5.15.2 Fastur breytingarhraði línulegs falls

5.15.2 - Fastur breytingarhraði línulegs falls

Verkefni

Hér er graf fyrir fallið $y=f(x)$, $f(x)=2x+5$.

1. Hvernig breytast gildi fallsins þegar $x$ hækkar um 1, til dæmis úr 1 í 2 eða úr 19 í 20? Útskýrðu eða sýndu hvernig þú veist það.

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   Gildi fallsins hækkar um 2 í hvert sinn sem inntakið hækkar um 1.

   Af grafinu má sjá að $y$-gildið hækkar um 2 þegar $x$-gildið hækkar um 1. Einnig má reikna nokkur gildi:

   $f(1)=7$ og $f(2)=9$.

   $f(20)=45$, $f(19)=43$ og $f(20)-f(19)=2$.

2. Hér er stæða sem má nota til að finna mismun fallgildanna þegar inntakið breytist úr $x$ í $x+1$:

   $[2(x+1)+5]-[2x+5]$

   Hefur þessi stæða sama gildi og þú fannst í fyrri spurningunni? Sýndu rökstuðning.

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt: Já. Notaðu dreifiregluna og dragðu síðan saman líka liði:

   $2(x+1)=2x+2$

   $f(x+1)-f(x)=2$

3. Hvernig breytast gildi fallsins þegar $x$ hækkar um 4? Útskýrðu eða sýndu hvernig þú veist það.

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt: Gildin hækka um 8. Að hækka inntakið um 4 er það sama og að hækka það um 1 fjórum sinnum í röð, og í hvert skipti hækkar fallgildið um 2.

4. Ritaðu stæðu sem sýnir breytinguna á fallgildunum þegar inntakið breytist úr $x$ í $x+4$.

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   $f(x+4)-f(x)$

   Þessa stæðu má setja fram með reiknireglu fallsins svona:

   $[2(x+4)+5]-[2x+5]$

5. Sýndu eða útskýrðu hvers vegna þessi stæða hefur gildið 8.

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt: Beitum dreifireglunni og drögum síðan saman líka liði:

   $[2(x+4)+5]-[2x+5]$

   $2x+8+5-2x-5$

   $2x-2x+8+5-5=8$

Sjálfspróf

Gefið er fallið hér fyrir neðan. Hvernig breytast gildi fallsins þegar $x$ hækkar um 2?

$y=f(x),f(x)=3x+2$

1. Gildin hækka um 1.
2. Gildin hækka um 6.
3. Gildin hækka um 3.
4. Gildin hækka um 2.

Viðbótarefni

Að ákvarða breytingarhraða línulegra falla

Gerðu ráð fyrir að fallið $f$ sé skilgreint fyrir allar rauntölur. Reiknaðu breytinguna í síðasta dálkinum:

$\Delta f=f(x+1)-f(x)$

Táknið $\Delta$ þýðir hér „breyting á“. Hvað tekurðu eftir við $\Delta f$? Gæti fallið verið línulegt eða vísisfall? Ritaðu fallreglu sem gefur sömu inntaks- og úttakspör og taflan sýnir.

Í hverri röð dregurðu samanliggjandi fallgildi frá hvort öðru:

$1-(-3)=4$, $5-1=4$, $9-5=4$ og $13-9=4$.

Allar breytingarnar eru jafnar, 4. Því er breytingarhraðinn fastur og fallið er línulegt.

Þar sem fallið er línulegt má rita það á forminu:

$f(x)=\text{breytingarhraði}·x+\text{upphafsgildi}$

Breytingarhraðinn er 4. Upphafsgildið er sama og skurðpunkturinn við $y$-ás, þar sem $x=0$. Í þessari töflu er $f(0)$ fjórum minna en fyrsta fallgildið:

$x=0$, $f(0)=-7$

Línulega jafnan fyrir töfluna er því:

$f(x)=4x-7$

Reyndu þetta

Að ákvarða breytingarhraða línulegra falla

Gerðu ráð fyrir að fallið á grafinu sé skilgreint fyrir allar rauntölur. Hver er breytingarhraðinn? Ritaðu jöfnu sem skilgreinir fallið.

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Grafið virðist vera línulegt. Þegar breytingarhraðinn er fundinn milli samliggjandi punkta sést að $y$-gildin hækka um 1 í hvert sinn sem $x$-gildin hækka um 2. Breytingarhraðinn er því:

$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{1}{2}$

Grafið sker $y$-ásinn í punktinum:

$(0,2)$

Jafnan fyrir grafið er:

$f(x)=\frac{1}{2}x+2$