9.6.2 Besta aðferðin valin til að leysa jöfnu

Verkefni

Skrifaðu niður hvernig þú myndir leysa hverja jöfnu. Finndu lausnirnar tvær með því að rita jöfnuna á þáttuðu formi eða með því að fylla í ferninginn. Vertu tilbúin að útskýra val þitt.

1. Veldu tvær lausnir fyrir

   $$x^2-2x-1.25=0$$
   1. 2,3
   2. 3
   3. −1
   4. −0,5
   Lausn

   Réttu svörin eru:

   $x=2.5$ og $x=-0.5$

   Berðu saman svarið þitt:

   Aðferðin að fylla í ferninginn:

   $$\begin{array}{rl}{\displaystyle x^2-2x-1.25}& {\displaystyle =0}\\ {\displaystyle x^2-2x}& {\displaystyle =1.25}\\ {\displaystyle x^2-2x+{\left(\frac{-2}{2}\right)}^2}& {\displaystyle =1.25+{\left(\frac{-2}{2}\right)}^2}\\ {\displaystyle x^2-2x+1}& {\displaystyle =1.25+1}\\ {\displaystyle x^2-2x+1}& {\displaystyle =2.25}\\ {\displaystyle (x-1{)}^2}& {\displaystyle =2.25}\\ {\displaystyle x-1}& {\displaystyle =\pm \sqrt{2.25}}\\ {\displaystyle x}& {\displaystyle =1\pm \sqrt{2.25}}\\ {\displaystyle x}& {\displaystyle =1\pm 1.5}\\ {\displaystyle x}& {\displaystyle =2.5\text{ og }x=-0.5}\end{array}$$

2. Veldu tvær lausnir fyrir

   $$5x^2+9x-44=0$$
   1. 2,2
   2. −20
   3. −4
   4. 11
   Lausn

   Réttu svörin eru:

   $x=2.2$ og $x=-4$

   Berðu saman svarið þitt:

   Aðferðin að fylla í ferninginn:

   $$\begin{array}{rl}{\displaystyle 5x^2+9x-44}& {\displaystyle =0}\\ {\displaystyle 5x^2+9x}& {\displaystyle =44}\\ {\displaystyle x^2+\frac{9}{5}x}& {\displaystyle =\frac{44}{5}}\\ {\displaystyle x^2+\frac{9}{5}x+{(\frac{1}{2}\cdot \frac{9}{5})}^2}& {\displaystyle =\frac{44}{5}+{(\frac{1}{2}\cdot \frac{9}{5})}^2}\\ {\displaystyle x^2+\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}}& {\displaystyle =\frac{44}{5}+\frac{81}{100}}\\ {\displaystyle x^2+\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}}& {\displaystyle =\frac{961}{100}}\\ {\displaystyle {(x+\frac{9}{10})}^2}& {\displaystyle =\frac{961}{100}}\\ {\displaystyle x+\frac{9}{10}}& {\displaystyle =\pm \frac{31}{10}}\\ {\displaystyle x}& {\displaystyle =-\frac{9}{10}\pm \frac{31}{10}}\\ {\displaystyle x}& {\displaystyle =\frac{22}{10}=2.2\text{ og }x=-\frac{40}{10}=-4}\end{array}$$

3. Veldu tvær lausnir fyrir

   $$x^2+1.25x=0.375$$
   1. 0,75
   2. 0,25
   3. −1,5
   4. 2,5
   Lausn

   Réttu svörin eru:

   $x=0.25$ og $x=-1.5$

   Berðu saman svarið þitt:

   Aðferðin að fylla í ferninginn:

   $$\begin{array}{rl}{\displaystyle x^2+1.25x}& {\displaystyle =0.375}\\ {\displaystyle x^2+1.25x+(0.5\cdot 1.25{)}^2}& {\displaystyle =0.375+(0.5\cdot 1.25{)}^2}\\ {\displaystyle x^2+1.25x+0.390625}& {\displaystyle =0.375+0.390625}\\ {\displaystyle (x+0.625{)}^2}& {\displaystyle =0.765625}\\ {\displaystyle x+0.625}& {\displaystyle =\pm 0.875}\\ {\displaystyle x}& {\displaystyle =-0.625\pm 0.875}\\ {\displaystyle x}& {\displaystyle =0.25\text{ og }x=-1.5}\end{array}$$

4. Veldu tvær lausnir fyrir

   $$4x^2-28x+29=0$$
   1. $-7+\sqrt{2}$
   2. $7-\sqrt{2}$
   3. $\frac{7}{2}+\sqrt{5}$
   4. $\frac{7}{2}-\sqrt{5}$
   Lausn

   Réttu svörin eru:

   $x=\frac{7}{2}+\sqrt{5}$ og $x=\frac{7}{2}-\sqrt{5}$

   Berðu saman svarið þitt:

   Aðferðin að fylla í ferninginn:

   $$\begin{array}{rl}{\displaystyle 4x^2-28x+29}& {\displaystyle =0}\\ {\displaystyle x^2-7x+\frac{29}{4}}& {\displaystyle =0}\\ {\displaystyle x^2-7x}& {\displaystyle =-\frac{29}{4}}\\ {\displaystyle x^2-7x+{\left(\frac{7}{2}\right)}^2}& {\displaystyle =-\frac{29}{4}+{\left(\frac{7}{2}\right)}^2}\\ {\displaystyle x^2-7x+\frac{49}{4}}& {\displaystyle =\frac{20}{4}}\\ {\displaystyle x^2-7x+\frac{49}{4}}& {\displaystyle =5}\\ {\displaystyle {(x-\frac{7}{2})}^2}& {\displaystyle =5}\\ {\displaystyle x-\frac{7}{2}}& {\displaystyle =\pm \sqrt{5}}\\ {\displaystyle x}& {\displaystyle =\frac{7}{2}\pm \sqrt{5}}\\ {\displaystyle x}& {\displaystyle =\frac{7}{2}+\sqrt{5}\text{ og }x=\frac{7}{2}-\sqrt{5}}\end{array}$$

Sjálfspróf

Leystu með því að fylla í ferninginn:

1. $x=-5\pm \sqrt{17}$
2. $x=-4$, $x=-1$
3. $x=1$, $x=4$
4. $x=\frac{25}{4}$

Viðbótarefni

Lausn með ferningum og með því að fylla í ferninginn

Leystu með því að fylla í ferninginn:

Skref 1 - Deildu öllum liðum með stuðli annars stigs liðarins.

Skref 2 - Færðu fastaliðinn yfir á hægri hlið jöfnunnar.

Skref 3 - Fylltu í ferninginn og bættu sama lið við báðar hliðar.

Skref 4 - Einfaldaðu. Búðu til samnefnara áður en þú leggur saman.

Skref 5 - Taktu ferningsrót af báðum hliðum.

Skref 6 - Ritaðu tvær jöfnur og leystu.

Reyndu

Lausn með ferningum og með því að fylla í ferninginn

Leystu:

Lausn

Svona má leysa jöfnuna með því að fylla í ferninginn:

Skref 1 - Deildu öllum liðum með stuðli annars stigs liðarins.

$$\frac{4x^2+36x+37}{4}=\frac{0}{4}$$

$$x^2+9x+\frac{37}{4}=0$$

Skref 2 - Færðu fastaliðinn yfir á hægri hlið jöfnunnar.

$$x^2+9x=-\frac{37}{4}$$

Skref 3 - Fylltu í ferninginn og bættu sama lið við báðar hliðar.

$${(9\cdot \frac{1}{2})}^2=\frac{81}{4}$$

$$x^2+9x+\frac{81}{4}=-\frac{37}{4}+\frac{81}{4}$$

Skref 4 - Einfaldaðu.

$${(x+\frac{9}{2})}^2=11$$

Skref 5 - Taktu ferningsrót af báðum hliðum.

$$x+\frac{9}{2}=\pm \sqrt{11}$$

Skref 6 - Ritaðu tvær jöfnur og leystu.

$$x+\frac{9}{2}=\sqrt{11}\text{ og }x+\frac{9}{2}=-\sqrt{11}$$

$$x=-\frac{9}{2}+\sqrt{11}\text{ og }x=-\frac{9}{2}-\sqrt{11}$$