9.6.3 Jöfnuformúla annars stigs jafna

Verkefni

Hér er formúla sem kallast jöfnuformúla annars stigs jafna.

Formúluna má nota til að finna lausnir á hvaða annars stigs jöfnu sem er á staðalforminu

þar sem $a$, $b$ og $c$ eru tölur og $a$ er ekki 0.

Þetta dæmi sýnir hvernig hún er notuð til að leysa jöfnuna $x^2-8x+15=0$, þar sem $a=1$, $b=-8$ og $c=15$.

Skref 1 - Skrifaðu upphaflegu jöfnuna.

Skref 2 - Ákvarðaðu gildi $a$, $b$ og $c$.

Skref 3 - Settu gildin fyrir $a$, $b$ og $c$ inn í formúluna.

Skref 4 - Reiknaðu hvern hluta stæðunnar.

Skref 5 - Skrifaðu hvora jöfnu fyrir sig og leystu.

Skref 6 - Einfaldaðu.

Skref 7 - Finndu lausnirnar.

Hér eru nokkrar annars stigs jöfnur og lausnir þeirra. Notaðu jöfnuformúlu annars stigs jafna til að sýna að lausnirnar séu réttar.

1. 1. Lausnirnar eru x = −5 og x = 1.

   $$x^2+4x-5=0$$
   Lausn

   Lausnirnar eru x = −5 og x = 1.

   Berðu saman svarið þitt:

   Útreikningur með jöfnuformúlu annars stigs jafna

   $\begin{array}{r}{\displaystyle x^2+4x-5=0}\\ {\displaystyle a=1,b=4,c=-5}\\ {\displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\\ {\displaystyle x=\frac{-(4)\pm \sqrt{(4{)}^2-(4)(1)(-5)}}{2(1)}}\\ {\displaystyle x=\frac{-4\pm \sqrt{16+20}}{2}}\\ {\displaystyle x=\frac{-4\pm 6}{2}}\\ {\displaystyle x=1\text{ og }x=-5}\end{array}$

2. 2. Lausnirnar eru x = −3 og x = −4.

   $$x^2+7x+12=0$$
   Lausn

   Lausnirnar eru x = −3 og x = −4.

   Berðu saman svarið þitt:

   Útreikningur með jöfnuformúlu annars stigs jafna

   $\begin{array}{r}{\displaystyle x^2+7x+12=0}\\ {\displaystyle a=1,b=7,c=12}\\ {\displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\\ {\displaystyle x=\frac{-(7)\pm \sqrt{(7{)}^2-(4)(1)(12)}}{2(1)}}\\ {\displaystyle x=\frac{-7\pm \sqrt{49-48}}{2}}\\ {\displaystyle x=\frac{-7\pm 1}{2}}\\ {\displaystyle x=-3\text{ og }x=-4}\end{array}$

3. 3. Lausnin er x = −5 ± √7.

   $$x^2+10x+18=0$$
   Lausn

   Lausnirnar eru x = −5 ± √7.

   Berðu saman svarið þitt:

   Útreikningur með jöfnuformúlu annars stigs jafna

   $\begin{array}{r}{\displaystyle x^2+10x+18=0}\\ {\displaystyle a=1,b=10,c=18}\\ {\displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\\ {\displaystyle x=\frac{-(10)\pm \sqrt{(10{)}^2-(4)(1)(18)}}{2(1)}}\\ {\displaystyle x=\frac{-10\pm \sqrt{100-72}}{2}}\\ {\displaystyle x=\frac{-10\pm \sqrt{28}}{2}}\\ {\displaystyle x=-5\pm \sqrt{7}}\end{array}$

4. 4. Lausnin er x = 4 ± √5.

   $$x^2-8x+11=0$$
   Lausn

   Lausnirnar eru x = 4 ± √5.

   Berðu saman svarið þitt:

   Útreikningur með jöfnuformúlu annars stigs jafna

   $\begin{array}{r}{\displaystyle x^2-8x+11=0}\\ {\displaystyle a=1,b=-8,c=11}\\ {\displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\\ {\displaystyle x=\frac{-(-8)\pm \sqrt{(-8{)}^2-(4)(1)(11)}}{2(1)}}\\ {\displaystyle x=\frac{8\pm \sqrt{64-44}}{2}}\\ {\displaystyle x=\frac{8\pm \sqrt{20}}{2}}\\ {\displaystyle x=4\pm \sqrt{5}}\end{array}$

5. 5. Lausnin er x = 1/3.

   $$9x^2-6x+1=0$$
   Lausn

   Lausnirnar eru x = 1/3.

   Berðu saman svarið þitt:

   Útreikningur með jöfnuformúlu annars stigs jafna

   $\begin{array}{r}{\displaystyle 9x^2-6x+1=0}\\ {\displaystyle a=9,b=-6,c=1}\\ {\displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\\ {\displaystyle x=\frac{-(-6)\pm \sqrt{(-6{)}^2-(4)(9)(1)}}{2(9)}}\\ {\displaystyle x=\frac{6\pm \sqrt{36-36}}{18}}\\ {\displaystyle x=\frac{6}{18}}\\ {\displaystyle x=\frac{1}{3}}\end{array}$

6. 6. Lausnirnar eru x = −5/2 og x = 1.

   $$6x^2+9x-15=0$$
   Lausn

   Lausnirnar eru x = −5/2 og x = 1.

   Berðu saman svarið þitt:

   Útreikningur með jöfnuformúlu annars stigs jafna

   $\begin{array}{r}{\displaystyle 6x^2+9x-15=0}\\ {\displaystyle a=6,b=9,c=-15}\\ {\displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\\ {\displaystyle x=\frac{-(9)\pm \sqrt{(9{)}^2-(4)(6)(-15)}}{2(6)}}\\ {\displaystyle x=\frac{-9\pm \sqrt{441}}{12}}\\ {\displaystyle x=\frac{-9\pm 21}{12}}\\ {\displaystyle x=1\text{ og }x=-\frac{5}{2}}\end{array}$

Sjálfspróf

Leystu jöfnuna með jöfnuformúlu annars stigs jafna:

1. $x=\frac{6\pm \sqrt{-12}}{4}$
2. $x=\frac{6\pm \sqrt{60}}{4}$
3. $x=\frac{6\pm \sqrt{12}}{4}$
4. $x=\frac{-6\pm \sqrt{12}}{4}$

Viðbótarefni

Lausnir með jöfnuformúlu annars stigs jafna

Jöfnuformúla annars stigs jafna

Lausnir annars stigs jöfnu á staðalforminu

eru gefnar með formúlunni:

Til að nota jöfnuformúlu annars stigs jafna setjum við gildin fyrir $a$, $b$ og $c$ úr staðalforminu inn í hægri hlið formúlunnar. Síðan einföldum við stæðuna. Niðurstaðan er par lausna á annars stigs jöfnunni.

Taktu eftir að formúlan er jafna. Gættu þess að nota báðar hliðar jöfnunnar.

Hvernig leysa má annars stigs jöfnu með jöfnuformúlunni

Leysum jöfnuna með jöfnuformúlu annars stigs jafna:

Skref 1 - Skrifaðu annars stigs jöfnuna á staðalformi. Þessi jafna er þegar á staðalformi.

Skref 2 - Ákvarðaðu gildin fyrir $a$, $b$ og $c$.

Skref 3 - Skrifaðu jöfnuformúlu annars stigs jafna.

Skref 4 - Settu síðan gildin fyrir $a$, $b$ og $c$ inn í formúluna.

Skref 5 - Einfaldaðu brotið og leystu fyrir $x$.

Skref 6 - Athugaðu lausnirnar. Settu hvort svar fyrir sig inn í upphaflegu jöfnuna.

Settu $x=\frac{1}{2}$ inn í jöfnuna.

Settu $x=-5$ inn í jöfnuna.

Reyndu

Lausnir með jöfnuformúlu annars stigs jafna

Leystu jöfnuna með jöfnuformúlu annars stigs jafna:

Lausn

Hér er hvernig má leysa þessa annars stigs jöfnu með jöfnuformúlu annars stigs jafna.

Skref 1 - Jafnan er á staðalformi.

$$a{x}^2+bx+c=0$$

$$2x^2+10x+11=0$$

Skref 2 - Ákvarðaðu gildin fyrir $a$, $b$ og $c$.

$$a=2,b=10,c=11$$

Skref 3 - Skrifaðu jöfnuformúlu annars stigs jafna.

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Skref 4 - Settu síðan gildin fyrir $a$, $b$ og $c$ inn í formúluna.

$$x=\frac{-10\pm \sqrt{{10}^2-4\cdot 2\cdot 11}}{2\cdot 2}$$

Skref 5 - Einfaldaðu.

$\begin{array}{r}{\displaystyle x=\frac{-10\pm \sqrt{100-88}}{4}}\\ {\displaystyle x=\frac{-10\pm \sqrt{12}}{4}}\\ {\displaystyle x=\frac{-5\pm \sqrt{3}}{2}}\end{array}$

Skref 6 - Athugaðu lausnirnar. Settu hvort svar fyrir sig inn í upphaflegu jöfnuna.

Settu $x=\frac{-5+\sqrt{3}}{2}$ inn í jöfnuna.

Athugun fyrir $x=\frac{-5+\sqrt{3}}{2}$

Settu $x=\frac{-5-\sqrt{3}}{2}$ inn í jöfnuna.

Athugun fyrir $x=\frac{-5-\sqrt{3}}{2}$