8.2.2 Kanna aðferðir án grafa til að leysa annars stigs jöfnur

Verkefni

Í fyrri kennslustund sástu jöfnu sem skilgreinir hæð kartöflu sem fall af tíma eftir að henni var skotið úr vélrænum búnaði. Hér er annað fall sem líkir eftir hæð kartöflu, í fetum, $t$ sekúndum eftir að henni var skotið úr öðrum búnaði:

$f\left(t\right)=-16t^2+80t+64$

1. Hvaða jöfnu myndum við leysa til að finna tímann þegar kartaflan lendir á jörðinni?

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt: $-16t^2+80t+64=0$

   Þar sem kartaflan lendir á jörðinni í 0 feta hæð setjum við fallið jafnt og 0.

2. Notaðu hvaða aðferð sem er nema grafteikningu til að finna lausn á jöfnunni úr fyrri spurningu.

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt: Nálguð lausn er um það bil 5,7 sekúndur með því að prófa sig áfram.

Persónuþroski: Forvitni

Forvitni er löngunin til að læra og skilja nýja hluti. Þegar eitthvað vekur forvitni þína vinnur þú dýpra úr því en ef þú lætur þér nægja yfirborðslegan skilning.

Hugsaðu um forvitni þína eins og hún er núna. Eiga eftirfarandi fullyrðingar við um þig?

• Ég sökkti mér svo djúpt í námið að ég gleymdi stund og stað.
• Ég tók frumkvæði að því að læra meira um eitt af áhugamálum mínum.

Ekki hafa áhyggjur ef engin af þessum fullyrðingum á við um þig. Það tekur tíma að þroska þennan eiginleika. Fyrsta skrefið þitt hefst í dag.

Sjálfspróf

Eftir að kveikt er á vasaljósi verður það bjartara eftir því sem það hitnar og síðan dofnar það eftir því sem rafhlaðan tæmist. Jafnan sem líkir eftir birtustiginu, í lúmenum, $h$ klukkustundum eftir að kveikt var á vasaljósinu, er sýnd hér.

$f\left(h\right)=-8h^2+30h+50$

Hvaða jöfnu myndir þú leysa til að ákvarða hvenær vasaljósið slokknar og hættir að gefa frá sér ljós?

1. $-8h^2+30h+50=0$
2. $-8h^2+30h=50$
3. $8h^2+30h+50=0$
4. $-8h^2+30h-50=0$

Ítarefni

Að nota ýmsar aðferðir til að leysa annars stigs jöfnur

Tennisbolta er kastað út um glugga á byggingu. Jafnan sem líkir eftir hæð tennisboltans, í fetum, $t$ sekúndum eftir að honum var kastað, er sýnd hér.

$f\left(t\right)=-24t^2+33t+30$

Finnum jöfnuna sem við myndum leysa til að finna tímann þegar boltinn lendir á jörðinni.

Þegar boltinn lendir á jörðinni er hæð hans 0. Þess vegna setjum við jöfnuna jafna 0.

$-24t^2+33t+30=0$

Lausnin á þessari jöfnu táknar tímann frá því að boltanum er kastað þar til hann lendir á jörðinni.

Við skulum reyna að leysa jöfnuna.

Skref 1 - Ritaðu jöfnuna sem á að leysa.

Skref 2 - Dragðu 30 frá báðum hliðum jöfnunnar.

Skref 3 - Deildu báðum hliðum jöfnunnar með 3.

Við skulum reyna að leysa jöfnuna sem eftir stendur með því að prófa okkur áfram.

Þegar $t=3$ hefur stæðan gildið $-39$. Þetta gildi er ekki jafnt og $-10$, sem við þurftum að finna. $-8{(}^3+11(3)=-39$

Þegar $t=2$ hefur stæðan gildið $-10$. Þetta gildi er jafnt og $-10$, sem við þurftum að finna. $-8{(}^2+11(2)=-10$

Jafnan er sönn þegar $t=2$, svo boltinn var 2 sekúndur að lenda á jörðinni. Þessi aðferð virkar en getur verið erfiðari þegar lausnin er tugabrot. Grafteikning getur líka virkað, en hún er tímafrek og gefur nálgaða lausn.

Prófaðu

Að nota ýmsar aðferðir til að leysa annars stigs jöfnur

Vatnsbogi rennur úr gosbrunni niður í tjörn fyrir neðan hann. Hæð bogans fyrir ofan tjörnina, í tommum, má líkja eftir með jöfnunni $f\left(x\right)=-2x^2+5x+3$, þar sem $x$ er lárétt fjarlægð, í tommum, frá gosbrunninum.

1. Hvaða jöfnu myndir þú leysa til að ákvarða hversu langt vatnsboginn hefur ferðast lárétt þegar hann nær tjörninni fyrir neðan?
2. Leystu jöfnuna með aðferð án grafteikningar.

Lausn

Jafnan táknar vatnsbogann þegar hann nær tjörninni fyrir neðan. $-2x^2+5x+3=0$

Til að leysa jöfnuna skulum við prófa okkur áfram með innsetningu.

Fyrst prófum við $x=2$. $-2{(}^2+5(2)+3=5$ $5\ne 0$

Nú prófum við $x=3$. $-2{(}^3+5(3)+3=0$ $0=0$

Þar sem jafnan er sönn er $x=3$ rétt. Vatnsboginn hefur ferðast 3 tommur lárétt þegar hann nær tjörninni fyrir neðan gosbrunninn.