55.1 Veldisreglur

5.1.4 Veldisreglur fyrir veldi

5.1.4 • Veldisreglur fyrir veldi

Verkefni

Vinnið með félaga að verkefninu. Ræðið ef einfölduðu svörin ykkar eru ólík og gangið úr skugga um að þið skiljið hvert skref í einfölduninni.

Regla um kvóta í neikvæðu veldi

Ef a og b eru rauntölur, a og b eru ekki núll, og n er heiltala, þá gildir: ${(\frac{a}{b})}^{- n} = {(\frac{b}{a})}^{n}, a \neq 0, b \neq 0$

Þegar brot er hafið í neikvætt veldi má taka andhverfu brotsins og gera veldisvísinn jákvæðan.

Einfaldaðu dæmi 1-3 með reglunni um kvóta í neikvæðu veldi.

1. ${(\frac{3}{7})}^{- 5}$

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

${(\frac{3}{7})}^{- 5} = {(\frac{7}{3})}^{5} = \frac{7^{5}}{3^{5}} = \frac{16807}{243}$

2. ${(\frac{- y}{z})}^{- 7}$

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

${(\frac{- y}{z})}^{- 7} = {(\frac{- z}{y})}^{7} = \frac{- z^{7}}{y^{7}}$

3. ${(\frac{g}{h})}^{- 6}$

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

${(\frac{g}{h})}^{- 6} = {(\frac{h}{g})}^{6} = \frac{h^{6}}{g^{6}}$

Reglan um veldi af veldi

Ef a er rauntala og m og n eru heiltölur, þá gildir: ${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$

Til að hefja veldi í annað veldi margfaldar þú veldisvísana.

Einfaldaðu dæmi 4-6 með reglunni um veldi af veldi.

4. ${(4^{2})}^{5}$

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

${(4^{2})}^{5} = 4^{10} = 1048576$

5. ${(n^{3})}^{7}$

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

${(n^{3})}^{7} = n^{21}$

6. ${(2^{3})}^{2} {(d^{4})}^{3}$

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

${(2^{3})}^{2} {(d^{4})}^{3} = (2^{6}) (d^{12}) = 64 d^{12}$

Reglan um margfeldi í veldi

Ef a og b eru rauntölur og m er heil tala sem er ekki neikvæð, þá gildir: ${(a b)}^{m} = a^{m} b^{m}$

Til að hefja margfeldi í veldi hefur þú hvern þátt í sama veldi.

Einfaldaðu dæmi 7-9 með reglunni um margfeldi í veldi.

7. ${(- 2 t v)}^{7}$

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

${(- 2 t v)}^{7} = {(- 2)}^{7} t^{7} v^{7} = - 128 t^{7} v^{7}$

8. ${(4 p r^{2})}^{5}$

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

${(4 p r^{2})}^{5} = 4^{5} p^{5} {(r^{2})}^{5} = 1024 p^{5} r^{10}$

9. ${(3 h^{3})}^{- 2}$

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

${(3 h^{3})}^{- 2} = {(\frac{1}{3 h^{3}})}^{2} = \frac{1}{3^{2} h^{6}} = \frac{1}{9 h^{6}}$

Veldu eitt dæmi hér að ofan og útskýrðu hvert skref fyrir félaga þínum. Hlustaðu síðan á félagann útskýra sitt dæmi.

Sjálfspróf

Einfaldaðu stæðuna.

${(\frac{3^{3} x^{- 2}}{q^{3}})}^{3}$

Svarmöguleikar:

$\frac{19683 x^{6}}{q^{9}}$
$\frac{729}{x^{6} q^{9}}$
$\frac{19683}{x^{6} q^{9}}$
$\frac{27}{x^{2} q^{3}}$

Viðbótarefni

Regla um kvóta í neikvæðu veldi

Skoðum brot sem er hafið í neikvætt veldi. Skilgreiningin á neikvæðum veldisvísi leiðir að nýrri reglu.

${(\frac{3}{4})}^{- 2}$

Skref 1: Notaðu skilgreininguna á neikvæðum veldisvísi.

$a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$

$\frac{1}{{(\frac{3}{4})}^{2}}$

Skref 2: Einfaldaðu nefnarann.

$\frac{1}{\frac{9}{16}}$

Skref 3: Einfaldaðu samsetta brotið.

$\frac{16}{9}$

Við vitum líka að:

$\frac{16}{9} = {(\frac{4}{3})}^{2}$

Skref 4: Því fæst:

${(\frac{3}{4})}^{- 2} = {(\frac{4}{3})}^{2}$

Við tókum andhverfu veldisstofnsins, sem hér er brotið sjálft, og breyttum formerki veldisvísisins.

${(\frac{a}{b})}^{- n} = {(\frac{b}{a})}^{n}$

Þegar neikvæðir veldisvísar koma fyrir má líka nota margfeldisregluna úr kafla 5.1.2 á stæðum með neikvæðum veldisvísum.

Reglan um veldi af veldi

Skoðum veldisstæðu þar sem veldi er hafið í annað veldi.

Skýringarmynd sýnir að (x^2)^3 merkir að x^2 er margfaldað þrisvar; alls verða sex x-þættir og niðurstaðan er x^6.

Talan 6 er margfeldi veldisvísanna 2 og 3:

${(x^{2})}^{3} = x^{2\cdot3} = x^{6}$

Þetta leiðir að reglunni um veldi af veldi.

${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$

Reglan um margfeldi í veldi

Skoðum margfeldi sem er hafið í veldi.

${(2 x)}^{3}$

Skref 1: Skrifaðu hvað veldið merkir.

$2 x \cdot 2 x \cdot 2 x$

Skref 2: Raðaðu eins þáttum saman.

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x$

Skref 3: Skrifaðu með veldum.

$2^{3} \cdot x^{3}$

Veldisvísirinn á við um hvern þátt margfeldisins:

${(2 x)}^{3} = 2^{3} \cdot x^{3}$

${(a b)}^{m} = a^{m} b^{m}$

Reglan um kvóta í veldi

Skoðum dæmi sem leiðir að reglunni um kvóta í veldi.

${(\frac{x}{y})}^{3}$

Skref 1: Skrifaðu hvað veldið merkir.

$\frac{x}{y} \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{y}$

Skref 2: Margfaldaðu brotin.

$\frac{x \cdot x \cdot x}{y \cdot y \cdot y}$

Skref 3: Skrifaðu með veldum.

$\frac{x^{3}}{y^{3}}$

Veldisvísirinn á við um bæði teljara og nefnara:

${(\frac{x}{y})}^{3} = \frac{x^{3}}{y^{3}}$

${(\frac{a}{b})}^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0$

Reyndu þetta

Einfaldaðu hverja stæðu með tilgreindri reglu.

Notaðu regluna um kvóta í neikvæðu veldi.

${(\frac{3}{7})}^{- 5}$
${(\frac{- r}{s})}^{- 2}$

Notaðu regluna um veldi af veldi.

${(x^{3})}^{5}$
${(2^{2})}^{3}$
${(h^{4})}^{5} {(h^{2})}^{2}$

Notaðu regluna um margfeldi í veldi.

${(- 2 c d)}^{6}$
${(4 z)}^{- 3}$

Notaðu regluna um kvóta í veldi.

${(\frac{2 x y^{2}}{z})}^{3}$
${(\frac{4 p^{- 3}}{q^{2}})}^{2}$

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svörin þín:

${(\frac{3}{7})}^{- 5} = {(\frac{7}{3})}^{5} = \frac{7^{5}}{3^{5}} = \frac{16807}{243}$
${(\frac{- r}{s})}^{- 2} = {(\frac{- s}{r})}^{2} = \frac{s^{2}}{r^{2}}$
${(x^{3})}^{5} = x^{15}$
${(2^{2})}^{3} = 2^{6} = 64$
${(h^{4})}^{5} {(h^{2})}^{2} = (h^{20}) (h^{4}) = h^{24}$
${(- 2 c d)}^{6} = {(- 2)}^{6} c^{6} d^{6} = 64 c^{6} d^{6}$
${(4 z)}^{- 3} = \frac{1}{{(4 z)}^{3}} = \frac{1}{4^{3} z^{3}} = \frac{1}{64 z^{3}}$
${(\frac{2 x y^{2}}{z})}^{3} = \frac{{(2 x y^{2})}^{3}}{z^{3}} = \frac{8 x^{3} y^{6}}{z^{3}}$
${(\frac{4 p^{- 3}}{q^{2}})}^{2} = \frac{{(4 p^{- 3})}^{2}}{{(q^{2})}^{2}} = \frac{4^{2} {(p^{- 3})}^{2}}{q^{4}} = \frac{16 p^{- 6}}{q^{4}} = \frac{16}{p^{6} q^{4}}$

5.1.4 Veldisreglur fyrir veldi

5.1.4 • Veldisreglur fyrir veldi

Verkefni

Vinnið með félaga að verkefninu. Ræðið ef einfölduðu svörin ykkar eru ólík og gangið úr skugga um að þið skiljið hvert skref í einfölduninni.

Regla um kvóta í neikvæðu veldi

Ef a og b eru rauntölur, a og b eru ekki núll, og n er heiltala, þá gildir: ${(\frac{a}{b})}^{- n} = {(\frac{b}{a})}^{n}, a \neq 0, b \neq 0$

Þegar brot er hafið í neikvætt veldi má taka andhverfu brotsins og gera veldisvísinn jákvæðan.

Einfaldaðu dæmi 1-3 með reglunni um kvóta í neikvæðu veldi.

1. ${(\frac{3}{7})}^{- 5}$

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

${(\frac{3}{7})}^{- 5} = {(\frac{7}{3})}^{5} = \frac{7^{5}}{3^{5}} = \frac{16807}{243}$

2. ${(\frac{- y}{z})}^{- 7}$

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

${(\frac{- y}{z})}^{- 7} = {(\frac{- z}{y})}^{7} = \frac{- z^{7}}{y^{7}}$

3. ${(\frac{g}{h})}^{- 6}$

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

${(\frac{g}{h})}^{- 6} = {(\frac{h}{g})}^{6} = \frac{h^{6}}{g^{6}}$

Reglan um veldi af veldi

Ef a er rauntala og m og n eru heiltölur, þá gildir: ${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$

Til að hefja veldi í annað veldi margfaldar þú veldisvísana.

Einfaldaðu dæmi 4-6 með reglunni um veldi af veldi.

4. ${(4^{2})}^{5}$

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

${(4^{2})}^{5} = 4^{10} = 1048576$

5. ${(n^{3})}^{7}$

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

${(n^{3})}^{7} = n^{21}$

6. ${(2^{3})}^{2} {(d^{4})}^{3}$

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

${(2^{3})}^{2} {(d^{4})}^{3} = (2^{6}) (d^{12}) = 64 d^{12}$

Reglan um margfeldi í veldi

Ef a og b eru rauntölur og m er heil tala sem er ekki neikvæð, þá gildir: ${(a b)}^{m} = a^{m} b^{m}$

Til að hefja margfeldi í veldi hefur þú hvern þátt í sama veldi.

Einfaldaðu dæmi 7-9 með reglunni um margfeldi í veldi.

7. ${(- 2 t v)}^{7}$

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

${(- 2 t v)}^{7} = {(- 2)}^{7} t^{7} v^{7} = - 128 t^{7} v^{7}$

8. ${(4 p r^{2})}^{5}$

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

${(4 p r^{2})}^{5} = 4^{5} p^{5} {(r^{2})}^{5} = 1024 p^{5} r^{10}$

9. ${(3 h^{3})}^{- 2}$

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

${(3 h^{3})}^{- 2} = {(\frac{1}{3 h^{3}})}^{2} = \frac{1}{3^{2} h^{6}} = \frac{1}{9 h^{6}}$

Veldu eitt dæmi hér að ofan og útskýrðu hvert skref fyrir félaga þínum. Hlustaðu síðan á félagann útskýra sitt dæmi.

Sjálfspróf

Einfaldaðu stæðuna.

${(\frac{3^{3} x^{- 2}}{q^{3}})}^{3}$

Svarmöguleikar:

$\frac{19683 x^{6}}{q^{9}}$
$\frac{729}{x^{6} q^{9}}$
$\frac{19683}{x^{6} q^{9}}$
$\frac{27}{x^{2} q^{3}}$

Viðbótarefni

Regla um kvóta í neikvæðu veldi

Skoðum brot sem er hafið í neikvætt veldi. Skilgreiningin á neikvæðum veldisvísi leiðir að nýrri reglu.

${(\frac{3}{4})}^{- 2}$

Skref 1: Notaðu skilgreininguna á neikvæðum veldisvísi.

$a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$

$\frac{1}{{(\frac{3}{4})}^{2}}$

Skref 2: Einfaldaðu nefnarann.

$\frac{1}{\frac{9}{16}}$

Skref 3: Einfaldaðu samsetta brotið.

$\frac{16}{9}$

Við vitum líka að:

$\frac{16}{9} = {(\frac{4}{3})}^{2}$

Skref 4: Því fæst:

${(\frac{3}{4})}^{- 2} = {(\frac{4}{3})}^{2}$

Við tókum andhverfu veldisstofnsins, sem hér er brotið sjálft, og breyttum formerki veldisvísisins.

${(\frac{a}{b})}^{- n} = {(\frac{b}{a})}^{n}$

Þegar neikvæðir veldisvísar koma fyrir má líka nota margfeldisregluna úr kafla 5.1.2 á stæðum með neikvæðum veldisvísum.

Reglan um veldi af veldi

Skoðum veldisstæðu þar sem veldi er hafið í annað veldi.

Talan 6 er margfeldi veldisvísanna 2 og 3:

${(x^{2})}^{3} = x^{2\cdot3} = x^{6}$

Þetta leiðir að reglunni um veldi af veldi.

${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$

Reglan um margfeldi í veldi

Skoðum margfeldi sem er hafið í veldi.

${(2 x)}^{3}$

Skref 1: Skrifaðu hvað veldið merkir.

$2 x \cdot 2 x \cdot 2 x$

Skref 2: Raðaðu eins þáttum saman.

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x$

Skref 3: Skrifaðu með veldum.

$2^{3} \cdot x^{3}$

Veldisvísirinn á við um hvern þátt margfeldisins:

${(2 x)}^{3} = 2^{3} \cdot x^{3}$

${(a b)}^{m} = a^{m} b^{m}$

Reglan um kvóta í veldi

Skoðum dæmi sem leiðir að reglunni um kvóta í veldi.

${(\frac{x}{y})}^{3}$

Skref 1: Skrifaðu hvað veldið merkir.

$\frac{x}{y} \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{y}$

Skref 2: Margfaldaðu brotin.

$\frac{x \cdot x \cdot x}{y \cdot y \cdot y}$

Skref 3: Skrifaðu með veldum.

$\frac{x^{3}}{y^{3}}$

Veldisvísirinn á við um bæði teljara og nefnara:

${(\frac{x}{y})}^{3} = \frac{x^{3}}{y^{3}}$

${(\frac{a}{b})}^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0$

Reyndu þetta

Einfaldaðu hverja stæðu með tilgreindri reglu.

Notaðu regluna um kvóta í neikvæðu veldi.

${(\frac{3}{7})}^{- 5}$
${(\frac{- r}{s})}^{- 2}$

Notaðu regluna um veldi af veldi.

${(x^{3})}^{5}$
${(2^{2})}^{3}$
${(h^{4})}^{5} {(h^{2})}^{2}$

Notaðu regluna um margfeldi í veldi.

${(- 2 c d)}^{6}$
${(4 z)}^{- 3}$

Notaðu regluna um kvóta í veldi.

${(\frac{2 x y^{2}}{z})}^{3}$
${(\frac{4 p^{- 3}}{q^{2}})}^{2}$

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svörin þín:

${(\frac{3}{7})}^{- 5} = {(\frac{7}{3})}^{5} = \frac{7^{5}}{3^{5}} = \frac{16807}{243}$
${(\frac{- r}{s})}^{- 2} = {(\frac{- s}{r})}^{2} = \frac{s^{2}}{r^{2}}$
${(x^{3})}^{5} = x^{15}$
${(2^{2})}^{3} = 2^{6} = 64$
${(h^{4})}^{5} {(h^{2})}^{2} = (h^{20}) (h^{4}) = h^{24}$
${(- 2 c d)}^{6} = {(- 2)}^{6} c^{6} d^{6} = 64 c^{6} d^{6}$
${(4 z)}^{- 3} = \frac{1}{{(4 z)}^{3}} = \frac{1}{4^{3} z^{3}} = \frac{1}{64 z^{3}}$
${(\frac{2 x y^{2}}{z})}^{3} = \frac{{(2 x y^{2})}^{3}}{z^{3}} = \frac{8 x^{3} y^{6}}{z^{3}}$
${(\frac{4 p^{- 3}}{q^{2}})}^{2} = \frac{{(4 p^{- 3})}^{2}}{{(q^{2})}^{2}} = \frac{4^{2} {(p^{- 3})}^{2}}{q^{4}} = \frac{16 p^{- 6}}{q^{4}} = \frac{16}{p^{6} q^{4}}$