1.1 Grunnhugtök mengjafræðinnar – Stærðfræði í daglegu lífi (IS) | Námsgögn
11 Mengi
1.1 Grunnhugtök mengjafræðinnar
1.1 Grunnhugtök mengjafræðinnar
Mynd 1.2. Skeið, gaffall og hnífur eru stök í mengi hnífapara. (upprunaupplýsingar: breytt útgáfa af verkinu „Cupofjoy“, Wikimedia, CC0 1.0-afsal til almannaeignar)
Námsmarkmið
Að þessum hluta loknum átt þú að geta:
Sett mengi fram á ólíkan hátt.
Sett vel skilgreind mengi og tómamengið fram með réttum mengjatáknum.
Reiknað fjölda staka í mengi.
Greint á milli endanlegra og óendanlegra mengja.
Greint muninn á hugtökunum jöfn mengi og samstétta mengi.
Mengi og framsetning þeirra
Rifjaðu upp dæmið um eldhússkúffuna. Ef skúffan táknar mengið eru gafflarnir og hnífarnir stök þess. Mengi má lýsa á ýmsan hátt: með upptalningu, skilyrðisrithætti, biltáknum, myndrænni framsetningu á talnalínu og Venn-myndum. Mengi eru yfirleitt táknuð með hástöfum. Einfaldasta leiðin til að setja fram mengi með fáum stökum er upptalningaraðferðin. Þá eru stök mengisins talin upp innan slaufusviga og kommur hafðar á milli þeirra. Ef táknar til dæmis mengi hnífaparanna má rita með upptalningu á eftirfarandi hátt:
Dæmi 1.1
Mengi skrifað með upptalningaraðferð
Skrifaðu mengi sem inniheldur þrjár uppáhaldsíþróttirnar þínar og táknaðu það með hástafnum .
Lausn
Mörg svör eru möguleg eftir því hverjar þrjár uppáhaldsíþróttirnar þínar eru. Í öllum gildum svörum verða þó að vera þrjár ólíkar íþróttir með kommum á milli, til dæmis:
Öll mengin sem við höfum skoðað til þessa hafa verið vel skilgreind. Í vel skilgreindu mengi er ótvírætt hvort tiltekinn hlutur er stak í menginu eða ekki. Stök slíks mengis eru föst og breytast ekki með tímanum. Hugleiddu spurninguna: Hver eru tíu uppáhaldslögin þín frá árinu 2021? Þú gætir búið til lista yfir tíu uppáhaldslögin þín frá því ári, en listi vinar þíns myndi ekki endilega innihalda sömu tíu lög. Mengi tíu uppáhaldslaga þinna frá 2021 er því ekki vel skilgreint. Mengi bókstafanna í nafni þínu er hins vegar vel skilgreint vegna þess að það breytist ekki, nema þú skiptir um nafn. Chad Johnson, útherji í NFL-deildinni, breytti nafni sínu á sínum tíma í Chad Ochocinco til samræmis við treyjunúmer sitt, 85.
Dæmi 1.2
Að þekkja vel skilgreind mengi
Ákvarðaðu hvort hvert safn hér á eftir sé vel skilgreint mengi.
Hópur allra fyrrverandi varaforseta Bandaríkjanna.
Hópur gamalla katta.
Lausn
Hópur allra fyrrverandi varaforseta Bandaríkjanna er vel skilgreint mengi vegna þess að hægt er að ákvarða ótvírætt hvort tiltekinn einstaklingur hafi tilheyrt hópnum. Britney Spears er til dæmis ekki stak í þessu mengi en Joe Biden er stak í því.
Hópur gamalla katta er ekki vel skilgreint mengi vegna þess að merking orðsins gamall er óljós í þessu samhengi. Sumum kann að þykja sjö ára köttur gamall en aðrir telja kött ekki gamlan fyrr en hann er orðinn þrettán ára. Þar sem fólk getur verið ósammála um hvaða kettir tilheyra hópnum er mengið ekki vel skilgreint.
Hinn 20. janúar 2021 tók Kamala Harris við embætti sem fyrsti kvenkyns varaforseti Bandaríkjanna. Ef við skoðuðum mengi allra kvenna sem gegndu embætti varaforseta Bandaríkjanna fyrir þann dag væri það tómamengi. Fjöldi fólks í menginu væri 0, enda hafði engin kona gegnt embættinu á undan Harris. Tómamengið er táknað annaðhvort með slaufusvigum, , eða yfirstrikuðu núlli, .
Dæmi 1.3
Tákn fyrir tómamengið
Táknsettu hvert eftirfarandi mengi.
Mengi frumtalna sem eru minni en 2.
Mengi fugla sem jafnframt eru spendýr.
Lausn
Frumtala er náttúrleg tala stærri en 1 sem er aðeins deilanleg með 1 og sjálfri sér. Engar frumtölur eru minni en 2 og því er mengið tómt. Með táknum má rita það þannig: Nota má þessi tvö ólíku tákn fyrir tómamengið hvort í stað annars.
Mengi fugla og mengi spendýra skerast ekki. Mengi fugla sem jafnframt eru spendýr er því tómt og má tákna það sem
Fyrir stærri mengi þar sem stökin hafa eðlilega röð eru úrfellingarpunktar stundum notaðir til að sýna að mynstrið haldi áfram. Venja er að skrá fyrstu þrjú stök mengisins til að sýna mynstrið, setja síðan úrfellingarpunkta og að lokum síðasta stakið. Skoðum mengi allra lágstafa í enska stafrófinu, . Með táknum er það .
Mengin sem við höfum rætt til þessa eru endanleg mengi. Þau hafa takmarkaðan eða fastan fjölda staka. Úrfellingarpunktar eru einnig notaðir fyrir óendanleg mengi, sem hafa ótakmarkaðan fjölda staka, til að sýna að mynstrið haldi áfram. Mengi náttúrlegra talna, það er allra jákvæðra talningartalna, er til dæmis táknað með .
Taktu eftir að ekkert stak er skráð á eftir úrfellingarpunktunum í framsetningu þessa mengis. Ástæðan er sú að engin náttúrleg tala er stærst; alltaf má bæta einum við og fá næstu náttúrlegu tölu. Náttúrlegu tölurnar hafa engin efri mörk og mengi þeirra er því óendanlegt.
Dæmi 1.4
Endanlegt mengi skrifað með upptalningaraðferð og úrfellingarpunktum
Skrifaðu mengi sléttu náttúrlegu talnanna frá 2 til 100, að báðum tölum meðtöldum, og táknaðu það með hástafnum . Notaðu úrfellingarpunkta.
Lausn
Skrifaðu táknið , síðan jafnaðarmerki og loks vinstri slaufusviga. Skrifaðu fyrstu þrjár sléttu tölurnar með kommum á milli og byrjaðu á 2 til að sýna mynstrið. Skrifaðu næst úrfellingarpunkta, kommu og síðustu töluna á listanum, 100. Lokaðu síðan slaufusviganum.
Skrifaðu táknið , síðan jafnaðarmerki og loks vinstri slaufusviga.
Skrifaðu fyrstu þrjár sléttu tölurnar með kommum á milli og byrjaðu á 2 til að sýna mynstrið.
Skrifaðu næst úrfellingarpunkta, kommu og síðustu töluna á listanum, 100.
Lokaðu síðan slaufusviganum.
Talnakerfið okkar samanstendur af nokkrum ólíkum óendanlegum talnamengjum. Heiltölumengið, er annað óendanlegt talnamengi. Það inniheldur allar jákvæðar og neikvæðar heilar tölur auk núlls. Engin stærsta eða minnsta heiltala er til.
Dæmi 1.5
Óendanlegt mengi skrifað með upptalningaraðferð og úrfellingarpunktum
Skrifaðu heiltölumengið með upptalningaraðferð og táknaðu það með .
Lausn
Skref 1: Eins og áður skrifum við táknið og síðan vinstri slaufusviga. Neikvæðu heiltölurnar eru óendanlega margar. Til að sýna að mynstrið haldi áfram ótakmarkað til vinstri byrjum við upptalninguna á úrfellingarpunktum.
Skref 2: Við setjum kommu og síðan að minnsta kosti þrjár heiltölur í röð með kommum á milli til að sýna mynstrið.
Skref 3: Bættu úrfellingarpunktum við enda listans til að sýna að heiltölumengið heldur áfram ótakmarkað til hægri.
Lokaðu slaufusviganum. Heiltölumengið má tákna þannig:
Mengi má rita á hnitmiðaðan hátt með skilyrðisrithætti, sem er lýsing í orðum eða formúla fyrir mengið. Til dæmis er mengi allra lágstafa í enska stafrófinu, , ritað þannig með skilyrðisrithætti:
Þetta er lesið: „Mengið er mengi allra staka sem uppfylla það skilyrði að sé lágstafur í enska stafrófinu.“
Dæmi 1.6
Mengi skrifað með skilyrðisrithætti
Skrifaðu með skilyrðisrithætti mengið sem inniheldur allar tegundir bolta. Útskýrðu hvað rithátturinn merkir.
Lausn
Lýsingin í orðum er: „Mengið er mengi allra staka sem uppfylla það skilyrði að sé bolti.“ Með skilyrðisrithætti má skrifa mengið þannig:
Dæmi 1.7
Mengi skrifuð með ólíkum aðferðum
Skoðaðu mengi stafanna í enska orðinu „happy“. Ákvarðaðu hvernig best sé að tákna mengið og skrifaðu það síðan annaðhvort með upptalningaraðferð eða skilyrðisrithætti, eftir því sem betur á við.
Lausn
Stafirnir í enska orðinu „happy“ mynda lítið endanlegt mengi og því hentar upptalningaraðferðin best. Veldu tákn fyrir mengið, til dæmis .
𝐻={h,a,p,y}.
Athugaðu að stafurinn „p“ kemur aðeins einu sinni fyrir. Þegar stök mengis eru talin upp er hvert ólíkt stak aðeins skráð einu sinni, óháð því hve oft það kemur fyrir. Sama stakið er aldrei endurtekið í framsetningu mengis.
Fjöldi staka í mengi reiknaður
Nánast öll mengi sem fólk vinnur með utan hreinnar stærðfræði eru endanleg. Fyrir slík mengi er fjöldatala mengisins fjöldi stakanna í því. Fyrir endanlegt mengi er fjöldatalan táknuð með . Til dæmis hefur mengi með fjórum stökum fjöldatöluna 4.
Hvernig mælum við fjöldatölu óendanlegra mengja? „Minnsta“ óendanlega mengið er mengi náttúrlegra talna, eða talningartalna, . Fjöldatala þess er (lesið „alef-núll“). Öll mengi sem hafa sömu fjöldatölu og mengi náttúrlegra talna eru teljanlega óendanleg. Stærðfræðingurinn Georg Cantor innleiddi þetta hugtak og táknun með alef. Hann sagði eitt sinn: „Mengi er margt sem unnt er að hugsa sem eitt.“
Dæmi 1.8
Fjöldi staka í mengi reiknaður
Ritaðu fjölda staka í hverju eftirfarandi mengi með táknum.
Mengið hefur fimm ólík stök: gaffal, skeið, hníf, kjöthitamæli og dósaopnara. Fjöldi staka í menginu er því 5 og er ritaður með táknum sem
Tómamengið hefur engin stök og því er fjöldi staka í því núll. Með táknum er þetta ritað:
Nú höfum við lært að tákna endanleg og óendanleg mengi bæði með upptalningaraðferð og skilyrðisrithætti. Við eigum einnig að geta ákvarðað út frá lýsingu í orðum eða táknum hvort mengi sé endanlegt eða óendanlegt. Ein leið er að finna fjölda staka í menginu. Ef fjöldi stakanna er náttúrleg tala er mengið endanlegt.
Dæmi 1.9
Greint á milli endanlegra og óendanlegra mengja
Flokkaðu hvert eftirfarandi mengi sem endanlegt eða óendanlegt.
𝐸={2,4,6,8,10}
er mengi lágstafa í enska stafrófinu, .
ℚ={𝑝𝑞|𝑝and𝑞areintegersand𝑞≠0}
Lausn
. Þar sem 5 er náttúrleg tala er mengið endanlegt.
. Þar sem 26 er náttúrleg tala er mengið endanlegt.
Mengið er mengi ræðra talna, það er brota. Þar sem heiltölumengið er hlutmengi í mengi ræðra talna og heiltölumengið er óendanlegt er mengi ræðra talna einnig óendanlegt. Engin minnsta eða stærsta ræð tala er til.
Jöfn mengi og samstétta mengi
Í daglegu máli eru orðin jafn og jafngild oft notuð hvort í annars stað, en merking þeirra er ólík. Skoðum nýjan Ford Escape Hybrid og nýjan Toyota RAV4 Hybrid. Báðir eru tvinnknúnir sportjeppar og eru að því leyti sambærilegir. Báðir flytja fólk milli staða með tiltölulega lítilli eldsneytisnotkun. Hér berum við saman eins staks mengin {Toyota RAV4 Hybrid} og {Ford Escape Hybrid}. Mengin hafa jafnmörg stök og eru því samstétta í stærðfræðilegum skilningi, það er þau hafa sömu fjöldatölu. Þau eru þó ekki jöfn, því bílarnir eru ólíkir að útliti og eiginleikum og líklega einnig í akstri. Framleiðendurnir leggja áherslu á sérkenni hvors bíls til að fá fólk til að kaupa hann; væru sportjepparnir í raun jafnir væri engin ástæða til að velja annan umfram hinn.
Skoðum nú tvo Honda CR-V-bíla sem voru smíðaðir úr nákvæmlega sömu hlutum á sama færibandinu með örfárra mínútna millibili. Í þessu dæmi teljast sportjepparnir jafnir. Þeir eru eins og innihalda sömu stök óháð röð. Við kaup væri mismunandi verð hjá bílaumboðum það eina sem greindi þá að. Mengið {Honda CR-V} er jafnt menginu {Honda CR-V}. Jöfn mengi eru táknuð með og samstétta mengi með .
Skoðum nú Toyota-umboð með 10 RAV4-bíla, 8 Prius-bíla, 7 Highlander-bíla og 12 Camry-bíla á lager. Gagntæk samsvörun er milli mengis bíltegundanna og mengis fjölda bíla af hverri tegund. Mengin eru því samstétta en ekki jöfn. Mengið {RAV4, Prius, Highlander, Camry} er samstétta menginu {10, 8, 7, 12}, því þau hafa sama fjölda staka.
Dæmi 1.10
Jöfn mengi og samstétta mengi borin saman
Skoðaðu mengin í hverju pari hér á eftir og ákvarðaðu hvort þau séu jöfn, samstétta eða hvorugt.
𝐸={2,4,6,8,10} og 𝐹={gaffall, skeið, hnífur, kjöthitamælir, dósaopnari}
Tómamengið og mengi frumtalna sem eru minni en 2.
Mengi sérhljóða í enska orðinu happiness og mengi samhljóða í orðinu happiness.
Lausn
Mengin E og F hafa bæði fjöldatöluna 5 en stök þeirra eru ólík. Mengin tvö eru því samstétta en ekki jöfn: .
Frumtölur eru náttúrlegar tölur stærri en 1 sem eru aðeins deilanlegar með 1 og sjálfum sér. Mengi frumtalna sem eru minni en 2 er tómamengið, því engar frumtölur eru minni en 2. Mengin tvö eru því jöfn (og samstétta).
Mengi sérhljóða í enska orðinu happiness er og mengi samhljóða í enska orðinu happiness er Fjöldatölur þessara tveggja mengja eru og í sömu röð. Þar sem fjöldatölur mengjanna eru ólíkar eru þau ekki samstétta. Stök þeirra eru heldur ekki þau sömu og því eru þau ekki jöfn.
Kannaðu skilning þinn
_____________ er vel skilgreint safn hluta.
_________________ endanlegs mengis , táknuð með , er fjöldi staka í menginu .
Ákvarðaðu hvort eftirfarandi lýsing skilgreini ótvírætt mengi: „Fimm bestu pítsustaðirnir í Chicago.“
Þann 21. mars 2021 höfðu aðeins Bandaríkin komið fólki til tunglsins. Hver var fjöldi staka í mengi allra þeirra sem höfðu gengið á tunglinu fyrir þann dag?
Mengið inniheldur tólf ólíka kleinuhringi og mengið inniheldur tólf ólíkar eplategundir. Er mengið jafnt menginu , samstétta menginu eða hvorugt?
Er mengi allra fiðrilda í heiminum endanlegt eða óendanlegt?
Táknaðu mengi allra hástafa í enska stafrófinu bæði með upptalningaraðferð og skilyrðisrithætti.
Æfingar úr hluta 1.1
Í eftirfarandi æfingum skaltu tákna hvert mengi með upptalningaraðferð.
1.
Mengi frumlitanna: rauður, gulur og blár.
2.
Mengi eftirfarandi blóma: rós, túlípani, morgunfrú, íris og lilja.
3.
Mengi náttúrlegra talna á milli 50 og 100.
4.
Mengi náttúrlegra talna sem eru stærri en 17.
5.
Mengi ólíkra tegunda taflmanna í skák.
6.
Mengi náttúrlegra talna sem eru minni en 21.
Í eftirfarandi æfingum skaltu tákna hvert mengi með skilyrðisrithætti.
7.
Mengi allra tegunda eðla.
8.
Mengi allra stjarna í alheiminum.
9.
Mengi allra jákvæðra margfelda af 3.
10.
Mengi allra jákvæðra margfelda af 4.
11.
Mengi allra ætra plantna.
12.
Mengi allra sléttra talna.
Í eftirfarandi æfingum skaltu tákna hvert mengi með þeirri aðferð sem þú kýst.
13.
Mengi allra ferninga sem eru einnig hringir.
14.
Mengi náttúrlegra talna sem eru deilanlegar með núlli.
15.
Mengi barna Mikes og Carol í sjónvarpsþáttunum The Brady Bunch.
16.
Mengi allra rauntalna.
17.
Mengi ísbjarna sem lifa á Suðurskautslandinu.
18.
Mengi laga sem Prince samdi.
19.
Mengi barnabóka sem Mo Willems skrifaði og myndskreytti.
20.
Mengi þeirra sjö lita sem jafnan eru taldir mynda regnbogann.
Í eftirfarandi æfingum skaltu ákvarða hvort safn hluta sé vel skilgreint mengi.
21.
Nöfn allra persónanna í bókinni The Fault in Our Stars eftir John Green.
22.
Fimm bestu knattspyrnumenn allra tíma.
23.
Hópur gamalla hunda sem geta lært ný brögð.
24.
Listi yfir allar kvikmyndir sem Spike Lee hafði leikstýrt til og með árinu 2021.
25.
Hópur allra sebrahesta sem geta flogið flugvél.
26.
Hópur þeirra meðlima frægðarhallar bandarísku hafnaboltadeildarinnar sem hafa slegið meira en 700 heimahlaup á ferlinum.
Í eftirfarandi æfingum skaltu reikna fjölda staka í hverju mengi.
27.
𝑃 ={Snuzzle, Butterscotch, Blue Belle, Minty, Blossom, Cotton Candy}
28.
𝑇 ={pepperoni, sausage, bacon, ham, mushrooms, olives, bell pepper, pineapple}
29.
∅
30.
𝐵 ={5,6,7,…,20}
31.
𝐹 ={19,29,39,49,59,69,79,89,99}
32.
{ }
33.
𝐶 ={𝑛3|𝑛 is a member of ℕ}
34.
𝑆 ={7𝑛|𝑛 is an element of ℕ}
35.
𝐿 ={𝑙,𝑚,𝑛,…,𝑦}
36.
Mengi talnanna á venjulegum sexhliða teningi.
Í eftirfarandi æfingum skaltu ákvarða hvort mengið
