77.12 Teikning grafs út frá staðalformi, 1. hluti

7.12.2 Umbreytingar á annars stigs föllum

Verkefni

Notaðu grafteikniverkfæri eða aðra tækni utan námskeiðsins. Teiknaðu grunnfallið $f (x) = x^{2}$ og prófaðu síðan breytingarnar í spurningum 1-7. Skráðu það sem þú tekur eftir eða veltir fyrir þér við hverja breytingu; skissaðu gröf ef það hjálpar.

1. Bættu mismunandi fastaliðum við $x^{2}$ , til dæmis $x^{2} + 5$ , $x^{2} + 10$ og $x^{2} - 3$ .

Lausn

Berðu saman við þetta svar: Þegar fastaliðnum er breytt færist grafið upp ef fastaliðurinn er jákvæður og niður ef hann er neikvæður. Fastaliðurinn hliðrar grafinu lóðrétt en breytir ekki heildarlögun þess.

2. Margfaldaðu $x^{2}$ með mismunandi jákvæðum stuðlum stærri en 1, til dæmis $3 x^{2}$ og $7,5 x^{2}$ .

Lausn

Berðu saman við þetta svar: Jákvæðir stuðlar stærri en 1 breyta lögun grafsins. Grafið verður brattara þegar stuðullinn er stærri. Stuðullinn ákvarðar hve mikil lóðrétt teygja verður á grafinu.

3. Margfaldaðu $x^{2}$ með mismunandi neikvæðum stuðlum sem eru minni en eða jafnir −1, til dæmis $- x^{2}$ og $- 4 x^{2}$ .

Lausn

Berðu saman við þetta svar: Neikvæður stuðull speglar grafið um $x$ -ásinn þannig að fleygboginn opnast niður í stað þess að opnast upp.

4. Margfaldaðu $x^{2}$ með mismunandi stuðlum á milli −1 og 1, til dæmis $\frac{1}{2} x^{2}$ og $- 0,25 x^{2}$ .

Lausn

Berðu saman við þetta svar: Stuðlar á milli −1 og 1 breyta bæði opnun og stefnu grafsins. Þegar stuðullinn færist frá 1 í átt að 0 verður grafið grynnra og breiðara; það er lóðrétt samþjöppun. Þegar stuðullinn er 0 verður grafið lárétt lína. Þegar stuðullinn færist frá −1 í átt að 0 gerist sams konar lóðrétt samþjöppun, en grafið byrjar á því að opnast niður.

5. Bættu mismunandi föstum við $x$ áður en liðurinn er hafinn í annað veldi, til dæmis ${(x - 1)}^{2}$ , ${(x + 2)}^{2}$ og ${(x - 3)}^{2}$ .

Lausn

Berðu saman við þetta svar: Þegar fasta er bætt við $x$ í $x^{2}$ færist grafið lárétt til vinstri. Þegar fasti er dreginn frá $x$ í $x^{2}$ færist grafið lárétt til hægri.

6. Margfaldaðu $x$ með mismunandi jákvæðum stuðlum stærri en 1, til dæmis ${(3 x)}^{2}$ og ${(7,5 x)}^{2}$ .

Lausn

Berðu saman við þetta svar: Jákvæðir stuðlar stærri en 1 inni í sviganum breyta lögun grafsins. Grafið verður mjórra þegar stuðullinn er stærri og minna mjótt þegar stuðullinn er minni.

7. Margfaldaðu $x$ með mismunandi jákvæðum stuðlum á milli 0 og 1, til dæmis ${(0,5 x)}^{2}$ og ${(0,1 x)}^{2}$ .

Lausn

Berðu saman við þetta svar: Jákvæðir stuðlar á milli 0 og 1 inni í sviganum breyta lögun grafsins. Grafið verður breiðara eftir því sem stuðullinn nálgast núll.

Fyrir annars stigs föll er grunnfallið $f (x) = x^{2}$ . Breytingar eins og þær sem þú prófaðir í spurningum 1-7 kallast umbreytingar.

Viltu prófa meira?

Dýpkun

Skoðaðu gröf þriggja annars stigs falla.

Þrír fleygbogar eru teiknaðir í hnitakerfi með ómerktum ásum.

Hvað getur þú sagt um stuðulinn við $x^{2}$ í stæðunni sem skilgreinir $f$ , svarta grafið efst?

Lausn

Berðu saman við þetta svar: Stuðullinn er jákvæður, því graf $f$ opnast upp.

Hvað getur þú sagt um stuðulinn við $x^{2}$ í stæðunni sem skilgreinir $g$ , bláa grafið í miðjunni?

Lausn

Berðu saman við þetta svar: Stuðullinn er jákvæður, því graf $g$ opnast upp.

Eða: Stuðullinn er minni en stuðullinn fyrir graf $f$ en samt stærri en 0, því graf $g$ er breiðara.

Hvað getur þú sagt um stuðulinn við $x^{2}$ í stæðunni sem skilgreinir $h$ , gula grafið neðst?

Lausn

Berðu saman við þetta svar: Stuðullinn er neikvæður, því graf $h$ opnast niður.

Eða: Tölugildi stuðulsins fyrir $h$ er minna en tölugildi stuðlanna fyrir bæði $f$ og $g$ , því graf $h$ er breiðara.

Hvernig bera föllin sig saman hvert við annað?

Lausn

Berðu saman við þetta svar: Ekki er hægt að ákvarða stuðlana nákvæmlega án þess að þekkja hnit einhverra punkta á gröfunum. Stuðull annars stigs liðarins í $f$ er stærri en í $g$ , því graf $f$ er mjórra og vex því hraðar. Tölugildi stuðulsins í $h$ er minna en í $g$ , því graf $h$ er breiðara og vex ekki jafn hratt.

Sjálfspróf

Hvernig fæst graf $f (x) = {(x - 4)}^{2}$ úr grafinu fyrir $f (x) = x^{2}$ ?

A. Til vinstri um 4
B. Til hægri um 4
C. Niður um 4
D. Upp um 4

Viðbótarefni

Að teikna gröf annars stigs falla með umbreytingum

Graf annars stigs falls á forminu f(x)=x²+k með lóðréttri hliðrun

Graf $f (x) = x^{2} + k$ fæst með því að hliðra grafinu fyrir $f (x) = x^{2}$ lóðrétt um $k$ einingar.

Ef $k > 0$ er fleygboganum hliðrað upp um $k$ einingar.
Ef $k < 0$ er fleygboganum hliðrað niður um $| k |$ einingar.

Graf grunnfallsins er sýnt með blárri, heilli línu. Lóðréttar hliðranir eru sýndar með appelsínugulum brotnum ferli og grænum punktuðum ferli.

Á myndinni er grunnfallið $f (x) = x^{2}$ teiknað með blárri, heilli línu.

Fleygboginn sem hefur verið hliðrað upp um 3 einingar táknar $f (x) = x^{2} + 3$ , því $k = 3$ og $3 > 0$ (appelsínugult, brotið graf).
Fleygboginn sem hefur verið hliðrað niður um 2 einingar táknar $f (x) = x^{2} - 2$ , því $k = - 2$ og $- 2 < 0$ (grænt, punktalínu-graf).

Graf annars stigs falls á forminu f(x)=(x−h)² með láréttri hliðrun

Graf $f (x) = {(x - h)}^{2}$ fæst með því að hliðra grafinu fyrir $f (x) = x^{2}$ lárétt um $h$ einingar.

Ef $h > 0$ er fleygboganum hliðrað til hægri um $h$ einingar.
Ef $h < 0$ er fleygboganum hliðrað til vinstri um $| h |$ einingar.

Graf grunnfallsins er sýnt með blárri, heilli línu. Láréttar hliðranir eru sýndar með appelsínugulum brotnum ferli og grænum punktuðum ferli.

Aftur er grunnfallið $f (x) = x^{2}$ teiknað með blárri, heilli línu.

Fleygboginn sem hefur verið hliðrað til hægri um 3 einingar táknar $f (x) = {(x - 3)}^{2}$ , því $h = 3$ og $3 > 0$ (appelsínugult, brotið graf).
Fleygboginn sem hefur verið hliðrað til vinstri um 2 einingar táknar $f (x) = {(x + 2)}^{2}$ , því $h = - 2$ og $- 2 < 0$ (grænt, punktalínu-graf).

Graf annars stigs falls á forminu f(x)=ax²

Stuðullinn $a$ í fallinu $f (x) = a x^{2}$ hefur áhrif á graf $f (x) = x^{2}$ með því að teygja það eða samþjappa því.

Ef $0 < | a | < 1$ verður graf $f (x) = a x^{2}$ breiðara en graf $f (x) = x^{2}$ .
Ef $| a | > 1$ verður graf $f (x) = a x^{2}$ mjórra en graf $f (x) = x^{2}$ .

Graf grunnfallsins er sýnt með blárri, heilli línu. Lóðrétt sköluð föll eru sýnd með appelsínugulum brotnum ferli og grænum punktuðum ferli.

Aftur er grunnfallið $f (x) = x^{2}$ teiknað með blárri, heilli línu.

Fleygboginn sem hefur verið lóðrétt samþjappaður með kvarðaþættinum $\frac{1}{2}$ táknar $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ , því $a = \frac{1}{2}$ og $0 < \frac{1}{2} < 1$ (grænt, punktalínu-graf).
Fleygboginn sem hefur verið lóðrétt teygður með kvarðaþættinum 3 táknar $f (x) = 3 x^{2}$ , því $a = 3$ og $3 > 1$ (appelsínugult, brotið graf).

Graf annars stigs falls á forminu f(x)=(bx)²

Stuðullinn $b$ í fallinu $f (x) = {(b x)}^{2}$ hefur áhrif á graf $f (x) = x^{2}$ með því að teygja það eða samþjappa því.

Ef $0 < | b | < 1$ virðist graf $f (x) = {(b x)}^{2}$ breiðara en graf $f (x) = x^{2}$ .
Ef $| b | > 1$ virðist graf $f (x) = {(b x)}^{2}$ mjórra en graf $f (x) = x^{2}$ .

Graf grunnfallsins er sýnt með blárri, heilli línu. Lárétt sköluð föll eru sýnd með appelsínugulum brotnum ferli og grænum punktuðum ferli.

Aftur er grunnfallið $f (x) = x^{2}$ teiknað með blárri, heilli línu.

Fleygboginn sem hefur verið lárétt samþjappaður með kvarðaþættinum 3 táknar $f (x) = {(3 x)}^{2}$ , því $b = 3$ og $3 > 1$ (appelsínugult, brotið graf).
Fleygboginn sem hefur verið lárétt teygður með kvarðaþættinum $\frac{1}{2}$ táknar $f (x) = {(\frac{1}{2} x)}^{2}$ , því $b = \frac{1}{2}$ og $0 < \frac{1}{2} < 1$ (grænt, punktalínu-graf).

Reyndu þetta

Að teikna gröf annars stigs falla með umbreytingum

Hvernig breytist graf $f (x) = x^{2} + 3$ frá grafinu fyrir $f (x) = x^{2}$ ?

Lausn

Svona má ákvarða hliðranir á gröfum: Fallið $f (x) = x^{2}$ er grunnfall annars stigs falla. Í $f (x) = x^{2} + 3$ er 3 bætt við $f (x) = x^{2}$ , þannig að grafið hliðrast upp um 3 einingar. Hliðrunin er lóðrétt vegna þess að talan 3 bætist við úttak $x^{2}$ -fallsins.

7.12.2 Umbreytingar á annars stigs föllum

Verkefni

1. Bættu mismunandi fastaliðum við $x^{2}$ , til dæmis $x^{2} + 5$ , $x^{2} + 10$ og $x^{2} - 3$ .

Lausn

2. Margfaldaðu $x^{2}$ með mismunandi jákvæðum stuðlum stærri en 1, til dæmis $3 x^{2}$ og $7,5 x^{2}$ .

Lausn

3. Margfaldaðu $x^{2}$ með mismunandi neikvæðum stuðlum sem eru minni en eða jafnir −1, til dæmis $- x^{2}$ og $- 4 x^{2}$ .

Lausn

Berðu saman við þetta svar: Neikvæður stuðull speglar grafið um $x$ -ásinn þannig að fleygboginn opnast niður í stað þess að opnast upp.

4. Margfaldaðu $x^{2}$ með mismunandi stuðlum á milli −1 og 1, til dæmis $\frac{1}{2} x^{2}$ og $- 0,25 x^{2}$ .

Lausn

5. Bættu mismunandi föstum við $x$ áður en liðurinn er hafinn í annað veldi, til dæmis ${(x - 1)}^{2}$ , ${(x + 2)}^{2}$ og ${(x - 3)}^{2}$ .

Lausn

Berðu saman við þetta svar: Þegar fasta er bætt við $x$ í $x^{2}$ færist grafið lárétt til vinstri. Þegar fasti er dreginn frá $x$ í $x^{2}$ færist grafið lárétt til hægri.

6. Margfaldaðu $x$ með mismunandi jákvæðum stuðlum stærri en 1, til dæmis ${(3 x)}^{2}$ og ${(7,5 x)}^{2}$ .

Lausn

7. Margfaldaðu $x$ með mismunandi jákvæðum stuðlum á milli 0 og 1, til dæmis ${(0,5 x)}^{2}$ og ${(0,1 x)}^{2}$ .

Lausn

Berðu saman við þetta svar: Jákvæðir stuðlar á milli 0 og 1 inni í sviganum breyta lögun grafsins. Grafið verður breiðara eftir því sem stuðullinn nálgast núll.

Fyrir annars stigs föll er grunnfallið $f (x) = x^{2}$ . Breytingar eins og þær sem þú prófaðir í spurningum 1-7 kallast umbreytingar.

Viltu prófa meira?

Dýpkun

Skoðaðu gröf þriggja annars stigs falla.

Hvað getur þú sagt um stuðulinn við $x^{2}$ í stæðunni sem skilgreinir $f$ , svarta grafið efst?

Lausn

Berðu saman við þetta svar: Stuðullinn er jákvæður, því graf $f$ opnast upp.

Hvað getur þú sagt um stuðulinn við $x^{2}$ í stæðunni sem skilgreinir $g$ , bláa grafið í miðjunni?

Lausn

Berðu saman við þetta svar: Stuðullinn er jákvæður, því graf $g$ opnast upp.

Eða: Stuðullinn er minni en stuðullinn fyrir graf $f$ en samt stærri en 0, því graf $g$ er breiðara.

Hvað getur þú sagt um stuðulinn við $x^{2}$ í stæðunni sem skilgreinir $h$ , gula grafið neðst?

Lausn

Berðu saman við þetta svar: Stuðullinn er neikvæður, því graf $h$ opnast niður.

Eða: Tölugildi stuðulsins fyrir $h$ er minna en tölugildi stuðlanna fyrir bæði $f$ og $g$ , því graf $h$ er breiðara.

Hvernig bera föllin sig saman hvert við annað?

Lausn

Sjálfspróf

Hvernig fæst graf $f (x) = {(x - 4)}^{2}$ úr grafinu fyrir $f (x) = x^{2}$ ?

A. Til vinstri um 4
B. Til hægri um 4
C. Niður um 4
D. Upp um 4

Viðbótarefni

Að teikna gröf annars stigs falla með umbreytingum

Graf annars stigs falls á forminu f(x)=x²+k með lóðréttri hliðrun

Graf $f (x) = x^{2} + k$ fæst með því að hliðra grafinu fyrir $f (x) = x^{2}$ lóðrétt um $k$ einingar.

Ef $k > 0$ er fleygboganum hliðrað upp um $k$ einingar.
Ef $k < 0$ er fleygboganum hliðrað niður um $| k |$ einingar.

Á myndinni er grunnfallið $f (x) = x^{2}$ teiknað með blárri, heilli línu.

Fleygboginn sem hefur verið hliðrað upp um 3 einingar táknar $f (x) = x^{2} + 3$ , því $k = 3$ og $3 > 0$ (appelsínugult, brotið graf).
Fleygboginn sem hefur verið hliðrað niður um 2 einingar táknar $f (x) = x^{2} - 2$ , því $k = - 2$ og $- 2 < 0$ (grænt, punktalínu-graf).

Graf annars stigs falls á forminu f(x)=(x−h)² með láréttri hliðrun

Graf $f (x) = {(x - h)}^{2}$ fæst með því að hliðra grafinu fyrir $f (x) = x^{2}$ lárétt um $h$ einingar.

Ef $h > 0$ er fleygboganum hliðrað til hægri um $h$ einingar.
Ef $h < 0$ er fleygboganum hliðrað til vinstri um $| h |$ einingar.

Aftur er grunnfallið $f (x) = x^{2}$ teiknað með blárri, heilli línu.

Fleygboginn sem hefur verið hliðrað til hægri um 3 einingar táknar $f (x) = {(x - 3)}^{2}$ , því $h = 3$ og $3 > 0$ (appelsínugult, brotið graf).
Fleygboginn sem hefur verið hliðrað til vinstri um 2 einingar táknar $f (x) = {(x + 2)}^{2}$ , því $h = - 2$ og $- 2 < 0$ (grænt, punktalínu-graf).

Graf annars stigs falls á forminu f(x)=ax²

Stuðullinn $a$ í fallinu $f (x) = a x^{2}$ hefur áhrif á graf $f (x) = x^{2}$ með því að teygja það eða samþjappa því.

Ef $0 < | a | < 1$ verður graf $f (x) = a x^{2}$ breiðara en graf $f (x) = x^{2}$ .
Ef $| a | > 1$ verður graf $f (x) = a x^{2}$ mjórra en graf $f (x) = x^{2}$ .

Aftur er grunnfallið $f (x) = x^{2}$ teiknað með blárri, heilli línu.

Fleygboginn sem hefur verið lóðrétt samþjappaður með kvarðaþættinum $\frac{1}{2}$ táknar $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ , því $a = \frac{1}{2}$ og $0 < \frac{1}{2} < 1$ (grænt, punktalínu-graf).
Fleygboginn sem hefur verið lóðrétt teygður með kvarðaþættinum 3 táknar $f (x) = 3 x^{2}$ , því $a = 3$ og $3 > 1$ (appelsínugult, brotið graf).

Graf annars stigs falls á forminu f(x)=(bx)²

Stuðullinn $b$ í fallinu $f (x) = {(b x)}^{2}$ hefur áhrif á graf $f (x) = x^{2}$ með því að teygja það eða samþjappa því.

Ef $0 < | b | < 1$ virðist graf $f (x) = {(b x)}^{2}$ breiðara en graf $f (x) = x^{2}$ .
Ef $| b | > 1$ virðist graf $f (x) = {(b x)}^{2}$ mjórra en graf $f (x) = x^{2}$ .

Aftur er grunnfallið $f (x) = x^{2}$ teiknað með blárri, heilli línu.

Fleygboginn sem hefur verið lárétt samþjappaður með kvarðaþættinum 3 táknar $f (x) = {(3 x)}^{2}$ , því $b = 3$ og $3 > 1$ (appelsínugult, brotið graf).
Fleygboginn sem hefur verið lárétt teygður með kvarðaþættinum $\frac{1}{2}$ táknar $f (x) = {(\frac{1}{2} x)}^{2}$ , því $b = \frac{1}{2}$ og $0 < \frac{1}{2} < 1$ (grænt, punktalínu-graf).

Reyndu þetta

Að teikna gröf annars stigs falla með umbreytingum

Hvernig breytist graf $f (x) = x^{2} + 3$ frá grafinu fyrir $f (x) = x^{2}$ ?

Lausn