55 Algebra

Lykilatriði

5.1 Algebrustæður

Algebra hjálpar okkur að skilja raunverulegar aðstæður með því að lýsa þeim með algebrustæðum.
Algebrustæður eru grunnþættir algebru og úr þeim má mynda algebrujöfnur.
Algebrustæður eru oft einfaldaðar og gildi þeirra reiknuð með reikniaðgerðunum fjórum.

5.2 Línulegar jöfnur með einni breytu og hagnýting þeirra

Að leysa línulega jöfnu felst í að finna öll gildi breytunnar sem uppfylla jöfnuna.
Línuleg jafna hefur oftast eina lausn en getur einnig haft enga lausn eða óendanlega margar lausnir.

5.3 Línulegar ójöfnur með einni breytu og hagnýting þeirra

Ójöfnur má nota þegar mörg möguleg gildi koma til greina eða þegar nákvæmt gildi er óþekkt en vitað er að það liggur á tilteknu bili.
Lausnamengi línulegrar ójöfnu með einni breytu má sýna á talnalínu eða með biltáknun.

5.4 Hlutföll og hlutfallajöfnur

Hlutfall er samanburður tveggja talna. Hlutfall talnanna $a$ og $b$ má rita $a$ á móti $b$ , $a$ : $b$ eða sem brotið $a$ / $b$ , að því gefnu að seinni talan sé ekki núll.
Hlutföll geta borið saman hluta við hluta, hluta við heild eða heild við hluta. Hlutfall tveggja talna má rita sem brot ef nefnarinn er ekki núll. Brot geta því lýst fleiri tegundum samanburðar en eingöngu hluta af heild.
Þegar tvö hlutföll eru jöfn má setja þau fram í hlutfallajöfnu.
Með hlutfallajöfnum má leysa margs konar verkefni þar sem þrjú af fjórum gildum eru þekkt.

5.5 Gröf línulegra jafna og ójafna

Línulegar jöfnur má sýna myndrænt í rétthyrndu hnitakerfi.
Að leysa línulegt jöfnuhneppi með tveimur breytum felst í að finna hvar línurnar tvær skerast. Þrír möguleikar koma til greina: línurnar skerast í nákvæmlega einum punkti, þær skerast ekki og eru samsíða eða þær falla saman og hafa alla punkta sameiginlega.
Að leysa línulegt ójöfnuhneppi með tveimur breytum felst í að finna lausnasvæðið. Sérhver punktur á því gerir allar ójöfnur hneppisins sannar.
Venjuleg leið til að teikna gröf línulegra jafna og ójafna er að merkja punkta í hnitakerfi.

5.6 Annars stigs jöfnur með einni breytu og hagnýting þeirra

Annars stigs jafna með einni breytu er jafna þar sem hæsta veldi breytunnar er tvö eftir að allir liðir hafa verið færðir öðrum megin og samkynja liðir teknir saman.
Að leysa annars stigs jöfnu felst í að finna þau gildi breytunnar sem gera báðar hliðar jöfnunnar jafnar. Ef önnur hliðin er núll eiga gildin að gera hina hliðina jafna núlli.
Annars stigs jafna getur haft tvær raunlausnir, eina raunlausn eða enga raunlausn.
Annars stigs jöfnu má meðal annars leysa með þáttun, grafi, kvaðratrótaraðferð eða lausnarformúlu annars stigs jafna.

5.7 Föll

Vensl eru mengi raðaðra para $(x, y)$ . Öll $x$ -gildi mengisins mynda skilgreiningarmengið og öll $y$ -gildin myndmengið.
Vensl eru fall ef sérhvert $x$ -gildi í skilgreiningarmenginu samsvarar nákvæmlega einu gildi í myndmenginu. Sama $y$ -gildi getur samsvarað fleiri en einu $x$ -gildi en sérhvert $x$ -gildi samsvarar aðeins einu $y$ -gildi.
Í rithættinum $y = f (x)$ er f heiti fallsins, $x$ inntaksbreytan og $y = f (x)$ úttaksgildið.
Með lóðrétta línuprófinu má kanna á grafi vensla hvort þau séu fall.

5.8 Gröf falla

Sérhvert línulegt fall má sýna með einni ákveðinni línu sem inniheldur allar lausnir jöfnunnar.
Punktarnir þar sem lína sker $x$ -ásinn og $y$ -ásinn kallast skurðpunktar línunnar við ásana.
Lína sem er hvorki lárétt né lóðrétt hefur einn skurðpunkt við $x$ -ásinn og einn við $y$ -ásinn. Lóðrétt lína sem er ekki sjálfur $y$ -ásinn sker hann ekki og lárétt lína sem er ekki sjálfur $x$ -ásinn sker hann ekki. Lína sem fellur saman við ás á alla punkta hans sameiginlega. Lóðrétt lína er ekki graf falls en lárétt lína er það.
Tveir ólíkir punktar ákvarða beina línu. Því má teikna graf línulegs falls út frá skurðpunktum þess við ásana ef þeir eru tveir ólíkir punktar. Ef báðir eru upphafspunkturinn þarf annan punkt til viðbótar.
Hallatala línulegs falls er hlutfall lóðréttrar breytingar og láréttrar breytingar: $\frac{lóðrétt breyting}{lárétt breyting}$ . Breytingarnar eru teknar með formerki sínu.
Hallatölu línulegs falls má finna með formúlunni $\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}},$ fyrir tvo ólíka punkta á grafinu, $(x_{1}, y_{1})$ og $(x_{2}, y_{2})$ . Lárétta breytingin í nefnaranum má ekki vera núll.

5.9 Línuleg jöfnuhneppi með tveimur breytum

Að leysa línulegt jöfnuhneppi felst í að finna punktinn eða punktana sem línurnar tvær eiga sameiginlega.
Tvær línur geta skerst í einum punkti, verið samsíða án sameiginlegra punkta eða fallið saman og átt alla punkta sameiginlega.
Línulegt jöfnuhneppi má leysa með grafi, innsetningu eða eyðingaraðferð.

5.10 Línuleg ójöfnuhneppi með tveimur breytum

Að leysa línulegt ójöfnuhneppi felst í að finna alla punkta sem uppfylla allar ójöfnur hneppisins. Þeir mynda lausnamengið, sem getur verið tómt.
Línulegt ójöfnuhneppi má leysa með því að teikna jaðarlínur ójafnanna og prófa síðan punkta til að ákvarða hvort hnit þeirra uppfylli ójöfnurnar.

5.11 Línuleg bestun

Línuleg bestun er stærðfræðileg aðferð til að finna hámark eða lágmark línulegs falls að gefnum línulegum skorðum.
Í línulegri bestun er markfall línulegt fall sem lýsir stærðinni sem á að hámarka eða lágmarka. Í þessum kafla er einkum fjallað um markföll af tveimur breytum.
Í línulegri bestun er skorða skilyrði sem takmarkar leyfileg gildi breytna og þar með möguleg gildi markfallsins.
Með því að setja fram markfall og línulegar skorður má mynda stærðfræðilegt líkan og leysa bestunarverkefnið.

55 Algebra

Lykilatriði

5.1 Algebrustæður

Algebra hjálpar okkur að skilja raunverulegar aðstæður með því að lýsa þeim með algebrustæðum.
Algebrustæður eru grunnþættir algebru og úr þeim má mynda algebrujöfnur.
Algebrustæður eru oft einfaldaðar og gildi þeirra reiknuð með reikniaðgerðunum fjórum.

5.2 Línulegar jöfnur með einni breytu og hagnýting þeirra

Að leysa línulega jöfnu felst í að finna öll gildi breytunnar sem uppfylla jöfnuna.
Línuleg jafna hefur oftast eina lausn en getur einnig haft enga lausn eða óendanlega margar lausnir.

5.3 Línulegar ójöfnur með einni breytu og hagnýting þeirra

Ójöfnur má nota þegar mörg möguleg gildi koma til greina eða þegar nákvæmt gildi er óþekkt en vitað er að það liggur á tilteknu bili.
Lausnamengi línulegrar ójöfnu með einni breytu má sýna á talnalínu eða með biltáknun.

5.4 Hlutföll og hlutfallajöfnur

Hlutfall er samanburður tveggja talna. Hlutfall talnanna $a$ og $b$ má rita $a$ á móti $b$ , $a$ : $b$ eða sem brotið $a$ / $b$ , að því gefnu að seinni talan sé ekki núll.
Hlutföll geta borið saman hluta við hluta, hluta við heild eða heild við hluta. Hlutfall tveggja talna má rita sem brot ef nefnarinn er ekki núll. Brot geta því lýst fleiri tegundum samanburðar en eingöngu hluta af heild.
Þegar tvö hlutföll eru jöfn má setja þau fram í hlutfallajöfnu.
Með hlutfallajöfnum má leysa margs konar verkefni þar sem þrjú af fjórum gildum eru þekkt.

5.5 Gröf línulegra jafna og ójafna

Línulegar jöfnur má sýna myndrænt í rétthyrndu hnitakerfi.
Að leysa línulegt jöfnuhneppi með tveimur breytum felst í að finna hvar línurnar tvær skerast. Þrír möguleikar koma til greina: línurnar skerast í nákvæmlega einum punkti, þær skerast ekki og eru samsíða eða þær falla saman og hafa alla punkta sameiginlega.
Að leysa línulegt ójöfnuhneppi með tveimur breytum felst í að finna lausnasvæðið. Sérhver punktur á því gerir allar ójöfnur hneppisins sannar.
Venjuleg leið til að teikna gröf línulegra jafna og ójafna er að merkja punkta í hnitakerfi.

5.6 Annars stigs jöfnur með einni breytu og hagnýting þeirra

Annars stigs jafna með einni breytu er jafna þar sem hæsta veldi breytunnar er tvö eftir að allir liðir hafa verið færðir öðrum megin og samkynja liðir teknir saman.
Að leysa annars stigs jöfnu felst í að finna þau gildi breytunnar sem gera báðar hliðar jöfnunnar jafnar. Ef önnur hliðin er núll eiga gildin að gera hina hliðina jafna núlli.
Annars stigs jafna getur haft tvær raunlausnir, eina raunlausn eða enga raunlausn.
Annars stigs jöfnu má meðal annars leysa með þáttun, grafi, kvaðratrótaraðferð eða lausnarformúlu annars stigs jafna.

5.7 Föll

Vensl eru mengi raðaðra para $(x, y)$ . Öll $x$ -gildi mengisins mynda skilgreiningarmengið og öll $y$ -gildin myndmengið.
Vensl eru fall ef sérhvert $x$ -gildi í skilgreiningarmenginu samsvarar nákvæmlega einu gildi í myndmenginu. Sama $y$ -gildi getur samsvarað fleiri en einu $x$ -gildi en sérhvert $x$ -gildi samsvarar aðeins einu $y$ -gildi.
Í rithættinum $y = f (x)$ er f heiti fallsins, $x$ inntaksbreytan og $y = f (x)$ úttaksgildið.
Með lóðrétta línuprófinu má kanna á grafi vensla hvort þau séu fall.

5.8 Gröf falla

Sérhvert línulegt fall má sýna með einni ákveðinni línu sem inniheldur allar lausnir jöfnunnar.
Punktarnir þar sem lína sker $x$ -ásinn og $y$ -ásinn kallast skurðpunktar línunnar við ásana.
Lína sem er hvorki lárétt né lóðrétt hefur einn skurðpunkt við $x$ -ásinn og einn við $y$ -ásinn. Lóðrétt lína sem er ekki sjálfur $y$ -ásinn sker hann ekki og lárétt lína sem er ekki sjálfur $x$ -ásinn sker hann ekki. Lína sem fellur saman við ás á alla punkta hans sameiginlega. Lóðrétt lína er ekki graf falls en lárétt lína er það.
Tveir ólíkir punktar ákvarða beina línu. Því má teikna graf línulegs falls út frá skurðpunktum þess við ásana ef þeir eru tveir ólíkir punktar. Ef báðir eru upphafspunkturinn þarf annan punkt til viðbótar.
Hallatala línulegs falls er hlutfall lóðréttrar breytingar og láréttrar breytingar: $\frac{lóðrétt breyting}{lárétt breyting}$ . Breytingarnar eru teknar með formerki sínu.
Hallatölu línulegs falls má finna með formúlunni $\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}},$ fyrir tvo ólíka punkta á grafinu, $(x_{1}, y_{1})$ og $(x_{2}, y_{2})$ . Lárétta breytingin í nefnaranum má ekki vera núll.

5.9 Línuleg jöfnuhneppi með tveimur breytum

Að leysa línulegt jöfnuhneppi felst í að finna punktinn eða punktana sem línurnar tvær eiga sameiginlega.
Tvær línur geta skerst í einum punkti, verið samsíða án sameiginlegra punkta eða fallið saman og átt alla punkta sameiginlega.
Línulegt jöfnuhneppi má leysa með grafi, innsetningu eða eyðingaraðferð.

5.10 Línuleg ójöfnuhneppi með tveimur breytum

Að leysa línulegt ójöfnuhneppi felst í að finna alla punkta sem uppfylla allar ójöfnur hneppisins. Þeir mynda lausnamengið, sem getur verið tómt.
Línulegt ójöfnuhneppi má leysa með því að teikna jaðarlínur ójafnanna og prófa síðan punkta til að ákvarða hvort hnit þeirra uppfylli ójöfnurnar.

5.11 Línuleg bestun

Línuleg bestun er stærðfræðileg aðferð til að finna hámark eða lágmark línulegs falls að gefnum línulegum skorðum.
Í línulegri bestun er markfall línulegt fall sem lýsir stærðinni sem á að hámarka eða lágmarka. Í þessum kafla er einkum fjallað um markföll af tveimur breytum.
Í línulegri bestun er skorða skilyrði sem takmarkar leyfileg gildi breytna og þar með möguleg gildi markfallsins.
Með því að setja fram markfall og línulegar skorður má mynda stærðfræðilegt líkan og leysa bestunarverkefnið.