7.12.3 Að skilja hegðun grafs út frá annars stigs stæðu þess

Verkefni

Í þessu verkefni notar þú gildistöflur til að tengja breytingar á annars stigs stæðum við hegðun grafa þeirra.

1-3: Fastaliður og lóðrétt hliðrun

Notaðu töfluna fyrir mismunandi gildi á x til að finna gildi stæðnanna $x^2+10$ og $x^2-3$. Þú getur líka notað töflureikni ef hann er tiltækur.

4-7: Stuðull annars stigs liðarins

Notaðu sömu x-gildi til að finna gildi stæðnanna $2x^2$, $\frac{1}{2}{x}^2$ og $-2x^2$.

Myndband

Myndbandið í upprunalega efninu fjallar um hvernig hegðun grafs tengist annars stigs stæðunni sem skilgreinir fallið.

Sjálfspróf

Hvaða ferill er mjórri en graf grunnfallsins? $f\left(x\right)=x^2$

Veldu eitt svar:

1. A. $f\left(x\right)={(x+3)}^2$
2. B. $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^2$
3. C. $f\left(x\right)=3x^2$
4. D. $f\left(x\right)=x^2+3$

Viðbótarefni

Umbreytingar bornar saman við gröf annars stigs falla

Mundu að graf annars stigs falls er fleygbogi. Fleygbogi opnast upp þegar lægsti punktur grafsins er topppunkturinn, þar sem grafið skiptir um stefnu. Hann opnast niður þegar hæsti punkturinn er topppunkturinn. Hver stuðull í annars stigs stæðu á staðalformi segir eitthvað mikilvægt um grafið.

Graf $f\left(x\right)=x^2$ er fleygbogi sem opnast upp og hefur topppunkt í (0,0). Ef fastaliðnum 5 er bætt við fæst $f\left(x\right)=x^2+5$ og grafið færist upp um 5 einingar. Ef 4 er dregið frá x² fæst $f\left(x\right)=x^2-4$ og grafið færist niður um 4 einingar.

Gildistafla fyrir lóðréttar hliðranir:

Taflan sýnir að fastaliðurinn hækkar eða lækkar öll úttaksgildi um sama fjölda eininga. Almennt hefur fastaliður í staðalformi áhrif á lóðrétta staðsetningu grafsins. Ef enginn fastaliður er í stæðunni, til dæmis $x^2$ eða $x^2+9x$, er fastaliðurinn 0 og skurðpunktur grafsins við y-ás liggur á x-ásnum.

Stuðull annars stigs liðarins

Stuðull annars stigs liðarins segir líka til um hegðun grafsins. Í f(x)=x² er stuðullinn 1 og grafið opnast upp. Ef x² er margfaldað með tölu stærri en 1 verður grafið brattara og fleygboginn mjórri. Ef x² er margfaldað með tölu sem er minni en 1 en stærri en 0 verður grafið minna bratt og fleygboginn breiðari. Ef x² er margfaldað með tölu minni en 0 opnast fleygboginn niður.

Gildistafla fyrir stuðla annars stigs liðarins:

Ef úttaksgildi $2x^2$ og $-2x^2$ eru borin saman sést að þau eru gagnstæðar tölur. Það bendir til þess að annað grafið sé speglun hins um x-ásinn.

Í dæmunum hér að framan höfðu stuðlar eða fastaliðir áhrif á úttaksgildi fallsins. Það hefur lóðrétt áhrif á grafið. Þegar inntaksgildinu er hins vegar breytt áður en veldið er tekið verða áhrifin lárétt.

Láréttar hliðranir

Grunnfallið $f\left(x\right)=x^2$ má líka skrifa sem $f\left(x\right)={(x-0)}^2$. Það sýnir að ekkert er gert við inntaksgildið áður en það er sett í annað veldi.

Ef talan sem breytir inntakinu er stærri en 0 færist graf fallsins til hægri. Ef talan er minni en 0 færist grafið til vinstri. Taktu eftir áhrifunum þegar neikvætt gildi er dregið frá inntakinu.

Gildistafla fyrir láréttar hliðranir:

Í þessari töflu breytist inntaksgildið áður en liðurinn er hafinn í annað veldi. Þegar gröf ${(x-3)}^2$ og ${(x+3)}^2$ eru borin saman við graf grunnfallsins sést að fleygboginn hefur hliðrast um 3 einingar til hægri og 3 einingar til vinstri.

Lárétt skölun og speglun

Nú skoðum við áhrif stuðuls á inntaksgildið. Ef inntaksgildið er margfaldað með tölu stærri en 1 áður en veldið er tekið verður fleygboginn lárétt samþjappaður. Ef inntaksgildið er margfaldað með tölu á milli 0 og 1 verður fleygboginn lárétt teygður.

Gildistafla fyrir lárétta skölun:

Ef inntaksgildið er margfaldað með neikvæðri tölu speglast fleygboginn um y-ásinn. Vegna samhverfu fleygboga er erfitt að greina þessa speglun sjónrænt. Þegar inntakið er margfaldað breytist stærðin sem er sett í annað veldi, svo grafið teygist eða samþjappast lárétt.

Reyndu þetta

Umbreytingar bornar saman við gröf annars stigs falla

Ef rauða grafið í miðjunni er grunnfallið $f\left(x\right)=x^2$, hverjar eru jöfnur bláa grafsins efst og græna grafsins neðst?

Lausn

Græna grafið er graf $f\left(x\right)=x^2$ hliðrað niður um 2, svo fallið er $f\left(x\right)=x^2-2$. Bláa grafið er graf f(x)=x² hliðrað upp um 4, svo fallið er $f\left(x\right)=x^2+4$.

Ef rauða grafið í miðjunni er grunnfallið $f\left(x\right)=x^2$, hverjar eru jöfnur bláa grafsins til hægri og græna grafsins til vinstri?

Lausn

Græna grafið er graf $f\left(x\right)=x^2$ hliðrað til vinstri um 3/2, svo fallið er $f\left(x\right)={(x+\frac{3}{2})}^2$. Bláa grafið er graf f(x)=x² hliðrað til hægri um 3, svo fallið er $f\left(x\right)={(x-3)}^2$.

Rauða grafið í miðjunni er $f\left(x\right)=x^2$. Jöfnur hinna grafanna eru $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^2$ og $f\left(x\right)=5x^2$. Hvaða fall passar við græna grafið innan við grunnfallið? Hvaða fall passar við bláa grafið utan við það?

Lausn

Græna grafið er mjórra en $f\left(x\right)=x^2$ og verður því að hafa stuðul stærri en stuðulinn við x². Græna grafið er $f\left(x\right)=5x^2$. Bláa grafið er breiðara en f(x)=x² og hefur því minni stuðul við x². Bláa grafið er $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^2$.

Svarta grafið í miðjunni er grunnfallið $f\left(x\right)=x^2$. Jöfnur hinna grafanna eru $f\left(x\right)={\left(\frac{2}{5}x\right)}^2$ og $f\left(x\right)={\left(\frac{4}{3}x\right)}^2$. Hvaða fall passar við græna grafið innan við grunnfallið? Hvaða fall passar við bláa grafið utan við það?

Lausn

Græna grafið er lárétt samþjappað miðað við grunnfallið. Stuðullinn sem hefur áhrif á inntaksgildið þarf því að vera stærri en 1, svo græna grafið táknar $f\left(x\right)={\left(\frac{4}{3}x\right)}^2$. Bláa grafið er lárétt teygt miðað við grunnfallið. Stuðullinn sem hefur áhrif á inntaksgildið þarf því að vera stærri en 0 en minni en 1, svo bláa grafið táknar $f\left(x\right)={\left(\frac{2}{5}x\right)}^2$.