6.2 Ákvörðun rúmmáls með sneiðum

Rétt eins og flatarmál er tölulegur mælikvarði á tvívítt svæði er rúmmál tölulegur mælikvarði á þrívíðan rúmhlut. Flest okkar hafa reiknað rúmmál rúmhluta með einföldum rúmfræðiformúlum. Rúmmál réttstrendings má til dæmis reikna með því að margfalda saman lengd, breidd og hæð: $V=lwh.$ Formúlurnar fyrir rúmmál kúlu $\left(V=\frac{4}{3}\pi r^3\right),$ keilu $\left(V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h\right),$ og pýramída $\left(V=\frac{1}{3}Ah\right)$ hafa einnig verið kynntar. Þótt sumar þessara formúlna hafi verið leiddar út eingöngu með rúmfræði má fá þær allar með heildun.

Við getum einnig reiknað rúmmál sívalnings. Þótt flest okkar hugsi sér sívalning með hringlaga grunnflöt, svo sem niðursuðudós eða málmstöng, hefur orðið sívalningur víðtækari merkingu í stærðfræði. Til að fjalla um sívalninga í þessu almenna samhengi þurfum við fyrst að skilgreina nokkur hugtök.

Við skilgreinum þversnið rúmhlutar sem skurðmengi sléttu og rúmhlutarins. Sívalningur er skilgreindur sem sérhver rúmhlutur sem mynda má með því að færa svæði í sléttu eftir línu sem er hornrétt á sléttuna og nefnist ás sívalningsins. Því eru öll þversnið sem eru hornrétt á ás sívalnings eins. Rúmhluturinn sem sýndur er á mynd 6.11 er dæmi um sívalning með grunnflöt sem er ekki hringlaga. Til að reikna rúmmál sívalnings margföldum við því einfaldlega flatarmál þversniðsins með hæð sívalningsins: $V=A·h.$ Þegar um er að ræða réttan hringsívalning (súpudós) verður þetta $V=\pi r^{2}h.$

Ef rúmhlutur hefur ekki fast þversnið (og er ekki einn af hinum grunnrúmhlutunum) er ekki víst að við höfum formúlu fyrir rúmmál hans. Þá getum við notað ákveðið heildi til að reikna rúmmál rúmhlutarins. Við gerum það með því að skera rúmhlutinn í sneiðar, áætla rúmmál hverrar sneiðar og leggja síðan áætluðu rúmmálin saman. Allar sneiðarnar ættu að vera samsíða og þegar þeim er raðað saman ætti allur rúmhluturinn að fást. Lítum til dæmis á rúmhlutinn S sem sýndur er á mynd 6.12 og nær eftir $x\text{-ás}\text{.}$

Við viljum skipta $S$ í sneiðar sem eru hornréttar á $x\text{-ás}\text{.}$ Síðar í kaflanum sjáum við að stundum kann að vera æskilegt að sneiða rúmhlutinn eftir annarri stefnu—til dæmis í sneiðar sem eru hornréttar á y-ásinn. Það skiptir miklu máli í hvaða stefnu rúmhluturinn er skorinn. Ef röng stefna er valin geta útreikningarnir orðið býsna flóknir. Síðar í kaflanum skoðum við nokkrar slíkar aðstæður ítarlega og athugum hvernig ákveða má í hvaða stefnu skuli skera rúmhlutinn. Í þessum undirkafla notum við þó sneiðar sem eru hornréttar á $x\text{-ás}\text{.}$

Þar sem flatarmál þversniðsins er ekki fast látum við $A\left(x\right)$ tákna flatarmál þversniðsins í punktinum $x.$ Látum nú $P=\left\{x_0,x_1\text{…},X_n\right\}$ vera reglulega skiptingu á $\left[a,b\right],$ og fyrir $i=1,2\text{,…}n,$ látum við $S_i$ tákna þá sneið af $S$ sem nær frá $x_{i-1}\text{til}{x}_i.$ Eftirfarandi mynd sýnir sneidda rúmhlutinn þegar $n=3.$

Að lokum, fyrir hvert $i=1,2\text{,…}n,$ látum $x_i^{*}$ vera einhvern punkt í $\left[x_{i-1},x_i\right].$ Þá má áætla rúmmál sneiðar $S_i$ með $V\left(S_i\right)\approx A\left(x_i^{*}\right)\text{Δ}x.$ Þegar þessar nálganir eru lagðar saman sést að nálga má rúmmál alls rúmhlutarins $S$ með

Nú sjáum við að þetta er Riemann-summa og næsta skref er að taka markgildið þegar $n\to \infty .$ Þá fæst

Minnumst þess að í þessum undirkafla gerum við ráð fyrir að sneiðarnar séu hornréttar á $x\text{-ás}\text{.}$ Því er flatarmálsformúlan sett fram með tilliti til x og heildismörkin liggja á $x\text{-ás}\text{.}$ Lausnarstefnan sem hér er sýnd gildir þó óháð því hvernig við veljum að sneiða rúmhlutinn.

Þegar sneiðaaðferðinni er beitt á snúða er hún oft kölluð skífuaðferðin því að sneiðarnar sem notaðar eru til að nálga rúmmál snúðsins eru skífur. Til að sjá þetta skulum við skoða snúðinn sem myndast þegar svæðinu milli grafs fallsins $f\left(x\right)={\left(x-1\right)}^2+1$ og $x\text{-ás}$ á bilinu $\left[\mathrm{-1},3\right]$ er snúið um $x\text{-ás}\text{.}$ Graf fallsins og dæmigerð skífa eru sýnd á mynd 6.18(a) og (b). Svæðið sem er snúið og snúðurinn sem myndast eru sýnd á mynd 6.18(c) og (d).

Rúmmál snúðsins sem við höfum verið að skoða (mynd 6.18) fæst með

Hingað til hafa öll dæmi okkar fjallað um svæði sem snúið er um $x\text{-ás,}$ en búa má til snúð með því að snúa svæði í sléttu um hvaða láréttu eða lóðréttu línu sem er. Í næsta dæmi skoðum við snúð sem hefur myndast með því að snúa svæði um $y\text{-ás}\text{.}$ Framkvæmd skífuaðferðarinnar er nánast sú sama og þegar $x\text{-ás}$ er snúningsásinn, en við ritum fallið sem fall af $y$ og heildum einnig með tilliti til y. Þetta er tekið saman í eftirfarandi reglu.

Sumir snúðar hafa holrúm í miðjunni; þeir eru ekki gegnheilir alveg inn að snúningsásnum. Stundum stafar þetta einfaldlega af lögun snúningssvæðisins miðað við snúningsásinn. Í öðrum tilvikum myndast holrúm þegar snúningssvæðið er skilgreint sem svæðið milli grafa tveggja falla. Þriðja tilvikið kemur upp þegar valinn er annar snúningsás en $x\text{-ás}$ eða $y\text{-ás}$.

Þegar rúmhlutur sem fæst með snúningi hefur holrúm í miðjunni eru sneiðarnar sem notaðar eru til að nálga rúmmálið ekki gegnheilar skífur heldur hringkragar (skífur með gati í miðjunni). Skoðum til dæmis svæðið sem afmarkast að ofan af grafi fallsins $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ og að neðan af grafi fallsins $g\left(x\right)=1$ á bilinu $\left[1,4\right].$ Þegar þessu svæði er snúið um $x\text{-ás}$ verður til rúmhlutur með holrúm í miðjunni og sneiðarnar eru hringkragar. Graf fallsins og dæmigerður hringkragi eru sýnd á mynd 6.22(a) og (b). Svæðið sem er snúið og rúmhluturinn sem fæst eru sýnd á mynd 6.22(c) og (d).

Líkt og með skífuaðferðinni getum við einnig beitt hringkragaaðferðinni á snúða sem myndast þegar svæði er snúið um y-ásinn. Í þessu tilviki gildir eftirfarandi regla.

Í stað þess að skoða dæmi um hringkragaaðferðina þar sem $y\text{-ás}$ er snúningsásinn skoðum við nú dæmi þar sem snúningsásinn er önnur lína en hnitásarnir tveir. Sömu almennu aðferðinni er beitt, en hugsanlega þarf að sjá fyrir sér hvernig lýsa megi flatarmáli þversniðs rúmhlutarins.