5.8.3 Mál falla og falltáknun

Veldisfall er ritað á þessu formi:

$f\left(x\right)=a·b^x$

Hér er a upphafsgildið og b vaxtarstuðullinn.

1. Í líffræðirannsóknastofu fjölgar stofni með 50 bakteríum með frumuskiptingu. Á hverri heilli klukkustund skiptir hver baktería sér í tvær bakteríur.

a. Skrifaðu setningu á forminu „_____ er fall af _____“.

Lausn

Fjöldi baktería er fall af liðnum tíma, mældum í klukkustundum.

b. Tilgreindu hvor breytan er óháð og hvor er háð.

Lausn

Óháð breyta: fjöldi klukkustunda. Háð breyta: fjöldi baktería.

c. Skrifaðu jöfnu fyrir aðstæðurnar með falltáknun.

Lausn

$f\left(t\right)=50·2^t$

2. Á hverju ári eftir að nýr bíll er keyptur lækkar virði hans um þriðjung. Segjum að bíllinn kosti 18.000 dollara þegar hann er nýr.

a. Skrifaðu setningu á forminu „_____ er fall af _____“.

Lausn

Virði bílsins er fall af fjölda ára frá kaupum.

b. Tilgreindu hvor breytan er óháð og hvor er háð.

Lausn

Óháð breyta: fjöldi ára frá kaupum. Háð breyta: virði bílsins í dollurum.

c. Skrifaðu jöfnu fyrir aðstæðurnar með falltáknun.

Lausn

$f\left(t\right)=18.000·{\left(\frac{2}{3}\right)}^t$

Athugaðu að lækkunarhlutfallið er þriðjungur. Vaxtarstuðullinn, eða sá hluti virðisins sem er eftir, er:

$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

3. Til að stemma stigu við þörungablóma í stöðuvatni nota vísindamenn meðferðarefni. Daginn sem meðferðin hefst þekja þörungar 240 fersjarda. Á hverjum degi eftir að meðferðin hefst er þriðjungur af flatarmáli fyrri dags enn þakinn þörungum. Tíminn t er mældur í dögum.

a. Skrifaðu setningu á forminu „_____ er fall af _____“.

Lausn

Flatarmálið sem þörungar þekja er fall af fjölda daga frá því að meðferðin hófst.

b. Tilgreindu hvor breytan er óháð og hvor er háð.

Lausn

Óháð breyta: fjöldi daga frá því að meðferðin hófst. Háð breyta: flatarmál þörunganna í fersjördum.

c. Skrifaðu jöfnu fyrir aðstæðurnar með falltáknun.

Lausn

$f\left(t\right)=240·{\left(\frac{1}{3}\right)}^t$

Hér er þriðjungur notaður sem vaxtarstuðull vegna þess að hann táknar þann hluta flatarmálsins sem er eftir á hverjum degi.

Myndbandið í upprunanum sýnir einnig hvernig rita má veldisfall út frá aðstæðum.

Viðbótarefni

Að rita föll út frá veldisaðstæðum

Veldisvöxtur

Fall sem lýsir veldisvexti vex með hraða sem er í hlutfalli við stærðina sem er til staðar. Fyrir sérhverja rauntölu x og jákvæðar rauntölur a og b, þar sem b er ekki 1, hefur veldisvaxtarfall þetta form:

$b\ne 1$

$f\left(x\right)=a·b^x$

• a er upphafsgildi fallsins.
• b er vaxtarstuðullinn, eða margföldunarstuðull vaxtarins, fyrir hverja einingu af x.

Dæmi 1

Upphafsgildi fallsins er 10. Fallið tvöfaldast á hverju ári.

Dæmi 2

Ein ekra lands er 40.000 dollara virði við kaup. Virðið tvöfaldast á hverjum áratug. Ritaðu jöfnu fyrir aðstæðurnar þar sem t er tími í áratugum.