11.1 Kosningaraðferðir – Stærðfræði í daglegu lífi (IS) | Námsgögn
1111 Kosningar og úthlutun sæta
11.1 Kosningaraðferðir
11.1 Kosningaraðferðir
Mynd 11.2. Barack Obama forseti greiðir atkvæði í kosningunum 2012. (mynd: Pete Souza/Hvíta húsið, í almenningi)
Námsmarkmið
Eftir að hafa lokið þessum hluta átt þú að geta:
Beitt hlutfallslegum meirihluta til að ákvarða sigurvegara.
Beitt umferðarkosningu til að ákvarða sigurvegara.
Beitt forgangsröðunarkosningu til að ákvarða sigurvegara.
Beitt Borda-talningu til að ákvarða sigurvegara.
Beitt paraðri samanburðaraðferð og Condorcet-aðferð til að ákvarða sigurvegara.
Beitt samþykkiskosningu til að ákvarða sigurvegara.
Borið saman kosningaraðferðir og greint annmarka þeirra.
Í dag hefst þátttaka þín í samningu stjórnarskrár Ímyndunarlands. Byrjum á því að velja leiðtoga sem getur gegnt embætti forseta. Þetta virðist einfalt: ef meirihluti íbúanna kýs ákveðinn frambjóðanda ætti hann að vinna. En ekki ráðast allar kosningar af hreinum meirihluta. Hvers vegna ekki og hvaða aðrir kostir eru fyrir hendi?
Meirihluti og hlutfallslegur meirihluti
Þegar aðeins tveir kostir eru í boði er einfaldur meirihluti eðlileg leið til að ákvarða sigurvegara. Meirihluti er meira en helmingur heildarinnar, það er meira en 50 prósent.
Skoðum úrslit bandarískra forsetakosninga nánar. Tafla 11.1 sýnir úrslit forsetakosninganna árið 2000. Eins og í flestum forsetakosningum voru fleiri en tveir kostir í boði. Getur þá gerst að enginn frambjóðandi fái meira en helming greiddra atkvæða?
Frambjóðandi (flokksheiti)
Heildarfjöldi atkvæða
Al Gore (Demókrataflokki)
50,999,897
George W. Bush (Repúblikanaflokki)
50,456,002
Ralph Nader (Græningjum)
2,882,955
Patrick J. Buchanan (Umbótaflokki/óháður)
448,895
Harry Browne (Frjálshyggjuflokki)
384,431
Howard Phillips (Stjórnarskrárflokki)
98,020
Aðrir
134,900
Samtals:
105,405,100
Dæmi 11.1
Meirihluti almennra atkvæða í bandarísku forsetakosningunum árið 2000
Skoðaðu aftur töflu 11.1. Fékk einhver einn frambjóðandi meirihluta almennra atkvæða?
Lausn
Skref 1: Reiknaðu 50 prósent af 105.405.100 með því að margfalda með tugabroti 50 prósenta, 0,50: 0.50 ( 105,405,100 ) = 52,702,550
Skref 2: Finndu minnsta fjölda atkvæða sem þarf til meirihluta. Það er lægsta náttúrlega talan sem er stærri en 50 prósent atkvæðanna. Frambjóðandi þarf því fleiri en 52.702.550 atkvæði, það er að minnsta kosti 52.702.551 atkvæði.
Skref 3: Berðu atkvæðafjölda hvers frambjóðanda saman við 52.702.551. Samkvæmt töflu 11.1 fékk enginn frambjóðandi meirihluta.
Ólíkt kosningunum árið 2000 fékk einn frambjóðandi meirihluta atkvæða árið 2020 (sjá töflu 11.1). Algengt er að enginn einn frambjóðandi fái meirihluta þegar fleiri en tveir eru í kjöri. Þá er sá sem fær stærsta hlut atkvæðanna sagður hafa hlutfallslegan meirihluta.
Dæmi 11.2
Hlutfallslegur meirihluti almennra atkvæða í bandarísku forsetakosningunum árið 2000
Skoðaðu aftur töflu 11.1. Hvaða frambjóðandi fékk hlutfallslegan meirihluta almennra atkvæða í forsetakosningunum árið 2000?
Lausn
Al Gore fékk 50.999.897 atkvæði, fleiri en nokkur annar frambjóðandi. Hann fékk því hlutfallslegan meirihluta almennra atkvæða.
Kosningaskipan Ímyndunarlands mun líklega fela í sér forvalskosningar, það er undankosningar þar sem frambjóðendur eru valdir fyrir aðal- eða almennar kosningar. Tafla 11.2 sýnir úrslit forvals Repúblikanaflokksins fyrir öldungadeild Bandaríkjaþings í Maryland árið 2018.
Fjórir efstu frambjóðendur Repúblikanaflokksins
Atkvæði
Hlutfall atkvæða flokksins
Cambell, Tony
51,426
29.22%
Chaffee, Chris
42,328
24.05%
Grigorian, Christina J.
30,756
17.48%
Graziani, John R.
15,435
8.77%
Heildarfjöldi atkvæða
175,981
100%
Athugaðu að algengast er að frambjóðendur til opinberra embætta séu valdir með hlutfallslegum meirihluta en ekki hreinum meirihluta.
Umferðarkosning
Hefur fjölskyldan þín einhvern tíma deilt um hvað eigi að hafa í kvöldmat? Hugsum okkur að helmingur vilji pítsu en hinn helmingurinn hamborgara. Hvernig er jafntefli leyst? Þá þarf úrslitaaðferð.
Mun hið nýja lýðræðisríki Ímyndunarland þurfa úrslitaaðferðir? Ef enginn frambjóðandi uppfyllir skilyrði til sigurs er haldin umferðarkosning, það er önnur kosning, til að ákvarða sigurvegara.
Hvernig gæti umferðarkosning virkað í Ímyndunarlandi? Til eru margar gerðir umferðarkosningakerfa sem grípa til annarrar umferðar þegar sú fyrri skilar ekki sigurvegara. Framkvæmdin er breytileg, einkum skilyrðin fyrir því hverjir komast á kjörseðil í annarri umferð. Í tveggja umferða kerfi komast aðeins efstu frambjóðendurnir áfram. Stundum eru það aðeins tveir efstu, en annars staðar allir sem ná tilteknu atkvæðahlutfalli. Hare-aðferðin er annað umferðarkerfi þar sem aðeins frambjóðandinn eða frambjóðendurnir með allra fæst atkvæði falla út. Því geta umferðirnar orðið margar.
Dæmi 11.3
Umferðarkosning formanns húsfélags
Húsfélag kýs nýjan formann annað hvert ár með tveggja umferða kerfi. Ef enginn fær meirihluta kveða samþykktir félagsins á um að tveir efstu frambjóðendurnir taki þátt í annarri umferð. Á tilteknu ári voru fimm íbúar tilnefndir. Úrslit fyrstu umferðar eru sýnd í töflunni.
Frambjóðandi
Atkvæði í fyrstu umferð
Abou
18
Baiocchi
10
Campana
5
Dali
11
Eugene
4
Er sigurvegari eftir fyrstu umferð? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?
Ef sigurvegari liggur fyrir, hver vann? Ef halda þarf aðra umferð, hverjir komast áfram?
Lausn
Meirihluta af 48 atkvæðum þarf til sigurs. Fyrst eru 50 prósent af 48 reiknuð: 0.50 ( 48 ) = 24. Meirihluti er því 25 atkvæði eða fleiri. Enginn frambjóðandi hefur meirihluta og því er enginn sigurvegari eftir fyrstu umferð.
Abou og Dali komast í aðra umferð.
Skref til að ákvarða sigurvegara með hlutfallslegum meirihluta eða meirihlutakosningu með umferðum
Sigurvegari með hlutfallslegum meirihluta eða í meirihlutakosningu með umferðum er ákvarðaður í þessum þremur skrefum:
Skref 1: Ef meirihluta þarf til sigurs skaltu finna nauðsynlegan atkvæðafjölda. Hann er minnsta heila talan sem er stærri en 50 prósent heildaratkvæða. Ef meirihluta er ekki krafist er farið í skref 2.
Skref 2: Teldu atkvæði hvers frambjóðanda í yfirstandandi umferð. Ef einn frambjóðandi hefur næg atkvæði til hlutfallslegs meirihluta eða meirihluta eftir því sem við á er niðurstaðan fengin. Annars fellur fyrirfram ákveðinn fjöldi frambjóðenda út samkvæmt kosningareglunum. Skilyrðin geta verið ólík. Til dæmis geta þeir sem hafa fæst atkvæði fallið út, eins og í Hare-aðferðinni, eða aðeins þeir sem ná tilteknu lágmarki komist áfram, eins og í tveggja umferða kerfi. Þegar viðeigandi frambjóðendur hafa fallið út er farið í skref 3.
Skref 3: Haltu umferðarkosningu. Ef hún er hermd með lista yfir forgangsröðun kjósenda skal endurnúmera valkostina sem eftir standa án þess að breyta upphaflegri röð þeirra. Endurtaktu síðan skref 2.
Athugið: Endurtaka má skref 2 og 3 eins oft og þarf þegar kosningareglur heimila margar umferðir.
Dæmi 11.4
Kvöldverður fjölskyldunnar
Fimm meðlimir Chionilis-fjölskyldunnar, Annette, Rene, Seema, Titus og Galen, ætla að panta kvöldmat og þurfa að velja veitingastað. Kostirnir eru Rainbow China, Dough Boys Pizza, Taco City og Caribbean Flavor. Þau nota meirihlutakosningu með umferðum þar sem staðurinn með fæst atkvæði fellur út í hverri umferð. Forgangsröðun hvers fjölskyldumeðlims er merkt með upphafsstaf í töflunni. Talan 1 táknar fyrsta val, 2 annað val og svo framvegis. Annað val Annette er til dæmis Dough Boys Pizza.
Valkostir
A
R
S
T
G
Rainbow China
1
3
3
1
3
Dough Boys Pizza
2
2
1
2
1
Taco City
3
4
2
4
2
Caribbean Flavor
4
1
4
3
4
Notaðu upplýsingarnar í töflunni til að svara eftirfarandi spurningum.
Hvaða algenga gerð umferðarkosningar er þetta?
Skráðu niðurstöður hverrar umferðar og ákvarðaðu hvaða veitingastaður varð að lokum fyrir valinu.
Lausn
Hare-aðferðin
Skref 1: Finna þarf þann atkvæðafjölda sem veitir meirihluta. Fjölskyldumeðlimirnir eru fimm og 50 prósent af 5 eru 0.50 ( 5 ) = 2.5. Meirihluti er því þrjú atkvæði eða fleiri. Skref 2: Teldu atkvæði hvers veitingastaðar í fyrstu umferð. Á forgangslista tákna ásarnir fyrsta val hvers
kjósanda. Úrslit fyrstu
umferðar: Rainbow China
— 2 atkvæði;
Dough Boys —
2; Taco City
— 0; Caribbean Flavor — 1. Enginn fékk meirihluta. Taco
City,
sem
fékk
fæst
atkvæði,
fellur
út.
Valkostir
A
R
S
T
G: Rainbow
China
1
3
3
1
3;
Dough
Boys
Pizza
2
2
1 2 1; Caribbean Flavor 4 1 4 3 4. Skref 3: Haltu aðra umferð. Þegar fallni valkosturinn hefur verið fjarlægður er röðin endurnúmeruð sem fyrsta, annað og þriðja val án þess að breyta innbyrðis forgangi. Þá telst annað val þeirra kjósenda
umferð og endurnúmeraðu valið sem fyrsta og annað. Valkostir A R S T G: Rainbow
China
1
2
2
1
2;
Dough
Boys
Pizza
2
1
1
2
1.
Skref
6:
Teldu
fyrsta
val þeirra veitingastaða sem eftir standa. Úrslit þriðju umferðar: Rainbow
China —
2 atkvæði;
Dough Boys
— 3. Dough Boys hefur meirihluta og vinnur.
Forgangsröðunarkosning
Í dæmi 11.4 og Þínu verkefni 11.4 var gefinn listi sem raðaði vali hvers kjósanda. Röðin kallast forgangsröðun. Kjörseðill þar sem kjósandi þarf að raða vali sínu kallast röðunarkjörseðill og kosningakerfi sem notar slíkan seðil kallast röðunarkosning.
Við Óskarsverðlaunin er notaður röðunarkjörseðill. Taflan sýnir dæmi um slíkan seðil fyrir tilnefningar til Óskarsverðlauna fyrir bestu leikstjórn árið 2020.
Frambjóðandi til bestu leikstjórnar
Merktu efsta val með 1, næsta með 2 og svo framvegis.
Martin Scorsese, The Irishman
1
2
3
4
5
Todd Phillips, Joker
1
2
3
4
5
Sam Mendes, 1917
1
2
3
4
5
Quentin Tarantino, Once Upon a Time in Hollywood
1
2
3
4
5
Bong Joon-ho, Parasite
1
2
3
4
5
Við val á kosningaraðferðum fyrir nýja lýðræðisríkið þarf að huga að kostnaði. Ein leið er forgangsröðunarkosning (RCV), sérstök gerð röðunarkosningar sem hermir margar umferðir án þess tíma og kostnaðar sem fylgir því að kjósendur mæti aftur og aftur á kjörstað, eins og í dæmi 11.4.
Forgangsröðunarkosning (RCV), einnig kölluð tafarlaus umferðarkosning (IRV), er afbrigði Hare-aðferðarinnar. Forgangsröðunin gerir kleift að fella út óvinsælasta valið og telja aftur ef enginn fær meirihluta, án nýrrar kosningar.
Í dæmum um röðunarkosningar tökum við forgangsröðun kjósenda saman í töflu þar sem efsta röðin sýnir fjölda seðla með sömu röð valkosta. Æfum okkur að túlka slíka töflu.
Dæmi 11.5
Túlkun á samantekt forgangsröðunar
Notaðu töfluna með forgangsröðun kjósenda til að svara eftirfarandi spurningum.
Fjöldi kjörseðla
100
200
150
75
Kostur A
1
4
3
4
Kostur B
2
3
4
2
Kostur C
4
2
1
1
Kostur D
3
1
2
3
Hve margir kjósendur röðuðu kostunum þannig: kostur A í fjórða sæti, B í öðru, C í fyrsta og D í þriðja?
Hve mörgum kjörseðlum var alls safnað?
Hve margir kjósendur merktu kost C sem fyrsta val?
Lausn
Dálkurinn lengst til hægri sýnir þessa röð. Efsta talan í honum er 75 og því röðuðu 75 kjósendur kostunum þannig.
Summa efstu raðarinnar gefur heildarfjölda kjörseðla: 100 + 200 + 150 + 75 = 525. Alls bárust því 525 kjörseðlar.
Í röð kosts C koma tveir ásar fyrir og tákna fyrsta val. Þeir eru í tveimur síðustu dálkunum. Summa efstu talna þeirra er 150 + 75 = 225. Því merktu 225 kjósendur kost C sem fyrsta val.
Nú kunnum við að lesa samantekt forgangsröðunar og getum æft okkur í að finna sigurvegara með forgangsröðunarkosningu. Hún er enn Hare-aðferð: kosturinn með fæst atkvæði fellur út í hverri umferð þar til meirihluti næst. Munurinn er að kjósendur hafa þegar fyllt út röðunarkjörseðil og þurfa því ekki að mæta aftur á kjörstað. Skrefin eru þessi.
Skref til að ákvarða sigurvegara í forgangsröðunarkosningu
Sigurvegari í forgangsröðunarkosningu er ákvarðaður í þessum þremur skrefum:
Skref 1: Finndu þann atkvæðafjölda sem þarf til meirihluta. Hann er minnsta heila talan sem er stærri en 50 prósent heildaratkvæða.
Skref 2: Teldu atkvæði hvers frambjóðanda í fyrsta sæti. Ef einhver hefur meirihluta vinnur hann og talningu lýkur. Annars fellur frambjóðandinn eða frambjóðendurnir með fæst atkvæði út og farið er í skref 3.
Skref 3: Færðu atkvæðin til þeirra frambjóðenda sem eftir standa og endurtaktu skref 2.
Dæmi 11.6
Vinsælasti liturinn í leikskólanum
Skoðum aftur litaval leikskólabekksins og finnum nú hvaða litur yrði valinn með forgangsröðunarkosningu.
Fjöldi kjörseðla
4
6
4
7
Rauður
2
6
2
5
Blár
1
2
1
4
Grænn
6
5
5
2
Gulur
5
4
6
3
Fjólublár
4
3
4
1
Bleikur
3
1
3
6
Lausn
Skref 1: Athugaðu hvort einhver kostur fékk meirihluta. Kjörseðlarnir voru 21. Fimmtíu prósent af 21 eru . Meirihluti er því 11.
Skref 2: Teldu atkvæði hvers kosts í fyrsta sæti. Ef einhver hefur meirihluta vinnur hann. Annars fellur kosturinn eða kostirnir með fæst atkvæði út.
Rauður: 0
Blár: 4 + 4 = 8 4 + 4 = 8
Grænn: 0
Gulur: 0
Fjólublár: 7
Bleikur: 6
Athugaðu að , sem er heildarfjöldi kjörseðla. Slík staðfesting hjálpar til við að finna reikni- eða talningarvillur. Enginn kostur hefur meirihluta, 11 atkvæði eða fleiri. Rauður, grænn og gulur, sem fengu engin atkvæði, falla út. Atkvæðin sem þarf að telja í annarri umferð eru sýnd í töflunni.
Fjöldi kjörseðla
4
6
4
7
Blár
1
2
1
4
Fjólublár
4
3
4
1
Bleikur
3
1
3
6
Skref 3: Færðu atkvæðin til þeirra kosta sem eftir standa. Það má gera með því að númera valið 1, 2 og 3 án þess að breyta forgangsröðinni, eins og taflan sýnir:
Fjöldi kjörseðla
4
6
4
7
Blár
1
2
1
2
Fjólublár
3
3
3
1
Bleikur
2
1
2
3
Skref 4: Endurtaktu skref 2. Teldu atkvæði hvers kosts í fyrsta sæti. Ef einhver hefur meirihluta vinnur hann. Annars fellur kosturinn eða kostirnir með fæst atkvæði út.
Blár: 4 + 4 = 8 4 + 4 = 8
Fjólublár: 7
Bleikur: 6
Staðfestu að . Enginn kostur hefur 11 atkvæði eða fleiri. Bleikur fékk fæst, 6 atkvæði, og fellur út. Atkvæðin sem þarf að telja í næstu umferð eru sýnd í töflunni.
Fjöldi kjörseðla
4
6
4
7
Blár
1
2
1
2
Fjólublár
3
3
3
1
Skref 5: Endurtaktu skref 3. Færðu atkvæðin til kostanna sem eftir standa með því að númera valið 1 og 2.
Fjöldi kjörseðla
4
6
4
7
Blár
1
1
1
2
Fjólublár
2
2
2
1
Skref 6: Endurtaktu skref 2 í síðasta sinn. Teldu atkvæði hvers kosts í fyrsta sæti. Ef einhver hefur meirihluta vinnur hann; annars fellur kosturinn með fæst atkvæði út.
Blár: 4 + 6 + 4 = 1 4 4 + 6 + 4 = 14
Fjólublár: 7
Blár hefur meirihluta og vinnur kosninguna.
Borda-talning
Forgangsröðunarkosning er ein gerð röðunarkosningar og hermir margar umferðir út frá röðunarkjörseðlum. Önnur gerð er Borda-talning. Þar fá frambjóðendur stig sem samsvara fjölda þeirra frambjóðenda sem eru neðar á hverjum seðli.
Til að skilja aðferðina skulum við skoða aftur uppáhaldsliti leikskólabekksins og beina athyglinni að atkvæðunum í fyrsta dálki forgangstöflunnar.
Fjöldi kjörseðla
4
6
4
7
Rauður
2
6
2
5
Blár
1
2
1
4
Grænn
6
5
5
2
Gulur
5
4
6
3
Fjólublár
4
3
4
1
Bleikur
3
1
3
6
Hver nemandi hafði sex kosti. Fyrsti dálkurinn sýnir að fjórir nemendur settu bláan í fyrsta sæti, rauðan í annað, bleikan í þriðja, fjólubláan í fjórða, gulan í fimmta og grænan í sjötta. Blár var ofar en 6 − 1 = 5 aðrir litir. Fyrir hvern þessara fjögurra seðla fær blár fimm stig. Þar sem fjórir seðlar höfðu þessa röð fær blár 5 ( 4 ) = 20 stig úr fyrsta dálki. Heildarstig hvers kosts eru summa stiganna úr öllum dálkum.
Til að finna sigurvegara með Borda-talningu þarf að bera saman heildarstig frambjóðenda. Sá sem hefur flest stig vinnur. Hver röð forgangstöflunnar samsvarar einum frambjóðanda. Til að finna stig hans, Borda-stigin, er unnið með röðina þar sem hann kemur fyrir.
Áður en við finnum sigurvegara með Borda-talningu skulum við skoða hvernig Borda-stig eins frambjóðanda eru reiknuð.
Dæmi 11.7
Vinsælasti liturinn í leikskólanum skoðaður aftur
Skoðum aftur kjörseðla leikskólabekksins í töflunni og reiknum nú Borda-stig fjólublás.
Fjöldi kjörseðla
4
6
4
7
Rauður
2
6
2
5
Blár
1
2
1
4
Grænn
6
5
5
2
Gulur
5
4
6
3
Fjólublár
4
3
4
1
Bleikur
3
1
3
6
Lausn
Skref 1: Finndu stig frambjóðandans í hverjum dálki.
Column 1: 4(6−4)=42=8
Column 2: 6(6−3)=63=18
Column 3: 4(6−4)=42=8
Column 4: 7(6−1)=75=35
Skref 2: Leggðu saman stigin úr öllum dálkum. Það er heildarstig frambjóðandans: 8 + 18 + 8 + 35 = 69
Sameina má ferlið í eitt skref eins og hér er sýnt.
Borda-talning kann að virðast of flókin fyrir Ímyndunarland, en allar kosningaraðferðir hafa kosti og galla. Borda-talning styður til dæmis málamiðlunarframbjóðendur frekar en sundrandi frambjóðendur. Málamiðlunarframbjóðandi er ekki fyrsta val flestra en er ásættanlegri fyrir heildina en hinir. Sundrandi frambjóðandi er samtímis fyrsta val stórs hluta kjósenda og síðasta val annars stórs hluta.
Í dæmi 11.8 settu 225 kjósendur frambjóðanda A í fyrsta sæti en 185 í síðasta. Enginn setti A í annað eða þriðja sæti. Þótt A hefði meirihluta fyrsta vals var verulegur minnihluti mjög andvígur honum. A var því sundrandi frambjóðandi. Frambjóðandi B var hins vegar annað val allra og góð málamiðlun. Borda-talningin valdi B, sem var ásættanlegri fyrir heildina. Bæði andstæðingar og stuðningsmenn Borda-talningar nefna slíkt dæmi máli sínu til stuðnings.
Paraður samanburður og Condorcet-kosning
Við höfum skoðað tvær röðunaraðferðir: forgangsröðunarkosningu og Borda-talningu. Sú þriðja er paraður samanburður. Frambjóðandi fær eitt stig fyrir hvern annan frambjóðanda sem hann sigrar í einvígi og hálft stig fyrir jafntefli. Sá sem fær flest stig vinnur. Þetta er ein af Condorcet-aðferðunum, þar sem frambjóðendum er raðað og þeir bornir saman tveir og tveir; til ótvíræðs sigurs þarf frambjóðandi að sigra alla hina. Aðferðirnar reikna stig með ólíkum hætti og skila ekki alltaf skýrum sigurvegara. Frambjóðandi sem vinnur öll möguleg einvígi kallast Condorcet-frambjóðandi. Heitin vísa til markgreifans de Condorcet, fransks heimspekings og stærðfræðings sem tók paraðan samanburð fram yfir Hare-aðferðina og rökstuddi hann opinberlega.
Ef stjórnarskrá Ímyndunarlands notar Condorcet-aðferð gætu kjörstjórar viljað nota fylki paraðs samanburðar eins og á mynd 11.3. Þar er skráður fjöldi sigra í hverju pari frambjóðenda. Hver frambjóðandi fær eitt stig fyrir sigur og hálft fyrir jafntefli. Hvert par birtist tvisvar: annars vegar sigrar fyrri frambjóðandans á áskorandanum og hins vegar sigrar áskorandans á þeim fyrri.
Mynd 11.3. Fylki paraðs samanburðar fyrir þrjá frambjóðendur
Skref til að ákvarða sigurvegara með fylki paraðs samanburðar
Sigurvegari með paraðri samanburðaraðferð er ákvarðaður í þessum þremur skrefum:
Skref 1: Merktu tap í fylkið með því að strika yfir reit með og jafntefli með því að draga skástrik, \, gegnum reitinn.
Skref 2: Gefðu hverjum frambjóðanda 1 stig fyrir sigur, hálft stig fyrir jafntefli og 0 stig fyrir tap.
Skref 3: Finndu sigurvegarann, það er frambjóðandann með flest stig.
Áður en paraður samanburður er valinn fyrir Ímyndunarland skulum við rifja upp hvernig fylki paraðs samanburðar er búið til úr röðunarkjörseðlum. Síðan má nota fylkið til að finna sigurvegara og kanna hvort sigurvegari Borda-aðferðarinnar vinni enn.
Dæmi 11.9
Fylki paraðs samanburðar búið til og notað
Skoðaðu samantekt röðunarkjörseðla í töflunni. Finndu sigurvegara með paraðri samanburðaraðferð.
Fjöldi kjörseðla
95
90
110
115
Kostur A
4
4
1
1
Kostur B
2
2
2
2
Kostur C
3
1
3
4
Kostur D
1
3
4
3
Búðu til fylki paraðs samanburðar fyrir samantektina í töflunni.
Notaðu paraðan samanburð til að finna sigurvegara.
Í dæmi 11.8 vann frambjóðandi A með röðunaraðferðinni en B með Hare-aðferðinni. Vann sami frambjóðandi með paraðri samanburðaraðferð?
Er sigurvegarinn Condorcet-frambjóðandi?
Lausn
Fjórir frambjóðendur eru á seðlinum. Eina röð og einn dálk þarf fyrir hvern þeirra auk fyrirsagna og því verður fylkið fimm sinnum fimm.
Mynd 11.4. Fylki paraðs samanburðar fyrir fjóra frambjóðendur
Skref 1: Notaðu mynd 11.4 til að fylla reitina. A yfir B: A
er ofar en B í dálkum 3 og 4 og fær því 110
+ 115 = 225 atkvæði. A yfir C: A er ofar en C í sömu dálkum og fær aftur
225. A yfir D: A fær einnig 225.
B yfir A: B er ofar en A í dálkum 1 og 2 og fær 95
Skref 1: Tapandi pör eru strikuð út með . Við jafntefli drögum við skástrik, \. Skref \2: Reiknaðu stig hvers frambjóðanda út
frá sigurröð hans. Hver sigur gefur 1 stig, hvert tap, , gefur 0 stig og hvert \jafntefli, \, gefur hálft stig.
Bættu við dálki fyrir stig hvers frambjóðanda. Mynd 11.6 Samanburðarfylki fjögurra frambjóðenda með sigurvegurum og stigadálki.
Skref 3: Sigurvegari samkvæmt samanburðaraðferðinni er valkostur A með 3 stig.
Kostur A vann ekki með Hare-aðferðinni.
Sigurvegarinn, kostur A, er Condorcet-frambjóðandi því A vann hvert einvígi.
Þrjár lykilspurningar
Áður en paraður samanburður er valinn fyrir kosningar í Ímyndunarlandi skulum við skoða þrjár spurningar sem geta haft áhrif á ákvörðunina.
Er alltaf til sigurvegari?
Ef sigurvegari er til, er hann alltaf Condorcet-frambjóðandi?
Ef Condorcet-frambjóðandi er til, vinnur hann þá alltaf?
Spurningarnar skipta máli ef paraður samanburður verður valinn. Í fyrsta lagi þarf varaáætlun, til dæmis aðra umferð, ef enginn uppfyllir sigurskilyrðin. Í öðru lagi hefur að minnsta kosti einn annar frambjóðandi unnið sigurvegarann í einvígi ef sigurvegarinn er ekki Condorcet-frambjóðandi; stuðningsmenn hans gætu því dregið réttmæti kosningarinnar í efa. Að lokum virðist ósanngjarnt að annar en Condorcet-frambjóðandi vinni ef slíkur frambjóðandi hefur sigrað alla hina í einvígum. Dæmin sem eftir fylgja skýra þessi atriði.
Dæmi 11.10
Steinn, skæri, blað með paraðri samanburðaraðferð
Þrír einstaklingar leika stein, skæri, blað. Þegar talið hefur verið upp að þremur sýnir hver þeirra eitt merki. Hvert merki vinnur eitt annað. Leikurinn endar alltaf í jafntefli því A velur stein, B blað sem vinnur stein og C skæri sem vinna blað en tapa fyrir steini. Þau greinir á um hvaða val sé best og ákveða að nota paraðan samanburð. Forgangsröðun þeirra er sýnd í töflunni.
Kjósendur
A
B
C
Steinn (R)
1
3
2
Blað (P)
2
1
3
Skæri (S)
3
2
1
Lausn
Búðu til samanburðarfylkið:
Mynd 11.7. Fylki paraðs samanburðar fyrir stein, skæri, blað
Jafntefli verður og enginn vinnur.
Dæmi 11.10 svarar fyrstu lykilspurningunni: paraður samanburður skilar ekki alltaf sigurvegara. Eins og í steini, skærum, blaði getur myndast hringrás þar sem hver frambjóðandi vinnur þann næsta og sá síðasti vinnur þann fyrsta.
Mynd 11.8. Hringrásarúrslit í steini, skærum, blaði
Nú liggur svar við annarri lykilspurningunni fyrir. Fylkið í Þínu verkefni 11.10 sýnir að sigurvegari þarf ekki að vera Condorcet-frambjóðandi.
Svarið við þriðju spurningunni er ekki eins augljóst: vinnur Condorcet-frambjóðandi alltaf? Enn höfum við ekki séð gagndæmi þar sem hann tapar, en einstök dæmi sanna ekki að það sé ómögulegt. Því þarf rökrök. Skoðum fyrst kosningar með tilteknum fjölda frambjóðenda og alhæfum síðan yfir kosningu með 𝑛 frambjóðendum.
Dæmi 11.11
Vinnur Condorcet-frambjóðandinn?
Í kosningu eru fimm frambjóðendur, A, B, C, D og E, og C er Condorcet-frambjóðandi. Hve mörg stig fékk C?
Hver er mesti stigafjöldi sem einhver hinna frambjóðendanna gæti fengið?
Getur C tapað eða gert jafntefli?
Lausn
Í paraðri kosningu með fimm frambjóðendum mætir hver fjórum öðrum. Mesti mögulegi stigafjöldi er því fjögur, sem fæst með sigri í öllum einvígum. Þar sem C er Condorcet-frambjóðandi vann hann A, B, D og E og fékk fjögur stig.
Allir hinir töpuðu fyrir C. Mesti mögulegi stigafjöldi annars frambjóðanda, ef hann ynni hina þrjá, er því þrjú stig.
C hefur fjögur stig en allir hinir þrjú eða færri. C vinnur og getur hvorki gert jafntefli né tapað.
Skoðum almennt tilvik með 𝑛 frambjóðendum. Condorcet-frambjóðandinn vinnur öll einvígi og fær 𝑛 − 1 stig. Allir aðrir töpuðu fyrir honum og geta því í mesta lagi fengið 𝑛 − 2 stig. Þar sem 𝑛 − 1 er stærra en 𝑛 − 2 vinnur Condorcet-frambjóðandinn alltaf. Þar með er þriðju lykilspurningunni svarað.
Samþykkiskosning
Síðasta kosningakerfið sem kemur til álita fyrir hið unga lýðræðisríki er samþykkiskosning. Hver kjósandi má samþykkja eins marga frambjóðendur og hann vill án þess að raða þeim innbyrðis. Sá sem flestir samþykkja vinnur. Kerfið á ýmislegt sameiginlegt með hlutfallslegum meirihluta og Condorcet-aðferðum en er jafnframt frábrugðið þeim. Á samþykkiskjörseðli eru frambjóðendur taldir upp og kjósandi samþykkir eða hafnar hverjum þeirra.
Heitið „samþykkiskosning“ var fyrst notað á áttunda áratug 20. aldar (Brams, Steven J. og Fishburn, Peter C., Approval Voting, Springer-Verlag, 2007, bls. xv, ISBN 978-0-387-49895-9), þótt notkun aðferðarinnar sé skráð allt aftur á 13. öld. Aðferðin er einfaldari en röðunarkosningar og leyfir kjósanda að styðja fleiri en einn frambjóðanda jafnt. Það höfðar til þeirra sem vilja ekki að skipt atkvæði milli meginstraumsframbjóðenda leiði til sigurs jaðarframbjóðanda. Það höfðar einnig til þeirra sem vilja gefa lítt líklegum sigurvegara tækifæri, því atkvæði til hans útilokar ekki stuðning við líklegri frambjóðanda.
Dæmi 11.12
Steinn, skæri, blað, eðla, Spock
A, B og C voru við það að gefast upp á steini, skærum, blaði þegar D bættist í hópinn og minnti á betra afbrigðið steinn, skæri, blað, eðla, Spock. Viðbótarreglurnar eru: eðla étur blað, blað afsannar Spock, Spock gufar upp stein, steinn kremur eðlu, eðla eitrar fyrir Spock, Spock brýtur skæri og skæri afhöfða eðlu.
Mynd 11.9. Yfirburðir í steini, skærum, blaði, eðlu, Spock
D hvetur vini sína til nýrrar kosningar. Til einföldunar ákveða þau að nota samþykkiskosningu til að finna besta leikinn. Samantekt samþykkiskjörseðla er sýnd í töflunni.
Kjósendur
A
B
C
D
Steinn
Já
Nei
Nei
Nei
Blað
Nei
Já
Nei
Nei
Skæri
Nei
Nei
Já
Nei
Eðla
Nei
Nei
Nei
Já
Spock
Já
Já
Já
Já
Lausn
Teldu samþykkisatkvæði hvers kosts með því að telja „Já“ í hverri röð töflunnar.
Steinn: 1
Blað: 1
Skæri: 1
Eðla: 1
Spock: 4
Spock vinnur með samþykki fjögurra kjósenda.
Dæmi 11.13
Chionilis-fjölskyldan er aftur orðin svöng
Átta meðlimir Chionilis-fjölskyldunnar, Annette, Rene, Seema, Titus, Galen, Elena, Max og Demitri, þurfa að taka nýja ákvörðun. Samþykkiskosningin virkaði vel síðast og verður notuð aftur. Annette, Rene, Seema og Galen geta þó ekki þrengt valið niður í tvo staði og samþykkja þrjá efstu, en hin samþykkja tvo. Taflan sýnir valið. Finndu hvaða veitingastaður verður valinn.
Valkostir
A
R
S
T
G
E
M
D
Rainbow China
Já
Já
Já
Já
Já
Nei
Já
Já
Dough Boys Pizza
Já
Já
Já
Já
Nei
Já
Nei
Já
Taco City
Já
Nei
Já
Nei
Já
Já
Nei
Nei
Caribbean Flavor
Nei
Já
Nei
Nei
Já
Nei
Já
Nei
Lausn
Teldu samþykkisatkvæði hvers veitingastaðar með því að telja „Já“ í hverri röð.
Rainbow China: 7
Dough Boys Pizza: 6
Taco City: 4
Caribbean Flavor: 3
Að þessu sinni vann Rainbow China.
Samanburður kosningaraðferða og greining annmarka
Við höfum skoðað margar kosningaraðferðir og nú þarf að velja þá bestu fyrir Ímyndunarland. Íbúarnir kunna að telja suma eiginleika kerfanna æskilega en aðra óæskilega. Stundum eru óæskilegir eiginleikar taldir svo alvarlegir annmarkar að kerfinu er hafnað. Ef ákvörðunin virðist yfirþyrmandi getur hjálpað að kynna sér reynslu annarra sem hafa staðið frammi fyrir sambærilegum spurningum.
Skoðum bandarísku forsetakosningarnar árið 2000. Ralph Nader frá Græningjum og Pat Buchanan frá Umbótaflokknum voru á kjörseðli gegn meginstraumsframbjóðendunum Al Gore frá Demókrataflokknum og George W. Bush frá Repúblikanaflokknum. Úrslitin í Flórída eru sýnd í töflu 11.3.
Frambjóðandi
Flokkur
Atkvæði
Hlutfall
(G) George W. Bush
Repúblikanaflokkurinn
2,912,790
48.85%
(A) Al Gore
Demókrataflokkurinn
2,912,253
48.84%
(R) Ralph Nader
Grænn
97,488
1.63%
(P) Pat Buchanan
Umbótaflokkurinn
17,484
0.29%
(H) Harry Brown
Frjálshyggjuflokkurinn
16,415
0.28%
(O) sjö aðrir frambjóðendur
Aðrir
6,680
0.11%
Samtals
5,963,110
Í fleiri en einu ríki klauf Buchanan atkvæði Repúblikana nægilega til að Gore ynni ríkið. Nader klauf atkvæði Demókrata í Flórída og New Hampshire svo Gore vann hvorugt ríkið. Hefði Gore unnið annað þeirra hefði hann fengið næga kjörmenn til sigurs. Þess í stað vann Bush. Þetta sýnir annmarka hlutfallslegs meirihluta: atkvæðakljúfinn.
Atkvæðakljúfur er óvinsælli frambjóðandi sem tekur atkvæði frá vinsælli frambjóðanda með svipaðar skoðanir og greiðir þannig götu þriðja frambjóðanda með mjög ólíkar skoðanir sem þessir kjósendur styðja ekki. Þetta getur hvatt fólk til að kjósa ekki þann sem það telur bestan heldur ásættanlegan frambjóðanda sem virðist líklegri til sigurs. Sumir kjósendur kunna því að kjósa samþykkiskosningu, sem hefur ekki þennan sama eiginleika og hlutfallslegur meirihluti.
Dæmi 11.14
Deilan um atkvæðakljúfinn
Aðeins 537 atkvæði skildu George W. Bush og Al Gore og því kenndu margir Demókratar Ralph Nader og Græningjum um tapið. Skoðum hvernig úrslitin hefðu getað breyst með samþykkiskosningu.
Notaðu töflu 11.3 og eftirfarandi forsendur til að áætla úrslit samþykkiskosningar:
Allir stuðningsmenn Pat Buchanan myndu samþykkja George W. Bush.
Allir stuðningsmenn Ralph Nader myndu samþykkja Al Gore.
72 prósent frjálshyggjumanna myndu samþykkja George W. Bush.
28 prósent frjálshyggjumanna myndu samþykkja Al Gore, sem var nokkurn veginn þekkt hlutfall samkvæmt Cato-stofnuninni.
Helmingur stuðningsmanna annarra frambjóðenda myndi samþykkja George Bush og helmingur Al Gore.
Lausn
Skref 1: Búðu til samantekt samþykkiskjörseðla út frá forsendunum. Fyrir frambjóðanda Frjálshyggjuflokksins eru 72 prósent af 16.415 atkvæðum og 28 prósent eru . Fyrir aðra frambjóðendur eru 50 prósent atkvæðanna .
Niðurstöður dæmis 11.14 og Þíns verkefnis 11.14 sýna einkenni samþykkiskosningar. Ralph Nader færðist úr fjarlægu þriðja sæti í naumt annað þegar stuðningsmenn Al Gore samþykktu hann einnig. Jaðarframbjóðendur eiga því meiri möguleika á sigri, sem sumir telja annmarka en aðrir kost.
Önnur áhyggja er að frambjóðendur geti hvatt tryggustu stuðningsmenn sína til að samþykkja aðeins þá og engan annan. Ef það gerist breytist kosningin í reynd í hefðbundna kosningu með hlutfallslegum meirihluta. Þessi annmarki getur ekki komið upp í tafarlausri umferðarkosningu þar sem allir frambjóðendur eru raðaðir.
Dæmi 11.15
Þrjár byggilegar reikistjörnur
Í framtíðinni hafa menn kannað fjarlæg sólkerfi og fundið þrjár byggilegar reikistjörnur. Allar tiltækar auðlindir þarf til að nema land á einni þeirra og því verður að velja. Reikistjarna A hefur þægilegast loftslag og mestar auðlindir en er fjærst jörðu og ferðin er erfið. B er í hálfri fjarlægð en krefst meiri auðlinda til að gera hana vistlega. C er síst hentug og þarf að jarðmóta, en er nógu nærri til reglulegra ferða milli jarðar og C. Taflan sýnir forgangsröðun kjósenda.
Hlutfall kjósenda
45%
15%
40%
Reikistjarna A
1
3
3
Reikistjarna B
2
1
2
Reikistjarna C
3
2
1
Ef allir íbúar gætu kosið skaltu finna sigurvegarann með hverri eftirfarandi aðferð.
Hlutfallslegur meirihluti
Forgangsröðunarkosning
Borda-talning
Lausn
Hlutfallslegur meirihluti tekur aðeins mið af fyrsta vali. A fær 45 prósent, B 15 prósent og C 40 prósent. A vinnur.
Í tafarlausri umferð eða tveggja umferða kerfi fellur B, með aðeins 15 prósent, út í fyrstu umferð. Í annarri umferð færa kjósendur B atkvæði sitt til annars vals, C. Þá hefur A 45 prósent en C 55 prósent. C fær meirihluta og vinnur.
Til að reikna Borda-stig skulum við hugsa okkur nákvæmlega 100 kjósendur. Samantektin er: af 100 kjósendum 45 15 40; A 1 3 3; B 2 1 2;
Í dæmi 11.15 eru tveir jaðarframbjóðendur, A og B, og hófsamur frambjóðandi, C. Stuðningsmenn jaðarframbjóðendanna kjósa C fremur en hinn jaðarframbjóðandann og því er C málamiðlunarframbjóðandi. Bæði hlutfallslegur meirihluti og forgangsröðunarkosning völdu jaðarframbjóðanda en Borda-talning valdi málamiðlunina. Eftir sjónarhorni má telja þetta annmarka annaðhvort fyrstu tveggja kerfanna eða Borda-talningarinnar.
Nefndu þrjár kosningaraðferðir sem nota röðunarkjörseðil.
Segðu hvort fullyrðingin sé sönn eða ósönn: Sömu röðunarkjörseðlar geta skilað ólíkum sigurvegara eftir því hvaða kosningaraðferð er notuð.
Segðu hvort fullyrðingin sé sönn eða ósönn: Meirihlutaframbjóðandi er alltaf Condorcet-frambjóðandi.
Í _______________-aðferðinni eru notaðir röðunarkjörseðlar og hver frambjóðandi fær stig sem samsvara fjölda frambjóðenda sem eru neðar á hverjum seðli.
Í ________________-aðferðinni eru notaðir röðunarkjörseðlar eða margar kosningar. Hver frambjóðandi fær eitt stig fyrir hvern andstæðing sem hann vinnur í einvígi og hálft stig fyrir jafntefli.
__________________-aðferðin er umferðarkerfi þar sem aðeins frambjóðandinn eða frambjóðendurnir með allra fæst atkvæði falla út.
Útskýrðu muninn á tveggja umferða kosningu og forgangsröðunarkosningu.
Æfingar úr hluta 11.1
Finndu sigurvegara í eftirfarandi verkefnum út frá lýsingu kjósendahópsins, ef það er hægt. Ef það er ekki hægt skaltu taka það fram og rökstyðja svarið.
1.
Í kosningu með hlutfallslegum meirihluta eru atkvæðin: A 125, B 132, C 149 og D 112.
2.
Í fyrstu umferð forgangsröðunarkosningar með frambjóðendunum A, B og C fékk A 55 fyrsta sæti, B 25 og C 30.
3.
Stig frambjóðenda í pöruðum samanburði voru: A 1, B 1 1 2 og D 1 2 .
4.
Í Borda-talningu eru stigin: A 15, B 11, C 12 og D 16.
5.
Í paraðri kosningu eru frambjóðendurnir A, B og C. A fékk flest fyrsta sæti, B hæstu Borda-stigin og C er Condorcet-frambjóðandi.
6.
Í fyrstu umferð forgangsröðunarkosningar með A, B og C fékk A 20 fyrsta sæti, B 25 og C 30.
Notaðu töfluna við eftirfarandi verkefni.
O'Malley
De La Fuente
Clinton
Sanders
Aðrir
110,227
67,331
17,174,432
13,245,671
322,276
7.
Reiknaðu þann atkvæðafjölda sem þurfti til meirihluta almennra atkvæða í forvali Demókrataflokksins fyrir forsetakosningarnar 2016.
8.
Hvaða frambjóðandi fékk hlutfallslegan meirihluta? Fékk hann hreinan meirihluta?
Notaðu gefnu töfluna við eftirfarandi verkefni.
Frambjóðandi
Atkvæði
Bush
281,189
Trump
13,783,037
Cruz
7,455,780
Rubio
3,354,067
Carson
822,242
Kasich
4,198,498
Aðrir
337,714
9.
Reiknaðu þann atkvæðafjölda sem þurfti til meirihluta almennra atkvæða í forvali Repúblikanaflokksins fyrir forsetakosningarnar 2016.
10.
Hvaða frambjóðandi fékk hlutfallslegan meirihluta? Fékk hann hreinan meirihluta?
Notaðu tvær fyrri töflur við eftirfarandi verkefni.
11.
Hugsum okkur að forval Repúblikana árið 2016 hefði verið tveggja umferða kerfi. Hefði þurft aðra umferð? Hvers vegna eða hvers vegna ekki? Ef svo er, hverjir hefðu komist áfram?
12.
Hugsum okkur að forval Demókrata árið 2016 hefði verið tveggja umferða kerfi. Hefði þurft aðra umferð? Hvers vegna eða hvers vegna ekki? Ef svo er, hverjir hefðu komist áfram?
13.
Hugsum okkur að Hare-aðferðin hefði verið notuð í forvali Demókrata árið 2016. Hefði þurft aðra umferð? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?
14.
Hugsum okkur að Hare-aðferðin hefði verið notuð í forvali Repúblikana árið 2016. Hefði þurft aðra umferð? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?
Notaðu eftirfarandi töflu og Hare-aðferðina við verkefnin.
Valkostir
A
B
C
D
E
Frambjóðandi 1
1
3
3
1
3
Frambjóðandi 2
2
1
1
2
4
Frambjóðandi 3
3
4
2
4
1
Frambjóðandi 4
4
2
4
3
2
15.
Hve mörg atkvæði þarf til sigurs með Hare-aðferðinni?
16.
Hve mörg atkvæði fær hver frambjóðandi í fyrstu umferð?
17.
Hvaða frambjóðendur komast í aðra umferð?
18.
Hve mörg atkvæði fær hver frambjóðandi sem eftir stendur í annarri umferð?
19.
Verður þriðja umferð? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?
20.
Hvaða frambjóðandi vinnur kosninguna?
Notaðu dæmið um samantekt röðunarkjörseðla í töflunni við verkefnin.
Fjöldi kjörseðla
10
20
15
5
Kostur A
1
4
3
4
Kostur B
2
3
4
2
Kostur C
4
2
1
3
Kostur D
3
1
2
1
21.
Hve mörg atkvæði voru skráð og hve mörg þarf til meirihluta?
22.
Hve margir kjósendur settu kost A í fyrsta sæti?
23.
Hve margir kjósendur settu kost B í fyrsta sæti?
24.
Hve margir kjósendur settu kost A í síðasta sæti?
25.
Hve margir kjósendur settu kost B í síðasta sæti?
26.
Notaðu forgangsröðunarkosningu til að finna frambjóðendurna tvo í lokaumferðinni og atkvæðafjölda hvors þeirra.
27.
Er sigurvegari? Ef svo er, hver? Rökstyddu svarið.
Hugsum okkur að 55 aðdáendur Star Wars kjósi uppáhalds nýju Star Wars-persónuna sína. Þeir fylltu út röðunarkjörseðil og niðurstöðurnar eru í töflunni. Notaðu töfluna og forgangsröðunarkosningu við verkefnin.
Fjöldi kjörseðla
7
6
10
8
4
5
6
7
2
Finn
3
5
1
3
2
4
2
2
1
Rey
2
1
3
2
4
3
3
1
3
Poe
1
6
4
1
5
5
5
4
2
BB8
4
2
2
4
6
1
6
5
4
Rose
6
4
5
6
3
2
1
3
6
Kylo
5
3
6
5
1
6
4
6
5
28.
Hve mörg atkvæði fær hver frambjóðandi í fyrstu umferð?
29.
Hve mörg atkvæði þarf til meirihluta?
30.
Hvaða frambjóðendur eru eftir í lokaumferðinni og hve mörg atkvæði hafa þeir?
31.
Hver vinnur kosninguna?
Notaðu töflu 11.6 við eftirfarandi verkefni.
32.
Finndu Borda-stig hvers frambjóðanda.
33.
Berðu niðurstöður úr spurningu 32 saman við spurningu 26. Berðu sigurvegara og frambjóðanda í öðru sæti samkvæmt Borda-talningu saman við þá sem fást með forgangsröðunarkosningu. Eru þeir sömu?
Notaðu töflu 11.7 við eftirfarandi verkefni.
34.
Finndu Borda-stig hvers frambjóðanda.
35.
Berðu niðurstöður úr spurningu 34 saman við spurningu 30. Berðu sigurvegara og frambjóðanda í öðru sæti samkvæmt Borda-talningu saman við þá sem fást með forgangsröðunarkosningu. Eru þeir sömu?
Notaðu töfluna við eftirfarandi verkefni.
Fjöldi kjörseðla
100
80
110
105
55
Kostur A
1
1
4
4
2
Kostur B
2
2
2
3
1
Kostur C
4
4
1
1
4
Kostur D
3
3
3
2
3
36.
Virðist einhver frambjóðandi sundrandi? Rökstyddu svarið.
37.
Virðist einhver frambjóðandi vera málamiðlunarframbjóðandi? Rökstyddu svarið.
38.
Hve mörg atkvæði þarf til meirihluta?
39.
Hvaða frambjóðandi fellur fyrst út í forgangsröðunarkosningu?
40.
Hvaða frambjóðandi fellur næst út í forgangsröðunarkosningu?
41.
Hvaða frambjóðandi vinnur forgangsröðunarkosninguna?
42.
Hver eru Borda-stig hvers frambjóðanda?
43.
Hvaða frambjóðandi vinnur með Borda-talningu?
44.
Hvaða aðferð veitti málamiðlunarframbjóðandanum sigur: forgangsröðunarkosning, Borda-talning eða báðar?
Notaðu fylki paraðs samanburðar á myndinni við eftirfarandi verkefni.
Fylki paraðs samanburðar fyrir frambjóðendurna Q, R, S og T
45.
Greindu fylkið. Sýndu pörin í töflu og merktu sigurvegara hvers einvígis með því að draga yfir tapandi einvígi og eitt skástrik \ yfir jafntefli.
46.
Reiknaðu stig hvers frambjóðanda í fylki paraðs samanburðar.
47.
Ákvarðaðu hvort kosningin sem fylkið sýnir hafi sigurvegara. Ef svo er skaltu kanna hvort hann sé Condorcet-frambjóðandi.
Notaðu fylki paraðs samanburðar á myndinni við eftirfarandi verkefni.
Fylki paraðs samanburðar fyrir frambjóðendurna U, V, W, X og Y
48.
Greindu fylkið. Sýndu pörin í töflu og merktu sigurvegara hvers einvígis.
49.
Reiknaðu stig hvers frambjóðanda í fylki paraðs samanburðar.
50.
Ákvarðaðu hvort kosningin sem fylkið sýnir hafi sigurvegara. Ef svo er skaltu kanna hvort hann sé Condorcet-frambjóðandi og rökstyðja svarið.
51.
Í Harry Potter-bókum J. K. Rowling var Albus Dumbledore skólastjóri Hogwarts um árabil. Hugsum okkur kosningu um eftirmann hans. Severus Snape, deildarstjóri Slytherin, býður sig fram gegn deildarstjórum Gryffindor og Ravenclaw, Minerva McGonagall og Filius Flitwick. Notaðu forgangsröðunina í töflunni til að búa til fylki paraðs samanburðar. Atkvæðahlutfall 25% 40% 35%;
(S) Snape
1
3
3;
(M)
McGonagall
3
1
2;
(F)
Flitwick
2
2
1.
52.
Greindu fylkið sem þú bjóst til í spurningu 51. Sýndu pörin í töflu og merktu sigurvegara hvers einvígis.
53.
Notaðu fylkið úr spurningum 51 og 52 til að finna stig hvers frambjóðanda. Hver vinnur með paraðri samanburðaraðferð?
54.
Er sigurvegarinn í kosningu um skólastjóra Hogwarts Condorcet-frambjóðandi? Útskýrðu hvernig þú veist það.
55.
Konurnar í The Big Bang Theory halda samþykkiskosningu um besta kostinn í steini, skærum, blaði, eðlu, Spock. Notaðu samantekt kjörseðlanna í töflunni til að finna atkvæði hvers kosts og sigurvegarann, eða taktu fram að enginn sé til. Kjósendur Penny Bernadette Amy; steinn
Já
Nei
Nei;
blað
Já
Já
Nei;
skæri
Já
Já
Já;
eðla
Nei
Nei
Nei;
Spock
Já
Nei
Já.
Notaðu töfluna við eftirfarandi verkefni.
Atkvæðahlutfall
40%
35%
25%
Frambjóðandi A
1
3
2
Frambjóðandi B
2
1
3
Frambjóðandi C
3
2
1
56.
Hvaða frambjóðandi vinnur forgangsröðunarkosninguna?
57.
Hugsum okkur að samþykkiskosning sé notuð og hver kjósandi samþykki tvo efstu kosti sína. Hvaða kostur vinnur?
