9.7.2 Algengar reiknivillur við notkun jöfnuformúlu annars stigs jafna

Verkefni

Hér eru fjórar jöfnur og tilraunir til að leysa þær með jöfnuformúlu annars stigs jafna. Í hverri tilraun er að minnsta kosti ein villa.

Leystu jöfnurnar með jöfnuformúlu annars stigs jafna. Finndu síðan og lýstu villunni eða villunum í útreiknuðu lausnunum fyrir sömu jöfnur.

Jafna 1

Hér er útreiknuð lausn með villum:

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

$$\begin{array}{r}{\displaystyle 2x^2-8x+3=0}\\ {\displaystyle x=\frac{8\pm \sqrt{64-24}}{4}}\\ {\displaystyle x=\frac{8\pm \sqrt{40}}{4}}\\ {\displaystyle x=2\pm \frac{\sqrt{40}}{4}=2\pm \frac{1}{2}\sqrt{10}}\end{array}$$

Útreikningurinn frá skrefi 6 til skrefs 7 er ekki réttur, því ferningsrót aðgreinisins er einfölduð rangt. √40/4 er ekki √10; √40 = √(4·10) = 2√10 og því verður √40/4 = √10/2.

Jafna 2

Hér er útreiknuð lausn með villum:

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

$$\begin{array}{r}{\displaystyle x^2+3x-10=0}\\ {\displaystyle a=1,b=3,c=-10}\\ {\displaystyle x=\frac{-3\pm \sqrt{9+40}}{2}}\\ {\displaystyle x=\frac{-3\pm 7}{2}}\\ {\displaystyle x=2\text{ og }x=-5}\end{array}$$

Jafnan var ekki færð á staðalformið = 0 áður en a, b og c voru ákvörðuð. Gildið á c á að vera −10, ekki 10.

Jafna 3

Hér er útreiknuð lausn með villum:

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

$$\begin{array}{r}{\displaystyle a=9,b=-2,c=-1}\\ {\displaystyle x=\frac{2\pm \sqrt{4+36}}{18}}\\ {\displaystyle x=\frac{2\pm \sqrt{40}}{18}}\\ {\displaystyle x=\frac{1\pm \sqrt{10}}{9}}\end{array}$$

Í skrefi 3 er gildið á a ekki margfaldað með 2 í nefnara formúlunnar.

Jafna 4

Hér er útreiknuð lausn með villum:

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

$$\begin{array}{r}{\displaystyle a=1,b=-10,c=23}\\ {\displaystyle x=\frac{10\pm \sqrt{100-92}}{2}}\\ {\displaystyle x=\frac{10\pm \sqrt{8}}{2}}\\ {\displaystyle x=5\pm \sqrt{2}}\end{array}$$

Í skrefi 3, þegar b = −10, á gildið á −b að vera 10. Í skrefi 4 á gildið á b² að vera jákvætt þótt b sé neikvætt.

Sjálfspróf

Þegar Sloane leysti jöfnuna með jöfnuformúlu annars stigs jafna

skrifaði hún formúluna svona:

Hver eftirfarandi lýsing útskýrir villuna í útreikningnum hennar?

1. Aðgreinirinn á að vera −900 − 104, ekki 900 − 104. $x=\frac{-30\pm \sqrt{-900-104}}{2}$
2. Fyrsti liðurinn í teljaranum á að vera 30, ekki −30. $x=\frac{30\pm \sqrt{900-104}}{2}$
3. Aðgreinirinn á að vera 900 + 104, ekki 900 − 104. $x=\frac{-30\pm \sqrt{900+104}}{2}$
4. Nefnarinn á að vera 4, ekki 2. $x=\frac{-30\pm \sqrt{900-104}}{4}$

Viðbótarefni

Algengar villur við notkun jöfnuformúlu annars stigs jafna

Jöfnuformúla annars stigs jafna hefur marga hluta. Lítil villa í einum hluta getur leitt til rangra lausna.

Gerum ráð fyrir að við séum að leysa jöfnuna

Til að nota formúluna færum við hana á staðalformið $a{x}^2+bx+c=0$. Þá fæst

Hér eru nokkrar algengar villur sem þarf að forðast.

Röng gildi fyrir $a$, $b$ og $c$ í formúlunni:

Þetta er rangt. $b$ er −11, þannig að $-b$ er −(−11), sem er 11, ekki −11.

Rétt form er $x=\frac{11\pm \sqrt{(11{)}^2-4(2)(-6)}}{2(2)}$

Gleymt að margfalda 2 með $a$ í nefnara formúlunnar:

Þetta er rangt. Nefnarinn er $2a$, sem er $2(2)$, eða 4.

Rétt form er $x=\frac{11\pm \sqrt{(11{)}^2-4(2)(-6)}}{2(2)}$

Gleymt að neikvæð tala í öðru veldi verður jákvæð tala:

Þetta er rangt. $(-11{)}^2$ er 121, ekki −121.

Rétt form er $x=\frac{11\pm \sqrt{121-4(2)(-6)}}{4}$

Gleymt að neikvæð tala sinnum jákvæð tala er neikvæð tala:

Þetta er rangt. $4(2)(-6)=-48$ og $121-(-48)$ er $121+48$.

Rétt form er $x=\frac{11\pm \sqrt{121+48}}{4}$

Reiknivillur eða brot á algebrureglum:

Þetta er rangt. Báðir hlutar teljarans, bæði 11 og √169, deilast með 4. Einnig er √(169/4) ekki √42,25 í þessu skrefi.

Rétt form er $x=\frac{11\pm 13}{4}$

Ljúkum með því að reikna $\frac{11\pm 13}{4}$ rétt:

Til að ganga úr skugga um að lausnirnar séu réttar getum við sett þær aftur inn í upphaflegu jöfnuna og athugað hvort hvor lausn haldi jöfnunni sannri.

Athugum 6 sem lausn:

Athugum $-\frac{1}{2}$ sem lausn:

Við getum líka teiknað graf jöfnunnar

og fundið skurðpunkta þess við x-ás til að sjá hvort lausnirnar á $2x^2-11x-6=0$ séu réttar eða nálægt því að vera réttar.

Reyndu

Algengar villur við notkun jöfnuformúlu annars stigs jafna

Zariah var að leysa jöfnuna með jöfnuformúlu annars stigs jafna

og notaði skrefin hér fyrir neðan. Hún þurfti síðan að stoppa af því að hún áttaði sig á vandamáli. Finndu villuna og lýstu henni.

Lausn

Svona má finna villuna: Zariah setti $a=3$, $b=-8$ og $c=4$ inn í formúluna í skrefi 1. Undir rótarmerkinu á hins vegar $b^2=(-8{)}^2=64$.

Skref 2 verður því:

$$x=\frac{8\pm \sqrt{64-48}}{6}$$

Það leiðir til lausnanna:

$$\begin{array}{r}{\displaystyle x=\frac{8\pm \sqrt{16}}{6}}\\ {\displaystyle x=\frac{8\pm 4}{6}}\\ {\displaystyle x=\frac{12}{6}=2,x=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}}\end{array}$$