66 Notkun heildunar

6.3 Rúmmál snúða: Sívalningshylki

Námsmarkmið

6.3.1 Reiknið rúmmál snúðs með hylkjaaðferðinni.
6.3.2 Berið saman mismunandi aðferðir til að reikna rúmmál snúðs.

Í þessum undirkafla skoðum við hylkjaaðferðina, síðustu aðferðina sem við fjöllum um til að reikna rúmmál snúðs. Henni má beita á sömu snúða og skífu- og hringkragaaðferðunum. Með skífu- og hringkragaaðferðunum er heildað eftir hnitás sem er samsíða snúningsásnum. Með hylkjaaðferðinni er hins vegar heildað eftir hnitás sem er hornréttur á snúningsásinn. Möguleikinn á að velja heildunarbreytu getur skipt verulegu máli þegar fengist er við flóknari föll. Lögun snúðsins getur einnig gert hylkjaaðferðina hentugri en hringkragaaðferðina. Í lok undirkaflans rifjum við upp allar aðferðirnar sem við höfum kynnt okkur til að finna rúmmál og setjum fram leiðbeiningar um val á aðferð við tilteknar aðstæður.

Hylkjaaðferðin

Við vinnum enn á ný með snúð. Eins og áður skilgreinum við svæði $R,$ sem afmarkast að ofan af grafi fallsins $y = f (x),$ að neðan af $x -ás,$ og til vinstri og hægri af línunum $x = a$ og $x = b,$ í þeirri röð, eins og sýnt er á mynd 6.25(a). Síðan snúum við svæðinu um y-ásinn, eins og sýnt er á mynd 6.25(b). Þetta er ólíkt því sem áður var gert. Hingað til höfum við snúið svæðum sem skilgreind eru út frá föllum af $x$ um $x -ás$ eða línu samsíða honum.

Á myndinni eru tvö gröf. Fyrra grafið er merkt „a“ og sýnir vaxandi feril í fyrsta fjórðungi. Ferillinn er merktur „y=f(x)“. Ferillinn hefst á y-ásnum við y=a. Skyggt svæði, merkt „R“, liggur undir ferlinum og ofan x-ássins. Svæðið afmarkast til hægri af línunni x=b. Seinna grafið sýnir þrívíðan rúmhlut. Hann hefur myndast með því að snúa skyggða svæðinu á mynd „a“ um y-ásinn. — **Mynd 6.25.** (a) Svæði sem afmarkast af grafi falls af $x .$ (b) Snúðurinn sem myndast þegar svæðinu er snúið um $y -ás .$

Eins og oft áður skiptum við bilinu $[a, b]$ með reglulegri skiptingu, $P = {x_{0}, x_{1},…, x_{n}}$ og veljum fyrir $i = 1, 2,…, n,$ punkt $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}] .$ Því næst myndum við rétthyrning yfir bilinu $[x_{i - 1}, x_{i}]$ sem hefur hæðina $f (x_{i}^{*})$ og breiddina $Δ x .$ Dæmigerður rétthyrningur er sýndur á mynd 6.26(a). Þegar þessum rétthyrningi er snúið um y-ásinn fæst sívalningshylki í stað skífu eða hringkraga, eins og sýnt er á eftirfarandi mynd.

Á myndinni eru tveir myndhlutar. Sá fyrri sýnir sívalningshylki sem er holt að innan. Lóðréttur ás liggur um miðju þess. Þar er einnig ferill sem nemur við efri brún sívalningsins. Seinni myndhlutinn sýnir sammiðja sívalninga sem liggja hver inni í öðrum. — **Mynd 6.26.** (a) Dæmigerður rétthyrningur. (b) Þegar þessum rétthyrningi er snúið um $y -ás,$ myndast sívalningshylki. (c) Þegar öll hylkin eru sett saman fæst nálgun á upprunalega snúðnum.

Til að reikna rúmmál þessa hylkis skulum við skoða mynd 6.27.

Myndin sýnir graf í fyrsta fjórðungi. Ferillinn er vaxandi og merktur „y=f(x)“. Ferillinn hefst á y-ásnum við f(x*). Undir ferlinum er skyggður rétthyrningur. Rétthyrningurinn hefst á x-ásnum. Breidd hans er delta x. Tvær hliðar rétthyrningsins eru merktar „xsub(i-1)“ og „xsubi“. — **Mynd 6.27.** Rúmmál hylkisins reiknað.

Hylkið er sívalningur og því fæst rúmmál þess með því að margfalda flatarmál þversniðsins með hæð sívalningsins. Þversniðin eru hringkragar (hringlaga svæði, það er hringir með gati í miðjunni) með ytri geisla $x_{i}$ og innri geisla $x_{i - 1} .$ Því er flatarmál þversniðsins $π x_{i}^{2} - π x_{i - 1}^{2} .$ Hæð sívalningsins er $f (x_{i}^{*}) .$ Þá er rúmmál hylkisins

\begin{matrix} V_{shell} & = f (x_{i}^{*}) (π x_{i}^{2} - π x_{i - 1}^{2}) \\ = π f (x_{i}^{*}) (x_{i}^{2} - x_{i - 1}^{2}) \\ = π f (x_{i}^{*}) (x_{i} + x_{i - 1}) (x_{i} - x_{i - 1}) \\ = 2 π f (x_{i}^{*}) (\frac{x_{i} + x_{i - 1}}{2}) (x_{i} - x_{i - 1}) . \end{matrix}

Athugið að $x_{i} - x_{i - 1} = Δ x,$ og því fæst

V_{shell} = 2 π f (x_{i}^{*}) (\frac{x_{i} + x_{i - 1}}{2}) Δ x .

Enn fremur er $\frac{x_{i} + x_{i - 1}}{2}$ bæði miðpunktur bilsins $[x_{i - 1}, x_{i}]$ og meðalgeisli hylkisins, sem nálga má með $x_{i}^{*} .$ Þá fæst

V_{shell} \approx 2 π f (x_{i}^{*}) x_{i}^{*} Δ x .

Önnur leið til að sjá þetta er að hugsa sér að hylkið sé skorið lóðrétt og síðan opnað þannig að það myndi flata plötu (mynd 6.28).

Á þessari mynd eru tvær teikningar. Sú fyrri er merkt „a“ og sýnir holan sívalning umhverfis y-ásinn. Framan á sívalningnum er lóðrétt lína merkt „skurðarlína“. Hæð sívalningsins er „y=f(x)“. Seinni teikningin er merkt „b“ og sýnir skyggða rétthyrnda plötu. Hæð rétthyrningsins er „f(x*)“, breidd hans er „2pix*“ og þykkt hans er „delta x“. — **Mynd 6.28.** (a) Skerið dæmigert hylki lóðrétt. (b) Opnið hylkið þannig að það myndi flata plötu.

Í raun er ytri geisli hylkisins stærri en innri geislinn og því væri aftari brún plötunnar örlítið lengri en fremri brún hennar. Hins vegar má nálga útflatta hylkið með flatri plötu sem hefur hæðina $f (x_{i}^{*}),$ breiddina $2 π x_{i}^{*},$ og þykktina $Δ x$ (mynd 6.28). Rúmmál hylkisins er þá um það bil jafnt rúmmáli flötu plötunnar. Þegar hæð, breidd og þykkt plötunnar eru margfaldaðar saman fæst

V_{shell} \approx f (x_{i}^{*}) (2 π x_{i}^{*}) Δ x,

sem er sama formúla og við fengum áður.

Til að reikna rúmmál alls snúðsins leggjum við saman rúmmál allra hylkjanna og fáum

V \approx \sum_{i = 1}^{n} (2 π x_{i}^{*} f (x_{i}^{*}) Δ x) .

Hér höfum við aðra Riemann-summu, nú fyrir fallið $2 π x f (x) .$ Með því að taka markgildið þegar $n \to \infty$ fæst

V = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} (2 π x_{i}^{*} f (x_{i}^{*}) Δ x) = \int_{a}^{b} (2 π x f (x)) d x .

Þetta leiðir til eftirfarandi reglu um hylkjaaðferðina.

Skoðum nú dæmi.

Dæmi 6.12

Hylkjaaðferðin 1

Skilgreinum $R$ sem svæðið sem afmarkast að ofan af grafi $f (x) = 1 / x$ og að neðan af $x -ás$ á bilinu $[1, 3] .$ Finnið rúmmál snúðsins sem myndast þegar $R$ er snúið um $y -ás .$

Lausn

Teiknum fyrst svæðið $R$ og tilheyrandi snúð, eins og sýnt er á eftirfarandi mynd.

Myndin sýnir þrjár myndir. Sú fyrsta sýnir rúmhlut sem hefur myndast með því að snúa ferlinum y=1/x um y-ásinn. Rúmhluturinn hefst við x-ásinn og endar þar sem y=1. Önnur myndin er merkt „a“ og sýnir graf y=1/x í fyrsta fjórðungi. Undir ferlinum er skyggt svæði merkt „R“. Svæðið afmarkast af ferlinum og x-ásnum, til vinstri af x=1 og til hægri af x=3. Þriðja myndin er merkt „b“ og sýnir helming rúmhlutarins sem myndast þegar skyggða svæðinu er snúið um y-ásinn. — **Mynd 6.29.** (a) Svæðið R undir grafi f ⁡ ( x ) = 1 / x á bilinu [ 1 , 3 ] . (b) Snúðurinn sem myndast þegar R er snúið um y -ás .

Rúmmál snúðsins fæst þá með

\begin{matrix} V & = \int_{a}^{b} (2 π x f (x)) d x \\ = \int_{1}^{3} (2 π x (\frac{1}{x})) d x \\ = \int_{1}^{3} 2 π d x = {2 π x |}_{1}^{3} = 4 π {units}^{3} . \end{matrix}

Dæmi 6.13

Hylkjaaðferðin 2

Látum R vera svæðið sem afmarkast að ofan af grafi $f (x) = 2 x - x^{2}$ og að neðan af $x -ás$ á bilinu $[0, 2] .$ Finnið rúmmál snúðsins sem myndast þegar $R$ er snúið um $y -ás .$

Lausn

Teiknum fyrst svæðið $R$ og tilheyrandi snúð, eins og sýnt er á eftirfarandi mynd.

Myndin sýnir tvö gröf. Fyrra grafið er merkt „a“ og sýnir ferilinn f(x)=2x-x^2. Hann er fleygbogi sem opnast niður og sker x-ásinn í upphafspunktinum og við x=2. Svæðið undir ferlinum í fyrsta fjórðungi er skyggt og merkt „R“. Síðari myndin sýnir graf sama ferils. Á grafinu er rúmhlutur sem myndast þegar svæðinu úr „a“ er snúið um y-ásinn. — **Mynd 6.30.** (a) Svæðið R undir grafi f ⁡ ( x ) = 2 ⁢ x − x 2 á bilinu [ 0 , 2 ] . (b) Snúðurinn sem fæst þegar R er snúið um y -ás .

Rúmmál hlutarins fæst þá með

\begin{matrix} V & = \int_{a}^{b} (2 π x f (x)) d x \\ = \int_{0}^{2} (2 π x (2 x - x^{2})) d x = 2 π \int_{0}^{2} (2 x^{2} - x^{3}) d x \\ = {2 π [\frac{2 x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4}] |}_{0}^{2} = \frac{8 π}{3} {units}^{3} . \end{matrix}

Hylkjaaðferðinni má, líkt og skífu- og hringkragaaðferðunum, beita á snúða um $x -ás,$ þegar heilda á með tilliti til $y .$ Samsvarandi regla fyrir snúða af þessu tagi er hér á eftir.

Dæmi 6.14

Hylkjaaðferðin fyrir snúð um x-ásinn

Látum $Q$ vera svæðið sem afmarkast til hægri af grafi $g (y) = 2 \sqrt{y}$ og til vinstri af $y -ás$ fyrir $y \in [0, 4] .$ Finnið rúmmál snúðsins sem myndast þegar $Q$ er snúið um x-ásinn.

Lausn

Teiknum fyrst svæðið $Q$ og tilheyrandi snúð, eins og sýnt er á eftirfarandi mynd.

Á þessari mynd eru tvö gröf. Fyrra grafið er merkt „a“ og sýnir ferilinn g(y)=2 sinnum kvaðratrótin af y. Hann er vaxandi ferill í fyrsta fjórðungi sem hefst í upphafspunktinum. Milli y-ássins og ferilsins er skyggt svæði merkt „Q“. Svæðið afmarkast að ofan af línunni y=4. Síðara grafið sýnir sama feril og í „a“ og er merkt „b“. Þar sést einnig rúmhlutur sem hefur myndast með því að snúa svæðinu í „a“ um x-ásinn. Rúmhluturinn hefst við y-ásinn og endar við x=4. — **Mynd 6.31.** (a) Svæðið Q vinstra megin við fallið g ⁡ ( y ) á bilinu [ 0 , 4 ] . (b) Snúðurinn sem myndast þegar Q er snúið um x -ás .

Merkjum skyggða svæðið $Q .$ Rúmmál snúðsins fæst þá með

\begin{matrix} V & = \int_{c}^{d} (2 π y g (y)) d y \\ = \int_{0}^{4} (2 π y (2 \sqrt{y})) d y = 4 π \int_{0}^{4} y^{3 / 2} d y \\ = {4 π [\frac{2 y^{5 / 2}}{5}] |}_{0}^{4} = \frac{256 π}{5} {units}^{3} . \end{matrix}

Í næsta dæmi skoðum við snúð sem myndast þegar svæði undir grafi falls er snúið um aðra línu en hnitásana. Til að setja dæmið fram þurfum við að rifja upp hvernig hylkjaaðferðin var leidd út. Rifjum upp að rúmmál eins hylkis fæst með

\begin{matrix} V_{shell} & = f (x_{i}^{*}) (π x_{i}^{2} - π x_{i - 1}^{2}) \\ = π f (x_{i}^{*}) (x_{i}^{2} - x_{i - 1}^{2}) \\ = π f (x_{i}^{*}) (x_{i} + x_{i - 1}) (x_{i} - x_{i - 1}) \\ = 2 π f (x_{i}^{*}) (\frac{x_{i} + x_{i - 1}}{2}) (x_{i} - x_{i - 1}) . \end{matrix}

Þetta byggðist á hylki með ytri geisla $x_{i}$ og innri geisla $x_{i - 1} .$ Ef svæðinu er hins vegar snúið um aðra línu en $y -ás,$ verða ytri og innri geislinn aðrir. Gerum til dæmis ráð fyrir að svæðinu sé snúið um línuna $x = − k,$ þar sem $k$ er jákvæður fasti. Þá er ytri geisli hylkisins $x_{i} + k$ og innri geislinn $x_{i - 1} + k .$ Þegar þessar stærðir eru settar inn í rúmmálsstæðuna sést að ef svæði í sléttu er snúið um línuna $x = − k,$ fæst rúmmál hylkis með

\begin{matrix} V_{shell} & = 2 π f (x_{i}^{*}) (\frac{(x_{i} + k) + (x_{i - 1} + k)}{2}) ((x_{i} + k) - (x_{i - 1} + k)) \\ = 2 π f (x_{i}^{*}) ((\frac{x_{i} + x_{i - 1}}{2}) + k) Δ x . \end{matrix}

Eins og áður sést að $\frac{x_{i} + x_{i - 1}}{2}$ er miðpunktur bilsins $[x_{i - 1}, x_{i}]$ og nálga má hann með $x_{i}^{*} .$ Þá fæst eftirfarandi nálgun á rúmmáli hylkisins

V_{shell} \approx 2 π (x_{i}^{*} + k) f (x_{i}^{*}) Δ x .

Útleiðslan heldur áfram með sama hætti og áður og því fæst

V = \int_{a}^{b} (2 π (x + k) f (x)) d x .

Svæðinu mætti einnig snúa um aðrar láréttar eða lóðréttar línur, svo sem lóðrétta línu í hægra hálfplaninu. Í hverju tilviki þarf að laga rúmmálsformúluna að aðstæðum. Nánar tiltekið þarf að setja stæðu sem táknar geisla hylkis í stað $x -liðarins$ í heildinu. Eftirfarandi dæmi sýnir hvernig það er gert.

Dæmi 6.15

Snúningur svæðis um línu

Látum $R$ vera svæðið sem afmarkast að ofan af grafi fallsins $f (x) = x$ og að neðan af $x -ás$ á bilinu $[1, 2] .$ Finnið rúmmál snúðsins sem myndast þegar $R$ er snúið um línuna $x = −1 .$

Lausn

Teiknum fyrst svæðið $R$ og tilheyrandi snúð, eins og sýnt er á eftirfarandi mynd.

Myndin sýnir tvö gröf. Fyrra grafið er merkt „a“ og sýnir línuna f(x)=x, skálínu gegnum upphafspunktinn. Ofan x-ássins og undir línunni er skyggt svæði merkt „R“. Svæðið afmarkast til vinstri af línunni x=1 og til hægri af línunni x=2. Lóðrétta línan x=-1 er einnig sýnd á grafinu. Seinni myndin sýnir sama graf og mynd „a“ og er merkt „b“. Á grafinu er einnig snúður sem myndast þegar svæðinu „R“ á fyrra grafinu er snúið um línuna x=-1. — **Mynd 6.32.** (a) Svæðið R milli grafs f ⁡ ( x ) og x -ás á bilinu [ 1 , 2 ] . (b) Snúðurinn sem myndast þegar R er snúið um línuna x = −1 .

Athugið að geisli hylkisins er $x + 1 .$ Rúmmál snúðsins fæst þá með

\begin{matrix} V & = \int_{1}^{2} (2 π (x + 1) f (x)) d x \\ = \int_{1}^{2} (2 π (x + 1) x) d x = 2 π \int_{1}^{2} (x^{2} + x) d x \\ = {2 π [\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}] |}_{1}^{2} = \frac{23 π}{3} {units}^{3} . \end{matrix}

Í síðasta dæmi þessa undirkafla skoðum við rúmmál snúðs sem myndast úr svæði sem afmarkast af gröfum tveggja falla.

Dæmi 6.16

Svæði afmarkað af gröfum tveggja falla

Látum $R$ vera svæðið sem afmarkast að ofan af grafi fallsins $f (x) = \sqrt{x}$ og að neðan af grafi fallsins $g (x) = 1 / x$ á bilinu $[1, 4] .$ Finnið rúmmál snúðsins sem myndast þegar $R$ er snúið um $y -ás .$

Lausn

Teiknum fyrst svæðið $R$ og tilheyrandi snúð, eins og sýnt er á eftirfarandi mynd.

Myndin sýnir tvö gröf. Fyrra grafið er merkt „a“ og sýnir tvo ferla. Ferlarnir eru gröf fallanna f(x)=kvaðratrót af x og g(x)=1/x. Í fyrsta fjórðungi skerast ferlarnir í punktinum (1,1). Milli ferlanna í fyrsta fjórðungi er skyggt svæði, merkt „R“, sem afmarkast hægra megin af línunni x=4. Seinna grafið er merkt „b“ og sýnir sömu gröf og í „a“. Á þessu grafi er einnig sýndur rúmhlutur sem myndast þegar svæðinu „R“ á mynd „a“ er snúið um y-ásinn. — **Mynd 6.33.** (a) Svæðið R milli grafa fallanna f ⁡ ( x ) og g ⁡ ( x ) á bilinu [ 1 , 4 ] . (b) Snúðurinn sem myndast þegar R er snúið um y -ás .

Athugið að snúningsásinn er $y -ás,$ og því er geisli hylkisins einfaldlega $x .$ Ekki þarf að breyta x-lið heildisstofnsins. Hæð hylkisins er hins vegar $f (x) - g (x),$ og því þarf í þessu tilviki að breyta $f (x)$ -lið heildisstofnsins. Rúmmál snúðsins fæst því með

\begin{matrix} V & = \int_{1}^{4} (2 π x (f (x) - g (x))) d x \\ = \int_{1}^{4} (2 π x (\sqrt{x} - \frac{1}{x})) d x = 2 π \int_{1}^{4} (x^{3 / 2} - 1) d x \\ = {2 π [\frac{2 x^{5 / 2}}{5} - x] |}_{1}^{4} = \frac{94 π}{5} {units}^{3} . \end{matrix}

Hvaða aðferð eigum við að nota?

Við höfum kynnst nokkrum aðferðum til að finna rúmmál snúðs, en hvernig vitum við hvaða aðferð á að nota? Valið ræðst oft af því hvaða heildi er auðveldast að reikna. Mynd 6.34 lýsir mismunandi aðferðum fyrir snúða um $x -ás .$ Útbúið hliðstæða töflu fyrir snúða um $y -ás .$

Á myndinni er tafla sem ber saman aðferðir til að finna rúmmál snúða. Dálkarnir heita „samanburður“, „skífuaðferð“, „hringkragaaðferð“ og „hylkjaaðferð“. Raðirnar heita „rúmmálsformúla“, „hlutur“, „bil sem er skipt“, „rétthyrningar“, „dæmigert svæði“ og „rétthyrningur“. Fyrir skífuaðferðina er formúlan ákveðið heildi frá a til b af pí sinnum f(x) í öðru veldi. Hluturinn hefur ekkert holrúm, bilinu [a,b] er skipt, rétthyrningarnir eru lóðréttir og dæmigerða svæðið liggur ofan x-ássins og undir grafi f(x). Fyrir hringkragaaðferðina er formúlan ákveðið heildi frá a til b af pí sinnum mismuninum f(x) í öðru veldi og g(x) í öðru veldi. Hluturinn hefur holrúm, bilinu [a,b] er skipt, rétthyrningarnir eru lóðréttir og dæmigerða svæðið liggur ofan grafs g(x) og undir grafi f(x). Fyrir hylkjaaðferðina er formúlan ákveðið heildi frá c til d af 2 pí sinnum y g(y). Hluturinn getur verið með eða án holrúms, bilinu [c,d] er skipt, rétthyrningarnir eru láréttir og dæmigerða svæðið liggur ofan x-ássins og undir grafi g(y).

Skoðum tvö verkefni til viðbótar og ákveðum hvaða aðferð hentar best til að leysa þau.

Dæmi 6.17

Hentugasta aðferðin valin

Veljið fyrir hvert eftirfarandi verkefni hentugustu aðferðina til að finna rúmmál snúðsins sem myndast þegar gefna svæðinu er snúið um $x -ás,$ og setjið upp heildið fyrir rúmmálið (reiknið heildið ekki).

Svæðið sem afmarkast af gröfunum $y = x,$ $y = 2 - x,$ og $x -ás .$
Svæðið sem afmarkast af grafinu $y = 4 x - x^{2}$ og $x -ás .$

Lausn

Teiknum fyrst svæðið og snúðinn eins og sýnt er.

Mynd 6.35 (a) Svæðið $R$ sem afmarkast af tveimur línum og $x -ás .$ (b) Snúðurinn sem myndast þegar $R$ er snúið um $x -ás .$

Ef heilda á með tilliti til $x,$ þarf að skipta heildinu í tvo hluta, því mismunandi föll afmarka svæðið á bilunum $[0, 1]$ og $[1, 2] .$ Með skífuaðferðinni fengist

$V = \int_{0}^{1} (π x^{2}) d x + \int_{1}^{2} (π {(2 - x)}^{2}) d x .$

Ef hylkjaaðferðin væri notuð í staðinn væri ferlunum lýst með föllum af $y$ og þá fengist

$\begin{matrix} V & = \int_{0}^{1} (2 π y [(2 - y) - y]) d y \\ = \int_{0}^{1} (2 π y [2 - 2 y]) d y . \end{matrix}$

Hvorugt þessara heilda er sérlega erfitt, en hylkjaaðferðin krefst aðeins eins heildis og heildisstofninn þarfnast minni einföldunar. Því er líklega best að velja hylkjaaðferðina í þessu tilviki.
Teiknum fyrst svæðið og snúðinn eins og sýnt er.

Mynd 6.36 (a) Svæðið $R$ milli ferilsins og $x -ás .$ (b) Snúðurinn sem myndast þegar $R$ er snúið um $x -ás .$

Þegar svæðið er skoðað sést að erfitt væri að skilgreina láréttan rétthyrning, því sama fall afmarkar svæðið bæði til vinstri og hægri. Því má útiloka hylkjaaðferðina. Snúðurinn hefur ekkert holrúm í miðjunni og því má nota skífuaðferðina. Þá fæst

$V = \int_{0}^{4} π {(4 x - x^{2})}^{2} d x .$

Æfingar úr undirkafla 6.3

Í eftirfarandi æfingum skal finna rúmmálið sem myndast þegar svæðinu milli ferlanna er snúið um gefinn ás. Notið bæði hylkjaaðferðina og hringkragaaðferðina. Notið tækni til að teikna gröf fallanna og teiknið dæmigerða sneið í höndunum.

114.

[T] Svæðinu sem afmarkast af ferlunum $y = 3 x, x = 0,$ og $y = 3$ er snúið um $y -ás .$

115.

[T] Svæðinu sem afmarkast af ferlunum $y = 3 x, y = 0, og x = 3$ er snúið um $y -ás .$

116.

[T] Svæðinu sem afmarkast af ferlunum $y = 3 x, y = 0, og y = 3$ er snúið um $x -ás .$

117.

[T] Svæðinu sem afmarkast af ferlunum $y = 3 x, y = 0, og x = 3$ er snúið um $x -ás .$

118.

[T] Svæðinu sem afmarkast af ferlunum $y = 2 x^{3}, y = 0, og x = 2$ er snúið um $y -ás .$

119.

[T] Svæðinu sem afmarkast af ferlunum $y = 2 x^{3}, y = 0, og x = 2$ er snúið um $x -ás .$

Í eftirfarandi æfingum skal nota hylkjaaðferðina til að finna rúmmál gefnu snúðanna. Athugið að svæðin sem snúið er liggja milli ferilsins og $x -ás$ og þeim er snúið um $y -ás .$

120.

𝑦=1−𝑥2,𝑥=0,og 𝑥=1 $y = 1 - x^{2}, x = 0, og x = 1$

121.

𝑦=5⁢𝑥3,𝑥=0,og 𝑥=1 $y = 5 x^{3}, x = 0, og x = 1$

122.

𝑦=1𝑥,𝑥=1,og 𝑥=100 $y = \frac{1}{x}, x = 1, og x = 100$

123.

𝑦=√1−𝑥2,𝑥=0,og 𝑥=1 $y = \sqrt{1 - x^{2}}, x = 0, og x = 1$

124.

𝑦=11+𝑥2,𝑥=0,og 𝑥=3 $y = \frac{1}{1 + x^{2}}, x = 0, og x = 3$

125.

𝑦=sin⁡𝑥2,𝑥=0,og 𝑥=√𝜋 $y = sin x^{2}, x = 0, og x = \sqrt{π}$

126.

𝑦=1√1−𝑥2,𝑥=0,og 𝑥=12 $y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}, x = 0, og x = \frac{1}{2}$

127.

𝑦=√𝑥,𝑥=0,og 𝑥=1 $y = \sqrt{x}, x = 0, og x = 1$

128.

𝑦=(1+𝑥2)₃,𝑥=0,og 𝑥=1 $y = {(1 + x^{2})}^{3}, x = 0, og x = 1$

129.

𝑦=5⁢𝑥3−2⁢𝑥4,𝑥=0,og 𝑥=2 $y = 5 x^{3} - 2 x^{4}, x = 0, og x = 2$

Í eftirfarandi æfingum skal nota hylkjaaðferðina til að finna rúmmálið sem myndast þegar svæðinu milli gefna ferilsins og $y = 0$ er snúið um $x -ás .$

130.

$y = \sqrt{1 - x^{2}}, x = 0, x = 1$ og x-ásinn

131.

$y = x^{2}, x = 0, x = 2$ og x-ásinn

132.

$y = \frac{x^{3}}{2}, x = 0, x = 2,$ og x-ásinn

133.

$y = \frac{2}{x^{2}}, x = 1, x = 2,$ og x-ásinn

134.

𝑥=11+𝑦2,𝑦=4 $x = \frac{1}{1 + y^{2}}, y = 4$

135.

$x = \frac{1 + y^{2}}{y}, y = 1, y = 4,$ og y-ásinn

136.

𝑥 =√4−𝑦2,𝑥 =0,𝑦 =0 $x = \sqrt{4 - y^{2}}, x = 0, y = 0$

137.

𝑥=𝑦3−2⁢𝑦2,𝑥=0,𝑥=9 $x = y^{3} - 2 y^{2}, x = 0, x = 9$

138.

$x = \sqrt{y} + 1, x = 1, x = 3,$ og x-ásinn

139.

𝑥=3√27⁢𝑦og 𝑥=3⁢𝑦4 $x = \sqrt[3]{27 y} og x = \frac{3 y}{4}$

Í eftirfarandi æfingum skal finna rúmmálið sem myndast þegar svæðinu milli ferlanna er snúið um gefinn ás.

140.

$y = 3 - x, y = 0, x = 0, og x = 2$ afmarka svæði sem snúið er um $y -ás .$

141.

$y = x^{3}, x = 0, og y = 8$ afmarka svæði sem snúið er um $y -ás .$

142.

$y = x^{2}, y = x,$ afmarka svæði sem snúið er um $y -ás .$

143.

$y = \sqrt{x}, y = 0, og x = 1$ afmarka svæði sem snúið er um línuna $x = 2 .$

144.

$y = \frac{1}{4 - x}, x = 1, x = 2 og y = 0$ afmarka svæði sem snúið er um línuna $x = 4 .$

145.

$y = \sqrt{x} og y = x^{2}$ afmarka svæði sem snúið er um $y -ás .$

146.

$y = \sqrt{x} og y = x^{2}$ afmarka svæði sem snúið er um línuna $x = 2 .$

147.

$x = y^{3}, x = \frac{1}{y}, x = 1, og x = 2$ afmarka svæði sem snúið er um $x -ás .$

148.

$x = y^{2} og y = x$ afmarka svæði sem snúið er um línuna $y = 2 .$

149.

[T] Svæðið vinstra megin við $x = sin (π y),$ en hægra megin við $y = x,$ er snúið um $y -ás .$

Í eftirfarandi æfingum skal nota tækni til að teikna svæðið. Ákvarðið hvaða aðferð þið teljið auðveldast að nota til að reikna rúmmálið sem myndast þegar svæðinu sem fallið afmarkar er snúið um tilgreindan ás. Notið síðan aðferðina sem þið völduð til að finna rúmmálið.

150.

[T] $y = x^{2}$ og $y = 4 x$ afmarka svæði sem snúið er um $y -ás .$

151.

[T] $y = cos (π x), y = sin (π x), x = \frac{1}{4}, og x = \frac{5}{4}$ afmarka svæði sem snúið er um $y -ás .$ Þetta verkefni krefst háþróaðrar reiknitækni. Nota má tækni við heildunina.

152.

[T] $y = x^{2} - 2 x, x = 2, og x = 4$ afmarka svæði sem snúið er um $y -ás .$

153.

[T] $y = x^{2} - 2 x, x = 2, og x = 4$ afmarka svæði sem snúið er um $x -ás .$

154.

[T] $y = 3 x^{3} - 2, y = x, og x = 2$ afmarka svæði sem snúið er um $x -ás .$

155.

[T] $y = 3 x^{3} - 2, y = x, og x = 2$ afmarka svæði sem snúið er um $y -ás .$

156.

[T] $x = sin (π y^{2})$ og $x = \sqrt{2} y$ afmarka svæði sem snúið er um $x -ás .$

157.

[T] $x = y^{2}, x = y^{2} - 2 y + 1, og x = 2$ afmarka svæði sem snúið er um $y -ás .$

Í eftirfarandi æfingum skal nota hylkjaaðferðina til að nálga rúmmál nokkurra algengra hluta sem sýndir eru á meðfylgjandi myndum.

158.

Notið hylkjaaðferðina til að finna rúmmál kúlu með geisla 𝑟. $r .$

Myndin sýnir tvær myndir. Sú fyrri sýnir hring með geisla r. Sú síðari sýnir körfubolta.

159.

Notið hylkjaaðferðina til að finna rúmmál keilu með geisla $r$ og hæð $h .$

Myndin sýnir tvær myndir. Sú fyrri sýnir keilu á hvolfi með geisla r og hæð h. Sú síðari sýnir ísvöfflu.

160.

Notið hylkjaaðferðina til að finna rúmmál sporvölungsins sem fæst þegar sporbauginum $(x^{2} / a^{2}) + (y^{2} / b^{2}) = 1$ er snúið um $x -ás .$

Myndin sýnir tvær myndir. Sú fyrri sýnir sporbaug þar sem a er lárétta fjarlægðin frá miðju að jaðri og b er lóðrétta fjarlægðin frá miðju að efri jaðri. Sú síðari sýnir vatnsmelónu.

161.

Notið hylkjaaðferðina til að finna rúmmál sívalnings með geisla $r$ og hæð $h .$

Myndin sýnir tvær myndir. Sú fyrri sýnir sívalning með geisla r og hæð h. Sú síðari sýnir sívalt kerti.

162.

Notið hylkjaaðferðina til að finna rúmmál kleinuhringsins sem myndast þegar hringnum $x^{2} + y^{2} = 4$ er snúið um línuna $x = 4 .$

Myndin sýnir tvær myndir. Sú fyrri sýnir tvo sammiðja hringi, annan inni í hinum. Geisli hringlaga þversniðsins milli þeirra er 2 einingar. Sú síðari sýnir kleinuhring.

163.

Lítum á svæðið sem afmarkast af gröfum $y = f (x), y = 1 + f (x), x = 0, y = 0,$ og $x = a > 0 .$ Hvert er rúmmál snúðsins sem myndast þegar þessu svæði er snúið um $y -ás ?$ Gerið ráð fyrir að fallið sé skilgreint á bilinu $[0, a] .$

164.

Lítum á fallið $y = f (x),$ sem minnkar frá $f (0) = b$ niður í $f (1) = 0 .$ Setjið upp heildin, bæði með hylkjaaðferðinni og skífuaðferðinni, sem ákvarða rúmmál snúðsins sem myndast þegar svæðinu, sem afmarkast einnig af $x = 0$ og $y = 0,$ er snúið um $y -ás .$ Sannið að báðar aðferðirnar nálgi sama rúmmál. Hvorri aðferðinni er auðveldara að beita? (Ábending: Þar sem $f (x)$ er eintækt hefur það andhverfu, $f^{−1} (y) .)$