22.14 Lausnir á línulegum ójöfnuhneppum með tveimur breytistærðum

2.14.4 Teikning lausna á ójöfnuhneppum

2.14.4 Að teikna lausnamengi ójöfnuhneppa

2.14.4 • Að teikna lausnamengi ójöfnuhneppa

Verkefni

Nemendur í stærðfræðiklúbbi framhaldsskóla fara í ratleik. Þrír hlutir eru faldir í garði sem er rétthyrningur, 50 metrar á lengd og 20 metrar á breidd.

Vísbendingarnar eru skrifaðar sem ójöfnuhneppi. Eitt hneppið hefur enga lausn.

Hægt er að þrengja staðsetningu hlutanna með því að leysa hneppin. Nota má hnitakerfi til að lýsa lausnunum.

Geturðu fundið földu hlutina? Teiknaðu graf sem sýnir hvar hver hlutur gæti verið falinn.

Þú færð rúðustrikað blað til að leysa ratleikinn án tækni. Fyrir hverja vísbendingu skaltu teikna hverja ójöfnu fyrir sig í sama hnitakerfi.

Vísbending 1

$y > 14$

$x < 10$

A blank grid of the first quadrant with an x-axis extending from 0 to 50 with a scale by 10’s. The y-axis also has a scale of 10 and extends from 0 to 30.

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt.

Graph of a system of two linear inequalities on a coordinate plane.

Vísbending 2

$x + y < 20$

$x > 6$

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt.

Vísbending 3

$y < - 2 x + 20$

$y < - 2 x + 10$

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt.

Vísbending 4

$y \geq x + 10$

$x > y$

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt.

Hugleiddu: Þegar þú teiknaðir hvert par af ójöfnum bjóstu til ójöfnuhneppi. Hvar lágu mögulegu lausnirnar á grafinu?

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt: Svör geta verið mismunandi, en lausnirnar liggja þar sem skyggðu svæðin skarast.

Viltu reyna meira?

Dýpkun

Tvær ekki neikvæðar tölur, x og y, uppfylla ójöfnuna:

$x + y \leq 1$

Finndu aðra ójöfnu, einnig með gildum x og y sem eru stærri en eða jöfn núlli, þannig að ójöfnuhneppið hafi nákvæmlega eina lausn.

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt: Svör geta verið mismunandi, en hér er dæmi.

$y \geq 1$

Finndu eins margar leiðir og þú getur til að svara þessari spurningu.

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt: Svör geta verið mismunandi, en hér er dæmi.

$x \geq 1$

$y \geq a x, þar sem a er neikvæð tala$

Sjálfspróf

Hvaða tvær ójöfnur eru teiknaðar í ójöfnuhneppinu hér að neðan?

Svarmöguleikar:

${\begin{matrix} x > 2 \\ y \geq 3 x - 1 \end{matrix}$
${\begin{matrix} x \geq 2 \\ y < 3 x - 1 \end{matrix}$
${\begin{matrix} x \geq 2 \\ y > 3 x - 1 \end{matrix}$
${\begin{matrix} x \leq 2 \\ y > 3 x - 1 \end{matrix}$

Ítarefni

Að leysa línulegt ójöfnuhneppi með teikningu

Lausn stakrar línulegrar ójöfnu er svæðið öðrum megin við markalínuna sem inniheldur alla punkta sem gera ójöfnuna sanna. Lausn hneppis tveggja línulegra ójafna er svæði sem inniheldur lausnir beggja ójafnanna. Til að finna svæðið teiknum við hverja ójöfnu fyrir sig og finnum síðan svæðið þar sem báðar eru sannar. Lausnin er alltaf sýnd sem graf.

Dæmi

Leystu hneppið með teikningu:

${\begin{matrix} y \geq 2 x - 1 \\ y < x + 1 \end{matrix}$

Skref 1: Teiknaðu fyrri ójöfnuna.

Teiknaðu markalínuna og skyggðu þeim megin við hana þar sem ójafnan er sönn.

$y \geq 2 x - 1$

Við teiknum línuna y = 2x − 1. Hún er heildregin lína vegna þess að ójöfnumerkið er ≥.

$y = 2 x - 1$

Við veljum (0; 0) sem prófunarpunkt. Punkturinn er lausn á ójöfnunni, þannig að við skyggjum svæðið fyrir ofan markalínuna.

$(0; 0)$

Graph of an inequality where the shaded region is above the solid boundary line.

Skref 2: Teiknaðu seinni ójöfnuna í sama hnitakerfi.

Teiknaðu markalínuna og skyggðu þeim megin við hana þar sem ójafnan er sönn.

$y < x + 1$

Við teiknum línuna y = x + 1. Hún er brotin markalína vegna þess að ójöfnumerkið er <.

$y = x + 1$

Aftur notum við (0; 0) sem prófunarpunkt. Punkturinn er lausn, þannig að við skyggjum þeim megin við línuna y = x + 1.

$(0; 0)$

Graph of a system of two inequalities on a coordinate plane. The graph of the red line has a solution region that lies above the solid boundary line. The graph of the blue line has a solution region that lies below the dashed boundary line. The solution region for the system lies in the overlapping dark region.

Skref 3: Lausnin er svæðið þar sem skyggðu svæðin skarast.

Punkturinn þar sem markalínurnar skerast er ekki lausn, því hann er ekki lausn á y < x + 1.

$y < x + 1$

Lausnin er allir punktar á svæðinu sem er skyggt tvisvar og birtist sem dekksta skyggða svæðið.

Skref 4: Athugaðu með því að velja prófunarpunkt.

Við notum (−1; −1) sem prófunarpunkt.

$(- 1; - 1)$

Er (−1; −1) lausn á y ≥ 2x − 1?

$- 1 \geq 2 (- 1) - 1$

$- 1 \geq - 3$

Já. Staðhæfingin er sönn.

Er (−1; −1) lausn á y < x + 1?

$- 1 < - 1 + 1$

$- 1 < 0$

Já. Staðhæfingin er sönn.

Svæðið sem inniheldur (−1; −1) er lausn hneppisins.