55.1 Veldisreglur

5.1.3 Notkun núllveldisreglu og neikvæðra velda

5.1.3 • Notkun núllveldisreglu og neikvæðra velda

Verkefni

Núllveldisreglan

Ef a er tala sem er ekki núll, þá gildir: $a^{0} = 1, a \neq 0$

Með öðrum orðum: tala sem er ekki núll og er hafin í núllta veldi er jöfn 1.

Einfaldaðu dæmi 1-5 með núllveldisreglunni.

1. $d^{0}$

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

$d^{0} = 1$

2. $7^{0}$

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

$7^{0} = 1$

3. ${(- 8)}^{0}$

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

${(- 8)}^{0} = 1$

4. ${(- v)}^{0}$

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

${(- v)}^{0} = 1$

5. $r^{0} \cdot r^{0}$

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

$r^{0} \cdot r^{0} = 1 \cdot 1 = 1$

Skilgreining á neikvæðum veldisvísi

Ef n er heiltala og a er ekki núll, þá gildir: $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}, a \neq 0$

Neikvæður veldisvísir flytur veldið í nefnara og veldisvísirinn verður jákvæður.

Einfaldaðu dæmi 6-10 með skilgreiningunni á neikvæðum veldisvísi.

6. $g^{- 4}$

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

$g^{- 4} = \frac{1}{g^{4}}$

7. $2^{- 3}$

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

$2^{- 3} = \frac{1}{2^{3}} eða \frac{1}{8}$

8. $\frac{1}{c^{- 2}}$

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

$\frac{1}{c^{- 2}} = c^{2}$

9. $\frac{1}{{(- h)}^{- 6}}$

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

$\frac{1}{{(- h)}^{- 6}} = {(- h)}^{6}$

10. $\frac{1}{4^{- 3}}$

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

$\frac{1}{4^{- 3}} = 4^{3} eða 64$

Sjálfspróf

Hvaða jafna er rétt?

$d^{- 4} = \frac{1}{d^{4}}$
$7^{- 3} = - 343$
$w^{- 6} = \frac{- 6}{w^{6}}$
$8^{0} = 0$

Ítarefni

Núllveldisreglan

Sértilvik af kvótareglunni kemur fram þegar veldisvísarnir í teljara og nefnara eru jafnir, til dæmis:
$\frac{a^{m}}{a^{m}}$
Stæða, deilt með sjálfri sér, er 1:
$\frac{x}{x} = 1$
Kvótareglan gefur líka:
$\frac{a^{m}}{a^{m}} = a^{m - m} = a^{0}$
Þess vegna er núllveldisreglan:
$a^{0} = 1, a \neq 0$

Skilgreining á neikvæðum veldisvísi

Kvótaregla fyrir veldi hefur tvö form eftir því hvor veldisvísirinn er stærri. Skoðum dæmið:
$\frac{x^{2}}{x^{5}}$
Ef við drögum veldisvísinn í nefnaranum frá veldisvísinum í teljaranum fáum við:
$\frac{x^{2}}{x^{5}} = x^{2 - 5} = x^{- 3}$
Við getum líka stytt sameiginlega þætti:
$\frac{x \cdot x}{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x} = \frac{1}{x^{3}}$
Því má skrifa neikvæða veldið sem brot með jákvæðum veldisvísi í nefnara:
$x^{- 3} = \frac{1}{x^{3}}$
Skoðum nú brot þar sem teljarinn er 1 og nefnarinn er tala eða breyta í neikvæðu veldi:
$\frac{1}{a^{- n}}$

Skref 1: Notaðu skilgreininguna á neikvæðum veldisvísi.
$a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$
$\frac{1}{\frac{1}{a^{n}}}$
Skref 2: Einfaldaðu samsetta brotið.
$\frac{1 \cdot a^{n}}{1}$
Skref 3: Margfaldaðu.
$a^{n}$

Þetta gefur annað gagnlegt form reglunnar um neikvæða veldisvísa:

Neikvæður veldisvísir segir okkur að endurskrifa stæðuna með veldisstofninn hinum megin við brotastrikið og breyta formerki veldisvísisins.

Stæða með neikvæðum veldisvísi telst ekki fullkomlega einfölduð. Í einfölduðu svari eru veldisvísar yfirleitt hafðir jákvæðir.

Til dæmis er síðasta skrefið að skrifa:

\begin{array}{rcl} a^{- n} & = & \frac{1}{a^{n}} \\ \frac{1}{a^{- n}} & = & a^{n}, a \neq 0 \end{array}

$x^{- 3} = \frac{1}{x^{3}}$

Reyndu þetta

Einfaldaðu hverja stæðu.

$h^{0}$
$7^{0}$
${(- g)}^{0}$
$a^{- 4}$
$9^{- 3}$
$\frac{1}{n^{- 5}}$

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svörin þín:

$h^{0} = 1$
$7^{0} = 1$
${(- g)}^{0} = 1$
$a^{- 4} = \frac{1}{a^{4}}$
$9^{- 3} = \frac{1}{9^{3}} = \frac{1}{729}$
$\frac{1}{n^{- 5}} = n^{5}$