55 Línuleg jöfnuhneppi

5.3 Leysið jöfnuhneppi með eyðingaraðferð

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

Leyst jöfnuhneppi með eyðingaraðferð
Leyst hagnýt verkefni um jöfnuhneppi með eyðingaraðferð
Valið hentugustu aðferðina til að leysa línulegt jöfnuhneppi

Við höfum leyst línuleg jöfnuhneppi með grafískri aðferð og innsetningaraðferð. Grafísk aðferð hentar vel þegar stuðlar breytanna eru litlir og lausnin hefur heiltölugildi. Innsetningaraðferð hentar vel þegar auðvelt er að leysa aðra jöfnuna fyrir aðra breytuna og stæðan sem fæst inniheldur ekki mörg brot.

Þriðja aðferðin til að leysa línuleg jöfnuhneppi kallast eyðingaraðferð. Þegar við leystum hneppi með innsetningaraðferð byrjuðum við með tvær jöfnur og tvær breytur og breyttum hneppinu í eina jöfnu með einni breytu. Við gerum það sama með eyðingaraðferðinni en förum aðra leið að því.

Leysið jöfnuhneppi með eyðingaraðferð

Eyðingaraðferðin byggist á samlagningarreglu jafnaðar. Reglan segir að jafngildið haldist þegar sama stærð er lögð við báðar hliðar jöfnu. Við víkkum regluna þannig að þegar jafnar stærðir eru lagðar við hvora hlið jöfnu verða útkomurnar jafnar.

Fyrir hvaða stæður a, b, c, og d, sem er,

\begin{matrix} ef & a & = & b \\ og & c & = & d \\ þá & a + c & = & b + d \end{matrix}

Til að leysa jöfnuhneppi með eyðingaraðferð byrjum við á að rita báðar jöfnurnar á staðalformi. Síðan ákveðum við hvorri breytunni er auðveldast að eyða. Hvernig veljum við? Við viljum að stuðlar annarrar breytunnar séu samlagningarandhverfur svo við getum lagt jöfnurnar saman og eytt breytunni.

Takið eftir hvað gerist þegar við leggjum þessar tvær jöfnur saman:

\begin{matrix} 3 x + y = 5 \\ \underset{_________}{2 x - y = 0} \\ 5 x = 5 \end{matrix}

y-liðirnir leggjast saman í núll og eftir stendur ein jafna með einni breytu.

Prófum annað dæmi:

{\begin{matrix} x + 4 y = 2 \\ 2 x + 5 y = −2 \end{matrix}

Í þetta sinn sjáum við enga breytu sem eyðist samstundis þegar jöfnurnar eru lagðar saman.

Ef við margföldum fyrri jöfnuna með −2 verða stuðlar x samlagningarandhverfur. Við verðum að margfalda hvern lið beggja hliða jöfnunnar með −2.

Myndin sýnir tvær jöfnur. Fyrri jafnan sýnir mínus 2 sinnum stæðuna x plús 4y jafnt og mínus 2 sinnum 2. Seinni jafnan sýnir 2x + 5y = mínus 2. Síðan eru sýndar tvær nýjar jöfnur. Sú fyrri er mínus 2x mínus 8y = mínus 4. Sú seinni er 2x + 5y = mínus mínus 2.

Nú sjáum við að stuðlar x-liðanna eru samlagningarandhverfur og því eyðist x þegar jöfnurnar tvær eru lagðar saman.

Leggið jöfnurnar sjálf saman. Útkoman ætti að vera −3y = −6. Það er auðvelt að leysa þá jöfnu, ekki satt? Svona lítur reikningurinn út.

Myndin sýnir tvær jöfnur lagðar saman. Sú fyrri er mínus 2x – 8y = −4 og sú seinni 2x plús 5y = mínus 2. Útkoman er mínus 3y = mínus 6.

Tökum eitt dæmi enn:

{\begin{matrix} 4 x - 3 y = 10 \\ 3 x + 5 y = −7 \end{matrix}

Ekki virðist hægt að gera stuðla annarrar breytunnar að samlagningarandhverfum með því að margfalda aðeins aðra jöfnuna með föstum stuðli nema við notum brot. Þess í stað þurfum við að margfalda báðar jöfnurnar með föstum stuðli.

Við getum gert stuðla x að samlagningarandhverfum með því að margfalda fyrri jöfnuna með 3 og þá seinni með −4. Þá fáum við 12x og −12x.

Þetta gefur okkur þessar tvær nýju jöfnur:

{\begin{matrix} 12 x - 9 y = 30 \\ −12 x - 20 y = 28 \end{matrix}

Þegar við leggjum þessar jöfnur saman

\begin{matrix} {\begin{matrix} 12 x - 9 y = 30 \\ \underset{_____________}{−12 x - 20 y = 28} \end{matrix} \\ - 29 y = 58 \end{matrix}

eyðast x-liðirnir og eftir stendur −29y = 58.

Þegar við höfum fengið jöfnu með aðeins einni breytu leysum við hana. Síðan setjum við gildið inn í aðra upphaflegu jöfnuna og leysum fyrir breytuna sem eftir er. Eins og ávallt sannreynum við að svarið sé lausn beggja upphaflegu jafnanna.

Nú sjáum við hvernig nota má eyðingu til að leysa sama jöfnuhneppi og við leystum með grafískri aðferð og innsetningu.

Dæmi 5.25

Að leysa jöfnuhneppi með eyðingaraðferð

Leysið hneppið með eyðingu. ${\begin{matrix} 2 x + y = 7 \\ x - 2 y = 6 \end{matrix}$

Lausn

Myndin hefur sjö raðir og þrjá dálka. Í fyrstu röð stendur: „Skref 1. Ritið báðar jöfnurnar á staðalformi. Ef einhverjir stuðlar eru brot skuluð þið losa jöfnurnar við brotastuðlana.“ Einnig stendur: „Báðar jöfnurnar eru á staðalforminu A x + B y = C. Engin brot eru til staðar.“ Jöfnurnar tvær eru 2x + y = 7 og x – 2y = 6.

Í annarri röð stendur: „Skref 2. Gerið stuðla annarrar breytunnar að samlagningarandhverfum. Ákveðið hvorri breytunni þið ætlið að eyða. Margfaldið aðra eða báðar jöfnurnar þannig að stuðlar breytunnar verði samlagningarandhverfur.“ Einnig stendur: „Við getum eytt y-liðunum með því að margfalda fyrri jöfnuna með 2. Margfaldið báðar hliðar 2x + y = 7 með 2.“ Reikniskrefin eru einnig sýnd. Fyrst eru jöfnurnar ex + y = 7 og x – 2y = 6. Þær verða að 2(2x + y) = 2 sinnum 7 og x – 2y = 6. Að lokum verða þær 4x + 2y = 14 og x – 2y = 6.

Í þriðju röð stendur: „Skref 3. Leggið saman jöfnurnar sem fengust í skrefi 2 til að eyða annarri breytunni.“ Einnig stendur: „Við leggjum saman x-liðina, y-liðina og föstu liðina.“ Jafnan sem fæst er 5x = 20.

Í fjórðu röð stendur: „Skref 4. Leysið fyrir breytuna sem eftir er.“ Einnig stendur: „Leysið fyrir x.“ Jafnan er x = 4.

Í fimmtu röð stendur: „Skref 5. Setjið lausnina úr skrefi 4 inn í aðra upphaflegu jöfnuna. Leysið síðan fyrir hina breytuna.“ Einnig stendur: „Setjið x = 4 inn í seinni jöfnuna, x – 2y = 6. Leysið síðan fyrir y.“ Þá eru jöfnurnar x – 2y = 6, sem verður að 4 – 2y = 6. Það verður síðan −2y = 2 og því y = −1.

Í sjöttu röð stendur: „Skref 6. Ritið lausnina sem raðaða tvennd.“ Einnig stendur: „Ritið hana sem (x, y).“ Raðaða tvenndin er (4, −1).

Í sjöundu röð stendur: „Skref 7. Athugið að raðaða tvenndin sé lausn beggja upphaflegu jafnanna.“ Einnig stendur: „Setjið (4, −1) inn í 2x + y = 7 og x – 2y = 6. Gera gildin báðar jöfnurnar sannar? Já.“ Síðan eru jöfnurnar sýndar. 2x + y = 7 verður að 2 sinnum 4 + −1 = 7, sem er 7 = 7. Jafnan x – 2y = 6 verður að 4 – 2 sinnum −1 = 6, sem er 6 = 6. Loks stendur: „Lausnin er (4, −1).“

Skrefin eru skráð hér fyrir neðan til hægðarauka.

Fyrst tökum við dæmi þar sem hægt er að eyða annarri breytunni strax.

Dæmi 5.26

Leysið hneppið með eyðingu. ${\begin{matrix} x + y = 10 \\ x - y = 12 \end{matrix}$

Lausn


Báðar jöfnurnar eru á staðalformi.
Stuðlar y eru þegar samlagningarandhverfur.
Leggið jöfnurnar tvær saman til að eyða y. Jafnan sem fæst hefur aðeins 1 breytu, x.
Leysið fyrir x, breytuna sem eftir er. Setjið x = 11 inn í aðra upphaflegu jöfnuna.

Leysið fyrir hina breytuna, y.
Ritið lausnina sem raðaða tvennd.	Raðaða tvenndin er (11, −1).
Athugið að raðaða tvenndin sé lausn beggja upphaflegu jafnanna.x + y = 10 11 + ( − 1 ) = ? 10 10 = 10 ✓ x − y = 12 11 − ( − 1 ) = ? 12 12 = 12 ✓
	Lausnin er (11, −1).

Í dæmi 5.27, getum við gert stuðla annarrar breytunnar að samlagningarandhverfum með því að margfalda aðra jöfnuna með föstum stuðli.

Dæmi 5.27

Leysið hneppið með eyðingu. ${\begin{matrix} 3 x - 2 y = −2 \\ 5 x - 6 y = 10 \end{matrix}$

Lausn


Báðar jöfnurnar eru á staðalformi.
Engir stuðlanna eru samlagningarandhverfur.
Við getum gert stuðla y að samlagningarandhverfum með því að margfalda fyrri jöfnuna með −3.
Einfaldið.
Leggið jöfnurnar tvær saman til að eyða y.
Leysið fyrir breytuna sem eftir er, x. Setjið x = −4 inn í aðra upphaflegu jöfnuna.

Leysið fyrir y.
Ritið lausnina sem raðaða tvennd.	Raðaða tvenndin er (−4, −5).
Athugið að raðaða tvenndin sé lausn beggja upphaflegu jafnanna. 3 x − 2 y = − 2 3 ( − 4 ) − 2 ( − 5 ) = ? − 2 − 12 + 10 = ? − 2 − 2 y = − 2 ✓ 5 x − 6 y = 10 3 ( − 4 ) − 6 ( − 5 ) = ? 10 − 20 + 30 = ? 10 10 = 10 ✓
	Lausnin er (−4, −5).

Nú tökum við dæmi þar sem margfalda þarf báðar jöfnurnar með föstum stuðlum til að gera stuðla annarrar breytunnar að samlagningarandhverfum.

Dæmi 5.28

Leysið hneppið með eyðingu. ${\begin{matrix} 4 x - 3 y = 9 \\ 7 x + 2 y = −6 \end{matrix}$

Lausn

Í þessu dæmi getum við ekki fengið stuðla sem eru samlagningarandhverfur með því að margfalda aðeins aðra jöfnuna með föstum stuðli. Við veljum því fasta stuðla til að margfalda báðar jöfnurnar þannig að stuðlarnir verði samlagningarandhverfur.


Báðar jöfnurnar eru á staðalformi. Til að gera stuðla y að samlagningarandhverfum margföldum við fyrri jöfnuna með 2 og þá seinni með 3.
Einfaldið.
Leggið jöfnurnar tvær saman til að eyða y.
Leysið fyrir x. Setjið x = 0 inn í aðra upphaflegu jöfnuna.

Leysið fyrir y.

Ritið lausnina sem raðaða tvennd.	Raðaða tvenndin er (0, −3).
Athugið að raðaða tvenndin sé lausn beggja upphaflegu jafnanna.4 x − 3 y = 9 4 ( 0 ) − 3 ( − 3 ) = ? 9 9 = 9 ✓ 7 x + 2 y = − 6 7 ( 0 ) + 2 ( − 3 ) = ? − 6 − 6 = − 6 ✓
	Lausnin er (0, −3).

Hvaða aðra fasta stuðla hefðum við getað valið til að eyða annarri breytunni? Hefði lausnin orðið sú sama?

Þegar jöfnuhneppið inniheldur brot eyðum við þeim fyrst með því að margfalda hvora jöfnu með sínum minnsta samnefnara.

Dæmi 5.29

Leysið hneppið með eyðingu. ${\begin{matrix} x + \frac{1}{2} y = 6 \\ \frac{3}{2} x + \frac{2}{3} y = \frac{17}{2} \end{matrix}$

Lausn

Í þessu dæmi innihalda báðar jöfnurnar brot. Fyrsta skrefið er að margfalda hvora jöfnu með sínum minnsta samnefnara til að losa jöfnurnar við brotastuðlana.


Margfaldið hvora jöfnu með sínum minnsta samnefnara til að losa jöfnurnar við brotastuðlana.
Einfaldið.
Nú erum við tilbúin að eyða annarri breytunni. Takið eftir að báðar jöfnurnar eru á staðalformi.
Við getum eytt y með því að margfalda efri jöfnuna með −4.
Einfaldið og leggið saman. Setjið x = 3 inn í aðra upphaflegu jöfnuna.
Leysið fyrir y.


Ritið lausnina sem raðaða tvennd.	Raðaða tvenndin er (3, 6).
Athugið að raðaða tvenndin sé lausn beggja upphaflegu jafnanna.x + $\frac{1}{2}$ y = 6 3 + $\frac{1}{2}$ ( 6 ) = ? 6 3 + 3 = ? 6 6 = 6 ✓ $\frac{3}{2}$ x + $\frac{2}{3}$ y = $\frac{17}{2}$ $\frac{3}{2}$ ( 3 ) + $\frac{2}{3}$ ( 6 ) = ? $\frac{17}{2}$ $\frac{9}{2}$ + 4 = ? $\frac{17}{2}$ $\frac{9}{2}$ + $\frac{8}{2}$ = ? $\frac{17}{2}$ $\frac{17}{2}$ = $\frac{17}{2}$ ✓
	Lausnin er (3, 6).

Í kaflanum Leysa jöfnuhneppi með grafískri aðferð sáum við að ekki hafa öll línuleg jöfnuhneppi eina raðaða tvennd sem lausn. Þegar jöfnurnar tvær lýstu sömu línunni voru lausnirnar óendanlega margar. Við kölluðum slíkt hneppi samkvæmt. Þegar jöfnurnar lýstu samsíða línum var engin lausn. Við kölluðum slíkt hneppi ósamkvæmt.

Dæmi 5.30

Leysið hneppið með eyðingu. ${\begin{matrix} 3 x + 4 y = 12 \\ y = 3 - \frac{3}{4} x \end{matrix}$

Lausn

	{ 3 x + 4 y = 12 y = 3 − $\frac{3}{4}$ x
Ritið seinni jöfnuna á staðalformi.	{ 3 x + 4 y = 12 $\frac{3}{4}$ x + y = 3
Eyðið brotunum með því að margfalda seinni jöfnuna með 4.	{ 3 x + 4 y = 12 4 ( $\frac{3}{4}$ x + y ) = 4 ( 3 )
Einfaldið.	{ 3 x + 4 y = 12
Til að eyða breytu margföldum við seinni jöfnuna með −1. Einfaldið og leggið saman.	{ 3 x + 4 y = 12 − 3 x − 4 y = −12 ________________ 0 = 0

Þetta er sönn fullyrðing. Hneppið er samkvæmt en jöfnurnar háðar. Gröf þeirra falla saman og hneppið hefur óendanlega margar lausnir.

Tókuð þið eftir því að jöfnurnar tvær urðu eins þegar við höfðum losað seinni jöfnuna við brotastuðlana? Það merkir að línurnar falla saman.

Dæmi 5.31

Leysið hneppið með eyðingu. ${\begin{matrix} −6 x + 15 y = 10 \\ 2 x - 5 y = −5 \end{matrix}$

Lausn

Jöfnurnar eru á staðalformi.	{ − 6 x + 15 y = 10 2 x − 5 y = −5
Margfaldið seinni jöfnuna með 3 til að eyða breytu.	{ − 6 x + 15 y = 10 3 ( 2 x − 5 y ) = 3 ( −5 )
Einfaldið og leggið saman.	{ − 6 x + 15 y = 10 6 x − 15 y = −15 __________________ 0 ≠ −5

Þessi fullyrðing er ósönn. Hneppið er ósamkvæmt og því væru gröfin samsíða línur.

Hneppið hefur enga lausn.

Leysið hagnýt verkefni um jöfnuhneppi með eyðingaraðferð

Sum hagnýt verkefni má setja beint fram sem jöfnur á staðalformi og því leysum við þau með eyðingaraðferð. Eins og áður notum við verkefnalausnaraðferðina til að halda vinnunni markvissri og skipulagðri.

Dæmi 5.32

Summa tveggja talna er 39. Mismunur þeirra er 9. Finnið tölurnar.

Lausn

Skref 1. Lesið verkefnið.
Skref 2. Finnið hvað leitað er að.	Við leitum að tveimur tölum.
Skref 3. Nefnið það sem leitað er að. Veljið breytu sem táknar stærðina.	Látum n = tákna fyrri töluna og m = tákna seinni töluna.
Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnuhneppi. Jöfnuhneppið er:	Summa tveggja talna er 39. n + m = 39 Mismunur þeirra er 9. n − m = 9 { n + m = 39 n − m = 9
Skref 5. Leysið jöfnuhneppið. Notið eyðingu. Jöfnurnar eru á staðalformi og stuðlar m eru samlagningarandhverfur. Leggið saman. Leysið fyrir n. Setjið n = 24 inn í aðra upphaflegu jöfnuna og leysið fyrir m.	{ n + m = 39 n − m = 9 ____________ 2 n = 48 n = 24 n + m = 39 24 + m = 39 m = 15
Skref 6. Athugið svarið.	Þar sem 24 + 15 = 39 og 24 − 15 = 9, standast svörin sannprófun.
Skref 7. Svarið spurningunni.	Tölurnar eru 24 og 15.

Dæmi 5.33

Joe kemur við á hamborgarastað á hverjum degi á leið til vinnu. Á mánudegi fékk hann einn miðlungs skammt af frönskum kartöflum og tvo litla gosdrykki, samtals 620 hitaeiningar. Á þriðjudegi fékk hann tvo miðlungs skammta af frönskum kartöflum og einn lítinn gosdrykk, samtals 820 hitaeiningar. Hve margar hitaeiningar eru í einum miðlungs skammti af frönskum kartöflum? Hve margar eru í einum litlum gosdrykk?

Lausn

Skref 1. Lesið verkefnið.
Skref 2. Finnið hvað leitað er að.	Við leitum að fjölda hitaeininga í einum miðlungs skammti af frönskum kartöflum og í einum litlum gosdrykk.
Skref 3. Nefnið það sem leitað er að.	Látum f tákna fjölda hitaeininga í 1 miðlungs skammti af frönskum kartöflum og s tákna fjölda hitaeininga í 1 litlum gosdrykk.
Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnuhneppi:	einn miðlungs skammtur af frönskum kartöflum og tveir litlir gosdrykkir innihéldu samtals 620 hitaeiningar

	tveir miðlungs skammtar af frönskum kartöflum og einn lítill gosdrykkur innihéldu samtals 820 hitaeiningar.

Jöfnuhneppið er:
Skref 5. Leysið jöfnuhneppið. Til að leysa jöfnuhneppið skuluð þið nota eyðingu. Jöfnurnar eru á staðalformi. Til að gera stuðla f að samlagningarandhverfum, margfaldið efri jöfnuna með −2.
Einfaldið og leggið saman.
Leysið fyrir s.
Setjið s = 140 inn í aðra upphaflegu jöfnuna og leysið síðan fyrir f.



Skref 6. Athugið svarið.	Sannreynið að tölurnar séu skynsamlegar í samhengi dæmisins og að þær séu lausnir beggja jafna. Við látum ykkur eftir að gera það.
Skref 7. Svarið spurningunni.	Litli gosdrykkurinn inniheldur 140 hitaeiningar og frönsku kartöflurnar 340 hitaeiningar.

Veljið hentugustu aðferðina til að leysa línulegt jöfnuhneppi

Þegar þið þurfið að leysa línulegt jöfnuhneppi í seinna stærðfræðinámskeiði er yfirleitt ekki tekið fram hvaða aðferð á að nota. Þið þurfið sjálf að velja. Veljið því þá aðferð sem er auðveldust og dregur sem mest úr líkum á mistökum.

Taflan hefur tvær raðir og þrjá dálka. Dálkarnir eru merktir „Grafísk aðferð“, „Innsetningaraðferð“ og „Eyðingaraðferð“. Undir „Grafísk aðferð“ stendur: „Notið þegar þið þurfið myndræna framsetningu aðstæðnanna.“ Undir „Innsetningaraðferð“ stendur: „Notið þegar önnur jafnan er þegar leyst fyrir aðra breytuna.“ Undir „Eyðingaraðferð“ stendur: „Notið þegar jöfnurnar eru á staðalformi.“

Dæmi 5.34

Ákvarðið fyrir hvert línulegt jöfnuhneppi hvort hentugra sé að leysa það með innsetningaraðferð eða eyðingaraðferð. Rökstyðjið svarið.

ⓐ ${\begin{matrix} 3 x + 8 y = 40 \\ 7 x - 4 y = −32 \end{matrix}$ ⓑ ${\begin{matrix} 5 x + 6 y = 12 \\ y = \frac{2}{3} x - 1 \end{matrix}$

Lausn

ⓐ $\begin{matrix} {\begin{matrix} 3 x + 8 y = 40 \\ 7 x - 4 y = −32 \end{matrix} \end{matrix}$
Þar sem báðar jöfnurnar eru á staðalformi er hentugast að nota eyðingaraðferð.
ⓑ $\begin{matrix} {\begin{matrix} 5 x + 6 y = 12 \\ y = \frac{2}{3} x - 1 \end{matrix} \end{matrix}$

>Þar sem önnur jafnan er þegar leyst fyrir y er hentugast að nota innsetningaraðferð.

Verkefni úr hluta 5.3

Æfingin skapar meistarann

Leysið jöfnuhneppi með eyðingaraðferð

Leysið eftirfarandi jöfnuhneppi með eyðingaraðferð.

126.

${\begin{matrix} 5 x + 2 y = 2 \\ −3 x - y = 0 \end{matrix}$

127.

${\begin{matrix} −3 x + y = −9 \\ x - 2 y = −12 \end{matrix}$

128.

${\begin{matrix} 6 x - 5 y = −1 \\ 2 x + y = 13 \end{matrix}$

129.

${\begin{matrix} 3 x - y = −7 \\ 4 x + 2 y = −6 \end{matrix}$

130.

${\begin{matrix} x + y = −1 \\ x - y = −5 \end{matrix}$

131.

${\begin{matrix} x + y = −8 \\ x - y = −6 \end{matrix}$

132.

${\begin{matrix} 3 x - 2 y = 1 \\ - x + 2 y = 9 \end{matrix}$

133.

${\begin{matrix} −7 x + 6 y = −10 \\ x - 6 y = 22 \end{matrix}$

134.

${\begin{matrix} 3 x + 2 y = −3 \\ - x - 2 y = −19 \end{matrix}$

135.

${\begin{matrix} 5 x + 2 y = 1 \\ −5 x - 4 y = −7 \end{matrix}$

136.

${\begin{matrix} 6 x + 4 y = −4 \\ −6 x - 5 y = 8 \end{matrix}$

137.

${\begin{matrix} 3 x - 4 y = −11 \\ x - 2 y = −5 \end{matrix}$

138.

${\begin{matrix} 5 x - 7 y = 29 \\ x + 3 y = −3 \end{matrix}$

139.

${\begin{matrix} 6 x - 5 y = −75 \\ - x - 2 y = −13 \end{matrix}$

140.

${\begin{matrix} - x + 4 y = 8 \\ 3 x + 5 y = 10 \end{matrix}$

141.

${\begin{matrix} 2 x - 5 y = 7 \\ 3 x - y = 17 \end{matrix}$

142.

${\begin{matrix} 5 x - 3 y = −1 \\ 2 x - y = 2 \end{matrix}$

143.

${\begin{matrix} 7 x + y = −4 \\ 13 x + 3 y = 4 \end{matrix}$

144.

${\begin{matrix} −3 x + 5 y = −13 \\ 2 x + y = −26 \end{matrix}$

145.

${\begin{matrix} 3 x - 5 y = −9 \\ 5 x + 2 y = 16 \end{matrix}$

146.

${\begin{matrix} 4 x - 3 y = 3 \\ 2 x + 5 y = −31 \end{matrix}$

147.

${\begin{matrix} 4 x + 7 y = 14 \\ −2 x + 3 y = 32 \end{matrix}$

148.

${\begin{matrix} 5 x + 2 y = 21 \\ 7 x - 4 y = 9 \end{matrix}$

149.

${\begin{matrix} 3 x + 8 y = −3 \\ 2 x + 5 y = −3 \end{matrix}$

150.

${\begin{matrix} 11 x + 9 y = −5 \\ 7 x + 5 y = −1 \end{matrix}$

151.

${\begin{matrix} 3 x + 8 y = 67 \\ 5 x + 3 y = 60 \end{matrix}$

152.

${\begin{matrix} 2 x + 9 y = −4 \\ 3 x + 13 y = −7 \end{matrix}$

153.

${\begin{matrix} \frac{1}{3} x - y = −3 \\ x + \frac{5}{2} y = 2 \end{matrix}$

154.

${\begin{matrix} x + \frac{1}{2} y = \frac{3}{2} \\ \frac{1}{5} x - \frac{1}{5} y = 3 \end{matrix}$

155.

${\begin{matrix} x + \frac{1}{3} y = −1 \\ \frac{1}{2} x - \frac{1}{3} y = −2 \end{matrix}$

156.

${\begin{matrix} \frac{1}{3} x - y = −3 \\ \frac{2}{3} x + \frac{5}{2} y = 3 \end{matrix}$

157.

${\begin{matrix} 2 x + y = 3 \\ 6 x + 3 y = 9 \end{matrix}$

158.

${\begin{matrix} x - 4 y = −1 \\ −3 x + 12 y = 3 \end{matrix}$

159.

${\begin{matrix} −3 x - y = 8 \\ 6 x + 2 y = −16 \end{matrix}$

160.

${\begin{matrix} 4 x + 3 y = 2 \\ 20 x + 15 y = 10 \end{matrix}$

161.

${\begin{matrix} 3 x + 2 y = 6 \\ −6 x - 4 y = −12 \end{matrix}$

162.

${\begin{matrix} 5 x - 8 y = 12 \\ 10 x - 16 y = 20 \end{matrix}$

163.

${\begin{matrix} −11 x + 12 y = 60 \\ −22 x + 24 y = 90 \end{matrix}$

164.

${\begin{matrix} 7 x - 9 y = 16 \\ −21 x + 27 y = −24 \end{matrix}$

165.

${\begin{matrix} 5 x - 3 y = 15 \\ y = \frac{5}{3} x - 2 \end{matrix}$

166.

${\begin{matrix} 2 x + 4 y = 7 \\ y = - \frac{1}{2} x - 4 \end{matrix}$

Leysið hagnýt verkefni um jöfnuhneppi með eyðingaraðferð

Setjið eftirfarandi verkefni fram sem jöfnuhneppi og leysið þau.

167.

Summa tveggja talna er 65. Mismunur þeirra er 25. Finnið tölurnar.

168.

Summa tveggja talna er 37. Mismunur þeirra er 9. Finnið tölurnar.

169.

Summa tveggja talna er −27. Mismunur þeirra er −59. Finnið tölurnar.

170.

Summa tveggja talna er −45. Mismunur þeirra er −89. Finnið tölurnar.

171.

Andrea kaupir nýjar skyrtur og peysur. Hún getur keypt 3 skyrtur og 2 peysur fyrir $114 eða 2 skyrtur og 4 peysur fyrir $164. Hvað kostar skyrta? Hvað kostar peysa?

172.

Peter kaupir skrifstofuvörur. Hann getur keypt 3 pappírspakka og 4 heftara fyrir $40 eða 5 pappírspakka og 6 heftara fyrir $62. Hvað kostar pappírspakki? Hvað kostar heftari?

173.

Heildarmagn natríums í 2 pylsum og 3 bollum af kotasælu er 4720 mg. Heildarmagn natríums í 5 pylsum og 2 bollum af kotasælu er 6300 mg. Hve mikið natríum er í einni pylsu? Hve mikið er í einum bolla af kotasælu?

174.

Heildarfjöldi hitaeininga í 2 pylsum og 3 bollum af kotasælu er 960. Heildarfjöldi hitaeininga í 5 pylsum og 2 bollum af kotasælu er 1190. Hve margar hitaeiningar eru í einni pylsu? Hve margar eru í einum bolla af kotasælu?

Veljið hentugustu aðferðina til að leysa línulegt jöfnuhneppi

Ákvarðið í eftirfarandi verkefnum hvort hentugra sé að leysa jöfnuhneppið með innsetningaraðferð eða eyðingaraðferð.

175.

ⓐ ${\begin{matrix} 8 x - 15 y = −32 \\ 6 x + 3 y = −5 \end{matrix}$ ⓑ ${\begin{matrix} x = 4 y - 3 \\ 4 x - 2 y = −6 \end{matrix}$

176.

ⓐ ${\begin{matrix} y = 7 x - 5 \\ 3 x - 2 y = 16 \end{matrix}$ ⓑ ${\begin{matrix} 12 x - 5 y = −42 \\ 3 x + 7 y = −15 \end{matrix}$

177.

ⓐ ${\begin{matrix} y = 4 x + 9 \\ 5 x - 2 y = −21 \end{matrix}$ ⓑ ${\begin{matrix} 9 x - 4 y = 24 \\ 3 x + 5 y = −14 \end{matrix}$

178.

ⓐ ${\begin{matrix} 14 x - 15 y = −30 \\ 7 x + 2 y = 10 \end{matrix}$ ⓑ ${\begin{matrix} x = 9 y - 11 \\ 2 x - 7 y = −27 \end{matrix}$

Stærðfræði daglegs lífs

179.

Norris getur róið 3 mílur á móti straumi á 1 klukkustund, á sama tíma og það tekur hann að róa 5 mílur með straumi. Leysið hneppið. ${\begin{matrix} r - c = 3 \\ r + c = 5 \end{matrix}$

ⓐ Leysið fyrir $r$ , róðrarhraða hans í kyrru vatni.
ⓑ Leysið síðan fyrir $c$ , straumhraða árinnar.

180.

Josie vill búa til 10 pund af hnetu- og rúsínublöndu og vill að hún kosti samtals $54. Hnetur kosta $6 pundið og rúsínur $3 pundið. Leysið hneppið ${\begin{matrix} n + r = 10 \\ 6 n + 3 r = 54 \end{matrix}$ til að finna $n$ , fjölda punda af hnetum, og $r$ , fjölda punda af rúsínum sem hún á að nota.

Ritunarverkefni

181.

Leysið hneppið
${\begin{matrix} x + y = 10 \\ 5 x + 8 y = 56 \end{matrix}$

182.

Leysið hneppið
${\begin{matrix} x + y = −12 \\ y = 4 - \frac{1}{2} x \end{matrix}$

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hve vel þið hafið náð markmiðum þessa hluta.

Myndin sýnir töflu með fjórum röðum og fjórum dálkum. Dálkarnir eru merktir „Ég get…“, „Örugglega“, „Með nokkurri hjálp“ og „Nei – ég skil þetta ekki“. Aðeins dálkurinn „Ég get…“ hefur texta í reitunum fyrir neðan. Þar stendur: „leyst jöfnuhneppi með eyðingaraðferð“, „leyst hagnýt verkefni með jöfnuhneppum og eyðingaraðferð“ og „valið hentugustu aðferðina til að leysa línulegt jöfnuhneppi“.

ⓑ Hvað segir gátlistinn ykkur um tök ykkar á efni þessa hluta? Hvaða skref ætlið þið að taka til að bæta ykkur?