66.3 Deiling margliða

6.3.4 Deiling margliðufalla og afgangssetningin

6.3.4 • Deiling margliðufalla og afgangssetningin

Verkefni

Deilið margliðuföllunum og finnið síðan tilgreint fallgildi.

1. $f (x) = x^{2} - 5 x - 24$

$g (x) = x + 3$

$(\frac{f}{g}) (x)$

$f (- 3) =$ ___________

[Sýna/fela lausn]

Berið svörin ykkar saman:

$(\frac{f}{g}) (x) = x - 8$

$f (- 3) = 0$

2. $f (x) = x^{2} - 15 x + 54$

$g (x) = x - 9$

$(\frac{f}{g}) (x)$

___________ $f (9) =$ ___________

[Sýna/fela lausn]

Berið svörin ykkar saman:

$(\frac{f}{g}) (x) = x - 6$

$f (9) = 0$

3. $f (x) = x^{2} + 2 x - 3$

$g (x) = x + 3$

$(\frac{f}{g}) (x)$

$f (- 3) =$ ___________

[Sýna/fela lausn]

Berið svörin ykkar saman:

$(\frac{f}{g}) (x) = x - 1$

$f (- 3) = 0$

Afgangssetningin segir að ef margliðufalli f(x) er deilt með x − c, þá er afgangurinn f(c). Þetta þýðir að við getum alltaf athugað afganginn með því að reikna f(c) þegar deilirinn er ritaður á forminu x − c.

4. Notið afgangssetninguna til að finna afganginn þegar f(x) = x³ − 7x + 12 er deilt með x + 3.

[Sýna/fela lausn]

Afgangurinn er 6.

5. Notið afgangssetninguna til að finna afganginn þegar f(x) = 2x³ − 6x − 24 er deilt með x − 3.

[Sýna/fela lausn]

Afgangurinn er 12.

Viðbótarefni

Deiling margliðufalla

Eins og hægt er að deila margliðum er einnig hægt að deila margliðuföllum.

Deiling margliðufalla

Fyrir föllin f(x) og g(x), þar sem g(x) ≠ 0,

$(\frac{f}{g}) (x) = \frac{f (x)}{g (x)}$

Dæmi 1

Fyrir föllin f(x) = x² − 5x − 14 og g(x) = x + 2:

a. Finnið $(\frac{f}{g}) (x)$ .

Skref 1 - (f/g)(x) = $f (x)$ / $g (x)$ . Setjið inn fyrir f(x) og g(x).

$(\frac{f}{g}) (x) = \frac{f (x) = x^{2} - 5 x - 14}{x + 2}$

Skref 2 - Deilið margliðunum með langdeilingu.

$\begin{array}{l} x - 7 \\ x + 2) \bar{x^{2} - 5 x - 14} \\ \underline{- (x^{2} + 2 x)} \\ - 7 x - 14 \\ \underline{- (- 7 x - 14)} \\ 0 \end{array}$

$(\frac{f}{g}) (x) = x - 7$

b. Finnið $(\frac{f}{g}) (- 4)$ .

Skref 1 - Í a-lið fundum við $(\frac{f}{g}) (x)$ .

$(\frac{f}{g}) (x) = x - 7$

Skref 2 - Til að finna $(\frac{f}{g}) (- 4)$ setjum við $x = - 4$ .

$(\frac{f}{g}) (- 4) = - 4 - 7$

$(\frac{f}{g}) (- 4) = - 11$

Notkun afgangssetningarinnar

Skoðum nokkur deilingardæmi og afganga þeirra. Þau eru tekin saman í töflunni hér að neðan. Ef við tökum deilistofninn úr hverju deilingardæmi og notum hann til að skilgreina fall fáum við föllin sem sýnd eru í töflunni. Þegar deilirinn er ritaður sem x − c er gildi fallsins í c, f(c), það sama og afgangurinn úr deilingardæminu.

Deilistofn	Deilir	Afgangur	Fall	$f (c)$
x⁴ − 7x² + 7x + 6	x − (−3)	3	f(x) = x⁴ − 7x² + 7x + 6	f(−3) = 3
3x³ − 2x² − 10x + 8	x − (−3)	−61	f(x) = 3x³ − 2x² − 10x + 8	f(−3) = −61
x⁴ − 16x² + 3x + 15	x − (−4)	3	f(x) = x⁴ − 16x² + 3x + 15	f(−4) = 3

Til að sjá þetta almennt getum við athugað deilingardæmi með því að margfalda kvótann með deilinum og leggja afganginn við. Með falltáknun má segja: Til að fá deilistofninn f(x) margföldum við kvótann q(x) með deilinum x − c og leggjum afganginn r við.

$f (x) = q (x) (x - c) + r$

Ef við reiknum gildi þessa í c c , fáum við:

$f (c) = q (c) (c - c) + r$

$f (c) = q (c) (0) + r$

$f (c) = r$

Þetta leiðir okkur að afgangssetningunni.

Dæmi 2

Notið afgangssetninguna til að finna afganginn þegar f(x) = x³ + 3x + 19 er deilt með x + 2.

Til að nota afgangssetninguna þurfum við að rita deilirinn á forminu x − c. Við getum ritað x + 2 sem x − (−2), svo c = −2.

Til að finna afganginn reiknum við f(c), það er f(−2).

$f (x) = x^{3} + 3 x + 19$

Skref 1 - Til að reikna $f (- 2)$ setjum við $x = - 2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{3} + 3 (- 2) + 19$

Skref 2 - Einfaldið.

$f (- 2) = (- 8) - 6 + 19$

$f (- 2) = 5$

Afgangurinn er 5 þegar f(x) = x³ + 3x + 19 er deilt með x + 2.

Skref 3 - Athugið með Horner-aðferð.

Synthetic division setup: The divisor is -2. The dividend’s coefficients are 1, 0, 3, and 19. The first row below shows -2, 4, and -14. The final row is 1, -2, 7, remainder 5.

Afgangurinn er 5.