1.4 Mengjaaðgerðir með tveimur mengjum

Kvikmyndin Yours, Mine, and Ours kom fyrst út árið 1968 og Lucille Ball og Henry Fonda fóru með aðalhlutverkin. Myndin byggist lauslega á sannri sögu og fjallar um hjónaband Helen, ekkju með átta börn, og Franks, ekkils með tíu börn, sem síðan eignast barn saman. Gamanmyndin leikur sér að þeim samskipta- og skipulagsvanda sem fylgir því að fæða, baða og klæða tuttugu manns á einu heimili.

Sameiginleg stök tveggja mengja mynda sniðmengi þeirra. Stak er í sniðmenginu ef það tilheyrir báðum mengjunum. Sniðmengi samsvarar því rökfræðilegri OG-yrðingu. Sniðmengi $A$ og $B$ er táknað $A\cap B$. Með skilyrðisrithætti má rita sniðmengi $A$ og $B$ sem $A\cap B=\left\{x|x\in A\text{OG}x\in B\right\}$.

Skoðum börn Helen og Franks úr kvikmyndinni Yours, Mine, and Ours. Börn Helen mynda mengið $H=\left\{\text{Colleen, Nick, Janette, Tommy, Jean, Phillip, Gerald, Theresa, Joseph}\right\}$ og börn Franks mengið $F=\left\{\text{Mike, Rusty, Greg, Rosemary, Loise, Susan, Veronica, Mary, Germaine, Joan, Joseph}\right\}$. Sniðmengi mengjanna $H$ og $F$ inniheldur barnið sem þau eiga saman: $H\cap F=\left\{\text{Joseph}\right\}$, því Joseph er bæði í $H$ og $F$.

Athugaðu að ef mengin $A$ og $B$ eru sundurlæg eiga þau ekkert stak sameiginlegt og sniðmengi þeirra, $A$ ∩ $B$, er tómamengið, eins og Venn-myndin hér á eftir sýnir.

Athugaðu að ef mengið $A$ er hlutmengi í menginu $B$ er sniðmengið $A$ ∩ $B$ jafnt menginu $A$, eins og Venn-myndin hér á eftir sýnir.

Rétt eins og tvær fjölskyldur sameinast við hjónaband inniheldur sammengi tveggja mengja öll stök beggja mengjanna. Stak er í sammenginu ef það er í fyrra menginu, því síðara eða báðum. Sammengi samsvarar því rökfræðilegu „og/eða“. Sammengi $A$ og $B$ er táknað $A\cup B.$ Sammengi $A$ og $B$ má rita með skilyrðisrithætti sem $A\cup B=\left\{x|x\in A\text{EÐA}x\in B\right\}.$

Skoðum aftur mengi barna Helen og Franks úr Yours, Mine, and Ours. Börn Helen mynda mengið $H=\left\{\text{Colleen, Nick, Janette, Tommy, Jean, Phillip, Gerald, Theresa, Joseph}\right\}$ og börn Franks mengið $F=\left\{\text{Mike, Rusty, Greg, Rosemary, Loise, Susan, Veronica, Mary, Germaine, Joan, Joseph}\right\}$. Sammengið inniheldur öll nítján börnin: $\begin{array}{l}H\cup F=\{\text{Colleen, Nick, Janette, Tommy, Jean, Phillip, Gerald, Theresa, Joseph,}\\ \text{Mike, Rusty, Greg, Rosemary, Loise, Susan, Veronica, Mary, Germaine, Joan}\}\text{.}\end{array}$
Joseph er bæði í $H$ og $F$ en er aðeins skráður einu sinni í sammenginu.

Þegar sammengi mengjanna $A$ og $B$ er skoðað sést að bæði mengið $A$ og mengið $B$ eru hlutmengi í $A$ ∪ $B$. Myndrænt má sýna $A$ ∪ $B$ á mismunandi vegu eftir því hvaða stök mengin eiga sameiginleg. Ef $A$ og $B$ eru sundurlæg er $A$ ∪ $B$ sýnt með tveimur sundurlægum hringjum innan grunnmengisins, eins og á Venn-myndinni hér á eftir.

Ef mengin $A$ og $B$ eiga sum stök sameiginleg, en ekki öll, er Venn-myndin teiknuð sem tveir hringir sem skarast.

Ef hvert stak í menginu $A$ er einnig stak í menginu $B$ er $A$ hlutmengi í menginu $B$ og $A$ ∪ $B$ jafnt menginu $B$. Á Venn-myndinni á hringurinn sem táknar mengið $A$ að liggja allur innan hringsins sem táknar mengið $B$.

Fjöldatala sammengis tveggja mengja er heildarfjöldi staka í sammenginu. Fjöldatala $A$ ∪ $B$ er táknuð $n\left(A\cup B\right)$. Ef tvö mengi $A$ og $B$ eru sundurlæg er fjöldatala $A$ ∪ $B$ summa fjöldatalna mengisins $A$ og mengisins $B$. Ef mengin skarast er $A$ ∩ $B$ hlutmengi bæði í menginu $A$ og í menginu $B$. Þegar fjöldatölur mengjanna $A$ og $B$ eru lagðar saman hafa stökin í $A$ ∩ $B$ verið talin tvisvar. Því verður að draga fjölda þeirra einu sinni frá, eins og næsta formúla sýnir.

Til að fá ökuleyfi þarf að standast einhvers konar skriflegt próf og aksturspróf, auk ýmissa annarra krafna eftir aldri. Til einföldunar skulum við einbeita okkur að þessum tveimur prófum. Ef þú stenst skriflega prófið en fellur á akstursprófinu færðu ekki ökuleyfi. Ef þú fellur á skriflega prófinu færðu ekki að taka akstursprófið og færð því ekki ökuleyfi. Til að fá ökuleyfi þarftu að standast bæði skriflega prófið OG akstursprófið. Til að „OG“-yrðing sé sönn verða bæði skilyrði hennar að vera sönn. Á sama hátt inniheldur sniðmengi tveggja mengja $A$ og $B$ þau stök sem eru bæði í menginu $A$ og í menginu $B$. Til að vera stak í $A$ ∩ $B$ verður stak að vera bæði í menginu $A$ og í menginu $B$. Sniðmengi tveggja mengja samsvarar rökfræðilegri „OG“-yrðingu.

Sammengi tveggja mengja samsvarar rökfræðilegri „EÐA“-yrðingu í innifalinni merkingu. Segjum að þú sért í afmælisveislu og gestgjafinn bjóði Leah, Lenny, Maya og þér köku eða ís í eftirrétt. Leah biður um köku, Lenny þiggur bæði köku og ís, Maya afþakkar hvort tveggja og þú velur aðeins ís. Leah, Lenny og þú fáið öll eftirrétt. „EÐA“-yrðingin er sönn ef að minnsta kosti annar liður hennar er sannur. Maya er sú eina sem fékk hvorki köku né ís; hún fékk því engan eftirrétt og „EÐA“-yrðingin er ósönn. Til að vera stak í sammengi tveggja mengja $A$ og $B$ þarf stak að vera í menginu $A$, í menginu $B$ eða í báðum mengjunum $A$ og $B$.

Venn-mynd með tveimur hlutmengjum skiptir grunnmenginu í þrjú eða fjögur svæði eftir því hvort mengin eru sundurlæg eða skarast. Rifjum upp að fyllimengi mengisins $A$, táknað $A^{\prime },$ er mengi allra staka í grunnmenginu sem eru ekki í menginu $A.$