11.5 Sanngirni aðferða við úthlutun sæta – Stærðfræði í daglegu lífi (IS) | Námsgögn
1111 Kosningar og úthlutun sæta
11.5 Sanngirni aðferða við úthlutun sæta
11.5 Sanngirni aðferða við úthlutun sæta
Mynd 11.18. Á þessu sætakorti fulltrúadeildar Bandaríkjaþings táknar hver litur fulltrúa frá tilteknu fylki.
Námsmarkmið
Eftir að hafa lokið þessum hluta átt þú að geta:
Lýst og sýnt Alabama-þverstæðuna.
Lýst og sýnt mannfjöldaþverstæðuna.
Lýst og sýnt nýríkjaþverstæðuna.
Greint leiðir til að efla sanngirni aðferða við úthlutun sæta.
Þverstæður sætaúthlutunar
Íbúar Ímyndunarlands vilja að úthlutunaraðferðin sé eins sanngjörn og kostur er. Þeir myndu með réttu gera ákveðnar kröfur til sanngjarnrar úthlutunar.
Ef þingstærðin eykst ættu kvótar allra fylkja annaðhvort að hækka eða haldast óbreyttir, en aldrei lækka.
Ef íbúafjöldi eins fylkis vex hraðar en annars ætti hraðar vaxandi fylkið ekki að missa sæti á meðan hitt heldur sæti eða fær fleiri.
Ef sætafjöldinn er fastur ætti nýtt fylki ekki að valda því að eitt eldra fylki fái fleiri sæti á meðan önnur missa sæti.
Úthlutunaraðferðir geta þó stangast á við þessar væntingar. Áður en rétt aðferð er valin fyrir Ímyndunarland skulum við skoða þverstæðu sætaúthlutunar, það er aðstæður þar sem niðurstaða aðferðar virðist stangast á við eðlilegar væntingar um sanngirni.
Stofnendur Ímyndunarlands geta lært margt af sögu Bandaríkjanna. Stjórnarskrá Bandaríkjanna krefst þess að sætum í fulltrúadeild sé úthlutað eftir manntali sem fer fram á tíu ára fresti, en hvorki sætafjöldi né úthlutunaraðferð er tilgreind. Í gegnum tíðina hafa mismunandi aðferðir og þingstærðir verið notaðar og metnar með tilliti til sanngirni. Sú athugun hefur leitt í ljós nokkrar þverstæður sætaúthlutunar.
Alabama-þverstæðan
Við manntalið í Bandaríkjunum árið 1880 hafði aðferð Hamiltons tekið við af aðferð Jeffersons. Sætafjöldi fulltrúadeildarinnar var ekki fastur. Til að ná sem sanngjarnastri úthlutun voru valdar þingstærðir þar sem aðferðir Hamiltons og Websters gáfu sömu niðurstöðu. Yfirritari manntalsskrifstofunnar reiknaði úthlutanir fyrir þingstærðir frá 275 til 350. Óvænt niðurstaða varð þekkt sem Alabama-þverstæðan: Hún verður þegar aukin þingstærð lækkar kvóta fylkis. Alabama hefði fengið átta sæti við þingstærð 299 en aðeins sjö ef hún ykist í 300. (Michael J. Caulfield, Gannon University, „Apportioning Representatives in the United States Congress – Paradoxes of Apportionment“, Convergence, nóvember 2010, DOI:10.4169/loci003163)
Dæmi 11.42
Kvóti Alabama árið 1880
Manntalið 1880 skráði 1.513.401 íbúa í Alabama og 62.979.766 í Bandaríkjunum öllum.
Reiknaðu staðaldeili og staðalkvóta Alabama með þingstærð 299.
Reiknaðu staðaldeili og staðalkvóta Alabama með þingstærð 300.
Hækkaði eða lækkaði staðalkvótinn þegar þingstærðin jókst?
Skoðaðu aðferð Hamiltons. Útskýrðu hvernig lokakvóti Alabama gæti orðið lægri þótt staðalkvótinn hækki.
Lausn
Staðaldeilirinn er 6 2 , 9 7 9 , 7 6 6 ÷ 2 9 9 = 2 1 0 , n i ð u r s t a ð a n e r 6 3 4 . 6 6 8 9 62.979.766 ÷ 299 = 210.634,6689 íbúar á sæti. Staðalkvóti Alabama er 1.513.401 ÷ 210.634,7 = 7,1850 sæti.
Staðaldeilirinn er 6 2 , 9 7 9 , 7 6 6 ÷ 3 0 0 = 2 0 9 , n i ð u r s t a ð a n e r 9 3 2 . 5 5 3 3 62.979.766 ÷ 300 = 209.932,5533 íbúar á sæti. Staðalkvóti Alabama er 1.513.401 ÷ 209.932,6 = 7,2090 sæti.
Staðalkvótinn hækkaði.
Í báðum tilvikum fær fylkið neðri kvótann 7 og síðan eitt sæti til viðbótar ef brotahluti staðalkvótans er nægilega hár miðað við brotahluta annarra fylkja. Við þingstærð 299 fékk Alabama eitt eftirstandandi sæti eftir úthlutun neðri kvóta. Við þingstærð 300 fékk Alabama ekkert slíkt sæti. Brotahlutinn 0,2090 hlýtur því annaðhvort að hafa raðast neðar meðal brotahluta fylkjanna en 0,1850 gerði, færri sæti verið eftir, eða hvort tveggja.
Eftir manntalið 1900 reiknaði manntalsskrifstofan aftur úthlutun fyrir mismunandi þingstærðir. Colorado hefði fengið þrjú sæti við þingstærð 356 en aðeins tvö við þingstærð 357.
Dæmi 11.43
Aðferð Hamiltons og Alabama-þverstæðan
Gerum ráð fyrir að fylki A og B hafi hvort um sig sex íbúa en fylki C tvo.
Notaðu aðferð Hamiltons til að úthluta 10 sætum.
Notaðu aðferð Hamiltons til að úthluta 11 sætum.
Sýnir dæmið Alabama-þverstæðuna? Ef svo er, hvernig?
Lausn
Skref 1: Heildaríbúafjöldinn er 14. Staðaldeilirinn er 14 ÷ 10
= 1,4 einstaklingar á sæti. Skref 2: Staðalkvótar fylkjanna eru A , B
6 ÷ 1 . 4 ≈ 4 . 2 9 6 ÷ 1,4 ≈ 4,29 og C 2
÷ 1. 4 ≈ 1 . 4 3 2 ÷ 1,4 ≈ 1,43. Skref 3: Neðri kvótar eru A 4, B 4 og C 1. Skref 4: Summa neðri kvótanna er 9 og eitt sæti
er eftir. C hefur hæsta brotahlutann og fær viðbótarsætið. Skref 5: Lokaúthlutunin er A 4, B 4 og C 2, samtals 10.
Skref 1: Heildaríbúafjöldinn er 14. Staðaldeilirinn er 14 ÷ 11 ≈
1,2727 einstaklingar á sæti. Skref 2: Staðalkvótar fylkjanna eru A , B 6 ÷ 1 . 2 7 2 7 ≈ 4 . 7 1 6 ÷ 1,2727 ≈ 4,71 og C 2
÷ 1,2727 ≈ 1,57. Skref 3: Neðri kvótar eru A 4, B
4 og C 1. Skref 4: Summa neðri kvótanna er 9 og tvö sæti eru eftir. A og B hafa hæstu brotahlutana og fá viðbótarsætin. Skref
5: Lokaúthlutunin er A 5, B 5 og C 1.
Já. Dæmið sýnir Alabama-þverstæðuna því C fær tvö sæti þegar þingstærðin er 10 en aðeins eitt þegar hún er 11.
Mannfjöldaþverstæðan
Stofnendur Ímyndunarlands þurfa að hafa í huga að íbúafjöldi fylkja breytist með tímanum. Sumum fjölgar en öðrum fækkar og breytingarnar eru mishraðar. Þá getur þurft að endurúthluta sætum, það er endurreikna kvóta fylkja vegna breytts íbúafjölda. Eðlilegt væri að ætla að fylki sem vex hraðar en önnur fái sæti á undan þeim. Það gerist þó ekki alltaf með aðferð Hamiltons. Mannfjölgunarhraði fylkis er hlutfall breytingar á íbúafjölda og upphaflegs íbúafjölda, oft gefið í prósentum. Gildið er jákvætt við fjölgun en neikvætt við fækkun. Mannfjöldaþverstæðan verður þegar fylki sem fjölgar í missir sæti á meðan fylki sem fækkar í heldur sæti eða fær fleiri. Almennt verður hún þegar fylki með hærri mannfjölgunarhraða missir sæti en fylki með lægri hraða heldur sæti eða fær fleiri.
Skilgreining mannfjöldaþverstæðunnar hefur tvo hluta og nægir að annar eigi við. Fyrri hlutinn á aðeins við þegar íbúum eins fylkis fækkar. Sá síðari á við í öllum tilvikum. Auðveldara er að greina dæmi um fækkun; í öðrum þarf að reikna mannfjölgunarhraða. Ekki þarf að reikna hann þegar íbúum annars fylkis fækkar en hins fjölgar, því jákvæður vaxtarhraði fjölgunar er alltaf hærri en neikvæður vaxtarhraði fækkunar.
Dæmi 11.44
Úthlutun öndunarvéla til sjúkrahúsa
Gerum ráð fyrir að 18 öndunarvélum sé úthlutað til þriggja sjúkrahúsa eftir afkastagetu þeirra. Aðferð Hamiltons er notuð árið 2020 og síðan er endurúthlutað eftir nýrri afkastagetu árið 2021. Niðurstöðurnar eru í töflunni. Hvernig sýnir þetta mannfjöldaþverstæðuna?
Sjúkrahús
Afkastageta 2020
Öndunarvélar 2020
Breyting á afkastagetu
Vaxtarhraði = B r e y t i n g á a f k a s t a g e t u A f k a s t a g e t a 2 0 2 0 breyting á afkastagetu/afkastageta 2020 Change in Capacity/Capacity in 2020
Sjúkrahús B missti öndunarvél en C fékk eina til viðbótar, þótt vaxtarhraði B væri hærri en C.
Dæmi 11.45
Þing Costaguana
Í Costaguana eru þrjú fylki: Azuera með 894.000 íbúa, Punta Mala með 696.000 og Esmeralda með 215.000. Sætin á þingi eru 38. Með aðferð Hamiltons fá Azuera 19 sæti, Punta Mala 15 og Esmeralda 4. Nýtt manntal sýnir fjölgun og endurúthluta þarf sætunum. Ef íbúar Azuera eru nú 953.000, Punta Mala 706.000 og Esmeralda 218.000, hve mörg sæti fær hvert fylki? Hvernig sýnir þetta mannfjöldaþverstæðuna?
Lausn
Endurúthlutun Hamiltons gefur Azuera 19 sæti, Punta Mala 14 og Esmeralda 5. Þetta er mannfjöldaþverstæðan því Punta Mala missti sæti til Esmeralda þótt íbúafjöldi Punta Mala ykist um 1,44 prósent en Esmeralda aðeins um 1,40 prósent.
Nýríkjaþverstæðan
Stofnendur Ímyndunarlands gætu einnig íhugað að innlima nærliggjandi landsvæði og fjölga fylkjum. Þetta gerðist nokkrum sinnum í Bandaríkjunum, meðal annars þegar Oklahoma varð fylki árið 1907. Þingstærðin jókst úr 386 í 391 til að rúma fimm sæta kvóta Oklahoma. Þegar sætunum var endurúthlutað með aðferð Hamiltons missti New York sæti til Maine þótt íbúafjöldi þeirra hefði ekki breyst. Þetta er nýríkjaþverstæðan. Hún verður þegar nýju fylki er bætt við og sætafjöldinn aukinn til að halda stöðugu hlutfalli íbúa og sæta, en eitt eldra fylki missir sæti við endurúthlutunina.
Dæmi 11.46
Nýja fylkið Oscuridad
Landið San Lorenzo hefur stækkað úr tveimur fylkjum í þrjú. Þingstærðin hefur verið aukin um átta sæti og sætunum endurúthlutað vegna nýja fylkisins Oscuridad. Stjórnarskráin kveður á um að nota skuli aðferð Hamiltons við sætaúthlutun. Notaðu þessar upplýsingar og eftirfarandi töflu til að svara spurningunum.
Fylki
Íbúafjöldi (í hundruðum)
Upphafleg sætaúthlutun
Endurúthlutun sæta
Clara
7,100
39
40
Velasco
9,080
51
50
Oscuridad
1,500
Á ekki við
8
Hver var upphafleg þingstærð?
Hver er nýja þingstærðin?
Hvernig er þessi endurúthlutun dæmi um nýríkjaþverstæðuna?
Lausn
39+51=90
40+50+8=98
Upprunalega fylkið Velasco missti sæti til upprunalega fylkisins Clara þegar nýja fylkinu Oscuridad var bætt við.
Dæmi 11.47
Vaxandi landið Gulliversia
Í Gulliversia eru tvö fylki: Lilliput með 700.000 íbúa og Brobdingnag með 937.000 íbúa. Samkvæmt stjórnarskrá Gulliversia skal úthluta 90 þingsætum með aðferð Hamiltons. Lilliput hefur fengið 38 sæti en Brobdingnag 52. Nýlega gekk eyjan Houyhnhnmsland, með 170.000 íbúa, í ríkjasambandið og varð fylki í Gulliversia. Þegar Houyhnhnmsland er tekið með þarf að úthluta níu sætum til viðbótar til að halda sama hlutfalli sæta og íbúa. Notaðu aðferð Hamiltons til að endurúthluta 99 sætum milli fylkjanna þriggja. Hvernig er niðurstaðan dæmi um nýríkjaþverstæðuna?
Lausn
Við endurúthlutunina fær Lilliput 39 sæti, Brobdingnag 51 og Houyhnhnmsland 9. Þetta er dæmi um nýríkjaþverstæðuna því upprunalega fylkið Brobdingnag missti sæti til upprunalega fylkisins Lilliput þegar nýja fylkið gekk í ríkjasambandið.
Þegar nýju fylki er bætt við þarf að ákvarða hve mikið þingstærðin verður að aukast til að halda upphaflegu hlutfalli íbúa og sæta, það er að halda upphaflega staðaldeilinum. Nýja þingstærðin fæst með því að deila nýja heildaríbúafjöldanum með upphaflega staðaldeilinum og námunda að næstu heilu tölu.
Dæmi 11.48
Oklahoma gengur í ríkjasambandið
Oklahoma varð 46. fylki Bandaríkjanna 16. nóvember 1907. Áður en Oklahoma gekk í ríkjasambandið voru íbúar Bandaríkjanna um 75.030.000 og fulltrúadeildin hafði 386 sæti. Í nýja fylkinu voru um 970.000 íbúar. Notaðu þessar upplýsingar til að áætla upphaflega staðaldeilinn, námundaðan að næsta hundraði, nýja íbúafjöldann, nýju þingstærðina og sætafjöldann sem Oklahoma ætti að fá.
Lausn
Skref 1: U p p h a f l e g u r s t a ð a l d e i l i r ≈ 7 5 , 0 3 0 , 0 0 0 3 8 6 ≈ 1 9 4 , 4 0 0 Upphaflegur staðaldeilir ≈ 75.030.000/386 ≈ 194.400
Skref 2: N ý r í b ú a f j ö l d i ≈ 75.030.000 + 970.000 = 76.000.000
Skref 3: N ý þ i n g s t æ r ð ≈ 7 6 , 0 0 0 , 0 0 0 1 9 4 , 4 0 0 ≈ 3 9 1 Ný þingstærð ≈ 76.000.000/194.400 ≈ 391
Fullkomin úthlutunaraðferð myndi uppfylla eftirfarandi fjögur sanngirnisviðmið samtímis.
Uppfylla kvótaregluna
Koma í veg fyrir Alabama-þverstæðuna
Koma í veg fyrir mannfjöldaþverstæðuna
Koma í veg fyrir nýríkjaþverstæðuna
Við höfum séð að aðferð Hamiltons getur leitt til Alabama-þverstæðunnar, mannfjöldaþverstæðunnar og nýríkjaþverstæðunnar við vissar sætaúthlutanir. Skoðum nú niðurstöður hinna úthlutunaraðferðanna við nokkrar sömu aðstæður.
Dæmi 11.49
Orange Grove og nýríkjaþverstæðan
Sveitarfélagið Orange Grove skiptist í tvö hverfi: The Oaks með 1.254 íbúa og The Villages með 10.746 íbúa. Hundrað manna sveitarstjórn hefur umsjón með starfsemi sveitarfélagsins. Sveitarstjórnin samþykkir að innlima óskráð hverfi sem nefnist The Lakes og hefur 630 íbúa. Til stendur að fjölga sætum þannig að hlutfall sæta og íbúa haldist óbreytt; nýja sveitarstjórnin fær 100 sæti að viðbættum þeim sætum sem The Lakes fær. Notaðu hverja eftirfarandi úthlutunaraðferð og tilgreindan fjölda viðbótarsæta til að finna upphaflega og nýja úthlutun og ákvarða hvort nýríkjaþverstæðan komi fram.
Aðferð Jeffersons með fimm viðbótarsætum.
Aðferð Adams með sex viðbótarsætum.
Aðferð Websters með fimm viðbótarsætum.
Lausn
Með breyttum deili 119 hefði upphaflega úthlutunin verið: The Oaks 10 og The Villages 90. Með breyttum deili 119 yrði nýja úthlutunin: The Oaks 10, The Villages 90 og The Lakes 5. Nýríkjaþverstæðan kemur ekki fram.
Með breyttum deili 121 hefði upphaflega úthlutunin verið: The Oaks 11 og The Villages 89. Með breyttum deili 121 yrði nýja úthlutunin: The Oaks 11, The Villages 89 og The Lakes 6. Nýríkjaþverstæðan kemur ekki fram.
Með staðaldeilinum 120 hefði upphaflega úthlutunin verið: The Oaks 10 og The Villages 90. Með breyttum deili 119,5 yrði nýja úthlutunin: The Oaks 10, The Villages 90 og The Lakes 5. Nýríkjaþverstæðan kemur ekki fram.
Dæmin hafa sýnt að hvorki mannfjöldaþverstæðan né nýríkjaþverstæðan kom fram þegar aðferðir Jeffersons, Adams og Websters voru notaðar. Þessar þrjár deilisaðferðir brjóta allar stundum gegn kvótareglunni, en leiða aldrei til mannfjöldaþverstæðunnar, nýríkjaþverstæðunnar eða Alabama-þverstæðunnar. Aðferð Hamiltons uppfyllir hins vegar kvótaregluna en getur við vissar aðstæður leitt til allra þverstæðnanna þriggja.
Árið 1983 sönnuðu stærðfræðingarnir Michel Balinski og Peyton Young að engin aðferð við sætaúthlutun getur uppfyllt öll fjögur sanngirnisviðmiðin samtímis.
Til eru aðrar úthlutunaraðferðir sem uppfylla mismunandi undirflokka þessara sanngirnisviðmiða. Stærðfræðingarnir Balinski og Young, sem sönnuðu ómöguleikakenningu Balinski–Youngs, settu til dæmis fram aðferð sem bæði uppfyllir kvótaregluna og er laus við Alabama-þverstæðuna. (Balinski, Michel L.; Young, H. Peyton (nóvember 1974). „A New Method for Congressional Apportionment.“ Proceedings of the National Academy of Sciences. 71 (11): 4602–4606.) Engin aðferð getur hins vegar alltaf fylgt kvótareglunni og jafnframt verið laus við mannfjöldaþverstæðuna. (Balinski, Michel L.; Young, H. Peyton (september 1980). „The Theory of Apportionment“ (PDF). Working Papers. International Institute for Applied Systems Analysis. WP-80-131.)
Þegar þú og aðrir stofnendur Ímyndunarlands takið mikilvæga ákvörðun um rétta úthlutunaraðferð skulið þið því ekki leita að fullkominni aðferð. Leitið þess í stað að þeirri aðferð sem best mætir þörfum og áhyggjum íbúa Ímyndunarlands.
Kannaðu skilning þinn
Í eftirfarandi spurningum er lýst aðstæðum. Ákvarðaðu hvort þær séu dæmi um brot gegn kvótareglunni, Alabama-þverstæðuna, mannfjöldaþverstæðuna, nýríkjaþverstæðuna eða ekkert af þessu.
Borg keypti fimm nýja slökkvibíla og skipti þeim milli starfandi slökkvistöðva. Slökkvistöðin í hverfinu þínu hefur nú einum bíl færra, þótt hlutfall hennar af slökkvibílum borgarinnar sé hið sama og fyrir kaupin.
Skólafulltrúum lögreglu í sýslu var endurúthlutað eftir nýjasta manntali. Nemendum í Chapel Run-grunnskólanum fjölgaði en nemendum í Panther Trail-grunnskólanum fækkaði. Chapel Run hefur þó nú einum fulltrúa færra en Panther Trail einum fleiri en áður.
Staðalkvótar fylkja A, B og C eru 1,19, 2,73 og 5,71. A fékk 1 sæti, B fékk 3 sæti og C fékk 4 sæti.
Fyrirtæki sem á nokkur sjúkrahús keypti eitt til viðbótar og við það lækkaði hlutfall lækna og sjúklinga.
Þegar borgin Cocoa innlimaði aðliggjandi óskráð sveitarfélag var sætum í borgarstjórn fjölgað til að halda stöðluðu hlutfalli íbúa og sæta. Eitt eldra hverfi Cocoa missti samt sæti í borgarstjórn til annars eldra hverfis þegar nýja hverfinu var bætt við.
Í eftirfarandi spurningum er lýst tegund aðstæðna. Tilgreindu hvaða þverstæða gæti komið fram við slíkar aðstæður.
Sætum er endurúthlutað vegna breytinga á íbúafjölda fylkjanna en þingstærðin helst óbreytt.
Sætum er endurúthlutað vegna stækkunar þingsins en íbúafjöldi fylkjanna helst óbreyttur.
Sætum er endurúthlutað vegna þess að nýtt fylki gengur í ríkjasambandið; íbúafjöldi upprunalegu fylkjanna helst óbreyttur og þingstærðin eykst í samræmi við íbúafjölda nýja fylkisins.
Æfingar úr kafla 11.5
Í eftirfarandi æfingum skaltu ákvarða hvort aðstæðurnar sýni Alabama-þverstæðuna. Rökstyddu svarið.
1.
Fyrirtæki með skrifstofur í fjórum borgum þarf að skipta 145 nýjum Chromebook-fartölvum milli skrifstofanna. Ákveðið er að A fái 42, B fái 17, C fái 35 og D fái 51. Á síðustu stundu kemur í ljós að tölvurnar eru 146. Við endurúthlutun fær A 42, B fær 16, C fær 36 og D fær 52.
2.
Í sýslu með þrjá bæi þarf að úthluta 30 sorpbílum. Í samræmi við íbúafjölda fær Attenborough 6 bíla, Breckenridge 8 og Cabbotsville 16. Þegar einn bíll til viðbótar er keyptur leiðir endurúthlutunin til þess að Attenborough fær 5 bíla, Breckenridge 9 og Cabbotsville 8, þótt íbúafjöldinn hafi ekki breyst.
3.
Sextíu tannlæknar starfa hjá fyrirtæki sem rekur fimm stofur. Tannlæknunum hefur verið skipt milli stofanna eftir fjölda sjúklinga. Stofa A fær 14 tannlækna, B fær 11, C fær 11, D fær 12 og E fær 12. Þegar nýr tannlæknir bætist í hópinn verður nýja úthlutunin: A 14, B 11, C 11, D 12 og E 13.
Í eftirfarandi æfingum skaltu ákvarða hvort aðstæðurnar sýni mannfjöldaþverstæðuna. Rökstyddu svarið.
4.
Fyrirtæki með starfsstöðvar í þremur borgum ætlar að veita 200 viðurkenningar sem skiptast milli borganna eftir starfsmannafjölda. Borg A, með 9.150 starfsmenn, fær 61 viðurkenningu; B, með 6.040 starfsmenn, fær 40; og C, með 14.810 starfsmenn, fær 99. Síðan kemur í ljós að starfsmannatölurnar eru úreltar. Viðurkenningunum er úthlutað aftur miðað við nýjan fjölda: A 9.180, B 6.040 og C 14.930. Úthlutunin helst óbreytt.
5.
Knattspyrnufélag þarf að skipta boltum milli liða í fjórum aldursflokkum eftir liðafjölda. U8 fær 32 bolta, U12 fær 46, U15 fær 29 og U18 fær 25. Um mitt tímabil er boltunum endurúthlutað. U8-liðum hefur fækkað um 10 prósent, U12-liðum fjölgað um 20 prósent, U15 er óbreytt og U18-liðum fjölgað um 10 prósent. Eftir endurúthlutun fær U8 33 bolta, U12 fær 46, U15 fær 29 og U18 fær 14.
6.
READ (Reading Education Assistance Dogs) þjálfar og vottar meðferðardýr til starfa í skólastofum þar sem þau hjálpa börnum að öðlast lestraráhuga í streitulitlu umhverfi. Gerum ráð fyrir að 20 meðferðarteymum sé skipt milli þriggja skóla eftir nemendafjölda. Þegar nemendum í skóla A fækkar um 10 prósent, nemendum í B fjölgar um 10 prósent og fjöldinn í C helst óbreyttur helst úthlutunin óbreytt.
Í eftirfarandi æfingum skaltu ákvarða hvort aðstæðurnar sýni nýríkjaþverstæðuna. Rökstyddu svarið.
7.
Góðgerðarsamtök hafa 851 sjálfboðaliða í landi A og 3.449 í landi B. Skipta þarf 43 aðalskipuleggjendum milli staðanna tveggja. A fær 9 og B fær 34. Þegar starfsemin er útvíkkuð til lands C, þar sem eru 725 sjálfboðaliðar, bætast 7 nýir aðalskipuleggjendur í hópinn. Við endurúthlutun fær A 9, B fær 34 og C fær 7 aðalskipuleggjendur.
8.
Í landi eru tvö fylki og 22 sæti á löggjafarþingi. Fylki A hefur 4 sæti og B hefur 18. Þegar fylki C gengur í ríkjasambandið er þingmönnum fjölgað um fimm. Eftir nýju úthlutunina fær A 3 sæti, B fær 19 og C fær 5.
9.
Í Garunga-sólkerfinu eru fjórar byggðar reikistjörnur. Þrjár þeirra eiga aðild að Sameinuðu samtökum Garunga-reikistjarna (UAGP), sem hafa 67 sæti. Reikistjarnan Angluertka hefur 40 sæti, Bangluertka 27 og Clangluertka 13. Þegar Danggluertka ákveður að ganga í UAGP er 14 sætum bætt við til að rúma hana hlutfallslega. Nýja úthlutunin gefur Angluertka 40 sæti, Bangluertka 26, Clangluertka 14 og Danggluertka 14.
Í eftirfarandi æfingum skaltu nota aðferð Hamiltons við sætaúthlutun til að svara spurningunum.
10.
Þegar sætum fjölgaði úr 147 í 148 breyttust staðalkvótarnir úr A 44,24, B 17,35, C 37,12 og D 48,29 í A 45,54, B 17,47, C 37,37 og D 48,62.
Hvaða áhrif hafði fjölgun sætanna á
úthlutunina? Er þetta dæmi um þverstæðu? Rökstyddu svarið.
11.
Þegar sætum fjölgaði úr 126 í 127 breyttust staðalkvótarnir úr A 9,57, B 29,49, C 33,89, D 28,43 og E 24,61 í A 9,65, B 29,72, C 34,16, D 38,66 og E 24,81.
Hvaða áhrif hafði fjölgun sætanna á
úthlutunina? Er þetta dæmi um þverstæðu? Rökstyddu svarið.
12.
Þegar sætum fjölgaði úr 25 í 26 breyttust staðalkvótarnir úr A 2,21, B 5,25, C 11,27 og D 6,27 í A 2,30, B 5,46, C 11,72 og D 6,52.
Hvaða áhrif hafði fjölgun sætanna á
úthlutunina? Er þetta dæmi um þverstæðu? Rökstyddu svarið.
13.
Þegar sætum fjölgaði úr 25 í 26 breyttust staðalkvótarnir úr A 2,43, B 5,42 og C 8,15 í A 2,46, B 5,47 og C 8,07.
Hvaða áhrif hafði fjölgun sætanna á
úthlutunina? Er þetta dæmi um þverstæðu? Rökstyddu svarið.
14.
Þingstærðin er 18. Þegar íbúafjöldi fylkis A eykst um 11,76 prósent, B um 16,22 prósent og C um 12,18 prósent breytast staðalkvótarnir úr A 2,46, B 6,00 og C 9,53 í A 2,41, B 6,25 og C 9,34.
Hvaða áhrif hafði íbúafjölgunin á úthlutunina?
Er þetta dæmi um þverstæðu? Rökstyddu svarið.
15.
Þingstærðin er 100. Íbúafjöldi fylkis A eykst um 20 prósent, B um 10 prósent og C um 30 prósent en íbúafjöldi D, E og F helst óbreyttur. Staðalkvótarnir breytast úr A 12,50, B 25,00, C 9,38, D 18,75, E 12,50 og F 21,88 í A 13,91, B 25,51, C 11,30, D 17,39, E 11,59 og F 20,29.
Hvaða áhrif hafði breyting íbúafjöldans á
úthlutunina? Er þetta dæmi um þverstæðu? Rökstyddu svarið.
16.
Þingstærðin er 17. Þegar íbúafjöldi fylkis A eykst um 12,73 prósent, B um 15,63 prósent og C um 12,90 prósent breytast staðalkvótarnir úr A 2,53, B 5,90 og C 8,57 í A 2,51, B 5,99 og C 8,50.
Hvaða áhrif hafði breyting íbúafjöldans á
úthlutunina? Er þetta dæmi um þverstæðu? Rökstyddu svarið.
17.
Þingstærðin er 38 sæti. Þegar íbúafjöldi fylkis A eykst um 6,60 prósent, B um 1,44 prósent og C um 1,40 prósent breytast staðalkvótarnir úr A 18,82, B 14,65 og C 4,53 í A 19,59, B 14,29 og C 4,41.
Hvaða áhrif hafði breyting íbúafjöldans á
úthlutunina? Er þetta dæmi um þverstæðu? Rökstyddu svarið.
18.
Þingstærðin er 24 sæti. Þegar íbúafjöldi fylkis A eykst um 28 prósent, B um 26 prósent og C um 15 prósent breytast staðalkvótarnir úr A 3,38, B 6,32 og C 14,30 í A 3,63, B 6,67 og C 13,71.
Hvaða áhrif hafði breyting íbúafjöldans á
úthlutunina? Er þetta dæmi um þverstæðu? Rökstyddu svarið.
19.
Þingstærðin var 60. Fylkin voru þrjú með staðalkvótana A 4,18, B 15,38 og C 40,44. Fjórða fylkið var innlimað og þingstærðin aukin í 65. Nýju staðalkvótarnir eru A 4,17, B 15,33, C 40,32 og D 5,18.
Hvaða áhrif hafði viðbótarfylkið á
úthlutunina? Er þetta dæmi um þverstæðu? Rökstyddu svarið.
20.
Þingstærðin var 50. Fylkin voru þrjú með staðalkvótana A 9,41, B 24,42 og C 16,17. Fjórða fylkið var innlimað og þingstærðin aukin í 66. Nýju staðalkvótarnir eru A 9,36, B 24,30, C 16,09 og D 16,25.
Hvaða áhrif hafði viðbótarfylkið á
úthlutunina? Er þetta dæmi um þverstæðu? Rökstyddu svarið.
21.
Þingstærðin var 27. Fylkin voru þrjú með staðalkvótana A 6,39, B 11,40 og C 9,21. Fjórða fylkið var innlimað og þingstærðin aukin í 35. Nýju staðalkvótarnir eru A 6,38, B 11,37, C 9,19 og D 8,06.
Hvaða áhrif hafði viðbótarfylkið á
úthlutunina? Er þetta dæmi um þverstæðu? Rökstyddu svarið.
22.
Þingstærðin var 100. Fylkin voru þrjú með staðalkvótana A 26,09, B 30,43 og C 43,48. Fjórða fylkið var innlimað og þingstærðin aukin í 122. Nýju staðalkvótarnir eru A 26,14, B 30,50, C 43,57 og D 21,78.
Hvaða áhrif hafði viðbótarfylkið á
úthlutunina? Er þetta dæmi um þverstæðu? Rökstyddu svarið.
Í eftirfarandi æfingum skaltu nota upplýsingarnar í töflunni hér á eftir.
Fylki
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
P
Q
R
Íbúafjöldi
624
1,219
979
3,462
7,470
4,264
5,300
263
809
931
781
676
150
250
350
Upphafleg þingstærð
38
204
126
50
Uppfærð þingstærð
39
205
127
51
23.
Skoðaðu fylki A,
B og C. Finndu sætaúthlutun þeirra með upphaflegu þingstærðinni og aðferð
Hamiltons. Finndu síðan úthlutun þeirra með uppfærðu þingstærðinni og sömu
aðferð. Veldur breyting þingstærðarinnar ásamt notkun aðferðar Hamiltons Alabama-þverstæðunni? Útskýrðu rök þín.
24.
Skoðaðu fylki D, E,
F og G. Finndu sætaúthlutun þeirra með upphaflegu þingstærðinni og aðferð
Hamiltons. Finndu síðan úthlutun þeirra með uppfærðu þingstærðinni og sömu aðferð.
Veldur breyting þingstærðarinnar ásamt notkun aðferðar Hamiltons Alabama-þverstæðunni? Útskýrðu rök þín.
25.
Skoðaðu fylki H, I,
J, K og L. Finndu sætaúthlutun þeirra með upphaflegu þingstærðinni og
aðferð Hamiltons. Finndu síðan úthlutun þeirra með uppfærðu þingstærðinni og sömu aðferð.
Veldur breyting þingstærðarinnar ásamt notkun aðferðar Hamiltons Alabama-þverstæðunni? Útskýrðu rök þín.
26.
Skoðaðu fylki P,
Q og R. Finndu sætaúthlutun þeirra með upphaflegu þingstærðinni og aðferð
Hamiltons. Finndu síðan úthlutun þeirra með uppfærðu þingstærðinni og sömu
aðferð. Veldur breyting þingstærðarinnar ásamt notkun aðferðar Hamiltons Alabama-þverstæðunni? Útskýrðu rök þín.
Í eftirfarandi æfingum skaltu nota upplýsingarnar í töflunni hér á eftir.
Fylki
Upphaflegur íbúafjöldi
Uppfærður íbúafjöldi
Mannfjölgunarhraði
Þingstærð
A
889
958
7.76%
B
674
692
2.67%
42
C
237
243
2.53%
D
12,032
14,124
mi mi
E
10,789
9,726
mi mi
135
F
995
2,304
mi mi
G
901
1,156
28.3%
H
1,683
2,125
26.3%
24
I
3,808
4,369
14.7%
X
56
63
mi mi
Y
125
141
mi mi
16
Z
182
213
mi mi
P
6,534
6,534
𝑝 % p %
Q
7,832
7,810
𝑞 % q %
40
R
13,959
13,992
𝑟 % r %
S
20,515
21,164
𝑠 % s %
27.
Reiknaðu mannfjölgunarhraðana 𝑑 , 𝑒 og 𝑓 fyrir fylki D, E og F. Gefðu svarið sem prósentu, námundaða að einum aukastaf.
28.
Reiknaðu mannfjölgunarhraðana 𝑝 , 𝑞 , 𝑟 og 𝑠 fyrir fylki P, Q, R og S. Gefðu svarið sem prósentu, námundaða að einum aukastaf.
29.
Reiknaðu mannfjölgunarhraðana 𝑥 , 𝑦 og 𝑧 fyrir fylki X, Y og Z. Gefðu svarið sem prósentu, námundaða að einum aukastaf.
30.
Skoðaðu fylki A,
B og C. Finndu úthlutun Hamiltons
fyrir fylkin með upphaflega íbúafjöldanum og
síðan með uppfærða íbúafjöldanum. Veldur íbúafjölgunin ásamt notkun aðferðar Hamiltons mannfjöldaþverstæðunni? Útskýrðu rök þín.
31.
Skoðaðu fylki D,
E og F. Finndu úthlutun Hamiltons fyrir fylkin
með upphaflega íbúafjöldanum og síðan með uppfærða íbúafjöldanum.
Veldur íbúafjölgunin ásamt notkun aðferðar Hamiltons mannfjöldaþverstæðunni? Útskýrðu rök þín.
32.
Skoðaðu fylki G,
H og I. Finndu úthlutun Hamiltons fyrir fylkin
með upphaflega íbúafjöldanum og síðan með uppfærða íbúafjöldanum.
Veldur íbúafjölgunin ásamt notkun aðferðar Hamiltons mannfjöldaþverstæðunni? Útskýrðu rök þín.
33.
Skoðaðu fylki X,
Y og Z. Finndu úthlutun Hamiltons fyrir fylkin
með upphaflega íbúafjöldanum og síðan með uppfærða íbúafjöldanum.
Veldur íbúafjölgunin ásamt notkun aðferðar Hamiltons mannfjöldaþverstæðunni? Útskýrðu rök þín.
34.
Skoðaðu fylki P, Q,
R og S. Finndu úthlutun Hamiltons fyrir fylkin
með upphaflega íbúafjöldanum og síðan með uppfærða íbúafjöldanum.
Veldur íbúafjölgunin ásamt notkun aðferðar Hamiltons mannfjöldaþverstæðunni? Útskýrðu rök þín.
Í eftirfarandi æfingum skaltu nota upplýsingarnar í töflunni hér á eftir.
Fylki
Íbúafjöldi
Upphafleg þingstærð
Ný þingstærð
A
627
B
1,287
25
C
973
32
D
815
E
520
F
1,510
50
G
1,060
mi
H
950
P
1,222
100
Q
473
R
225
mi
K
1,688
L
7,912
48
M
1,448
mi
T
150
U
250
V
350
50
mi
W
450
35.
Skoðaðu fylki A, B og
C. Reiknaðu staðaldeilinn út frá upphaflegu þingstærðinni. Notaðu
aðferð Hamiltons til að úthluta sætunum.
36.
Skoðaðu fylki E, F og
G. Reiknaðu staðaldeilinn út frá upphaflegu þingstærðinni. Notaðu
aðferð Hamiltons til að úthluta sætunum.
37.
Skoðaðu fylki P og
Q. Reiknaðu staðaldeilinn út frá upphaflegu þingstærðinni. Notaðu
aðferð Hamiltons til að úthluta sætunum.
38.
Skoðaðu fylki K og
L. Reiknaðu staðaldeilinn út frá upphaflegu þingstærðinni. Notaðu
aðferð Hamiltons til að úthluta sætunum.
39.
Gerum ráð fyrir að fylki A, B og C innlimi fylki D og
auki þingstærðina hlutfallslega. Reiknaðu staðaldeilinn út frá nýju
þingstærðinni. Notaðu aðferð Hamiltons til að
endurúthluta sætunum. Kemur nýríkjaþverstæðan fram?
40.
Gerum ráð fyrir að fylki E, F og G innlimi fylki H og auki þingstærðina hlutfallslega.
Finndu nauðsynlega nýja þingstærð, ℎ . Reiknaðu
staðaldeilinn út frá nýju þingstærðinni. Notaðu
aðferð Hamiltons til að endurúthluta
sætunum. Kemur nýríkjaþverstæðan fram?
41.
Gerum ráð fyrir að fylki P og Q innlimi fylki R og auki þingstærðina hlutfallslega.
Finndu nauðsynlega nýja þingstærð, 𝑟 . Reiknaðu
staðaldeilinn út frá nýju þingstærðinni. Notaðu
aðferð Hamiltons til að endurúthluta
sætunum. Kemur nýríkjaþverstæðan fram?
42.
Gerum ráð fyrir að fylki K og L innlimi fylki M og auki þingstærðina hlutfallslega.
Finndu nauðsynlega nýja þingstærð, 𝑚 . Reiknaðu
staðaldeilinn út frá nýju þingstærðinni. Notaðu
aðferð Hamiltons til að endurúthluta
sætunum. Kemur nýríkjaþverstæðan fram?
43.
Gerum ráð fyrir að fylki T, U og V innlimi fylki W og
auki þingstærðina hlutfallslega. Reiknaðu staðaldeilinn út frá upphaflegu þingstærðinni og aðeins fylkjum T, U
og V. Notaðu aðferð Hamiltons til að úthluta sætunum til
T, U og V. Finndu nýju þingstærðina þegar
fylki W er innlimað. Reiknaðu staðaldeilinn út frá
nýju þingstærðinni. Notaðu aðferð Hamiltons til að
endurúthluta sætunum. Kemur nýríkjaþverstæðan fram? (Vísaðu til b-liðar.)
44.
Gerum ráð fyrir að 24 sætum sé úthlutað til fylkja A, B og C, sem hafa 16, 15 og 125 íbúa. Síðan breytist íbúafjöldinn í 17, 15 og 126.
Sýndu að mannfjöldaþverstæðan kemur fram þegar aðferð Hamiltons er notuð.
Ákvarðaðu hvort hún komi fram þegar aðferð Websters er notuð. Rökstyddu svarið.
45.
Gerum ráð fyrir að 10 sætum sé úthlutað til fylkja A, B og C, sem hafa 6, 6 og 2 íbúa. Síðan er sætunum fjölgað í 11. Sýndu að Alabama-þverstæðan kemur fram þegar aðferð Hamiltons er notuð.
