11 Mengi

1.5 Mengjaaðgerðir með þremur mengjum

Einstaklingur horfir á síma og fartölva sést í bakgrunni. — **Mynd 1.28.** Fyrirtæki á borð við Google safna gögnum um notkun þjónustu sinnar, en gögnin fá fyrst merkingu við greiningu. (mynd: „Man holding smartphone and searches through google“ eftir Nenad Stojkovic/Flickr, CC BY 2.0)

Námsmarkmið

Að þessum hluta loknum átt þú að geta:

túlkað Venn-myndir með þremur mengjum;
teiknað Venn-myndir með þremur mengjum;
beitt mengjaaðgerðum á þrjú mengi;
sannað jöfnuð mengja með Venn-myndum.

Hefur þú leitað að einhverju á netinu og skömmu síðar farið að sjá margar auglýsingar fyrir sömu vöru á öðrum vefsíðum? Stórfyrirtæki hafa byggt rekstur sinn á söfnun og greiningu gagna. Eftir því sem gagnamengin stækka verður greiningin flóknari. Í þessum hluta víkkum við þekkingu okkar á venslum mengja með því að bæta þriðja menginu við.

Venn-mynd með tveimur mengjum sem skarast skiptir grunnmenginu í fjögur svæði. Með því einu að bæta við þriðja menginu fjölgar svæðunum í átta og flækjustigið tvöfaldast.

Venn-myndir með þremur mengjum

Hér á eftir er Venn-mynd með tveimur mengjum sem skarast og skipta grunnmenginu í fjögur aðgreind svæði.

Venn-mynd sýnir mengin 𝐴 og 𝐵 sem skarast innan grunnmengisins 𝑈. Svæðin eru 𝐴 ∩ 𝐵′, 𝐵 ∩ 𝐴′, 𝐴 ∩ 𝐵 og (𝐴 ∪ 𝐵)′. — **Mynd 1.29.** Svæði tveggja mengja sem skarast innan grunnmengisins U.

Næst sjáum við Venn-mynd með þremur mengjum sem skarast og skipta grunnmenginu í átta aðgreind svæði.

Venn-mynd sýnir þrjú mengi A, B og C innan grunnmengisins U. Svæðin sem tilheyra aðeins einu mengi eru A ∩ (B ∪ C)′, B ∩ (A ∪ C)′ og C ∩ (A ∪ B)′. Svæðin sem tilheyra nákvæmlega tveimur mengjum eru A ∩ B ∩ C′, A ∩ B′ ∩ C og A′ ∩ B ∩ C. Í miðjunni er A ∩ B ∩ C og utan allra hringjanna er (A ∪ B ∪ C)′. — **Mynd 1.30.** Átta svæði þriggja mengja sem skarast innan grunnmengisins U.

Í næsta dæmi skoðum við blóðflokksþættina þrjá: A, B og Rh. Í blóðgjafardæmum þessa hluta er notað einfalt líkan af samrýmanleika rauðra blóðkorna út frá ABO- og Rh-flokkum. Eftirfarandi upplýsingar um blóðflokka skýra vensl mengja blóðflokksþáttanna. Ef einstaklingur hefur A- eða B-þátt kemur hann fram í blóðflokki viðkomandi. Rh-þátturinn er táknaður með $+$ eða $-$ . Einstaklingur með alla þrjá þættina er til dæmis í blóðflokki ${AB}^{+}$ . Á Venn-myndinni er hann í sniðmengi allra þriggja mengjanna, $A \cap B \cap R h^{+} .$ Einstaklingur án þessara þriggja þátta er í blóðflokki $O^{-},$ og tilheyrir menginu ${(A \cup B \cup R h^{+})}^{'}$ , sem er svæðið utan allra hringjanna.

Dæmi 1.35

Venn-mynd með þremur mengjum túlkuð

Notaðu Venn-myndina hér á eftir, sem sýnir blóðflokka 100 einstaklinga sem gáfu blóð á heilsugæslustöð, til að svara spurningunum.

Venn-mynd sýnir þrjú mengi sem skarast: A, B og Rh+. Svæðin sýna A− = 6, B− = 2, O+ = 37, AB− = 1, B+ = 8, A+ = 36, AB+ = 3 og utan hringjanna O− = 7. Grunnmengið er blóðflokkar 100 einstaklinga. — **Mynd 1.32.** Blóðflokkar 100 einstaklinga flokkaðir eftir A-, B- og Rh-þáttum.

Hve margir blóðgjafar höfðu A-blóðflokksþátt?
Julio er í blóðflokki $B^{+} .$ Ef hann þarf að gangast undir aðgerð með blóðgjöf getur hann þegið blóð frá hverjum sem hefur ekki A-blóðflokksþátt. Hve margir gáfu blóð sem Julio getur þegið?
Hve margir blóðgjafar höfðu ekki ${Rh}^{+}$ þáttinn?
Hve margir höfðu bæði A- og B-blóðflokksþátt?

Lausn

Fjöldi blóðgjafa með A-blóðflokksþátt er summa allra talna innan A-hringsins. Hann fæst með því að leggja saman fjölda staka á svæðunum $A^{-}, A^{+}, A B^{-} og A B^{+} .$ $n (A) = n (A^{-}) + n (A^{+}) + n (A B^{-}) + n (A B^{+}) = 6 + 36 + 1 + 3 = 46.$
Í fyrsta lið kom fram að 46 blóðgjafar höfðu A-blóðflokksþátt. Til að finna fjölda þeirra sem höfðu hann ekki notum við að sammengi A og $A^{'}$ er jafnt $U$ , sem merkir $n (A) + n (A^{'}) = n (U),$ og $n (A^{'}) = n (U) - n (A) = 100 - 46 = 54.$ Julio getur því þegið blóð frá 54 blóðgjöfum.
Þetta eru allir utan ${Rh}^{+}$ hringsins, það er allir með neikvæðan Rh-þátt, $n (R h^{-}) = n (O^{-}) + n (A^{-}) + n (A B^{-}) + n (B^{-}) = 7 + 6 + 1 + 2 = 16.$
Til að hafa bæði A- og B-blóðflokksþátt þarf einstaklingur að vera í sniðmengi mengjanna $A$ og $B$ . Hringirnir skarast á svæðunum $A B^{-}$ og $A B^{+} .$ Leggðu saman fjöldann á þessum tveimur svæðum: $1 + 3 = 4.$ Með táknum má rita þetta sem $n (A og B) = n (A \cap B) = n (A B^{-}) + n (A B^{+}) = 1 + 3 = 4.$

Venn-myndir með þremur mengjum teiknaðar

Þegar Venn-mynd er teiknuð út frá gögnum um þrjú hlutmengi er almenna aðferðin að vinna innan frá og út. Byrjaðu á sniðmengi allra þriggja mengjanna og fylltu síðan svæðin þar sem tvö mengi skarast. Næst koma svæðin sem tilheyra einu mengi og að lokum svæðið í grunnmenginu sem tilheyrir engu þeirra. Aðferðina má útvíkka yfir á hvaða fjölda mengja sem er. Lykillinn er að byrja þar sem skörunin er mest og vinna út frá miðjunni.

Dæmi 1.36

Venn-mynd með þremur mengjum teiknuð

Kennari kannaði hvernig 43 nemendur í bekk undirbjuggu sig fyrir síðasta próf. Alls gerðu 24 nemendur minniskort, 14 lásu glósurnar sínar og 27 leystu upprifjunarverkefnið. Af nemendunum 43 leystu 12 upprifjunarverkefnið og gerðu minniskort, 9 leystu verkefnið og lásu glósur og 7 gerðu minniskort og lásu glósur. Aðeins 5 nemendur gerðu allt þrennt. Hinir gerðu ekkert af þessu. Teiknaðu Venn-mynd með hlutmengjunum „Glósur“, „Minniskort“ og „Upprifjun“ sem sýnir undirbúning nemendanna.

Lausn

Skref 1: Teiknaðu fyrst Venn-mynd með þremur hringjum sem skarast og tákna mengin Glósur, Minniskort og Upprifjun. Merktu grunnmengið með fjöldatölu bekkjarins.

Venn-mynd sýnir þrjú mengi sem skarast, merkt Glósur, Minniskort og Upprifjun. Grunnmengið er merkt 𝑈 = bekkur = 43. — **Mynd 1.33.** Þrjár leiðir til undirbúnings í 43 nemenda bekk.

Skref 2: Skráðu næst fjölda nemenda sem gerðu allt þrennt á svæðið þar sem öll mengin skarast.

Venn-mynd sýnir þrjú mengi sem skarast, merkt Glósur, Minniskort og Upprifjun. Í sniðmengi allra þriggja stendur 5 og grunnmengið er merkt 𝑈 = bekkur = 43. — **Mynd 1.34.** Fimm nemendur notuðu allar þrjár leiðirnar til undirbúnings.

Skref 3: Reiknaðu næst og merktu svæðin þrjú þar sem nákvæmlega tvö mengi skarast.

Skörun Upprifjunar og Minniskorta. Alls 12 nemendur leystu upprifjunarverkefnið og gerðu minniskort, en 5 þeirra gerðu allt þrennt. Því þarf að draga frá: $12 - 5 = 7$ . Þetta er gildið á svæðinu þar sem Minniskort og Upprifjun skarast.
Skörun Upprifjunar og Glósna. Alls 9 nemendur leystu upprifjunarverkefnið og lásu glósurnar sínar, en 5 þeirra gerðu allt þrennt. Því drögum við frá: $9 - 5 = 4$ . Þetta er gildið á svæðinu þar sem Upprifjun og Glósur skarast.
Skörun Minniskorta og Glósna. Alls 7 nemendur gerðu minniskort og lásu glósur. Þegar 5 nemendurnir sem gerðu allt þrennt eru dregnir frá standa eftir 2 sem aðeins lásu glósur og gerðu minniskort. Skráðu þessi gildi á Venn-myndina.

Venn-mynd sýnir mengin Glósur, Minniskort og Upprifjun. Á skörun Glósna og Minniskorta stendur 2, Minniskorta og Upprifjunar 7, Glósna og Upprifjunar 4 og í sniðmengi allra þriggja 5. Grunnmengið er 𝑈 = bekkur = 43. — **Mynd 1.35.** Fjöldi nemenda sem notuðu tvær eða þrjár leiðir til undirbúnings.

Skref 4: Endurtaktu ferlið til að finna fjölda nemenda sem gerðu aðeins eitt af verkefnunum þremur.

Alls 24 nemendur gerðu minniskort, en við höfum þegar talið $2 + 5 + 7 = 14$ þeirra. Því voru það $24 - 14 = 10$ nemendur sem gerðu aðeins minniskort.
Alls 14 nemendur lásu glósurnar sínar, en við höfum þegar talið $4 + 5 + 2 = 11$ þeirra. Því voru það $14 - 11 = 3$ nemendur sem lásu aðeins glósurnar sínar.
Alls 27 nemendur leystu upprifjunarverkefnið, en við höfum þegar talið $4 + 5 + 7 = 16$ þeirra. Það merkir að $27 - 16 = 11$ nemendur leystu aðeins upprifjunarverkefnið.
Skráðu gildin á Venn-myndina.

Venn-mynd sýnir undirbúning 43 nemenda. Aðeins glósur lásu 3, aðeins minniskort gerðu 10 og aðeins upprifjunarverkefnið leystu 11. Glósur og minniskort, en ekki upprifjunarverkefnið, notuðu 2; minniskort og upprifjun, en ekki glósur, notuðu 7; glósur og upprifjun, en ekki minniskort, notuðu 4. Allt þrennt gerðu 5. Grunnmengið er merkt U = bekkur = 43. — **Mynd 1.36.** Fjöldi nemenda á hverju svæði innan hringjanna.

Skref 5: Reiknaðu að lokum hve margir nemendur gerðu ekkert af þessu þrennu. Leggðu saman gildin á öllum aðgreindum svæðum mengjanna: $3 + 2 + 4 + 5 + 10 + 7 + 11 = 42$ . Þar sem 43 nemendur eru í bekknum og $43 - 42 = 1$ , gerði aðeins einn nemandi ekkert af þessu. Skráðu gildið innan rétthyrningsins en utan allra hringjanna.

Mengjaaðgerðum beitt á þrjú mengi

Mengjaaðgerðum er beitt á tvö mengi í einu. Svigar sýna hvaða aðgerð á að framkvæma fyrst og fyrst er reiknað innan innstu sviga, rétt eins og í talnareikningi. Næst eru fyllimengi fundin og loks þau sammengi eða sniðmengi sem eftir standa.

Dæmi 1.37

Mengjaaðgerðum beitt á þrjú mengi

Framkvæmdu tilgreindar mengjaaðgerðir á mengjunum $U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}$ , $A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6},$ $B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12},$ og $C = {0, 3, 6, 9, 12} .$

Finndu $(A \cap B) \cap C .$
Finndu $A \cap (B \cup C) .$
Finndu $(A \cap B) \cup C^{'} .$

Lausn

Reiknum fyrst innan sviga. Sniðmengi $A$ og $B$ er $A \cap B = {0, 2, 4, 6},$ stökin sem eru sameiginleg mengjunum $A$ og $B$ . Þá er $(A \cap B) \cap C = {0, 2, 4, 6} \cap {0, 3, 6, 9, 12} = {0, 6},$ því 0 og 6 eru einu sameiginlegu stökin.
Reiknum fyrst innan sviga. Sammengi $B$ og $C$ er $B \cup C = {0, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12},$ safn allra staka í $B$ eða $C$ eða báðum. Þá er $A \cap (B \cup C) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} \cap {0, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12} = {0, 2, 3, 4, 6},$ því sniðmengi þessara tveggja mengja er mengi stakanna sem þau eiga sameiginleg.
Reiknum fyrst innan sviga. Sniðmengi $A$ og $B$ er $A \cap B = {0, 2, 4, 6} .$ Næst finnum við fyllimengið $C^{'} .$ Fyllimengi $C$ inniheldur stök grunnmengisins $U$ sem eru ekki í $C .$ $C^{'} = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11} .$ Að lokum er $(A \cap B) \cup C^{'} = {0, 2, 4, 6} \cup {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11} = {0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11} .$

Athugaðu að svörin í Þú átt leik eru þau sömu og í sýnidæminu. Það er ekki tilviljun. Eftirfarandi jafngildi gilda fyrir mengi:

$A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$ og $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C .$ Þetta eru tengireglur sniðmengis og sammengis.
$A \cap B = B \cap A$ og $A \cup B = B \cup A .$ Þetta eru víxlreglur sniðmengis og sammengis.
$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ og $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) .$ Þetta eru dreifireglur sniðmengis yfir sammengi og sammengis yfir sniðmengi.

Jöfnuður mengja sannaður með Venn-myndum

Til að sanna jöfnuð mengja með Venn-myndum er teiknuð mynd fyrir hvora hlið jöfnunnar. Síðan er athugað hvort svæðin sem fást séu eins.

Augustus De Morgan var enskur stærðfræðingur sem lagði mikilvægan skerf til mengjafræði og rökfræði. Regla De Morgans um fyllimengi sammengis segir að ${(A \cup B)}^{'} = A^{'} \cap B^{'}$ . Í næsta dæmi notum við Venn-myndir til að sanna regluna. Fyrst staðfestum við hana þó í einu dæmi. Það er ekki sönnun en gefur ástæðu til að ætla að reglan geti gilt almennt.

Látum $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},$ $A = {2, 3, 4},$ og $B = {3, 4, 5, 6} .$ Við notum mengin í jöfnunni ${(A \cup B)}^{'} = A^{'} \cap B^{'} .$ Byrjum á að finna mengið sem hvor hlið jöfnunnar skilgreinir.

Skref 1: Sammengið $A \cup B$ inniheldur öll ólík stök í $A$ eða $B$ eða báðum: $A \cup B = {2, 3, 4, 5, 6} .$ Fyllimengið ${(A \cup B)}^{'}$ inniheldur öll stök grunnmengisins sem eru ekki í $A \cup B$ . Vinstri hlið jöfnunnar er því ${(A \cup B)}^{'}$ = ${1, 7} .$

Skref 2: Hægri hlið jöfnunnar er $A^{'} \cap B^{'} .$ $A^{'}$ inniheldur öll stök í $U$ sem eru ekki í $A$ , svo $A^{'} = {1, 5, 6, 7} .$ Á sama hátt er $B' = {1, 2, 7} .$

Skref 3: Sniðmengið $A^{'} \cap B^{'}$ inniheldur stökin sem eru í báðum fyllimengjunum $A^{'}$ og $B^{'} .$ Tölurnar 1 og 7 eru sameiginlegar, svo $A^{'} \cap B^{'} = {1, 7} .$ Þar sem ${1, 7} = {1, 7}$ hefur regla De Morgans um fyllimengi sammengis verið staðfest í þessu dæmi. Venn-myndin hér á eftir sýnir venslin.

Venn-mynd sýnir mengin A og B. Aðeins í A er 2, aðeins í B eru 5 og 6, í sniðmenginu eru 3 og 4 og utan beggja mengja eru 1 og 7. Grunnmengið er merkt U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, en 0 er ekki staðsett á myndinni. — **Mynd 1.38.** Mengin A og B innan grunnmengisins U. Stakið 0 er talið upp í U en vantar á upprunalegu myndina.

Dæmi 1.38

Regla De Morgans um fyllimengi sammengis sönnuð með Venn-mynd

Regla De Morgans um fyllimengi sammengis tveggja mengja $A$ og $B$ segir að ${(A \cup B)}^{'} = A^{'} \cap B^{'} .$ Notaðu Venn-mynd til að sanna reglu De Morgans.

Lausn

Skref 1: Teiknaðu fyrst Venn-mynd sem sýnir vinstri hlið jöfnunnar. Svæðin sem skipta máli eru skyggð. $A \cup B$ er skyggt til vinstri og ${(A \cup B)}^{'}$ er skyggt til hægri.

Tvær Venn-myndir sýna sammengi tveggja mengja og fyllimengi þess. Á þeirri fyrri er 𝐴 ∪ 𝐵 skyggt en á þeirri síðari er svæðið í 𝑈 utan beggja mengja skyggt. — **Mynd 1.39.** Sammengi A og B og fyllimengi sammengisins.

Skref 2: Teiknaðu næst Venn-mynd fyrir hægri hlið jöfnunnar. $A^{'}$ er skyggt og $B^{'}$ er skyggt. Þar sem $A^{'}$ og $B^{'}$ skarast og mynda $A^{'} \cap B^{'}$ er það svæði einnig skyggt.

Venn-myndir sýna fyllimengi 𝐴, fyllimengi 𝐵 og sniðmengi þeirra. Á lokamyndinni eru 𝐴 og 𝐵 óskyggð en svæðið í 𝑈 utan beggja mengja er skyggt. — **Mynd 1.40.** Venn-mynd af sniðmengi fyllimengja tveggja mengja.

Skref 3: Staðfestu niðurstöðuna. Þar sem skyggða svæðið fyrir ${(A \cup B)}^{'}$ er það sama og skyggða svæðið fyrir $A^{'} \cap B'$ , eru hliðar jöfnunnar jafnar og yrðingin sönn. Þar með er regla De Morgans sönnuð.

Kannaðu skilning þinn

Þegar Venn-mynd með tveimur eða fleiri hlutmengjum er teiknuð á að byrja á svæðinu með mestri _____________ og vinna síðan út frá miðjunni.

Til að teikna Venn-mynd með þremur hlutmengjum skaltu teikna og merkja þrjá hringi sem skarast á sameiginlegu svæði innan rétthyrnings grunnmengisins. Svæðið er _____________ hlutmengjanna þriggja.

Á Venn-mynd með þremur mengjum er svæðið þar sem öll mengin,

A

B

C

, skarast jafnt menginu _____________.

Þegar mengjaaðgerðir eru framkvæmdar á þremur eða fleiri mengjum er fyrst reiknað innan innstu _____________, síðan eru ___________ mengjanna fundin og loks þau sammengi eða sniðmengi sem eftir standa.

Til að sanna jöfnuð mengja með Venn-myndum skaltu teikna mynd fyrir hvora hlið ______________ og bera myndirnar saman. Ef þær eru eins er yrðingin ____________, annars ekki.

Æfingar úr hluta 1.5

Leikjaklúbbur Baily Middle School með 25 félögum kannaði hverjir léku borðspil, spil eða tölvuleiki. Notaðu niðurstöðurnar á Venn-myndinni til að leysa eftirfarandi æfingar.

Venn-mynd sýnir 25 félaga í mengjunum Borðspil, Spil og Tölvuleikir. Aðeins borðspil leikur 1, aðeins spil 0 og aðeins tölvuleiki 5. Borðspil og spil, en ekki tölvuleiki, leika 2; spil og tölvuleiki, en ekki borðspil, leika 3; borðspil og tölvuleiki, en ekki spil, leika 4. Allt þrennt leika 10 og enginn er utan hringjanna.

Hve margir félagar leika allar þrjár gerðir leikja: borðspil, spil og tölvuleiki?

Hve margir eru í menginu Borðspil

\cap

Tölvuleikir?

Ef Javier er á svæðinu með þremur félögum, hvaða gerðir leikja leikur hann?

Hve margir leika tölvuleiki?

Hve margir eru í menginu Borðspil

\cup

Spil?

Hve margir félagar leika ekki tölvuleiki?

Hve margir félagar leika aðeins borðspil?

Hve margir félagar leika aðeins tölvuleiki?

Hve margir félagar leika bæði tölvuleiki og spil?

10.

Hve margir félagar eru í fyllimengi spilamengisins,

{\rm{Card'}}

Í blóðsöfnun við City Honors High School gáfu nýlega 140 nemendur og starfsmenn blóð. Notaðu niðurstöðurnar á Venn-myndinni til að leysa eftirfarandi æfingar.

Venn-mynd sýnir 140 blóðgjafa í mengjunum A, B og Rh+. Aðeins í A eru 8, aðeins í B eru 3 og aðeins í Rh+ eru 52. Í A og B, en ekki Rh+, eru 2; í B og Rh+, en ekki A, eru 11; í A og Rh+, en ekki B, eru 50. Í sniðmengi allra þriggja eru 4 og utan allra hringjanna eru 10.

11.

Blóðflokkurinn

\text{AB}^{ + }

getur þegið blóð úr öllum ABO- og Rh-flokkum. Hve margir af 140 blóðgjöfunum við City Honors voru í blóðflokki

\text{AB}^{ + }

12.

Blóðflokkurinn

\text{O}^{ - }

er almenni gjafablóðflokkurinn og má gefa hverjum sem þarf blóðgjöf. Hve margir blóðgjafar voru í

\text{O}^{ - }

blóðflokki?

13.

Hve margir blóðgjafar höfðu A-blóðflokksþátt?

14.

Hve margir blóðgjafar höfðu bæði A- og B-blóðflokksþátt, það er voru í AB-blóðflokki?

15.

Hve margir blóðgjafar voru

\text{O}^{ + }

16.

Hve margir blóðgjafar voru ekki

{\text{R}}{{\text{h}}^ + }

17.

Opal er í blóðflokki

\text{A}^{ + }

. Ef hún þarf að gangast undir aðgerð með blóðgjöf getur hún þegið blóð frá hverjum sem hefur ekki B-blóðflokksþátt. Hve margir gáfu blóð við City Honors sem Opal getur þegið?

18.

Finndu

n(A \cap {\text{R}}{{\text{h}}^ + })

19.

Finndu

n(A \cup {\text{R}}{{\text{h}}^ + })

20.

Finndu

n(A \cap B \cap {\text{R}}{{\text{h}}^ - })

Í eftirfarandi æfingum skaltu teikna Venn-mynd með þremur hringjum sem sýnir vensl mengjanna.

21.

Fjöldi staka í grunnmenginu

U

n(U) = 48

. Mengin

A

B

C

eru hlutmengi í

U

n(A) = 23,\,n(B) = 25

n(C) = 17

. Einnig er

n(A \cap B) = 15,\,n(B \cap C) = 12,\,n(C \cap A) = 11

n(A \cap B \cap C) = 8

22.

Fjöldi staka í grunnmenginu

U

n(U) = 88

. Mengin

A

B

C

eru hlutmengi í

U

n(A) = 31,\,n(B) = 46

n(C) = 33

. Einnig er

n(A \cap B) = 24,\,n(B \cap C) = 24

n(C \cap A) = 26

n(A \cap B \cap C) = 22

23.

Fjöldi staka í grunnmenginu

U

n(U) = 52

. Mengin

A

B

C

eru hlutmengi í

U

n(A) = 23

n(B) = 27

n(C) = 29

. Einnig er

n(A \cap B) = 22,\,n(B \cap C) = 21,\,n(C \cap A) = 19

n(A \cap B \cap C) = 18

24.

Fjöldi staka í grunnmenginu

U

n(U) = 144

. Mengin

A

B

C

eru hlutmengi í

U

n(A) = 36

n(B) = 64

n(C) = 81

. Einnig er

n(A \cap B) = 26,\,n(B \cap C) = 61,\,n(C \cap A) = 29

n(A \cap B \cap C) = 25

25.

Grunnmengið

U

hefur fjöldatöluna 36.

n(A) = 12,\,n(B) = 12,\,n(C) = 15,\,n(A\,{\text{and}}\,B) = 3,\,n(B\,{\text{and}}\,C) = 4,\,n(C\,{\text{and}}\,A) = 5

n(C\,{\text{and}}\,A) = 5

n(A{\text{ and }}B{\text{ and }}C) = 1.

26.

Grunnmengið

U

hefur fjöldatöluna 63.

n(A) = 29

n(B) = 31,\,n(C) = 41,\,n(A\,{\text{and}}\,B) = 12,\,n(B\,{\text{and}}\,C) = 16,\,n(C\,{\text{and}}\,A) = 18

n(A\,{\text{and}}\,B\,{\text{and}}\,C) = 5

27.

Grunnmengið

U

hefur fjöldatöluna 72.

n(A) = 32,\,n(B) = 32,\,n(C) = 44,\,n(A\,{\text{and}}\,B) = 18,\,n(B\,{\text{and}}\,C) = 22,\,n(C\,{\text{and}}\,A) = 26

n(A\,{\text{and}}\,B\,{\text{and}}\,C) = 14

28.

Grunnmengið

U

hefur fjöldatöluna 81.

n(A) = 54,\,n(B) = 41,\,n(C) = 52,\,n(A\,{\text{and}}\,B) = 32,\,n(B\,{\text{and}}\,C) = 28,\,n(C\,{\text{and}}\,A) = 30

n(A\,{\text{and}}\,B\,{\text{and}}\,C) = 21

29.

Anime-teikniklúbburinn við Pratt Institute kannaði notkun 42 félaga á teikniefnum. Alls teiknuðu 23 með pastellitum, 28 með viðarkolum og 17 með litblýöntum. Af þeim notuðu 10 öll efnin þrjú, 18 bæði viðarkol og pastelliti, 11 litblýanta og viðarkol og 12 litblýanta og pastelliti. Hinir notuðu ekkert þessara þriggja efna.

30.

Nýr sportjeppi fæst með þremur aukapökkum: sportpakka, dráttarpakka og afþreyingarpakka. Bílaumboð tók saman gögn um alla 31 bílinn sem seldist í júlí. Af þeim voru 18 með afþreyingarpakka, 11 með dráttarpakka og 16 með sportpakka. Fimm voru með alla pakkana þrjá, sjö með dráttar- og sportpakka, ellefu með afþreyingar- og sportpakka og átta með dráttar- og afþreyingarpakka. Hinir bílarnir voru án þessara aukapakka.

Í eftirfarandi æfingum skaltu framkvæma tilgreindar mengjaaðgerðir á þessum mengjum:

𝑈

{

rauður

appelsínugulur

gulur

grænn

blár

indígó

fjólublár

}

𝐴

{

rauður

gulur

blár

}

𝐵

{

appelsínugulur

grænn

fjólublár

}

{

rauður,

appelsínugulur,

gulur,

grænn,

blár,

indígó,

fjólublár

}

{

rauður,

gulur,

blár

}

{

appelsínugulur,

grænn,

fjólublár

}

, og

𝐶

{

rauður

grænn

indígó

}

{

rauður, grænn, indígó

}

31.

Finndu

(A \cup B) \cap C

32.

Finndu

(A \cap C) \cup B

33.

Finndu

U \cap (B \cup C)

34.

Finndu

(B \cap A) \cap U

35.

Finndu

A \cap {(B \cap C)^\prime }

36.

Finndu

A' \cap (B \cup C)

Í eftirfarandi æfingum skaltu framkvæma tilgreindar mengjaaðgerðir á mengjunum $U = \{ 20,21,22, \ldots ,29\} ,\,A = \{ 21,24,27\} ,\,B = \{ 20,22,24,28\}$ og $C = \{ 21,23,25,27\}$ .

37.

Finndu

A\,{\text{and}}\,B\,{\text{and}}\,{C^\prime }

38.

Finndu

{A^\prime }\,{\text{or}}\,B\,{\text{or}}\,C

39.

Finndu

\,(A\,{\text{or}}\,B)\,{\text{and}}\,{C^\prime }

40.

Finndu

\,(A\,{\text{or}}\,B)\,{\text{or}}\,{C^\prime }

41.

Finndu

(A\,{\text{and}}\,C)\,{\text{and}}\,{B^\prime }

42.

Finndu

{(A\,{\text{or}}\,B)^\prime }\,{\text{and}}\,C

Í eftirfarandi æfingum skaltu nota Venn-myndir til að sanna þessar reglur um mengi:

43.

Víxlregla sammengis tveggja mengja:

A \cup B = B \cup A

44.

Víxlregla sniðmengis tveggja mengja:

A \cap B = B \cap A

45.

Tengiregla sniðmengis þriggja mengja:

(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)

46.

Tengiregla sammengis þriggja mengja:

A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C

47.

Dreifiregla sniðmengis yfir sammengi:

A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)

48.

Dreifiregla sammengis yfir sniðmengi:

A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)