5.1 Algebrustæður – Stærðfræði í daglegu lífi (IS) | Námsgögn
55 Algebra
5.1 Algebrustæður
5.1 Algebrustæður
Mynd 5.2. Tveir háskólanemar við útskrift! (mynd: aðlagað verk UC Davis College of Engineering/Flickr, CC BY 2.0)
Námsmarkmið
Að loknum þessum hluta átt þú að geta:
Skrifað algebrustæður og jöfnur með orðum og táknum.
Einfaldað algebrustæður og reiknað gildi þeirra.
Lagt saman algebrustæður og dregið þær frá hvor annarri.
Margfaldað algebrustæður og deilt einni með annarri.
Algebrustæður eru byggingareiningar algebrunnar. Talnastæða, einnig nefnd reikningsstæða, á borð við táknar aðeins eina tölu en algebrustæða á borð við getur táknað mörg gildi. Í þessum hluta lærir þú að setja upp og einfalda algebrustæður og framkvæma reikniaðgerðir á þeim.
Algebrustæður og jöfnur
Xavier og Yasenia eiga afmæli sama dag en fæddust á mismunandi árum. Í ár er Xavier tvítugur og Yasenia 23 ára, svo hún er þremur árum eldri en hann. Þegar Xavier var 15 ára var Yasenia 18 ára. Þegar Xavier verður 33 ára verður Yasenia 36 ára. Yasenia er alltaf þremur árum eldri en Xavier.
Í máli algebrunnar segjum við að aldur Xaviers og Yaseniu breytist en þriggja ára aldursmunurinn sé fasti. Aldurinn er breyta . Aldursmunurinn helst hins vegar sá sami og er því fasti . Í algebru eru bókstafir notaðir til að tákna breytur; algengir bókstafir eru , , , , og . Látum tákna aldur Xaviers. Þá má tákna aldur Yaseniu með eins og sýnt er í töflunni hér fyrir neðan.
Aldur Xaviers
Aldur Yaseniu
15
18
20
23
33
36
Til að skrifa á máli algebrunnar þurfum við tákn auk talna og breyta. Tákn reikniaðgerðanna fjögurra, samlagningar, frádráttar, margföldunar og deilingar, eru tekin saman í töflu 5.1 ásamt orðalagi um aðgerðirnar og niðurstöður þeirra.
Reikniaðgerð
Táknun
Lesið
Heiti niðurstöðu
Samlagning
plús
summa og
Frádráttur
−
mínus
mismunur og
Margföldun
• , ( )( ), ( ) , ( ), ,
sinnum
margfeldi og
Deiling
÷ , /
deilt með
kvóti og
Hver reikniaðgerðanna fjögurra tengir tvær tölur. Þegar umritað er milli táknmáls og orðalags skaltu gæta að því hvaða tölur orðin vísa til og í hvaða röð þær eiga að koma.
Summa 5 og 3 merkir að leggja 3 við 5, sem við skrifum .
Mismunur 9 og 2 merkir að draga 2 frá 9, sem við skrifum .
Margfeldi 4 og 8 merkir að margfalda 4 með 8, sem við getum skrifað .
Kvóti 20 og 5 merkir að deila 20 með 5, sem við getum skrifað .
Dæmi 5.1
Umritun úr algebru yfir í orðalag
Umritaðu eftirfarandi algebrustæður úr táknmáli yfir í orðalag.
Lausn
Samkvæmt töflu 5.1 má lesa þetta sem „12 plús 14“ eða „summa 12 og 14“.
Samkvæmt töflu 5.1 má lesa þetta sem „30 sinnum 5“ eða „margfeldi 30 og 5“.
Samkvæmt töflu 5.1 má lesa þetta sem „64 deilt með 8“ eða „kvóti 64 og 8“.
Samkvæmt töflu 5.1 má lesa þetta sem „ mínus “ eða „mismunur og “.
Dæmi 5.2
Umritun úr orðalagi yfir í algebru
Umritaðu eftirfarandi orðasambönd sem algebrustæður.
Hver er munurinn á orðasambandi og setningu? Orðasambandið „Að hlaupa mjög hratt“ er ekki fullgerð staðhæfing, en „Knattspyrnumaðurinn hleypur mjög hratt“ er setning. Í algebru vinnum við á svipaðan hátt með stæður og jöfnur. Í sýnidæmum 5.1 og 5.2 voru notaðar stæður. Stæða líkist orðasambandi á borð við „summa þriggja og fimm“: hún táknar stærð án þess að setja fram staðhæfingu um hana. Taflan hér á eftir sýnir stæður sem geta verið tölur, breytur eða samsetningar talna og breyta með reiknitáknum.
Stæða
Orðalag
Orðasamband
3 plús 5
Summa þriggja og fimm
mínus einn
Mismunur og eins
6 sinnum 7
Margfeldi sex og sjö
deilt með
Kvóti og
Dæmi 5.3
Umritun úr orðasambandi yfir í stæðu
Umritaðu eftirfarandi orðasambönd sem algebrustæður.
Talan að viðbættum sjö.
Talan margfölduð með sjálfri sér.
Sexfalt gildi að viðbættum tveimur.
Burðargjald er fast 10 senta gjald fyrir hvern pakka að viðbættum 34 sentum fyrir hverja únsu. Látum tákna þyngd pakkans í únsum.
Lausn
eða
Jafna samanstendur af tveimur stæðum sem tengdar eru með jafnaðarmerki (=). Þegar tvær stærðir hafa sama gildi segjum við að þær séu jafnar og tengjum þær með jafnaðarmerki. Þegar tákn jöfnu eru lesin sem orð fæst fullgerð setning; jafnaðarmerkið gegnir þá hlutverki sagnar. Jafnan er því lesin „ er jafnt og “. Taflan hér á eftir sýnir nokkur dæmi um jöfnur.
Jafna
Íslensk setning
Summa þriggja og fimm er jöfn átta.
mínus einn er jafnt og fjórtán.
Margfeldi sex og sjö er jafnt og fjörutíu og tvö.
er jafnt og 53.
plús 9 er jafnt og tvöfalt að frádregnum 3.
Dæmi 5.4
Umritun úr setningu yfir í jöfnu
Umritaðu eftirfarandi setningar sem algebrujöfnur.
Tvisvar sinnum er 6.
plús 2 er jafnt og þrefalt .
Kvóti 35 og 7 er 5.
Sextíu og sjö mínus er 56.
Lausn
Einföldun og gildisútreikningur algebrustæða
Að einfalda stæðu merkir að framkvæma allar mögulegar reikniaðgerðir. Til að einfalda margföldum við fyrst og fáum 8 og leggjum síðan 1 við og fáum 9. Við höfum kynnt flest tákn og rithátt algebrunnar en þurfum nú að skýra forgangsröð reikniaðgerða. Annars geta stæður fengið mismunandi merkingu og gildi. Skoðaðu . Á að leggja saman eða margfalda fyrst? Fást mismunandi svör?
Samlagning fyrst:
Margföldun fyrst:
Hvort svarið er rétt?
Stærðfræðingar áttuðu sig snemma á þörfinni fyrir sameiginlegar reglur um röð reikniaðgerða svo allir fengju sama svar. Þær nefnast forgangsröð reikniaðgerða og eru sýndar í töflunni hér fyrir neðan.
Skref 1: Svigar og önnur hópunartákn
Einfaldaðu allar stæður innan sviga eða annarra hópunartákna og byrjaðu á innstu svigunum.
Skref 2: Veldi
Reiknaðu öll veldi.
Skref 3: Margföldun og deiling
Framkvæmdu alla margföldun og deilingu frá vinstri til hægri. Þessar reikniaðgerðir hafa jafnan forgang.
Skref 4: Samlagning og frádráttur
Framkvæmdu alla samlagningu og frádrátt frá vinstri til hægri. Þessar reikniaðgerðir hafa jafnan forgang.
Dæmi 5.5
Svigar notaðir til að gera talnajöfnu sanna
Settu sviga þannig að eftirfarandi staðhæfingar verði sannar.
Lausn
Settu sviga utan um . Þá fæst .
Settu sviga utan um . Þá fæst .
Settu sviga utan um . Þá fæst .
Settu sviga utan um . Þá fæst .
Í síðasta sýnidæmi einfölduðum við stæður með forgangsröð reikniaðgerða. Nú reiknum við gildi stæða og fylgjum aftur sömu forgangsröð. Að reikna gildi stæðu merkir að finna gildi hennar eftir að tiltekin tala hefur verið sett fyrir breytu.
Dæmi 5.6
Gildi stæðu reiknað og stæðan einfölduð
Reiknaðu gildi þegar .
Reiknaðu gildi þegar .
Lausn
Settu inn í stæðuna og einfaldaðu: .
Settu inn í stæðuna og einfaldaðu: .
Reikniaðgerðir með algebrustæður
Algebrustæður eru settar saman úr liðum . Liður er fasti eða margfeldi fasta og einnar eða fleiri breytna. Dæmi um liði eru 7, , 5 , 9 og . Fastinn sem margfaldar breytuna nefnist stuðull . Hugsa má um stuðulinn sem töluna fyrir framan breytuna. Í stæðunni 5 er stuðullinn 5 og í 9 er hann 9. Ef engin tala er skrifuð fyrir framan breytuna er stuðullinn 1, því .
Tveir liðir nefnast samkynja ef þeir eru báðir fastar eða hafa sömu breytur með sömu veldisvísum. Ef stæða inniheldur samkynja liði má einfalda hana með því að draga þá saman. Þá eru stuðlarnir lagðir saman en breytuhlutinn helst óbreyttur.
Dæmi 5.7
Samlagning algebrustæða
Leggðu saman .
Lausn
Skref 1: Notaðu víxlreglu samlagningar til að raða liðunum () og felldu síðan svigana niður:
Skref 2: Flokkaðu samkynja liði saman:
Skref 3: Dragðu saman samkynja liðina:
Dæmi 5.8
Frádráttur algebrustæða
Reiknaðu mismuninn .
Lausn
Skref 1: Dreifðu mínusmerkinu inn í svigann. Til dæmis er , sem er rétt. Ekki má einfaldlega fella svigann niður; , en við höfum þegar staðfest að svarið er 3:
Skref 2: Flokkaðu samkynja liði saman:
Skref 3: Dragðu saman samkynja liðina: Í frumtextanum vantar stuðulinn 5 við x í lokasvarinu; rétt er 4x + x = 5x.
Áður en við margföldum algebrustæður skoðum við dreifiregluna . Hún segir að til að margfalda summu skuli fyrst margfalda hvern lið hennar og leggja margfeldin síðan saman. Til dæmis má reikna eða . Með breytu fæst .
Við getum útvíkkað dæmið: . Einnig má reikna . Með breytum fæst .
Dæmi 5.9
Einföldun stæðu með forgangsröð reikniaðgerða
Einfaldaðu hverja stæðu.
Lausn
Dæmi 5.10
Margföldun algebrustæða
Margfaldaðu .
Lausn
Skref 1: Notaðu dreifiregluna:
Skref 2: Margfaldaðu:
Skref 3: Dragðu saman samkynja liðina:
Dæmi 5.11
Deiling algebrustæða
Reiknaðu kvótann . Hér er gert ráð fyrir að x sé ekki núll.
Lausn
Deildu HVERJUM lið með 4 :
Árið 2012 skrifaði Andrew Hacker skoðanagrein í New York Times Magazine þar sem hann hélt því fram að kennsla algebru í framhaldsskóla væri tímasóun. Nemendur breska stærðfræðingsins Keith Devlin í endurmenntunarnámskeiðinu „Mathematics: Making the Invisible Visible“ við Stanford-háskóla á iTunes University báðu hann að fjalla um greinina. Niðurstaða Devlins var að Hacker sýndi að hann skildi ekki hvað algebra væri.
Prófaðu skilning þinn
Juliette er tveimur tommum hærri en vinkona hennar Vivian. Hvaða algebrujöfnur lýsa hæð þeirra? Notaðu fyrir hæð Juliette og fyrir hæð Vivian.
Hvaða atriði hér á eftir eru algebrustæður?
Hvaða stæða hér á eftir er jöfn 10 þegar x er ekki núll? Í frumtextanum stendur 10, en rétt viðmið er 10.
Þegar tiltekin tala er sett í stæðuna fyrir fæst gildið 50. Hvert er gildi ?
Hvaða stæða er jöfn ? Vísbending: Notaðu dreifiregluna.
Með dreifireglunni má umrita stæðuna sem:
Fyrir algebrustæðurnar og fæst niðurstaðan . Hvaða reikniaðgerð var framkvæmd á stæðunum?
Fyrir algebrustæðurnar og segir frumtextinn að niðurstaðan sé . Í frumtextanum er fyrsti liðurinn ranglega 3x; réttur liður er 4x/3. Hvaða reikniaðgerð var framkvæmd á stæðunum? Gerðu ráð fyrir að x sé ekki núll.
Æfingar úr kafla 5.1
Í dæmunum hér á eftir skaltu umrita algebrustæður sem orðalag.
1.
2.
(10)()
3.
4.
5.
Í dæmunum hér á eftir skaltu umrita orðalag sem algebrustæður.
6.
15 deilt með 3.
7.
Summa 13 og 13.
8.
120 mínus 12.
9.
Margfeldi 5 og 4.
10.
Summa tvöfalds og 5.
Í dæmunum hér á eftir skaltu umrita orðasamband sem algebrustæðu.
11.
Þrisvar sinnum að frádregnum 7.
12.
deilt með 2 og síðan 4 lagt við.
13.
í öðru veldi að frádregnum 3.
14.
Bílaleiga tekur 0,15 dollara fyrir hverja mílu auk 40 dollara fasts leigugjalds. Látum tákna fjölda ekinna mílna.
15.
Bílastæðahús í New York-borg tekur 20 dollara fyrir fyrstu klukkustundina og síðan 5 dollara fyrir hverja klukkustund til viðbótar. Látum tákna fjölda klukkustunda umfram þá fyrstu.
Í dæmunum hér á eftir skaltu setja sviga þannig að staðhæfingarnar verði sannar.
16.
17.
18.
19.
20.
Í dæmunum hér á eftir skaltu reikna gildi stæðunnar og einfalda hana.
21.
þegar
22.
þegar
23.
þegar
24.
þegar
25.
þegar
26.
þegar
27.
þegar
28.
Yasenia er þremur árum eldri en Xavier. Hve gömul er Yasenia þegar Xavier er 18 ára?
29.
Bílaleiga tekur 0,15 dollara fyrir hverja mílu auk 40 dollara fasts leigugjalds. Látum tákna fjölda ekinna mílna. Hvað kostar leigan ef eknar eru 100 mílur?
30.
Bílastæðahús í New York-borg tekur 20 dollara fyrir fyrstu klukkustundina og síðan 5 dollara fyrir hverja klukkustund til viðbótar. Látum tákna fjölda klukkustunda umfram þá fyrstu. Hvað kostar að leggja í tíu klukkustundir?
Í dæmunum hér á eftir skaltu framkvæma tilgreinda reikniaðgerð á stæðunum.
