7.4.3 Samanburður vísisfalla og annars stigs falla

Hér eru tvö föll: $p(x)=6x^2$ $q(x)=3^x$

Rannsakaðu úttak $p$ og $q$ fyrir mismunandi gildi á $x$. Þegar $x$ verður nógu stórt fær annað fallið stærra gildi en hitt.

Hvort fallið hefur stærra gildi þegar $x$ stækkar?

Rökstuddu svarið með töflum, gröfum eða annarri framsetningu.

Lausn

Berðu saman svarið þitt: $q$ er stærra þegar $x=0$ og aftur þegar $x=5$. Þegar $x$ er orðið stærra en 5 vex $q$ miklu hraðar, eins og taflan sýnir. $x>5$

$x$	$p(x)$	$q(x)$
0	0	1
1	6	3
2	24	9
3	54	27
4	96	81
5	150	243
6	216	729
7	294	2.187

Hér er einnig graf sem sýnir punktana úr töflunni og annað graf sem sýnir föllin: $y=p(x)$ $y=q(x)$

Janna segir að sum vísisföll vaxi hægar en annars stigs fall þegar $x$ stækkar. Ertu sammála Jönnu? Gættu þess að geta sýnt rökstuðninginn þinn.

Er hægt að hafa vísisfall þannig að ">g($x$)) sé minna en ">f($x$)) fyrir öll gildi á $x$? $g(x)=b^x$ $g(x)<f(x)$

Gerðu eftirfarandi fyrir hvort fallanna tveggja:

• Fylltu út gildistöfluna.
• Teiknaðu graf.
• Ákvarðaðu hvort fallið sé línulegt, annars stigs fall eða vísisfall og gættu þess að geta útskýrt hvernig þú veist það.

$f(x)=3·2^x$

Þetta fall er vísisfall. Það hefur vaxtarstuðulinn 2.

$g(x)=3·x^2$

Þetta fall er ekki línulegt, því það hefur ekki fastan breytingarhraða, og það er ekki vísisfall, því það hefur ekki fastan vaxtarstuðul. Fallið er annars stigs fall, því það má tákna með: $g(x)=3·x^2$

Stærsta veldið í stæðunni er annað veldi.

Athugið: Af föllunum ">f($x$)) og ">g($x$)) mun ">f($x$)) hafa stærra gildi þegar $x$ stækkar.