1010 Tilgátuprófun með tveimur úrtökum

10.2 Tvö þýðismeðaltöl með þekktum staðalfrávikum

Þótt þessi staða sé ólíkleg í reynd, það er að staðalfrávik þýðanna séu þekkt, sýnir eftirfarandi dæmi tilgátuprófun fyrir óháð meðaltöl þegar staðalfrávik þýðanna eru þekkt. Úrtakadreifing mismunar meðaltalanna er normaldreifð og bæði þýði verða að vera normaldreifð. Slembibreytan er X̄1 − X̄2.
Normaldreifingin hefur eftirfarandi form:
${\bar{X}}_{1} - {\bar{X}}_{2} ~ N [μ_{1} - μ_{2}, \sqrt{\frac{{(σ_{1})}^{2}}{n_{1}} + \frac{{(σ_{2})}^{2}}{n_{2}}}] .$
Staðalfrávik úrtakadreifingar mismunarins er:
$\sqrt{\frac{{(σ_{1})}^{2}}{n_{1}} + \frac{{(σ_{2})}^{2}}{n_{2}}} .$
10.2
z-prófstærðin er:
$z = \frac{({\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2}) - (μ_{1} - μ_{2})}{\sqrt{\frac{{(σ_{1})}^{2}}{n_{1}} + \frac{{(σ_{2})}^{2}}{n_{2}}}} .$

Dæmi 10.6

Óháðir hópar, staðalfrávik þýða þekkt

Bera á saman meðallíftíma tveggja keppinauta í gólfvaxi. Tuttugu gólfum er úthlutað af handahófi til að prófa hvort vax. Bæði þýði eru normaldreifð. Gögnin eru skráð í töflu 10.8.

Tafla 10.8
Vax	Úrtaksmeðaltal fjölda mánaða sem gólfvax endist	Staðalfrávik þýðis
1	3	0,33
2	2,9	0,36

Verkefni

Benda gögnin til þess að vax 1 sé áhrifaríkara en vax 2? Prófaðu við 5 prósenta marktektarstig.

Lausn

Þetta er próf fyrir tvo óháða hópa, tvö þýðismeðaltöl, þar sem staðalfrávik þýðanna eru þekkt.

Slembibreytan er X̄1 − X̄2, mismunur á meðalfjölda mánaða sem keppinautarnir í gólfvaxi endast.

H₀: μ1 ≤ μ2
Hₐ: μ1 > μ2

Orðin „áhrifaríkara“ segja að vax 1 endist að meðaltali lengur en vax 2. „Lengur“ samsvarar tákninu > og fer í Hₐ. Þess vegna er þetta hægrihliða próf.

Dreifing prófsins: Staðalfrávik þýðanna eru þekkt og því er dreifingin normaldreifing. Með formúlunni fæst:

{\bar{X}}_{1} - {\bar{X}}_{2} \sim N (0, \sqrt{\frac{{0,33}^{2}}{20} + \frac{{0,36}^{2}}{20}})

Þar sem μ1 ≤ μ2 er μ1 − μ2 ≤ 0 og meðaltal normaldreifingarinnar er núll.

Reiknað með normaldreifingu fæst p-gildi = 0,1799.

Graf:

This is a normal distribution curve with mean equal to zero. The values 0 and 0.1 are labeled on the horiztonal axis. A vertical line extends from 0.1 to the curve. The region under the curve to the right of the line is shaded to represent p-value = 0.1799.

X̄1 − X̄2 = 3 − 2,9 = 0,1.

Berðu saman α og p-gildið: α = 0,05 og p-gildi = 0,1799. Því er α < p-gildi.

Ákvörðun: Þar sem α < p-gildi höfnum við ekki H₀.

Niðurstaða: Við 5 prósenta marktektarstig gefa úrtaksgögnin ekki nægar vísbendingar til að álykta að meðalending vax 1 sé lengri, það er að vax 1 sé áhrifaríkara, en meðalending vax 2.

Notkun TI-83, TI-83+, TI-84 og TI-84+ reiknivélar

Ýttu á STAT. Farðu með örvunum að TESTS og ýttu á 3:2-SampZTest. Farðu að Stats og ýttu á ENTER. Farðu niður og færðu inn 0,33 fyrir sigma1, 0,36 fyrir sigma2, 3 fyrir fyrsta úrtaksmeðaltalið, 20 fyrir n1, 2,9 fyrir annað úrtaksmeðaltalið og 20 fyrir n2. Farðu niður að μ1: og veldu > μ2. Ýttu á ENTER. Farðu niður að Calculate og ýttu á ENTER. p-gildið er p = 0,1799 og prófstærðin er 0,9157. Endurtaktu ferlið, en veldu Draw í stað Calculate.

Reyndu sjálf/ur 10.6

Bera á saman meðalfjölda snúninga á mínútu hjá tveimur keppinautum í vélum. Þrjátíu vélum er úthlutað af handahófi til prófunar. Bæði þýði eru normaldreifð. Tafla 10.9 sýnir niðurstöðurnar. Benda gögnin til þess að vél 2 hafi hærri snúningshraða á mínútu en vél 1? Prófaðu við 5 prósenta marktektarstig.

Tafla 10.9
Vél	Úrtaksmeðaltal snúninga á mínútu	Staðalfrávik þýðis
1	1.500	50
2	1.600	60

Dæmi 10.7

Áhugasamur borgari vildi vita hvort öldungadeildarþingmenn Demókrata í Bandaríkjunum væru að meðaltali eldri en öldungadeildarþingmenn Repúblikana. Þann 26. maí 2013 var meðalaldur 30 öldungadeildarþingmanna Repúblikana, valinna af handahófi, 61 ár og 247 dagar (61,675 ár), með staðalfrávikinu 10,17 ár. Meðalaldur 30 öldungadeildarþingmanna Demókrata, valinna af handahófi, var 61 ár og 257 dagar (61,704 ár), með staðalfrávikinu 9,55 ár.

Verkefni

Benda gögnin til þess að öldungadeildarþingmenn Demókrata séu að meðaltali eldri en öldungadeildarþingmenn Repúblikana? Prófaðu við 5 prósenta marktektarstig.

Lausn

Þetta er próf fyrir tvo óháða hópa, tvö þýðismeðaltöl. Staðalfrávik þýðanna eru óþekkt, en summa úrtaksstærðanna er 30 + 30 = 60, sem er meira en 30. Þess vegna má nota normalnálgun við t-dreifingu Students. Vísar: 1: öldungadeildarþingmenn Demókrata; 2: öldungadeildarþingmenn Repúblikana.

Slembibreytan er X̄1 − X̄2, mismunur á meðalaldri öldungadeildarþingmanna Demókrata og Repúblikana í Bandaríkjunum.

H₀: μ1 ≤ μ2
H₀: μ1 − μ2 ≤ 0
Hₐ: μ1 > μ2
Hₐ: μ1 − μ2 > 0

Orðin „eldri en“ samsvara tákninu > og fara í Hₐ. Þess vegna er þetta hægrihliða próf.

Dreifing prófsins: Dreifingin er normalnálgun við t-dreifingu Students fyrir meðaltöl óháðra hópa. Með formúlunni fæst:

{\bar{X}}_{1} - {\bar{X}}_{2} \sim N [0, \sqrt{\frac{{(9,55)}^{2}}{30} + \frac{{(10,17)}^{2}}{30}}]

Þar sem μ1 ≤ μ2 er μ1 − μ2 ≤ 0 og meðaltal normaldreifingarinnar er núll.

Reiknað með normaldreifingu fæst p-gildi = 0,4040.

Graf:

This is a normal distribution curve with mean equal to zero. A vertical line to the right of zero extends from the axis to the curve. The region under the curve to the right of the line is shaded representing p-value = 0.4955.

Berðu saman α og p-gildið: α = 0,05 og p-gildi = 0,4040. Því er α < p-gildi.

Ákvörðun: Þar sem α < p-gildi höfnum við ekki H₀.

Niðurstaða: Við 5 prósenta marktektarstig gefa úrtaksgögnin ekki nægar vísbendingar til að álykta að meðalaldur öldungadeildarþingmanna Demókrata sé hærri en meðalaldur öldungadeildarþingmanna Repúblikana.