5.15.3 Vaxtarhraði vísisfalls

5.15.3 - Vaxtarhraði vísisfalls

Verkefni

Taflan sýnir nokkur inntaks- og úttaksgildi vísisfallsins g. Reiknireglan er: $g\left(x\right)=3^x$

1. Hvernig breytist $g(x)$ í hvert sinn sem $x$ hækkar um 1? Sýndu eða útskýrðu rökstuðninginn.

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt: Úttaksgildin margfaldast með 3. Þegar einu samliggjandi úttaksgildi er deilt með því á undan er kvótinn alltaf 3.

2. Veldu tvær nýjar samliggjandi heilar tölur sem inntaksgildi og finndu úttaksgildin. Skráðu þau í töfluna. Hvernig breytast úttaksgildin fyrir þessi tvö inntak?

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   $$g\left(10\right)=3^{10}\text{og}g\left(11\right)=3^{11}$$

   Úttakið vex enn um þáttinn 3 þegar inntakið hækkar um 1, til dæmis úr 10 í 11.

3. Fylltu út töfluna með úttakinu þegar inntakið er $x$ og þegar það er $x+1$.

   Lausn

   $x$	$g(x)$
   $x$	$3^x$
   $x+1$	$3^{x+1}$

   $$g\left(x\right)=3^x,g(x+1)=3^{x+1}$$

4. Skoðaðu hvernig úttaksgildin breytast þegar $x$ hækkar um 1. Er það enn í samræmi við fyrri niðurstöður? Sýndu rökstuðning.

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt: Já. Úttakið margfaldast áfram með 3. Samkvæmt veldareglum gildir:

   $$3^x·3=3^{x+1}$$

   Einnig má sjá sama þátt með kvótareglu veldisreiknings:

   $$\frac{3^{x+1}}{3^x}=3^{x+1-x}=3$$

Gerið hlé hér fyrir umræður í bekknum. Vinnið síðan með hópnum að næstu spurningum.

5. Veldu tvö $x$-gildi þar sem annað er 3 hærra en hitt, til dæmis 1 og 4. Hvernig breytast úttaksgildi $g$ þegar $x$ hækkar um 3? Hver í hópnum ætti að velja sitt par af tölum og skoða úttakið.

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt: Úttaksgildin margfaldast með 27, sem er:

   $$3^3=27$$

6. Fylltu út töfluna með úttakinu þegar inntakið er $x$ og þegar það er $x+3$. Er breytingin í samræmi við niðurstöður hópsins í fyrri spurningu? Sýndu rökstuðning.

   $x$	$g(x)$
   $x$
   $x+3$

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt: Já. Úttökin margfaldast áfram með 27. Samkvæmt veldareglum gildir:

   $x$	$g(x)$
   $x$	$3^x$
   $x+3$	$3^{x+3}$

   $$g\left(x\right)=3^x,g(x+3)=3^{x+3}$$

   $$3^x·3^3=3^{x+3}$$

   Eða með kvótareglunni:

   $$\frac{3^{x+3}}{3^x}=3^{x+3-x}=3^3=27$$

7. Taktu saman ferlið sem þú notaðir í spurningum 1-6 til að greina gögnin.

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt: Svör geta verið mismunandi.

8. Útskýrðu hvort það hafi hjálpað að greina einfaldari gögnin fyrst, í spurningum 1-2, áður en þú greindir almennari gögnin í spurningum 3-6.

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt: Svör geta verið mismunandi.

Meira til að hugsa um

Að víkka hugsunina

Fyrir heiltöluinntök má líta á margföldun sem endurtekna samlagningu og veldun sem endurtekna margföldun:

Hægt er að halda ferlinu áfram með aðgerðinni tetration, sem hér merkir endurtekna veldun. Hún notar táknið ↑↑:

1. Reiknaðu eftirfarandi gildi: $2\uparrow \uparrow 3$ og $3\uparrow \uparrow 2$.

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   $$2\uparrow \uparrow 3=2^{2^2}=2^4=16\text{og}3\uparrow \uparrow 2=3^3=27$$

2. Reiknaðu fallið: $f(x)=3\uparrow \uparrow x$

   Lausn

   Eitt fyrstu gildanna er:

   $$3^3=27$$

3. Hvert er sambandið milli $f(x)$ og $f(x+1)$?

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt: Tölurnar sem þetta fall gefur verða gífurlega stórar mjög hratt, jafnvel í samanburði við vísisföll. Til dæmis:

   $$f\left(2\right)=27\text{og}f\left(3\right)=3^{f\left(2\right)}=3^{27}=7.625.597.484.987$$

Myndband: Greining taflna fyrir vísisföll

Horfðu á eftirfarandi myndband til að læra meira um greiningu taflna fyrir vísisföll:

Sjálfspróf

Gefið er fallið hér fyrir neðan. Hvert er gildi kvótans? $f(x)=4^x$, hvert er $\frac{f(x+2)}{f(x+1)}$?

1. 16
2. Ekki eru nægar upplýsingar til að ákvarða það.
3. 4
4. 2

Viðbótarefni

Að ákvarða vaxtarhraða vísisfalls

Gerðu ráð fyrir að fallið $f$ sé skilgreint fyrir allar rauntölur. Reiknaðu breytinguna í síðasta dálkinum: $\Delta f=f(x+1)-f\left(x\right)$

Táknið $\Delta$ merkir hér „breyting á“. Hvað tekurðu eftir við $\Delta$$f$? Gæti fallið verið línulegt eða vísisfall? Ritaðu fallreglu, annaðhvort línulega eða fyrir vísisfall, sem gefur sömu inntaks- og úttakspör og taflan sýnir.

Í hverri röð dregurðu samliggjandi fallgildi frá hvort öðru:

Þar sem mismunurinn er ekki fastur er fallið ekki línulegt. Í vísisfalli eru samliggjandi gildi margfölduð með föstum þætti. Ef samliggjandi gildi eru deild hvort með öðru sést að vaxtarstuðullinn er 3.

Jafna vísisfalls hefur formið:

Vaxtarstuðullinn er 3. Upphafsgildið er sama og skurðpunkturinn við $y$-ás, þar sem $x$ = 0. Í töflunni er upphafsgildið 2:

Jafnan fyrir töfluna er því:

Reyndu þetta

Að ákvarða vaxtarhraða vísisfalls

Gerðu ráð fyrir að fallið á grafinu sé skilgreint fyrir allar rauntölur. Hver er vaxtarstuðullinn? Ritaðu jöfnu sem skilgreinir fallið.

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Svona má rita jöfnu vísisfalls út frá grafi.

Grafið virðist sýna vísisfall. Þegar samliggjandi punktar eru bornir saman sést að y-gildin margfaldast með 2 í hvert sinn sem $x$-gildin hækka um 1. Vaxtarstuðullinn er því 2. Grafið sker $y$-ásinn í punktinum:

$$(0,1)$$

Þar er upphafsgildið. Jafnan fyrir grafið er: $f\left(x\right)=2^x$