22.9 Lausnir ójafna

2.9.5 Samanburður á jöfnu og ójöfnu

2.9.5 Að bera saman jöfnur og ójöfnur

Verkefni

Notaðu þessa jöfnu í spurningum 1-2:

(−4(x + 3))/5 = 4x − 12

Leystu jöfnuna. Hvert er gildi x?

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

x = 2

Athugaðu lausnina.

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

(−4(2 + 3))/5 = 4(2) − 12; (−4(5))/5 = 8 − 12; −20/5 = −4; −4 = −4

Notaðu þessa ójöfnu í spurningum 3-6:

(−4(x + 3))/5 minna en eða jafnt og 4x − 12

Veldu nokkur gildi minni en 2 fyrir x. Eru þau lausnir ójöfnunnar?

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt: Gildi minni en 2 eru ekki lausnir.

Veldu nokkur gildi stærri en 2 fyrir x. Eru þau lausnir ójöfnunnar?

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt: Gildi stærri en 2 eru lausnir.

Veldu 2 fyrir x. Er það lausn ójöfnunnar?

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt: Já, 2 er lausn.

Sýndu lausnamengi ójöfnunnar á talnalínu.

[Sýna/fela lausn]

A blank number line that extends from negative 10 to positive 10 with a scale of one.

Berðu saman svarið þitt:

A number line is shown from negative 10 to 10. The point 2 has a closed circle. The numbers to the right of 2 are shaded.

Meiri áskorun

Að hugsa lengra

Hér er annars konar ójafna:

x^2 minna en eða jafnt og 4

Hvaða gildi leysa ójöfnuna: 1, 3 eða −3?

Berðu saman svarið þitt: Af gefnu gildunum er aðeins 1 lausn ójöfnunnar.

Lýstu öllum lausnum þessarar ójöfnu. Ef þú vilt geturðu sýnt lausnirnar á talnalínu.

Berðu saman svarið þitt:

−2 minna en eða jafnt og x minna en eða jafnt og 2

Lýstu öllum lausnum ójöfnunnar hér að neðan. Prófaðu nokkrar tölur til að ganga úr skugga um að svarið sé rétt.

x^2 stærra en eða jafnt og 9

Berðu saman svarið þitt:

x minna en eða jafnt og −3 eða x stærra en eða jafnt og 3

Ítarefni

Að bera saman jöfnur og ójöfnur

Við getum notað tengdar jöfnur til að hjálpa okkur að finna lausnir ójafna.

Dæmi 1

Hér er ójafna með einni breytu öðrum megin:

2x − 3 minna en 5

Við getum leyst tengdu jöfnuna:

2x − 3 = 5; 2x = 8; x = 4

Nú skulum við athuga hvaða gildi uppfylla upphaflegu ójöfnuna.

Skref 1. Athugaðu hvort lausn tengdu jöfnunnar uppfylli upphaflegu ójöfnuna.

Uppfyllir x = 4 ójöfnuna?

x = 4

2(4) − 3 minna en ? 5

5 ≮ 5

Nei, 4 er ekki lausn því 5 er ekki minna en 5.

Skref 2. Prófaðu gildi sem er stærra en lausn tengdu jöfnunnar.

x = 8

2(8) − 3 minna en ? 5

13 ≮ 5

Gildið 8 uppfyllir ekki ójöfnuna.

Skref 3. Prófaðu gildi sem er minna en lausn tengdu jöfnunnar.

x = 0

2(0) − 3 minna en ? 5

−3 minna en 5

Gildið 0 uppfyllir ójöfnuna. Þar sem 0 er minna en 4 er lausnamengið:

x minna en 4

Dæmi 2

Leysum ójöfnu með sömu breytu báðum megin:

3y − 7 stærra en eða jafnt og 8 − 2y

Við getum leyst tengdu jöfnuna:

3y − 7 = 8 − 2y; 5y = 15; y = 3

Athugum fyrst hvort y = 3 uppfylli ójöfnuna.

y = 3

3(3) − 7 stærra en eða jafnt og ? 8 − 2(3)

2 stærra en eða jafnt og 2

Já, y = 3 uppfyllir ójöfnuna því 2 er stærra en eða jafnt og 2.

Prófum síðan gildi stærra en 3, til dæmis y = 5.

y = 5

3(5) − 7 stærra en eða jafnt og ? 8 − 2(5)

8 stærra en eða jafnt og −2

Gildið 5 uppfyllir ójöfnuna.

Prófum að lokum gildi minna en 3, til dæmis y = 0.

y = 0

3(0) − 7 stærra en eða jafnt og ? 8 − 2(0)

−7 ≱ 8

Gildið 0 uppfyllir ekki ójöfnuna. Því eru gildi minni en 3 ekki í lausnamenginu.

Við höfum staðfest að y = 3 og gildi stærri en 3 uppfylla ójöfnuna. Lausnamengið er:

y stærra en eða jafnt og 3

Dæmi 3

Skoðaðu þessa flóknari ójöfnu:

(−3x − 7)/4 minna en −3x + 5

Tengda jafnan er:

(−3x − 7)/4 = −3x + 5

Þegar hún er leyst fæst:

x = 3

Uppfyllir 3 ójöfnuna?

((−3)(3) − 7)/4 minna en ? −3(3) + 5

−4 ≮ −4

Nei, 3 er ekki lausn.

Prófum tölu sem er stærri en 3, til dæmis 5.

((−3)(5) − 7)/4 minna en ? −3(5) + 5

−11/2 ≮ −10

Gildið 5 er ekki lausn.

Prófum tölu sem er minni en 3, til dæmis 0.

((−3)(0) − 7)/4 minna en ? −3(0) + 5

−7/4 minna en 5

Gildið 0 er lausn. Lausnamengið er:

x minna en 3