8.2.3 Lausn annars stigs jöfnu sem er sett jöfn núlli

Verkefni

Stæðurnar $p(200-5p)$ og $-5p^2+200p$ skilgreina sama fallið. Fallið líkir eftir tekjunum sem skóli myndi afla með því að selja happdrættismiða á $p$ dali hvern.

1. Við hvaða verð myndi skólinn fá $0 í tekjur af happdrættissölunni? Útskýrðu eða sýndu rökstuðning þinn.

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt: Verðin eru $0 og $40.

   Ef jafnan $p(200-5p)=0$ er sönn, þá er annaðhvort $p=0$ eða $200-5p=0$. Þá er $p=40$, því $200-5\left(40\right)=0$.

2. Starfsfólk skólans tók eftir því að tvö miðaverð myndu skila $500 í tekjur. Hvaða jöfnu gætir þú notað til að ákvarða hver þessi tvö verð eru?

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt: Við gætum ritað aðra hvora af eftirfarandi jöfnum: $p(200-5p)=500$ eða $-5p^2+200p=500$.

   Nálgunarlausnir má finna með því að prófa sig áfram eða með grafteikningu. Við þekkjum þó ekki enn nákvæma aðferð til að leysa hvora jöfnuna sem er.

Viltu meira?

Að víkka hugsunina

Getur þú fundið eftirfarandi verð án þess að teikna graf?

1. Ef skólinn rukkar $10 fær hann $1500 í tekjur. Finndu annað verð sem myndi skila $1500 í tekjur.

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt: $30.

   Að færa sig jafnlangt frá hvorum skurðpunkti grafsins við láréttan ás, við $0 og $40, leiðir til sömu tekna. Þess vegna skila $10 og $30 jafnmiklum tekjum.

2. Ef skólinn rukkar $28 fær hann $1680 í tekjur. Finndu annað verð sem myndi skila $1680 í tekjur.

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt: $12.

   Að færa sig jafnlangt frá hvorum skurðpunkti grafsins við láréttan ás, við $0 og $40, leiðir til sömu tekna. Þess vegna skila $12 og $28 jafnmiklum tekjum.

3. Finndu verðið sem myndi skila mestum mögulegum tekjum. Búðu þig undir að sýna rökstuðning þinn.

   Lausn

   Berðu saman svarið þitt: $20. Að færa sig jafnlangt frá hvorum skurðpunkti grafsins við láréttan ás leiðir til sömu tekna. Því lengra sem við færum okkur frá einum skurðpunkti í átt að hinum, því meiri verða tekjurnar þar til komið er að miðjunni. Besta miðaverðið er $20 og það skilar $2000 í tekjur, þar sem $p=20$.

Sjálfspróf

Stæðurnar $s(60-12s)$ og $-12s^2+60s$ skilgreina sama fallið. Sápukúluvél getur sent margar sápukúlur út í loftið áður en þær byrja að springa. Fallið líkir eftir fjölda sápukúlna sem svífa í loftinu eftir $s$ sekúndur.

Samkvæmt fallinu, hversu margar sekúndur eru liðnar þegar allar kúlurnar hafa verið búnar til og sprungið?

1. 7 sekúndur
2. 6 sekúndur
3. 5 sekúndur
4. 0 sekúndur

Ítarefni

Að leysa annars stigs jöfnu sem er jöfn núlli

Stæðurnar $h(40-10h)$ og $-10h^2+40h$ skilgreina sama fallið. Fallið líkir eftir hæð veðurloftbelgs í mílum $h$ klukkustundum eftir að honum er sleppt.

1. Hvaða jöfnu er hægt að nota til að ákvarða tímana þegar veðurloftbelgurinn er á jörðinni?

   Lausn

   Þegar veðurloftbelgurinn er á jörðinni er hæðin 0. Því táknar jafnan $h(40-10h)=0$ þá tíma þegar hann er á jörðinni.

2. Hvernig getum við leyst jöfnuna $h(40-10h)=0$?

   Lausn

   Við vitum að margfeldi verður 0 ef annar þátturinn er 0. Þess vegna nægir að setja $h=0$ eða $40-10h=0$.

   $$\begin{array}{rcl}40-10h& =& 0\\ 40& =& 10h\\ 4& =& h\end{array}$$

   Veðurloftbelgurinn er á jörðinni við 0 klukkustundir og aftur eftir 4 klukkustundir.

3. Vísindamaður vill ákvarða tvo mismunandi tímapunkta þegar veðurloftbelgurinn er í 30 mílna hæð yfir jörðu. Ritaðu jöfnu sem táknar þessa tíma.

   Lausn

   Tímarnir eru táknaðir með annarri hvorri af eftirfarandi jöfnum: $h(40-10h)=30$ eða $-10h^2+40h=30$.

4. Ef veðurloftbelgurinn er í 30 mílna hæð yfir jörðu eftir 1 klukkustund, finndu annan tíma þegar hann er í 30 mílna hæð yfir jörðu.

   Lausn

   Heildarferðin tekur 4 klukkustundir. Þar sem grafið sem lýsir fluginu er samhverft, verður belgurinn aftur í 30 mílna hæð 1 klukkustund áður en hann lendir á jörðinni. Það gerist eftir 3 klukkustundir.

Prófaðu

Að leysa annars stigs jöfnu sem er jöfn núlli

Stæðurnar $p(420-60p)$ og $-60p^2+420p$ skilgreina sama fallið. Fallið líkir eftir tekjum á hafnaboltaleik af sölu hafnaboltatímarita sem eru seld á $p$ dali hvert.

1. Við hvaða verð myndu skipuleggjendur leiksins fá $0 í tekjur af tímaritasölunni? Útskýrðu eða sýndu rökstuðning þinn.

   Lausn

   Lausn: Verðin eru $0 og $7. Ef jafnan $p(420-60p)=0$ er sönn, þá er annaðhvort $p=0$ eða $420-60p=0$. Þá er $p=7$, því $420-60\left(7\right)=0$.

2. Skipuleggjendurnir ákváðu að tvö tímaritsverð myndu skila $600 í tekjur. Hvaða jöfnu myndir þú nota til að ákvarða hver þessi tvö verð eru?

   Lausn

   Lausn: Við gætum ritað aðra hvora af eftirfarandi jöfnum: $p(420-60p)=600$ eða $-60p^2+420p=600$.

   Við getum notað aðferðina að prófa sig áfram eða grafteikningu til að finna nálgunarlausnir. Við þekkjum ekki enn nákvæma aðferð til að leysa hvora jöfnuna sem er.