Í skóla B eru níu útskrifaðir nemendur valdir í úrtak. Meðaltal þeirra er 3,5 stærðfræðinámskeið og staðalfrávikið er 1 námskeið. Samfélagshópurinn telur að nemandi sem útskrifast úr skóla A hafi að meðaltali tekið fleiri stærðfræðinámskeið. Bæði þýði eru normaldreifð. Prófaðu við 1 prósents marktektarstig.

Er þetta próf fyrir tvö meðaltöl eða tvö hlutföll? Lausn: tvö meðaltöl.
Eru staðalfrávik þýðanna þekkt eða óþekkt? Lausn: óþekkt.
Hvaða dreifingu notar þú til að framkvæma prófið? Lausn: t-dreifingu Students.
Hver er slembibreytan? Lausn: x̄A − x̄B.
Hverjar eru núlltilgátan og gagntilgátan? Lausn: H₀: μA ≤ μB og Hₐ: μA > μB.
Er prófið hægrihliða, vinsturhliða eða tvíhliða? Lausn: hægrihliða.
Hvert er p-gildið? Lausn: 0,1928.
Hafnar þú núlltilgátunni eða ekki? Lausn: við höfnum ekki núlltilgátunni.
Niðurstaða: Við 1 prósents marktektarstig gefa úrtaksgögnin ekki nægar vísbendingar til að álykta að nemandi sem útskrifast úr skóla A hafi að meðaltali tekið fleiri stærðfræðinámskeið en nemandi sem útskrifast úr skóla B.

This is a normal distribution curve with mean equal to 0. A vertical line near the tail of the curve to the right of zero extends from the axis to the curve. The region under the curve to the right of the line is shaded.

Reyndu sjálf/ur 10.2

Rannsókn er gerð til að kanna hvort fyrirtæki A haldi starfsfólki sínu lengur en fyrirtæki B. Fyrirtæki A velur 15 starfsmenn í úrtak og meðalstarfstími þeirra hjá fyrirtækinu er 5 ár með staðalfrávikinu 1,2. Fyrirtæki B velur 20 starfsmenn í úrtak og meðalstarfstími þeirra hjá fyrirtækinu er 4,5 ár með staðalfrávikinu 0,8. Þýðin eru normaldreifð.

Eru staðalfrávik þýðanna þekkt?
Framkvæmdu viðeigandi tilgátupróf. Hver er niðurstaðan við 5 prósenta marktektarstig?

Dæmi 10.3

Kennari við stóran samfélagsháskóla vildi kanna hvort munur væri á meðaltali lokaprófseinkunna milli nemenda sem tóku tölfræðinámskeiðið á netinu og nemenda sem tóku það í staðnámi. Hann taldi að meðaltal lokaprófseinkunna í nethópnum yrði lægra en í staðnámshópnum. Hafði kennarinn rétt fyrir sér? Þrjátíu lokaprófseinkunnir, valdar af handahófi úr hvorum hópi, eru sýndar í töflum 10.3 og 10.4.

Tafla 10.3
67,6	41,2	85,3	55,9	82,4	91,2	73,5	94,1	64,7	64,7
70,6	38,2	61,8	88,2	70,6	58,8	91,2	73,5	82,4	35,5
94,1	88,2	64,7	55,9	88,2	97,1	85,3	61,8	79,4	79,4

Tafla 10.4
77,9	95,3	81,2	74,1	98,8	88,2	85,9	92,9	87,1	88,2
69,4	57,6	69,4	67,1	97,6	85,9	88,2	91,8	78,8	71,8
98,8	61,2	92,9	90,6	97,6	100	95,3	83,5	92,9	89,4

Verkefni

Er meðaltal lokaprófseinkunna nethópsins lægra en meðaltal lokaprófseinkunna staðnámshópsins? Prófaðu við 5 prósenta marktektarstig og svaraðu spurningunum.

Er þetta próf fyrir tvö meðaltöl eða tvö hlutföll?
Eru staðalfrávik þýðanna þekkt eða óþekkt?
Hvaða dreifingu notar þú til að framkvæma prófið?
Hver er slembibreytan?
Hverjar eru núlltilgátan og gagntilgátan? Skrifaðu þær bæði í orðum og með táknum.
Er prófið hægrihliða, vinsturhliða eða tvíhliða?
Hvert er p-gildið?
Hafnar þú núlltilgátunni eða ekki?
Við _____ marktektarstig sýna úrtaksgögnin að ______ nægar vísbendingar séu til að álykta að ______.

Notkun TI-83, TI-83+, TI-84 og TI-84+ reiknivélar

Settu fyrst gögn hvors hóps í tvo lista, til dæmis L1 og L2. Ýttu á STAT. Farðu með örvunum að TESTS og ýttu á 4:2SampTTest. Gakktu úr skugga um að Data sé valið og ýttu á ENTER. Farðu niður og færðu inn L1 fyrir fyrsta listann og L2 fyrir annan listann. Farðu niður að μ1: og veldu < μ2. Ýttu á ENTER. Farðu niður að Pooled: No. Ýttu á ENTER. Farðu niður að Calculate og ýttu á ENTER.

Lausn

tvö meðaltöl
óþekkt
t-dreifing Students
x̄1 − x̄2
H₀: μ1 = μ2. Núlltilgáta: Meðaltöl lokaprófseinkunna eru jöfn í net- og staðnámshópnum. Hₐ: μ1 < μ2. Gagntilgáta: Meðaltal lokaprófseinkunna nethópsins er lægra en meðaltal lokaprófseinkunna staðnámshópsins.
vinsturhliða
p-gildi = 0,0011
Höfnum núlltilgátunni.
Kennarinn hafði rétt fyrir sér. Gögnin sýna að meðaltal lokaprófseinkunna nethópsins er lægra en meðaltal lokaprófseinkunna staðnámshópsins. Við 5 prósenta marktektarstig sýna úrtaksgögnin nægar vísbendingar til að álykta að meðaltal lokaprófseinkunna nethópsins sé lægra en meðaltal lokaprófseinkunna staðnámshópsins.

This is a normal distribution curve with mean equal to zero. A vertical line near the tail of the curve to the left of zero extends from the axis to the curve. The region under the curve to the left of the line is shaded representing p-value = 0.0011.

Viðmið Cohens fyrir litlar, miðlungs og stórar áhrifastærðir

Cohen’s d er mælikvarði á áhrifastærð sem byggist á mun tveggja meðaltala. Cohen’s d, kennt við bandaríska tölfræðinginn Jacob Cohen, mælir hlutfallslegan styrk munarins á meðaltölum tveggja þýða út frá úrtaksgögnum. Reiknuð áhrifastærð er síðan borin saman við viðmið Cohens fyrir litlar, miðlungs og stórar áhrifastærðir.

Tafla 10.5
Áhrifastærð	Cohen’s d
Lítil	0,2
Miðlungs	0,5
Stór	0,8

Cohen’s d er munur tveggja meðaltala deilt með sameinuðu staðalfráviki:

d = \frac{{\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2}}{s_{pooled}}

s_{pooled} = \sqrt{\frac{(n_{1} - 1) s_{1}^{2} + (n_{2} - 1) s_{2}^{2}}{n_{1} + n_{2} - 2}}

Dæmi 10.4

Verkefni

Reiknaðu Cohen’s d fyrir dæmi 10.2. Er áhrifastærðin lítil, miðlungs eða stór? Útskýrðu hvað áhrifastærðin merkir í þessu verkefni.

Lausn

μ1 = 4, s₁ = 1,5, n₁ = 11, μ2 = 3,5, s₂ = 1 og n₂ = 9. Þá fæst d = 0,384. Áhrifin eru lítil vegna þess að 0,384 liggur á milli gildis Cohens fyrir litla áhrifastærð, 0,2, og miðlungs áhrifastærð, 0,5. Munurinn á meðaltölum skólanna tveggja er lítill, sem bendir til þess að ekki sé marktækur munur á þeim.

Dæmi 10.5

Verkefni

Reiknaðu Cohen’s d fyrir dæmi 10.3. Er áhrifastærðin lítil, miðlungs eða stór? Útskýrðu hvað áhrifastærðin merkir í þessu verkefni.

Lausn

d = 0,834. Áhrifastærðin er stór vegna þess að 0,834 er hærra en viðmið Cohens, 0,8, fyrir stóra áhrifastærð. Munurinn á meðaltölum lokaprófseinkunna netnemenda og nemenda í staðnámi er stór, sem bendir til marktæks munar.

Reyndu sjálf/ur 10.5

Vegið alfa er mælikvarði á áhættuleiðrétta ávöxtun hlutabréfa yfir eins árs tímabil. Hátt jákvætt vegið alfa gefur til kynna hlutabréf sem hefur hækkað í verði, en lítið jákvætt vegið alfa gefur til kynna óbreytt hlutabréfaverð á tímabilinu. Vegið alfa er notað til að greina fyrirtæki með sterkar hækkunar- eða lækkunarleitnir. Vegið alfa fyrir 30 efstu hlutabréf banka í Norðausturhluta Bandaríkjanna og í Vesturhluta Bandaríkjanna, samkvæmt Nasdaq 24. maí 2013, er sýnt í töflum 10.6 og 10.7.

Tafla 10.6
94,2	75,2	69,6	52,0	48,0	41,9	36,4	33,4	31,5	27,6
77,3	71,9	67,5	50,6	46,2	38,4	35,2	33,0	28,7	26,5
76,3	71,7	56,3	48,7	43,2	37,6	33,7	31,8	28,5	26,0

Tafla 10.7
126,0	70,6	65,2	51,4	45,5	37,0	33,0	29,6	23,7	22,6
116,1	70,6	58,2	51,2	43,2	36,0	31,4	28,7	23,5	21,6
78,2	68,2	55,6	50,3	39,0	34,1	31,0	25,3	23,4	21,5

Er munur á vegnu alfa 30 efstu hlutabréfa banka í Norðausturhlutanum og Vesturhlutanum? Prófaðu við 5 prósenta marktektarstig og svaraðu eftirfarandi spurningum:

Er þetta próf fyrir tvö meðaltöl eða tvö hlutföll?
Eru staðalfrávik þýðanna þekkt eða óþekkt?
Hvaða dreifingu notar þú til að framkvæma prófið?
Hver er slembibreytan?
Hverjar eru núlltilgátan og gagntilgátan? Skrifaðu þær bæði í orðum og með táknum.
Er prófið hægrihliða, vinsturhliða eða tvíhliða?
Hvert er p-gildið?
Hafnar þú núlltilgátunni eða ekki?
Við _____ marktektarstig sýna úrtaksgögnin að ______ nægar vísbendingar séu til að álykta að ______.
Reiknaðu Cohen’s d og túlkaðu niðurstöðuna.