44.1 Lýsing og teikning aðstæðna

4.1.3 Skoðun vensla og falla

4.1.3 Að skoða vensl og föll

4.1.3 • Að skoða vensl og föll

Verkefni

Vensl eru hvaða mengi raðaðra para sem er, $(x, y)$ .

Fall er sérstök tegund vensla sem varpar hverju inntaki, $x$ , í nákvæmlega eitt úttak, $y$ .

Segðu til um hvort hver vensl mynda fall og útskýrðu svarið.

$x$	$y$
-3	3
-2	2
-1	1
0	0
1	1
2	2
3	3

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

Já, þetta er fall vegna þess að hvert inntak fer í nákvæmlega eitt úttak.

Tvær einnar dálks töflur sýna vörpun frá nöfnum til netfönga. Jenny bendir á tvö netföng, Randy á eitt, Dennis á eitt, Emily á eitt og Raul á tvö.

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

Þessi vensl mynda ekki fall. Raul og Jenny hafa hvort um sig tvö netföng, þannig að tvisvar fer sama inntak í tvö úttök.

Tvær einnar dálks töflur sýna vörpun frá sjónvarpsstöðvum til þátta. NBC, HGTV og HBO benda hver á þrjá mismunandi þætti.

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

Þetta er ekki fall vegna þess að hvert inntak fer í mörg úttök.

$(- 3, 27), (- 2, 8), (- 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 8), (3, 27)$

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

Hvert inntak, $x$ -gildi, er parað við aðeins eitt úttak, $y$ -gildi. Þess vegna mynda þessi vensl fall.

$(9, - 3), (4, - 2), (1, - 1), (0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3)$

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

Inntakið ( $x$ -gildið) 9 er parað við tvö úttök ( $y$ -gildi), bæði 3 og −3. Þess vegna mynda þessi vensl ekki fall.

Sjálfspróf

Skoðaðu venslin tvö hér fyrir neðan. Hvaða staðhæfing er sönn um bæði venslin?

${(- 3, - 6), (- 2, - 4), (- 1, - 2), (0, 0),$
$(1, 2), (2, 4), (3, 6)}$
${(8, - 4), (4, - 2), (2, - 1), (0, 0),$
$(2, 1), (4, 2), (8, 4)}$

Hvorki vensl a né vensl b mynda fall.
Vensl b mynda fall, en vensl a mynda ekki fall.
Vensl a mynda fall, en vensl b mynda ekki fall.
Bæði venslin mynda fall.

Ítarefni

Eru venslin fall?

Vensl eru mengi raðaðra para. Mengi fyrri stakanna í hverju röðuðu pari er mengi inntaka og mengi seinni stakanna er mengi úttaka. Skoðum eftirfarandi mengi raðaðra para. Fyrri talan í hverju pari er ein af fyrstu fimm náttúrulegu tölunum. Seinni talan í hverju pari er tvöföld sú fyrri.

$(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)$

Mengi inntaka er ${1, 2, 3, 4, 5}$ . Mengi úttaka er ${2, 4, 6, 8, 10}$ .

Hvert inntaksgildi er óháða breytan og er oft táknað með lágstafnum $x$ . Hvert úttaksgildi er háða breytan og er oft táknað með lágstafnum $y$ .

Fall $f$ úthlutar einu úttaki á hvert inntak. Með öðrum orðum eru engin $x$ -gildi endurtekin. Í dæminu, þar sem fyrstu fimm náttúrulegu tölurnar eru tengdar við tölur sem eru tvöfalt stærri, mynda venslin fall vegna þess að hvert inntak, ${1, 2, 3, 4, 5}$ , er parað við nákvæmlega eitt úttak, ${2, 4, 6, 8, 10}$ .

Skoðum nú mengi raðaðra para sem tengir hugtökin „slétt tala“ og „oddatala“ við fyrstu fimm náttúrulegu tölurnar. Það má skrifa svona:

{(oddatala, 1), (slétt tala, 2), (oddatala, 3), (slétt tala, 4), (oddatala, 5)}

Taktu eftir að hvert inntak, {slétt tala, oddatala}, er ekki parað við nákvæmlega eitt úttak úr menginu ${1, 2, 3, 4, 5}$ . Til dæmis samsvarar hugtakið „oddatala“ þremur úttaksgildum, {1, 3, 5}, og hugtakið „slétt tala“ samsvarar tveimur úttaksgildum, ${2, 4}$ . Þetta brýtur gegn skilgreiningu falls, þannig að þessi vensl mynda ekki fall.

Vörpun er stundum notuð til að sýna vensl. Örvarnar sýna hvernig inntök eru pöruð við úttök.

Hér eru nokkur vensl sem mynda fall og önnur sem mynda ekki fall.

Þrjár myndir sýna varpanir frá inntökum til úttaka. Myndir a og b sýna föll þar sem hvert inntak bendir á eitt úttak. Mynd c sýnir ekki fall því inntakið q bendir á tvö úttök, y og z.

Þessi vensl mynda fall vegna þess að hvert inntak tengist einu úttaki. Taktu eftir að inntökin $q$ og $r$ gefa bæði úttakið $n$ .
Þessi vensl mynda líka fall. Í þessu tilviki tengist hvert inntak einu úttaki.
Þessi vensl mynda ekki fall vegna þess að inntakið $q$ tengist tveimur mismunandi úttökum.

Hvernig má ákvarða hvort vensl séu fall

Finndu inntaksgildin.
Finndu úttaksgildin.
Ef hvert inntaksgildi leiðir til aðeins eins úttaksgildis mynda venslin fall. Ef eitthvert inntaksgildi leiðir til tveggja eða fleiri úttaka mynda venslin ekki fall.