99.8 Útleiðsla á jöfnuformúlu annars stigs jafna

9.8.2 Útleiðsla á jöfnuformúlu annars stigs jafna, hluti 2

9.8.2 • Útleiðsla á jöfnuformúlu annars stigs jafna, hluti 2

Verkefni

Hér er ein leið til að skilja hvernig jöfnuformúla annars stigs jafna varð til. Skoðaðu útleiðsluna þar til þú getur útskýrt hvað gerðist í hverju skrefi. Skrifaðu niður útskýringu fyrir hvert skref.

Upphafleg jafna

a x^{2} + b x + c = 0

Skref 1

4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + 4 a c = 0

Skref 2

4 a^{2} x^{2} + 4 a b x = - 4 a c

Skref 3

(2 a x)^{2} + 2 b (2 a x) = - 4 a c

Skref 4

M^{2} + 2 b M = - 4 a c

Skref 5

M^{2} + 2 b M + b^{2} = - 4 a c + b^{2}

Skref 6

(M + b)^{2} = b^{2} - 4 a c

Skref 7

M + b = \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}

Skref 8

M = - b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}

Skref 9

2 a x = - b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}

Skref 10

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Skref 1 - Margfaldaðu báðar hliðar með $4 a$ svo stuðull $x^{2}$ -liðarins verði ferningstala.

Skref 2 - Einangraðu fastaliðinn hægra megin.

Skref 3 - Ritaðu ferningsliðinn sem $(2 a x)^{2}$ og línulega liðinn sem $2 b (2 a x)$ .

Skref 4 - Notaðu $M$ sem staðgengil fyrir $2 a x$ .

Skref 5 - Bættu $b^{2}$ við báðar hliðar til að fylla í ferninginn.

Skref 6 - Þáttaðu vinstri hliðina sem ferning tvíliðar og víxlaðu röð liðanna hægra megin.

Skref 7 - Taktu ferningsrót af báðum hliðum.

Skref 8 - Dragðu $b$ frá báðum hliðum til að einangra $M$ .

Skref 9 - Skiptu $M$ aftur út fyrir $2 a x$ .

Skref 10 - Deildu báðum hliðum með $2 a$ til að einangra $x$ .

Meira til að hugsa um

Hér er önnur leið til að leiða út jöfnuformúlu annars stigs jafna með því að fylla í ferninginn.

Upphafleg jafna

x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0

Skref 1 - Hvaða fastalið á að draga frá báðum hliðum?

Lausn

$- \frac{c}{a}$

Nú lítur jafnan svona út:

x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a}

Skref 2 - Hvaða lið þurfum við að bæta við báðar hliðar til að fylla í ferninginn?

Lausn

${(\frac{b}{2 a})}^{2}$

Til að fylla í ferninginn bætum við þessum lið við báðar hliðar. Nú lítur jafnan svona út:

x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} = - \frac{c}{a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2}

x^{2} + 2 (\frac{b}{2 a}) x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} = - \frac{c}{a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2}

Skref 3 - Nú getum við fyllt í ferninginn. Hvaða tvíliður er hafinn í annað veldi vinstra megin?

Lausn

$x + \frac{b}{2 a}$

Nú lítur jafnan svona út:

{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = - \frac{c}{a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}}

Skref 4 - Næst leggjum við saman brotin hægra megin í jöfnunni. Hver verður samnefnarinn?

Lausn

Samnefnarinn verður $4 a^{2}$ .

{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{- 4 a c}{4 a^{2}} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}}

Skref 5 - Þegar brotin hægra megin eru lögð saman, hver verður teljari nýja brotsins?

Lausn

$b^{2} - 4 a c$

{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}

Skref 6 - Hvaða næsta skref þarf að taka til að einangra $x$ vinstra megin?

Lausn

Taktu ferningsrót af báðum hliðum.

x + \frac{b}{2 a} = \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}}

Skref 7 - Hvernig má einfalda ferningsrótina?

Lausn

Ferningsrót af broti er ferningsrót teljarans deilt með ferningsrót nefnarans.

\sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}} = \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{\sqrt{4 a^{2}}}

Skref 8 - Hver er nefnari brotsins hægra megin eftir einföldun?

Lausn

$2 a$

x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Skref 9 - Hvert er næsta skref til að einangra $x$ vinstra megin í jöfnunni?

Lausn

Dragðu $\frac{b}{2 a}$ frá báðum hliðum.

x = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Skref 10 - Hvað tekur þú eftir um nefnara beggja brotanna hægra megin?

Lausn

Þeir eru eins.

Leggðu brotin saman og þá fæst niðurstaðan, jöfnuformúla annars stigs jafna:

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Sjálfspróf

Þegar þú skoðar skrefin í útleiðslu jöfnuformúlu annars stigs jafna, hvaða skref ætti að koma á eftir þessu?

{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}

Taka ferningsrót af báðum hliðum.
Leggja saman brotin.
Draga $\frac{b}{2 a}$ frá báðum hliðum.
Margfalda með $4 a^{2}$ .

Viðbótarefni

Almenn leið til að leiða út jöfnuformúlu annars stigs jafna

Fyrir almenna annars stigs jöfnu er $a$ stuðull $x^{2}$ -liðarins og $a$ má ekki vera 0. Útleiðslan hér að ofan sýnir að þegar fyllt er í ferninginn fæst sama formúlan fyrir $x$ .

a \neq 0

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Reyndu

Notaðu almennu leiðina. Hvaða skref kemur á eftir þessari jöfnu?

x + \frac{b}{2 a} = \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}}

Lausn

Lausn: Markmiðið er að einangra $x$ . Dragðu $\frac{b}{2 a}$ frá báðum hliðum. Þá fæst:

x = - \frac{b}{2 a} \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}}

Síðan má einfalda rótarliðinn og sameina brotin þannig að jöfnuformúla annars stigs jafna fáist.

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}