44.12 Formengi og myndmengi, hluti 1

4.12.4 Notkun grafa til að ákvarða formengi falls

4.12.4 • Notkun grafa til að ákvarða formengi falls

Verkefni

Skoðum fallið: $f (x) = \frac{6}{x - 2}$

Til að finna mögleg inntaks- og úttaksgildi fallsins bjó Clare til töflu og reiknaði gildi fallsins f við nokkur x-gildi. Þá rakst hún á vandamál.

1. Finndu f(x) fyrir hvert x-gildi sem Clare skráði. Lýstu því hvaða vandamál Clare gæti hafa rekist á.

$x$	$- 10$	$0$	$\frac{1}{2}$	$2$	$8$
$f (x)$

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

Þegar $x$ er $2$ er $f (x)$ jafnt og $\frac{6}{0}$ , sem er óskilgreint.

$x$	$- 10$	$0$	$\frac{1}{2}$	$2$	$8$
$f (x)$	$- \frac{1}{2}$	$- 3$	$- 4$	$\frac{6}{0}$	$1$

2. Notaðu grafteikniverkfæri til að teikna graf fallsins f. Hverju tekur þú eftir við grafið?

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

Graf með tveimur ferlum: annar liggur í þriðja og fjórða fjórðungi og hinn í fyrsta og fjórða fjórðungi. Báðir nálgast aðfellurnar x = 2 og x-ásinn.

Grafið skiptist í tvo hluta þar sem $x$ -gildið er nálægt 2. Sjá grafið.

3. Notaðu reiknivél til að reikna gildið sem þú og Clare áttuð í erfiðleikum með að reikna. Hverju tekur þú eftir við útreikninginn?

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

Þegar ég reyndi að finna $f (2)$ með reiknivél fékk ég villuboð.

4. Hvernig myndir þú lýsa formengi fallsins f?

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

Formengið inniheldur allar tölur nema 2.

Viltu kanna meira?

Hugsað lengra

Hvers vegna heldurðu að graf fallsins $f (x)$ líti svona út? Hvers vegna skiptist grafið í tvo hluta við $x = 2$ , þar sem annar beygir niður þegar hann nálgast $x = 2$ frá vinstri og hinn beygir upp þegar hann nálgast $x = 2$ frá hægri?

Reiknaðu gildi fallsins f við mismunandi x-gildi sem nálgast 2 en eru ekki nákvæmlega 2, til dæmis 1,8; 1,9; 1,95; 1,999; 2,2; 2,1; 2,05; 2,001 og svo framvegis. Hverju tekur þú eftir?

Lausn

Berðu svörin þín saman:

Þegar $x$ er minna en 2 og færist nær 2 frá vinstri verður nefnarinn $x - 2$ sífellt minni neikvæð tala. Þess vegna verður kvótinn, $f (x)$ , sífellt stærri í neikvæða átt. Þetta gerist mjög hratt og skýrir hvers vegna ferillinn beygir niður með afgerandi hætti.
Þegar $x$ er stærra en 2 og nálgast 2 frá hægri verður nefnarinn $x - 2$ sífellt minni jákvæð tala. Þess vegna verður $f (x)$ sífellt stærri í jákvæða átt. Þetta gerist líka mjög hratt og skýrir hvers vegna grafið skýst upp þegar við rekjum það frá hægri til vinstri.
Brotastæðan $\frac{6}{x - 2}$ er óskilgreind þegar $x = 2$ . Við sjáum að tveir hlutar grafsins stefna í gagnstæðar áttir þegar $x$ nálgast 2 frá vinstri og frá hægri, og það skýrir bilið við $x = 2$ .