55.3 Vaxtarmynstur

5.3.3 Samanburður á tveimur mynstrum

5.3.3 • Samanburður á tveimur mynstrum

Verkefni

Hér eru gröf sem sýna hvernig peningaupphæðin í hvorri pyngju breytist. Mundu að pyngja A byrjar með $1.000 og vex um $200 á dag. Pyngja B byrjar með $0,01 og tvöfaldast á hverjum degi.

Punktarit sýnir upphæð í dollurum á y-ás á móti fjölda daga á x-ás. Bláir og rauðir punktar sýna gögn; bláu punktarnir hækka hratt eftir 20 daga. Punktur Q er merktur á degi 5 og punktur P á degi 9.

1. Hvaða gögn á grafinu sýna upphæðina í pyngju $A$ ? Hvaða gögn sýna upphæðina í pyngju $B$ ? Útskýrðu hvernig þú veist það.
Lausn
Berðu saman svarið þitt:
Bláu gögnin á grafinu, sem innihalda punkt $P$ , sýna pyngju $B$ . Rauðu gögnin, sem innihalda punkt $Q$ , sýna pyngju $A$ . Pyngja $B$ byrjar með minni upphæð en pyngja $A$ og graf hennar liggur því neðar í byrjun.
2. Punktarnir $P$ og $Q$ eru merktir á grafinu. Útskýrðu hvað þeir þýða í samhengi við tilboð andans.
Lausn
Berðu saman svarið þitt:
Punktur $P$ þýðir að 9 dögum eftir að andinn birtist inniheldur pyngja $B$ $5,12. Punktur $Q$ þýðir að 5 dögum eftir að andinn birtist inniheldur pyngja $A$ $2.000.
3. Hver eru hnit skurðpunktsins við y-ás fyrir hvort graf? Útskýrðu hvernig þú veist það.
Lausn
Berðu saman svarið þitt:
Fyrir pyngju $A$ er skurðpunkturinn við y-ás $(0, 1.000)$ , því á degi 0 inniheldur pyngjan $1.000. Fyrir pyngju $B$ er skurðpunkturinn við y-ás $(0, 0,01)$ , því hún inniheldur aðeins $0,01 þegar andinn birtist.
4. Hvenær verður pyngja B betri kostur en pyngja A? Undirbúðu rökstuðning.
Lausn
Berðu saman svarið þitt:
Samkvæmt gröfunum er pyngja B meira virði en pyngja A frá og með degi 19. Það sést á grafinu þar sem pyngja B hefur hærra $y$ -hnit í fyrsta sinn þegar $x = 19$ .
5. Með þá vitneskju sem þú hefur núna, hvora pyngjuna myndir þú velja? Undirbúðu rökstuðning.
Lausn
Berðu saman svarið þitt:
Svör geta verið mismunandi. Dæmi: Pyngja $B$ er meira virði eftir 19 daga, en önnur atriði gætu líka skipt máli.

Á ströndinni finnur vinur þinn annan anda. Sá andi býður einnig upp á tvær pyngjur og gefur eftirfarandi graf til að sýna hvernig peningarnir í hvorri pyngju vaxa. Þríhyrningsmerkin sem liggja á línu tákna gildi í pyngju A, en ferningsmerkin sem mynda feril tákna gildi í pyngju B.

Línurit ber saman vöxt tveggja pyngja, A og B, í dollurum yfir 15 daga. Pyngja B vex hraðar og fer fram úr pyngju A eftir dag 10. Y-ásinn nær frá 0 til 4.500 dollara.

6. Andinn er enn að ákveða í hversu marga daga hann lætur peningana í pyngjunum vaxa. Hjálpaðu vini þínum að móta aðferð til að velja pyngjuna með hærri upphæð á meðan andinn hugsar sig um.

Lausn

Svör geta verið mismunandi. Dæmi:

Svör geta verið mismunandi. Dæmi: Skurðpunkturinn við y-ás fyrir pyngju B er lægri, þannig að pyngja B byrjar með minni upphæð en pyngja A. Gildin fyrir pyngju B eru lægri en gildin fyrir pyngju A fram að degi 10, þegar þau virðast vera jöfn. Pyngja A er því betri kostur fram að degi 10, en eftir það verður pyngja B betri kostur.

Viltu reyna meira?

Hugsað lengra

7. „Jæja, jæja,“ segir andinn og brosir vonsvikinn. „Ég skal gefa þér enn meira freistandi tilboð.“ Hann útskýrir að pyngja B haldist óbreytt, en pyngja A aukist nú um $250.000 á hverjum degi. Hvora pyngjuna ættir þú að velja?

Lausn

Svör geta verið mismunandi. Dæmi:

Svör geta verið mismunandi. Dæmi: Pyngja B fer fram úr pyngju A á degi 30, með um $10,7 milljónir í pyngju B og aðeins um $7,5 milljónir í pyngju A. Því er betra að velja pyngju A ef upphæðirnar vaxa í færri en 30 daga, en betra að velja pyngju B ef þær vaxa í 30 daga eða lengur.

Sjálfspróf

Grafið sýnir stöðu, í dollurum, á tveimur fjárfestingarreikningum eftir árum. Reikningur A byrjar með $2.000. Reikningur B byrjar með $1.000.

Báðir reikningarnir vaxa um sömu upphæð á hverju ári.
Báðir reikningarnir vaxa hraðar eftir því sem tíminn líður.
Reikningur A vex um sömu upphæð á hverju ári. Reikningur B vex hraðar eftir því sem tíminn líður.
Reikningur A vex hraðar eftir því sem tíminn líður. Reikningur B vex um sömu upphæð á hverju ári.

Viðbótarefni

Samanburður á gröfum

Berðu saman gröf fallanna $y = 2 x$ og $y = 2^{x}$ .

Til að bera gröfin saman þarf fyrst að teikna þau.

$x$	$y = 2 x$
–1	–2
0	0
1	2
2	4

Graf af

(y = 2 x)

$x$	$y = 2^{x}$
–1	$\frac{1}{2}$
0	1
1	2
2	4

Graf af

(y = 2^{x})

Báðar jöfnurnar innihalda 2 og $x$ , en í $y = 2 x$ er $x$ margfaldað með 2, en í $y = 2^{x}$ er 2 veldisstofn og $x$ veldisvísir. Gröfin skerast í $(1, 2)$ og $(2, 4)$ .

Graf af línunni y = 2x og veldisfallinu y = 2^x; gröfin skerast í punktunum (1, 2) og (2, 4).

Gröfin skerast í $(1, 2)$ og $(2, 4)$ .
$y = 2 x$ hefur skurðpunkt við $y$ -ás í $(0, 0)$ . $y = 2^{x}$ hefur skurðpunkt við $y$ -ás í $(0, 1)$ .
Þegar $1 < x < 2$ , er $y = 2 x$ stærra en $y = 2^{x}$ .

Prófaðu

Samanburður á gröfum

Berðu saman gröf fallanna $y = 3 x + 1$ og $y = 3^{x}$ .

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Fyrst þarf að teikna bæði föllin í sama hnitakerfi. Síðan má bera saman lykileinkenni, til dæmis skurðpunkta og staði þar sem föllin hafa sama gildi.

Graf af línunni y = 3x + 1 og veldisfallinu y = 3^x; gröfin skerast í punktunum (0, 1) og um það bil (1,6; 5,8).

Svör geta verið mismunandi, en hér er dæmisvar. Svarið þitt getur innihaldið allt eða hluta af dæminu.

Föllin eru jöfn í skurðpunktinum við $y$ -ás, $(0, 1)$ , og einnig um það bil í punktinum $(1,6; 5,8)$ .
$y = 3 x + 1$ er línulegt og er stærra þegar $0 < x < 1,6$ .
$y = 3^{x}$ er veldisfall og er stærra þegar $x < 0$ og þegar $x > 1,6$ .