99.1 Hvað eru fullkomnir ferningar?

9.1.3 Að leysa fjölþrepa annars stigs jöfnur með ferningum

9.1.3 • Að leysa fjölþrepa annars stigs jöfnur með ferningum

Verkefni

Han og Jada leystu sömu annars stigs jöfnuna með mismunandi aðferðum. Hér eru aðferðirnar:

Aðferð Hans	Aðferð Jödu
$(x - 6)^{2} = 25$ $(x - 6) (x - 6) = 25$ $x^{2} - 12 x + 36 = 25$ $x^{2} - 12 x + 11 = 0$ $(x - 11) (x - 1) = 0$ $x - 11 = 0$ $x - 1 = 0$ $x = 11$ $x = 1$	$(x - 6)^{2} = 25$ $x - 6 = \pm 5$ $x - 6 = 5$ $x - 6 = - 5$ $x = 11$ $x = 1$

Vinnið með félaga að því að leysa þessar jöfnur. Fyrir hverja jöfnu leysir annar félaginn með aðferð Hans og hinn með aðferð Jödu. Gangið úr skugga um að báðir fái sömu lausnir við sömu jöfnu. Ef ekki, vinnið saman að því að finna mistökin ykkar.

1. Leystu jöfnuna.

(y - 5)^{2} = 49

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

y = 12

y = - 2

2. Leystu jöfnuna.

(x + 4)^{2} = 9

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

x = - 1

x = - 7

3. Leystu jöfnuna.

(z + \frac{1}{3})^{2} = 49

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

z = 6, \overline{6}

z = 6 \frac{2}{3}

z = - 7, \overline{3}

z = - 7 \frac{1}{3}

4. Leystu jöfnuna.

(v - 0,1)^{2} = 0,36

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

v = 0,7

v = - 0,5

Sjálfspróf

Finndu allar lausnir þessarar jöfnu.

(x - 3)^{2} = 25

A. $x = 28$
B. $x = 22$ $x = 28$
C. $x = - 2$ $x = 8$
D. $x = 8$

Ítarefni

Tvær leiðir til að leysa annars stigs jöfnur

Í verkefninu notuðu Han og Jada tvær mismunandi aðferðir til að leysa annars stigs jöfnu: dreifiregluna og regluna um ferningsrætur.

Að nota dreifiregluna til að leysa annars stigs jöfnur

Svona leysir þú annars stigs jöfnu með dreifireglunni:

Einangraðu annars stigs liðinn og gerðu stuðul hans að 1.
Endurskrifaðu liðinn þannig að tvíliðurinn sé margfaldaður með sjálfum sér.
Notaðu dreifiregluna eða FOIL-aðferðina.
Dragðu saman sams konar liði þannig að jafnan sé jöfn 0.
Þáttaðu.
Settu hvern þátt jafnan 0.
Leystu jöfnurnar.
Athugaðu lausnirnar.

Dæmi

Leystu jöfnuna.

4 (x - 7)^{2} = 36

Einangraðu annars stigs liðinn með því að deila með 4.
Endurskrifaðu liðinn þannig að tvíliðurinn sé margfaldaður með sjálfum sér.
$(x - 7) (x - 7) = 9$
Notaðu dreifiregluna eða FOIL-aðferðina.
Dragðu saman sams konar liði þannig að jafnan sé jöfn 0.
Þáttaðu.
$(x - 10) (x - 4) = 0$
Settu hvern þátt jafnan 0.
$x - 10 = 0$ $x - 4 = 0$
Leystu jöfnurnar.
$x = 10$ $x = 4$
Athugaðu lausnirnar.
$36 = 36$ $36 = 36$

Prófaðu

Notaðu dreifiregluna til að leysa jöfnuna.

3 (x - 4)^{2} = 48

Lausn

Svona má leysa annars stigs jöfnuna með dreifireglunni.

Einangraðu annars stigs liðinn með því að deila með 3.
Endurskrifaðu liðinn þannig að tvíliðurinn sé margfaldaður með sjálfum sér.
$(x - 4) (x - 4) = 16$
Notaðu dreifiregluna eða FOIL-aðferðina.
Dragðu saman sams konar liði þannig að jafnan sé jöfn 0.
Þáttaðu.
$x (x - 8) = 0$
Settu hvern þátt jafnan 0.
$x = 0$ $x - 8 = 0$
Leystu jöfnurnar.
$x = 0$ $x = 8$
Athugaðu lausnirnar.
$48 = 48$ $48 = 48$

Regla um ferningsrætur

Ef tala í öðru veldi er jöfn k, þá má taka ferningsrót beggja megin. Mundu að bæði jákvæða og neikvæða rótin geta verið lausnir.

x^{2} = k

x = \sqrt{k}

x = - \sqrt{k}

x = \pm \sqrt{k}

Svona leysir þú annars stigs jöfnu með reglunni um ferningsrætur:

Einangraðu annars stigs liðinn og gerðu stuðul hans að 1.
Notaðu regluna um ferningsrætur. Taktu ferningsrót af báðum hliðum jöfnunnar og mundu eftir plús eða mínus.
Endurskrifaðu jöfnuna sem tvær jöfnur.
Leystu hvora jöfnu.
Athugaðu lausnirnar.

Dæmi

Leystu jöfnuna.

4 (x - 7)^{2} = 36

Einangraðu annars stigs liðinn með því að deila með 4.
Notaðu regluna um ferningsrætur.
$x - 7 = \pm 3$
Endurskrifaðu jöfnuna sem tvær jöfnur.
$x - 7 = - 3$ $x - 7 = 3$
Leystu hvora jöfnu.
$x = 4$ $x = 10$
Athugaðu lausnirnar.
$36 = 36$ $36 = 36$

Prófaðu

Notaðu regluna um ferningsrætur til að leysa jöfnuna.

3 (x - 4)^{2} = 48

Lausn

Svona má leysa annars stigs jöfnuna með reglunni um ferningsrætur.

Einangraðu annars stigs liðinn með því að deila með 3.
Notaðu regluna um ferningsrætur.
$x - 4 = \pm 4$
Endurskrifaðu jöfnuna sem tvær jöfnur.
$x - 4 = 4$ $x - 4 = - 4$
Leystu hvora jöfnu.
$x = 8$ $x = 0$
Athugaðu lausnirnar.
$48 = 48$ $48 = 48$