Leyst hagnýt verkefni um jöfnuhneppi með grafískri aðferð
Ákvarða hvort röðuð tvennd sé lausn jöfnuhneppis
Í kaflanum um lausn línulegra jafna og ójafna lærðum við að leysa línulegar jöfnur með einni breytu. Munið að lausn jöfnu er gildi breytunnar sem gerir jöfnuna sanna þegar það er sett inn í hana.
Nú vinnum við með línuleg jöfnuhneppi, sem samanstanda af tveimur eða fleiri línulegum jöfnum.
Hér einbeitum við okkur að hneppum tveggja línulegra jafna með tveimur óþekktum stærðum. Síðar kunnið þið að leysa stærri jöfnuhneppi.
Hér fyrir neðan er dæmi um hneppi tveggja línulegra jafna. Slaufusvigi sýnir að jöfnurnar tvær eru flokkaðar saman og mynda jöfnuhneppi.
Línuleg jafna með tveimur breytum, svo sem 2x + y = 7, hefur óendanlega margar lausnir. Graf hennar er lína. Munið að hver punktur á línunni er lausn jöfnunnar og hver lausn jöfnunnar er punktur á línunni.
Til að leysa hneppi tveggja línulegra jafna viljum við finna gildi breytanna sem eru lausnir beggja jafna. Með öðrum orðum leitum við að röðuðu tvenndunum (x, y) sem gera báðar jöfnurnar sannar. Þær kallast lausnir jöfnuhneppis.
Til að ákvarða hvort röðuð tvennd sé lausn hneppis tveggja jafna setjum við gildi breytanna inn í hvora jöfnu. Ef tvenndin gerir báðar jöfnurnar sannar er hún lausn hneppisins.
Skoðum eftirfarandi hneppi:
Er raðaða tvenndin lausn?
Raðaða tvenndin (2, −1) gerði báðar jöfnurnar sannar. Því er (2, −1) lausn hneppisins.
Prófum aðra raðaða tvennd. Er (3, 2) lausn?
Raðaða tvenndin (3, 2) gerði aðra jöfnuna sanna en hina ósanna. Þar sem hún er ekki lausn beggja jafna er hún ekki lausn hneppisins.
Dæmi 5.1
Ákvarðið hvort raðaða tvenndin sé lausn hneppisins:
ⓐⓑ
Lausn
ⓐ (−2, −1) gerir ekki báðar jöfnurnar sannar. (−2, −1) er ekki lausn. ⓑ (−4, −3) gerir báðar jöfnurnar sannar. (−4, −3) er lausn.
Leysa línulegt jöfnuhneppi með grafískri aðferð
Í þessum kafla notum við þrjár aðferðir til að leysa línulegt jöfnuhneppi. Fyrsta aðferðin er grafísk.
Graf línulegrar jöfnu er lína. Hver punktur á línunni er lausn jöfnunnar. Fyrir hneppi tveggja jafna teiknum við tvær línur. Þá sjáum við alla punkta sem eru lausnir hvorrar jöfnu. Með því að finna hvað línurnar eiga sameiginlegt finnum við lausn hneppisins.
Flestar línulegar jöfnur með einni breytu hafa eina lausn. Við sáum þó að sumar jöfnur, svonefndar mótsagnir, hafa enga lausn en í öðrum jöfnum, svonefndum samsemdum, eru allar tölur lausnir.
Á sama hátt koma þrjú tilvik til greina þegar við leysum hneppi tveggja línulegra jafna sem sýnt er með tveimur línum í sama fleti, eins og sjá má á mynd 5.2:
Í fyrsta dæminu um lausn línulegs jöfnuhneppis í þessum hluta og næstu tveimur hlutum leysum við sama hneppi tveggja línulegra jafna en notum ólíka aðferð í hverjum hluta. Þegar þið hafið séð þriðju aðferðina getið þið metið hver þeirra var hentugust fyrir þetta hneppi.
Dæmi 5.2
Hvernig leysa á línulegt jöfnuhneppi með grafískri aðferð
Leysið hneppið með grafískri aðferð:
Lausn
Skrefin til að leysa línulegt jöfnuhneppi með grafískri aðferð eru sýnd hér fyrir neðan.
Dæmi 5.3
Leysið hneppið með grafískri aðferð:
Lausn
Báðar jöfnurnar í hneppinu eru á hallatöluformi og því notum við hallatölur þeirra og skurðpunkta við y-ás til að teikna gröfin.
Finnið hallatölu og skurðpunkt við y-ás fyrir fyrri jöfnuna.
Finnið hallatölu og skurðpunkt við y-ás fyrir fyrri jöfnuna.
Teiknið línurnar tvær.
Finnið skurðpunktinn.
Línurnar skerast í (1, 3).
Athugið lausnina í báðum jöfnum.
y = 2 x + 1 3 = ? 2 · 1 + 1 3 = 3 ✓ y = 4 x − 1 3 = ? 4 · 1 − 1 3 = 3 ✓
Lausnin er (1, 3).
Báðar jöfnurnar í dæmi 5.3 voru gefnar á hallatöluformi og því var fljótlegt og auðvelt að teikna línurnar. Í næsta dæmi ritum við jöfnurnar fyrst á hallatöluformi.
Dæmi 5.4
Leysið hneppið með grafískri aðferð:
Lausn
Við leysum báðar jöfnurnar fyrir svo auðvelt sé að teikna þær með hallatölunum og skurðpunktunum við y-ás.
Leysið fyrri jöfnuna fyrir y. Finnið hallatölu og skurðpunkt við y-ás. Leysið seinni jöfnuna fyrir y. Finnið hallatölu og skurðpunkt við y-ás.
3 x + y = − 1 y = − 3 x − 1 m = − 3 b = − 1 2 x + y = 0 y = − 2 x m = − 2 b = 0
Í öllum línulegu jöfnuhneppunum hingað til hafa línurnar skorist og lausnin verið einn punktur. Í næstu tveimur dæmum skoðum við hneppi sem hefur enga lausn og hneppi sem hefur óendanlega margar lausnir.
Dæmi 5.7
Leysið hneppið með grafískri aðferð:
Lausn
Við notum hallatölu og skurðpunkt við y-ás til að teikna graf fyrri jöfnunnar.
Til að teikna graf seinni jöfnunnar notum við skurðpunkta við ása.
Teiknið gröf línanna.
Finnið skurðpunktinn.
Línurnar eru samsíða.
Þar sem enginn punktur liggur á báðum línunum er engin röðuð tvennd sem gerir báðar jöfnurnar sannar. Engin lausn er á þessu hneppi.
Dæmi 5.8
Leysið hneppið með grafískri aðferð:
Lausn
Finnið hallatölu og skurðpunkt við y-ás fyrir fyrri jöfnuna.
Finnið skurðpunkta seinni jöfnunnar við ásana.
Teiknið gröf línanna.
Finnið skurðpunktinn.
Línurnar falla saman!
Þar sem hver punktur á línunni gerir báðar jöfnurnar sannar eru óendanlega margar raðaðar tvenndir sem gera báðar jöfnurnar sannar.
Hneppið hefur óendanlega margar lausnir.
Ef þið ritið seinni jöfnuna í dæmi 5.8 á hallatöluformi sjáið þið ef til vill að jöfnurnar hafa sömu hallatölu og sama skurðpunkt við y-ás.
Þegar við teiknuðum seinni línuna í síðasta dæmi féll hún alveg ofan í þá fyrri. Slíkar línur kallast samanfallandi. Samanfallandi línur hafa sömu hallatölu og sama skurðpunkt við y-ás.
Ákvarðið fjölda lausna línulegs jöfnuhneppis
Stundum viljum við vita hve margar lausnir línulegt jöfnuhneppi hefur án þess að þurfa að finna lausnirnar sjálfar. Því er gagnlegt að geta ákvarðað fjöldann án þess að teikna gröf.
Við höfum séð að tvær línur í sama fleti hljóta annaðhvort að skerast eða vera samsíða. Jöfnuhneppin í dæmi 5.2 til dæmis 5.6 höfðu öll tvær línur sem skárust. Hvert hneppi hafði eina lausn.
Jöfnuhneppi með samsíða línur, eins og í dæmi 5.7, hefur enga lausn. Hvað gerðist í dæmi 5.8? Jöfnurnar tákna samanfallandi línur, og því hafði hneppið óendanlega margar lausnir.
Við tökum þessar niðurstöður saman á mynd 5.3 hér fyrir neðan:
Samsíða línur hafa sömu hallatölu en mismunandi skurðpunkta við y-ás. Ef við ritum báðar jöfnur línulegs jöfnuhneppis á hallatöluformi getum við því séð hve margar lausnir hneppið hefur án þess að teikna gröf. Skoðið hneppið sem við leystum í dæmi 5.7.
Línurnar tvær hafa sömu hallatölu en mismunandi skurðpunkta við y-ás. Þær eru samsíða.
Mynd 5.4 sýnir hvernig ákvarða má fjölda lausna línulegs jöfnuhneppis út frá hallatölum og skurðpunktum.
Skoðum aftur jöfnurnar í dæmi 5.7 sem gáfu okkur samsíða línur.
Þegar báðar línurnar voru á hallatöluformi fengum við:
Sjáið þið að ómögulegt er að ein og sama raðaða tvenndin sé lausn beggja þessara jafna?
Jöfnuhneppi af þessu tagi kallast ósamkvæmt jöfnuhneppi. Það hefur enga lausn.
Jöfnuhneppi sem hefur að minnsta kosti eina lausn kallast samkvæmt jöfnuhneppi.
Við flokkum einnig jöfnurnar í jöfnuhneppi sem óháðar eða háðar. Ef tvær jöfnur eru óháðar jöfnur, hefur hvor þeirra sitt eigið lausnamengi. Jöfnur lína sem skerast og samsíða lína eru óháðar.
Ef tvær jöfnur eru háðar eru allar lausnir annarrar jöfnunnar einnig lausnir hinnar. Þegar við teiknum gröf tveggja háðra jafna, fáum við samanfallandi línur.
Tökum þetta saman með því að skoða gröf hinna þriggja gerða jöfnuhneppa. Sjá mynd 5.5 og mynd 5.6.
Dæmi 5.9
Ákvarðið fjölda lausna án þess að teikna gröf og flokkið síðan jöfnuhneppið:
Lausn
Við berum saman hallatölur og skurðpunkta línanna tveggja.
{ y = 3 x − 1 6 x − 2 y = 12 .
Fyrri jafnan er þegar á hallatöluformi.
y = 3 x − 1
Ritið seinni jöfnuna á hallatöluformi.
6 x − 2 y = 12 −2 y = −6 x + 12 −2 y/−2 = −6 x + 12/−2 y = 3 x − 6
Finnið hallatölu og skurðpunkt hvorrar línu.
y = 3 x − 1 y = 3 x − 6 m = 3 m = 3 b = −1 b = −6
Þar sem hallatölurnar eru þær sömu en skurðpunktarnir við y-ás eru mismunandi eru línurnar samsíða.
Jöfnuhneppi þar sem gröf jafnanna eru samsíða línur hefur enga lausn og er ósamkvæmt og óháð.
Dæmi 5.10
Ákvarðið fjölda lausna án þess að teikna gröf og flokkið síðan jöfnuhneppið:
Lausn
Við berum saman hallatölu og skurðpunkta línanna tveggja.
{ 2 x + y = − 3 x − 5 y = 5
Ritið báðar jöfnurnar á hallatöluformi.
2 x + y = −3 y = −2 x-3
x − 5 y = 5 = 5 −5 y = − x + 5 −5 y/−5 = − x + 5/−5 y = x − 1
Finnið hallatölu og skurðpunkt hvorrar línu.
y = −2 x − 3 m = −2 b = −3
y = x − 1 m = b = −1
Þar sem hallatölurnar eru mismunandi skerast línurnar.
Jöfnuhneppi þar sem gröf jafnanna skerast hefur 1 lausn og er samkvæmt og óháð.
Dæmi 5.11
Ákvarðið fjölda lausna án þess að teikna gröf og flokkið síðan jöfnuhneppið.
Lausn
Við berum saman hallatölur og skurðpunkta línanna tveggja.
{ 3 x − 2 y = 4 y = x − 2
Ritið fyrri jöfnuna á hallatöluformi.
3 x − 2 y = 4 −2 y = −3 x + 4 −2 y/−2 = −3 x + 4/−2 y = x − 2
Seinni jafnan er þegar á hallatöluformi.
y = x − 2
Hallatölurnar eru þær sömu og línurnar hafa sama skurðpunkt við y-ás. Því eru þær samanfallandi.
Jöfnuhneppi þar sem gröf jafnanna eru samanfallandi línur hefur óendanlega margar lausnir og er samkvæmt og háð.
Leysið hagnýt verkefni um jöfnuhneppi með grafískri aðferð
Við notum sömu lausnarstefnu og í kaflanum um stærðfræðilíkön til að setja upp og leysa hagnýt verkefni með línulegum jöfnuhneppum. Hér aðlögum við stefnuna lítillega að jöfnuhneppum.
Í skrefi 5 notum við aðferðina sem kynnt var í þessum hluta. Við teiknum gröf jafnanna og finnum lausnina.
Dæmi 5.12
Sondra ætlar að búa til 10 kvart af drykk úr ávaxtasafa og sódavatni. Fjöldi kvarta af ávaxtasafa er 4 sinnum fjöldi kvarta af sódavatni. Hve mörg kvart af ávaxtasafa og hve mörg kvart af sódavatni þarf Sondra?
Lausn
Skref 1. Lesið verkefnið.
Skref 2. Finnið hvað leitað er að.
Við leitum að fjölda kvarta af ávaxtasafa og fjölda kvarta af sódavatni sem Sondra þarf.
Skref 3. Nefnið stærðirnar sem leitað er að. Veljið breytur sem tákna þær.
Látum tákna fjölda kvarta af ávaxtasafa og
tákna fjölda kvarta af sódavatni.
Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnuhneppi.
Nú höfum við jöfnuhneppið.
Skref 5. Leysið jöfnuhneppið með góðum algebruaðferðum.
Skurðpunkturinn (2, 8) er lausnin. Það merkir að Sondra þarf 2 kvart af sódavatni og 8 kvart af ávaxtasafa.
Skref 6. Athugið svarið í verkefninu og gangið úr skugga um að það sé skynsamlegt.
Er niðurstaðan skynsamleg í samhengi dæmisins?
Já, fjöldi kvarta af ávaxtasafa, 8, er 4 sinnum fjöldi kvarta af sódavatni, 2.
Já, 10 kvart af drykk eru samtals 8 kvart af ávaxtasafa og 2 kvart af sódavatni.
Skref 7. Svarið spurningunni með heilli setningu.
Sondra þarf 8 kvart af ávaxtasafa og 2 kvart af sódavatni.
Verkefni úr hluta 5.1
Æfingin skapar meistarann
Ákvarðið hvort röðuð tvennd sé lausn jöfnuhneppis. Ákvarðið í eftirfarandi verkefnum hvort gefnir punktar séu lausnir viðkomandi jöfnuhneppis.
1.
ⓐⓑ
2.
ⓐⓑ
3.
ⓐⓑ
4.
ⓐⓑ
5.
ⓐⓑ
6.
ⓐⓑ
7.
ⓐⓑ
8.
ⓐⓑ
Leysið línulegt jöfnuhneppi með grafískri aðferð Leysið eftirfarandi jöfnuhneppi með grafískri aðferð.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
Ákvarðið fjölda lausna línulegs jöfnuhneppis Ákvarðið fjölda lausna eftirfarandi jöfnuhneppa án þess að teikna gröf og flokkið síðan hneppin.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
Leysið hagnýt verkefni um jöfnuhneppi með grafískri aðferð Leysið eftirfarandi verkefni.
63.
Molly býr til vatn með jarðarberjabragði. Fyrir hverja únsu af jarðarberjasafa notar hún þrefalt fleiri únsur af vatni. Hve margar únsur af jarðarberjasafa og hve margar únsur af vatni þarf hún til að búa til 64 únsur af drykknum?
64.
Jamal býr til snakkblöndu sem inniheldur aðeins saltkringlur og hnetur. Fyrir hverja únsu af hnetum notar hann 2 únsur af saltkringlum. Hve margar únsur af saltkringlum og hve margar únsur af hnetum þarf hann til að búa til 45 únsur af snakkblöndu?
65.
Enrique býr til veislublöndu með rúsínum og hnetum. Fyrir hverja únsu af hnetum notar hann tvöfalt magn af rúsínum. Hve margar únsur af hnetum og hve margar únsur af rúsínum þarf hann til að búa til 24 únsur af blöndu?
66.
Owen býr til límonaði úr þykkni. Fjöldi kvarta af vatni sem hann þarf er 4 sinnum fjöldi kvarta af þykkni. Hve mörg kvart af vatni og hve mörg kvart af þykkni þarf Owen til að búa til 100 kvart af límonaði?
Stærðfræði daglegs lífs
67.
Leo skipuleggur vorblómagarðinn sinn. Hann vill gróðursetja túlípanalauka og páskaliljulauka. Fjöldi páskaliljulaukanna verður 6 sinnum fjöldi túlípanalaukanna. Ef hann vill gróðursetja 350 lauka, hve marga túlípanalauka á hann að gróðursetja og hve marga páskaliljulauka?
68.
Markaðsfyrirtæki kannar viðhorf 1.200 einstaklinga. Tvöfalt fleiri konur en karlar tóku þátt. Hve margir karlar og hve margar konur tóku þátt?
Ritunarverkefni
69.
Jöfnurnar tvær í línulegu jöfnuhneppi hafa sömu hallatölu. Lýsið mögulegum lausnum hneppisins.
70.
Jöfnurnar tvær í línulegu jöfnuhneppi hafa sömu skurðpunkta. Lýsið mögulegum lausnum hneppisins.
Sjálfsmat
Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hve vel þið hafið náð markmiðum þessa hluta.
Ef flest merkin ykkar voru við:
… af öryggi. Til hamingju! Þið hafið náð markmiðum þessa hluta. Íhugið hvaða námsaðferðir þið notuðuð svo þið getið haldið áfram að beita þeim. Hvað gerðuð þið til að öðlast öryggi í þessum viðfangsefnum? Nefnið tiltekin atriði.
… með smá aðstoð. Bregðast þarf fljótt við, því óleyst viðfangsefni geta orðið hindranir á leiðinni að árangri. Í stærðfræði byggir hvert viðfangsefni á fyrri vinnu. Mikilvægt er að tryggja traustan grunn áður en haldið er áfram. Hvern getið þið beðið um aðstoð? Samnemendur og kennarinn eru góðir aðilar til að leita til. Er aðstaða í skólanum þar sem stærðfræðileiðbeinendur eru tiltækir? Getið þið bætt námsaðferðir ykkar?
…nei – ég skil þetta ekki! Þetta er viðvörunarmerki sem þið megið ekki hunsa. Leitið strax hjálpar, annars getur efnið fljótt orðið yfirþyrmandi. Ræðið stöðuna við kennarann eins fljótt og þið getið. Saman getið þið gert áætlun um þá aðstoð sem þið þurfið.
