99.8 Útleiðsla á jöfnuformúlu annars stigs jafna

9.8.1 Útleiðsla á jöfnuformúlu annars stigs jafna, hluti 1

9.8.1 • Útleiðsla á jöfnuformúlu annars stigs jafna, hluti 1

Verkefni

Ein leið til að leysa annars stigs jöfnuna er að fylla í ferninginn. Hér er jafna sem hefur verið leyst að hluta. Skoðaðu skref 1-4.

Upphafleg jafna

x^{2} + 5 x + 3 = 0

Skref 1 - Margfaldaðu báðar hliðar með 4. Það hjálpar okkur að forðast óþægileg brot. Almennt er margfaldað með fjórum sinnum stuðlinum við x²-liðinn; hér er stuðullinn 1, svo margfaldað er með 4.

4 x^{2} + 20 x + 12 = 0

Skref 2 - Dragðu 12 frá báðum hliðum.

4 x^{2} + 20 x = - 12

Skref 3 - Ritaðu 4x² sem (2x)² og 20x sem 10(2x).

(2 x)^{2} + 10 (2 x) = - 12

Skref 4 - Notaðu P sem staðgengil fyrir 2x.

P^{2} + 10 P = - 12

Í skrefum 5-11 skaltu láta $P$ standa fyrir $2 x$ og halda áfram að leysa fyrir $x$ án þess að reikna út neinn hluta stæðunnar. Útskýrðu hvaða stærðfræðiaðgerð er framkvæmd í hverju skrefi.

P^{2} + 10 P + {\underline{}}^{2} = - 12 + {\underline{}}^{2}

(P + \underline{})^{2} = - 12 + {\underline{}}^{2}

P + \underline{} = \pm \sqrt{- 12 + {\underline{}}^{2}}

P = \underline{} \pm \sqrt{- 12 + {\underline{}}^{2}}

P = \underline{} \pm \sqrt{{\underline{}}^{2} - 12}

2 x = \underline{} \pm \sqrt{{\underline{}}^{2} - 12}

x = \underline{}

Lausn

Skref 5 - Bættu við til að fylla í ferninginn.

P^{2} + 10 P + 5^{2} = - 12 + 5^{2}

Skref 6 - Ritaðu vinstri hliðina sem þátt í öðru veldi.

(P + 5)^{2} = - 12 + 5^{2}

Skref 7 - Taktu ferningsrót af báðum hliðum jöfnunnar.

P + 5 = \pm \sqrt{- 12 + 5^{2}}

Skref 8 - Dragðu 5 frá báðum hliðum til að einangra P.

P = - 5 \pm \sqrt{- 12 + 5^{2}}

Skref 9 - Endurraðaðu stæðunni undir rótarmerkinu.

P = - 5 \pm \sqrt{5^{2} - 12}

Skref 10 - Settu 2x aftur inn fyrir P.

2 x = - 5 \pm \sqrt{5^{2} - 12}

Skref 11 - Deildu báðum hliðum með 2 til að einangra x.

x = \frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 12}}{2}

Útskýrðu hvernig lausnin tengist jöfnuformúlu annars stigs jafna.

Lausn

Tölurnar í lausninni eru gildin á $a$ , $b$ og $c$ í upphaflegu jöfnunni. Hún er á staðalformi.

x^{2} + 5 x + 3 = 0

a x^{2} + b x + c = 0

Talan −5 er $- b$ . Talan $5^{2}$ er $b^{2}$ . Talan 12, sem er $4 (3) (1)$ , er gildið á $4 a c$ . Í upphaflegu jöfnunni er $a = 1$ og $2 (1) = 2$ , sem er nefnarinn í lausninni.

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Sjálfspróf

Eftir að hafa fyllt í ferninginn notaði Odem eftirfarandi skref við útleiðslu jöfnuformúlu annars stigs jafna.

x^{2} + 8 x + 16 = - 11 + 16 = 5

Hvað ætti hann að gera næst?

Fylla aftur í ferninginn.
Þátta ferningstöluliðinn.
Taka ferningsrót af báðum hliðum.
Draga 16 frá báðum hliðum.

Viðbótarefni

Útleiðsla á jöfnuformúlu annars stigs jafna með dæmi

Hér er annað dæmi sem fer í gegnum útleiðsluferlið:

Upphafleg jafna

x^{2} + 7 x + 4 = 0

4 x^{2} + 28 x + 16 = 0

Skref 2 - Dragðu 16 frá báðum hliðum.

4 x^{2} + 28 x = - 16

Skref 3 - Ritaðu 4x² sem (2x)² og 28x sem 14(2x).

(2 x)^{2} + 14 (2 x) = - 16

Skref 4 - Notaðu P sem staðgengil fyrir 2x.

P^{2} + 14 P = - 16

Skref 5 - Bættu við til að fylla í ferninginn.

P^{2} + 14 P + 7^{2} = - 16 + 7^{2}

Skref 6 - Ritaðu vinstri hliðina sem þátt í öðru veldi.

(P + 7)^{2} = - 16 + 7^{2}

Skref 7 - Taktu ferningsrót af stæðunni hægra megin.

P + 7 = \pm \sqrt{- 16 + 7^{2}}

Skref 8 - Dragðu 7 frá báðum hliðum til að einangra P.

P = - 7 \pm \sqrt{- 16 + 7^{2}}

Skref 9 - Endurraðaðu stæðunni undir rótarmerkinu.

P = - 7 \pm \sqrt{7^{2} - 16}

Skref 10 - Settu 2x aftur inn fyrir P.

2 x = - 7 \pm \sqrt{7^{2} - 16}

Skref 11 - Deildu báðum hliðum með 2 til að einangra x.

x = \frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 16}}{2}

Taktu eftir að upphaflega jafnan hefur gildin $a = 1$ , $b = 7$ og $c = 4$ , og síðasta skrefið er á formi jöfnuformúlu annars stigs jafna.

y = x^{2} + 7 x + 4

a = 1, b = 7, c = 4

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Reyndu

Útleiðsla á jöfnuformúlu annars stigs jafna með dæmi

Jaiden var að leiða út jöfnuformúlu annars stigs jafna út frá annars stigs jöfnunni. Hvert er skrefið á eftir skrefinu sem sýnt er hér fyrir neðan?

x^{2} + 11 x + 5 = 0

{(x + \frac{11}{2})}^{2} = \frac{11^{2} - 4 (1) (5)}{4 (1)}

{(x + \frac{11}{2})}^{2} = \frac{121 - 20}{4}

Lausn

Hér er hvernig má finna næsta skref: Til að einangra $x$ skaltu taka ferningsrót af báðum hliðum.

\sqrt{{(x + \frac{11}{2})}^{2}} = \sqrt{\frac{121 - 20}{4}}