5.8.2 Framsetning falls sem gildistafla, graf og jafna

Clare tók eftir myglu á síðustu brauðsneiðinni í plastpoka. Flatarmálið sem myglan þakti var um það bil 1 fermillimetri. Hún lét brauðið vera til að sjá hvernig myglan yxi. Næsta dag hafði myglusvæðið tvöfaldast og það tvöfaldaðist aftur daginn þar á eftir.

1. Ef tvöföldunarmynstrið heldur áfram, hve marga fermillimetra þekur myglan 4 dögum eftir að Clare tók eftir henni? Undirbúðu rökstuðning.

Lausn

16 fermillimetrar. Þetta má sjá með endurtekinni tvöföldun eða með veldi.

$2·2·2·2=16$

$2^4=16$

2. Settu tengslin fram á milli flatarmálsins A, í fermillimetrum, sem myglan þekur og fjölda daga d frá því að myglan sást. Notaðu:

1. gildistöflu sem sýnir gildin frá deginum þegar myglan sást og næstu 5 daga þar á eftir
2. jöfnu
3. graf

Lausn

0	1
1	2
2	4
3	8
4	16
5	32

Jafna:

$A=1·2^d$

Jafngild jafna er:

$A=2^d$

Grafið getur verið strjált eða samfellt. Þetta dæmi sýnir strjált graf.

3. Ræddu við samnemanda: Eru tengslin milli flatarmálsins sem myglan þekur og fjölda daga fall? Ef svo er, fylltu út setninguna „____ er fall af ____“. Ef ekki, útskýrðu hvers vegna þau eru ekki fall.

Lausn

Já. Flatarmálið sem myglan þekur er fall af fjölda daga sem liðnir eru. Á hverjum tíma frá því að myglan sást er eitt ákveðið flatarmál brauðsins þakið myglu.

Fjöldi daga sem liðnir eru er einnig fall af flatarmálinu sem myglan þekur upp að vissu marki. Þegar öll brauðsneiðin er orðin þakin myglu getur sama flatarmál hins vegar samsvarað fleiri en einum degi. Þá getum við ekki lýst þeim tengslum með þessari jöfnu, en tafla eða graf getur samt sýnt þau.

Hvað telur þú vera hæfilegt formengi fyrir fallið A sem lýsir flatarmáli myglunnar? Undirbúðu rökstuðning.

Lausn

Svör geta verið mismunandi, en hér er eitt dæmi.

Neikvæð gildi á d gætu skipt máli, en við vitum ekki hvernig myglan óx áður en Clare fór að fylgjast með henni. Jákvæð gildi á d gilda heldur ekki endalaust, því brauðið verður fljótlega alveg þakið myglu. Ef brauðsneið er 10 cm á 10 cm er flatarmálið 10.000 fermillimetrar. Eitt hæfilegt formengi er:

$0\le d\le 14$

Hér fyrir neðan er gildistafla fyrir fall sem lýsir vísishnignun:

$g\left(x\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$

• $g\left(1\right)=\frac{1}{2}$
• $g\left(2\right)=\frac{1}{4}$
• $g\left(3\right)=\frac{1}{8}$

Þegar punktarnir eru teiknaðir í graf sést hnignunin, því graf fallsins lækkar frá vinstri til hægri.

Reyndu þetta: Mismunandi framsetningar vísisfalla

Búðu til töflu fyrir fallið hér fyrir neðan. Teiknaðu síðan graf fallsins.

$f\left(x\right)=4^x$

Lausn

Svona má búa til töflu og teikna síðan graf vísisfallsins.

Fyrst eru gildi sett inn fyrir x til að finna gildi f(x).

x	0	1	2	3	4
f(x) = 4^x	4^0 = 1	4^1 = 4	4^2 = 16	4^3 = 64	4^4 = 256

• $4^0=1$
• $4^1=4$
• $4^2=16$
• $4^3=64$
• $4^4=256$