44 Gröf

4.3 Teiknið graf með skurðpunktum við ása

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

Greint skurðpunkta við x- og y-ás á grafi
Fundið skurðpunkta við x- og y-ás út frá jöfnu línu
Teiknað graf línu með skurðpunktum við ása

Greinið skurðpunkta við x- og y-ás á grafi

Sérhverja línulega jöfnu má tákna með einni ákveðinni línu sem sýnir allar lausnir jöfnunnar. Við höfum séð að þegar graf línu er teiknað með því að merkja punkta má nota hvaða þrjár lausnir sem er. Tveir einstaklingar sem teikna sömu línu gætu því notað mismunandi þrenndir punkta.

Við fyrstu sýn virðast línurnar tvær ef til vill ekki vera eins, því mismunandi punktar eru merktir á þær. Ef öll vinna er rétt unnin eiga línurnar þó að vera nákvæmlega eins. Til að ganga úr skugga um að um sömu línu sé að ræða má skoða hvar hún sker x-ásinn og y-ásinn. Þessir punktar kallast skurðpunktar línunnar við ásana.

Skoðum gröf línanna á mynd 4.18.

Fjórar myndir sýna hver sína beinu línu í xy-hnitaplani. x-ásar hnitaplananna ná frá mínus 7 til 7 og y-ásarnir frá mínus 7 til 7. Mynd a sýnir beina línu sem sker x-ásinn í punktinum (3, 0) og y-ásinn í punktinum (0, 6). Grafið er merkt með jöfnunni 2x plús y er jafnt 6. Mynd b sýnir beina línu sem sker x-ásinn í punktinum (4, 0) og y-ásinn í punktinum (0, mínus 3). Grafið er merkt með jöfnunni 3x mínus 4y er jafnt 12. Mynd c sýnir beina línu sem sker x-ásinn í punktinum (5, 0) og y-ásinn í punktinum (0, mínus 5). Grafið er merkt með jöfnunni x mínus y er jafnt 5. Mynd d sýnir beina línu sem sker bæði x-ásinn og y-ásinn í punktinum (0, 0). Grafið er merkt með jöfnunni y er jafnt mínus 2x. — **Mynd 4.18.** Dæmi um gröf sem skera x-ásinn.

Takið fyrst eftir hvar hver lína sker $x$ -ásinn. Sjá mynd 4.18.

Mynd	Línan sker x-ásinn í:	Röðuð tvennd punktsins
Mynd (a)	3	( 3 , 0 )
Mynd (b)	4	( 4 , 0 )
Mynd (c)	5	( 5 , 0 )
Mynd (d)	0	( 0 , 0 )

Sjáið þið eitthvert mynstur?

Í hverri röð er y-hnit punktsins þar sem línan sker x-ásinn núll. Punkturinn þar sem línan sker x-ásinn er á forminu $(a, 0)$ og kallast skurðpunktur línunnar við x-ás. Skurðpunkturinn við x-ás fæst þegar $y$ er núll.

Skoðum nú punktana þar sem línurnar skera y-ásinn. Sjá töflu 4.25.

Mynd	Línan sker y-ásinn í:	Röðuð tvennd punktsins
Mynd (a)	6	( 0 , 6 )
Mynd (b)	−3	( 0 , −3 )
Mynd (c)	−5	( 0 , −5 )
Mynd (d)	0	( 0 , 0 )

Hvert er mynstrið hér?

Í hverri röð er x-hnit punktsins þar sem línan sker y-ásinn núll. Punkturinn þar sem línan sker y-ásinn er á forminu $(0, b)$ og kallast skurðpunktur línunnar við y-ás. Skurðpunkturinn við y-ás fæst þegar $x$ er núll.

Dæmi 4.19

Finnið skurðpunktana við x- og y-ás á hverju grafi.

Þrjár myndir sýna hver sína beinu línu í xy-hnitaplani. x-ásar hnitaplananna ná frá mínus 7 til 7 og y-ásarnir frá mínus 7 til 7. Mynd a sýnir beina línu í gegnum punktana (mínus 6, 5), (mínus 4, 4), (mínus 2, 3), (0, 2), (2, 1), (4, 0) og (6, mínus 1). Mynd b sýnir beina línu í gegnum punktana (0, mínus 6), (1, mínus 3), (2, 0), (3, 3) og (4, 6). Mynd c sýnir beina línu í gegnum punktana (mínus 6, 1), (mínus 5, 0), (mínus 4, mínus 1), (mínus 3, mínus 2), (mínus 2, mínus 3), (mínus 1, mínus 4), (0, mínus 5) og (1, mínus 6).

Lausn

ⓐ Grafið sker x-ásinn í punktinum $(4, 0)$ . Skurðpunkturinn við x-ás er $(4, 0)$ .
Grafið sker y-ásinn í punktinum $(0, 2)$ . Skurðpunkturinn við y-ás er $(0, 2)$ .
ⓑ Grafið sker x-ásinn í punktinum $(2, 0)$ . Skurðpunkturinn við x-ás er $(2, 0)$
. Grafið sker y-ásinn í punktinum $(0, −6)$ . Skurðpunkturinn við y-ás er $(0, −6)$ .
ⓒ Grafið sker x-ásinn í punktinum $(−5, 0)$ . Skurðpunkturinn við x-ás er $(−5, 0)$ .
Grafið sker y-ásinn í punktinum $(0, −5)$ . Skurðpunkturinn við y-ás er $(0, −5)$ .

Finnið skurðpunktana við x- og y-ás út frá jöfnu línu

Þar sem skurðpunkturinn við x-ás fæst þegar y er núll og skurðpunkturinn við y-ás fæst þegar x er núll getum við fundið skurðpunkta línu við ása út frá jöfnu hennar. Til að finna skurðpunktinn við x-ás látum við $y = 0$ og leysum með tilliti til x. Til að finna skurðpunktinn við y-ás, látum við $x = 0$ og leysum með tilliti til y.

Dæmi 4.20

Finnið skurðpunkta línunnar $2 x + y = 6$ .

Lausn

Við látum $y = 0$ til að finna skurðpunktinn við x-ás og $x = 0$ til að finna skurðpunktinn við y-ás. Við fyllum út töfluna sem minnir okkur á hvað þarf að finna.

Myndin sýnir töflu með fjórum röðum og tveimur dálkum. Fyrsta röðin er titill og merkir töfluna með jöfnunni 2 x plús y er jafnt 6. Önnur röðin er hauslína með heitum dálkanna. Fyrri dálkurinn heitir „x“ og sá síðari „y“. Þriðja röðin er merkt „skurðpunktur við x-ás“; fyrri reitur hennar er auður og í þeim síðari stendur 0. Fjórða röðin er merkt „skurðpunktur við y-ás“; í fyrri reit hennar stendur 0 og sá síðari er auður.

Til að finna skurðpunktinn við x-ás látum við $y = 0$ .


Látum y = 0.
Einfaldið.

Skurðpunkturinn við x-ás er	(3, 0)
Til að finna skurðpunktinn við y-ás látum við x = 0.

Látum x = 0.
Einfaldið.

Skurðpunkturinn við y-ás er	(0, 6)

Skurðpunktarnir eru $(3, 0)$ og $(0, 6)$ , eins og sýnt er í töflu 4.26.

2 x + y = 6
x	y
3	0
0	6

Dæmi 4.21

Finnið skurðpunkta línunnar $4 x - 3 y = 12$ .

Lausn

Til að finna skurðpunktinn við x-ás látum við y = 0.

Látum y = 0.
Einfaldið.


Skurðpunkturinn við x-ás er	(3, 0)
Til að finna skurðpunktinn við y-ás látum við x = 0.

Látum x = 0.
Einfaldið.


Skurðpunkturinn við y-ás er	(0, −4)

Skurðpunktarnir eru (3, 0) og (0, −4), eins og sýnt er í töflunni hér á eftir.

4 x − 3 y = 12
x	y
3	0
0	−4

Teiknið graf línu með skurðpunktum við ása

Til að teikna graf línulegrar jöfnu með því að merkja punkta þarf að finna þrjá punkta með hnit sem eru lausnir jöfnunnar. Skurðpunktana við x- og y-ás má nota sem tvo þessara þriggja punkta. Finnið skurðpunktana og síðan þriðja punktinn til að tryggja nákvæmni. Gangið úr skugga um að punktarnir liggi á sömu línu og dragið hana síðan. Þetta er oft fljótlegasta aðferðin til að teikna graf línu.

Dæmi 4.22

Hvernig á að teikna graf línu með skurðpunktum við ása

Teiknið graf $- x + 2 y = 6$ með skurðpunktum við ása.

Lausn

Myndin sýnir töflu með almennri aðferð til að teikna graf línu með skurðpunktum við ása og sérstöku dæmi þar sem jafnan mínus x plús 2y er jafnt 6. Skref 1 í almennu aðferðinni er: „Finnið skurðpunkta línunnar við x- og y-ás. Látið y vera jafnt 0 og leysið með tilliti til x. Látið x vera jafnt 0 og leysið með tilliti til y.“ Skref 1 í dæminu er röð fullyrðinga og jafna: „Finnið skurðpunktinn við x-ás. Látið y vera jafnt 0“, mínus x plús 2y er jafnt 6, mínus x plús 2(0) er jafnt 6 (þar sem 0 er rautt), mínus x er jafnt 6, x er jafnt mínus 6, „Skurðpunkturinn við x-ás er (mínus 6, 0)“, „Finnið skurðpunktinn við y-ás. Látið x vera jafnt 0“, mínus x plús 2y er jafnt 6, mínus 0 plús 2y er jafnt 6 (þar sem 0 er rautt), 2y er jafnt 6, y er jafnt 3 og „Skurðpunkturinn við y-ás er (0, 3)“.

Skref 3 í dæminu er tafla og graf. Taflan hefur fjórar raðir og þrjá dálka. Fyrsta röðin er hauslína með heitum dálkanna. Fyrsti dálkurinn heitir „x“, annar „y“ og sá þriðji „(x,y)“. Í fyrsta dálki eru tölurnar mínus 6, 0 og 2. Í öðrum dálki eru tölurnar 0, 3 og 4. Í þriðja dálki eru röðuðu tvenndirnar (mínus 6, 0), (0, 3) og (2, 4). Grafið sýnir þrjá punkta í xy-hnitaplani. x-ás hnitaplansins nær frá mínus 7 til 7 og y-ásinn frá mínus 7 til 7. Punktarnir þrír eru merktir: (mínus 6, 0), (0, 3) og (2, 4).

Skref 4 í almennu aðferðinni er: „Dragið línuna.“ Í dæminu stendur „Sjá graf“ og sýnt er graf beinnar línu í gegnum þrjá punkta í xy-hnitaplani. x-ás hnitaplansins nær frá mínus 7 til 7 og y-ásinn frá mínus 7 til 7. Punktarnir þrír eru merktir: (mínus 6, 0), (0, 3) og (2, 4). Beina línan er dregin í gegnum punktana (mínus 6, 0), (mínus 4, 1), (mínus 2, 2), (0, 3), (2, 4), (4, 5) og (6, 6).

Skrefin til að teikna graf línulegrar jöfnu með skurðpunktum við ása eru dregin saman hér á eftir.

Dæmi 4.23

Teiknið graf $4 x - 3 y = 12$ með skurðpunktum við ása.

Lausn

Finnið skurðpunktana og þriðja punktinn.

Myndin sýnir röð fullyrðinga og jafna: „Finnið skurðpunktinn við x-ás. Látið y vera jafnt 0“, 4x mínus 3y er jafnt 12, 4x mínus 3(0) er jafnt 12 (þar sem 0 er rautt), 4x er jafnt 12, x er jafnt 3, „Finnið skurðpunktinn við y-ás. Látið x vera jafnt 0“, 4x mínus 3y er jafnt 12, 4(0) mínus 3y er jafnt 12 (þar sem 0 er rautt), mínus 3y er jafnt 12, y er jafnt mínus 4, „Þriðji punkturinn: látið y vera jafnt 4“, 4x mínus 3y er jafnt 12, 4x mínus 3(4) er jafnt 12 (þar sem síðara 4 er rautt), 4x mínus 12 er jafnt 12, 4x er jafnt 24 og x er jafnt 6.

Við skráum punktana í töflu 4.27 og sýnum grafið hér á eftir.

4 x − 3 y = 12
x	y	( x , y )
3	0	( 3 , 0 )
0	−4	( 0 , −4 )
6	4	( 6 , 4 )

Myndin sýnir graf beinnar línu í gegnum þrjá punkta í xy-hnitaplani. x-ás hnitaplansins nær frá mínus 7 til 7 og y-ásinn frá mínus 7 til 7. Punktarnir þrír eru merktir: (0, mínus 4), (3, 0) og (6, 4). Beina línan er dregin í gegnum punktana (0, mínus 4), (3, 0) og (6, 4).

Dæmi 4.24

Teiknið graf $y = 5 x$ með skurðpunktum við ása.

Lausn

Myndin sýnir tvö sett af fullyrðingum og jöfnum til að finna skurðpunkta út frá jöfnu. Fyrra settið er „skurðpunktur við x-ás“, „látið y vera jafnt 0“, y er jafnt 5x, 0 er jafnt 5x (þar sem 0 er rautt), 0 er jafnt x, (0, 0). Síðara settið er „skurðpunktur við y-ás“, „látið x vera jafnt 0“, y er jafnt 5x, y er jafnt 5(0) (þar sem 0 er rautt), y er jafnt 0, (0, 0).

Þessi lína hefur aðeins einn skurðpunkt við ása. Hann er punkturinn $(0, 0)$ .

Til að tryggja nákvæmni þurfum við að merkja þrjá punkta. Þar sem skurðpunktarnir við x- og y-ás eru sami punkturinn þurfum við tvo punkta til viðbótar til að teikna graf línunnar.

Myndin sýnir tvö sett af fullyrðingum og jöfnum til að finna tvo punkta út frá jöfnu. Fyrra settið er „Látið x vera jafnt 1“, y er jafnt 5x, y er jafnt 5(1) (þar sem 1 er rautt), y er jafnt 5. Síðara settið er „Látið x vera jafnt mínus 1“, y er jafnt 5x, y er jafnt 5(mínus 1) (þar sem mínus 1 er rautt), y er jafnt mínus 5.

Sjá töflu 4.28.

y = 5 x
x	y	( x , y )
0	0	( 0 , 0 )
1	5	( 1 , 5 )
−1	−5	( −1 , −5 )

Merkið punktana þrjá, athugið að þeir liggi á sömu línu og dragið línuna.

Myndin sýnir graf beinnar línu í gegnum þrjá punkta í xy-hnitaplani. x-ás hnitaplansins nær frá mínus 10 til 10 og y-ásinn frá mínus 10 til 10. Punktarnir þrír eru merktir með hnitum sínum: (mínus 1, mínus 5), (0, 0) og (1, 5). Beina línan er dregin í gegnum punktana (mínus 1, mínus 5), (0, 0) og (1, 5).

Verkefni úr hluta 4.3

Æfingin skapar meistarann

Greinið skurðpunkta við x- og y-ás á grafi

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið finna skurðpunktana við x- og y-ás á hverju grafi.

139.

Myndin sýnir beina línu í xy-hnitaplani. x-ás hnitaplansins nær frá mínus 10 til 10 og y-ásinn frá mínus 10 til 10. Beina línan liggur í gegnum punktana (mínus 5, 8), (mínus 4, 7), (mínus 3, 6), (mínus 2, 5), (mínus 1, 4), (0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 0), (4, mínus 1), (5, mínus 2) og (6, mínus 3).

140.

141.

142.

143.

144.

145.

146.

147.

148.

Myndin sýnir beina línu í xy-hnitaplani. x-ás hnitaplansins nær frá mínus 7 til 7 og y-ásinn frá mínus 7 til 7. Beina línan liggur í gegnum punktana (mínus 6, 5), (mínus 4, 4), (mínus 2, 3), (0, 2), (2, 1), (4, 0) og (6, mínus 1).

149.

Myndin sýnir beina línu í xy-hnitaplani. x-ás hnitaplansins nær frá mínus 10 til 10 og y-ásinn frá mínus 10 til 10. Beina línan liggur í gegnum merkta punktinn (0, 0).

150.

Myndin sýnir beina línu í xy-hnitaplani. x-ás hnitaplansins nær frá mínus 7 til 7 og y-ásinn frá mínus 7 til 7. Beina línan liggur í gegnum merkta punktinn (0, 0).

Finnið skurðpunktana við x- og y-ás út frá jöfnu línu

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið finna skurðpunkta hverrar jöfnu við ása.

151.

$x + y = 4$

152.

$x + y = 3$

153.

$x + y = −2$

154.

$x + y = −5$

155.

$x - y = 5$

156.

$x - y = 1$

157.

$x - y = −3$

158.

$x - y = −4$

159.

$x + 2 y = 8$

160.

$x + 2 y = 10$

161.

$3 x + y = 6$

162.

$3 x + y = 9$

163.

$x - 3 y = 12$

164.

$x - 2 y = 8$

165.

$4 x - y = 8$

166.

$5 x - y = 5$

167.

$2 x + 5 y = 10$

168.

$2 x + 3 y = 6$

169.

$3 x - 2 y = 12$

170.

$3 x - 5 y = 30$

171.

$y = \frac{1}{3} x + 1$

172.

$y = \frac{1}{4} x - 1$

173.

$y = \frac{1}{5} x + 2$

174.

$y = \frac{1}{3} x + 4$

175.

$y = 3 x$

176.

$y = −2 x$

177.

$y = −4 x$

178.

$y = 5 x$

Teiknið graf línu með skurðpunktum við ása

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið teikna graf hverrar jöfnu með skurðpunktum við ása.

179.

$- x + 5 y = 10$

180.

$- x + 4 y = 8$

181.

$x + 2 y = 4$

182.

$x + 2 y = 6$

183.

$x + y = 2$

184.

$x + y = 5$

185.

$x + y = −3$

186.

$x + y = −1$

187.

$x - y = 1$

188.

$x - y = 2$

189.

$x - y = −4$

190.

$x - y = −3$

191.

$4 x + y = 4$

192.

$3 x + y = 3$

193.

$2 x + 4 y = 12$

194.

$3 x + 2 y = 12$

195.

$3 x - 2 y = 6$

196.

$5 x - 2 y = 10$

197.

$2 x - 5 y = −20$

198.

$3 x - 4 y = −12$

199.

$3 x - y = −6$

200.

$2 x - y = −8$

201.

$y = −2 x$

202.

$y = −4 x$

203.

$y = x$

204.

$y = 3 x$

Stærðfræði daglegs lífs

205.

Bílferð. Damien ekur frá Chicago til Denver, sem er 1000 mílna leið. x-ásinn á grafinu hér á eftir sýnir tímann í klukkustundum frá því Damien lagði af stað frá Chicago. y-ásinn sýnir vegalengdina sem hann á eftir að aka.

Myndin sýnir beina línu í xy-hnitaplani. x-ás hnitaplansins nær frá 0 til 16 og y-ásinn frá 0 til 1200 í 200 eininga skrefum. Beina línan liggur í gegnum punktana (0, 1000), (3, 800), (6, 600), (9, 400), (12, 200) og (15, 0). Punktarnir (0, 1000) og (15, 0) eru merktir og hnit þeirra tilgreind.

ⓐ Finnið skurðpunktana við x- og y-ás.
ⓑ Útskýrið hvað skurðpunktarnir við x- og y-ás merkja fyrir Damien.

206.

Bílferð. Ozzie fyllti eldsneytisgeymi vörubílsins síns og lagði af stað í bílferð. x-ásinn á grafinu hér á eftir sýnir fjölda mílna sem Ozzie ók frá því hann fyllti geyminn. y-ásinn sýnir fjölda gallona af eldsneyti í geymi vörubílsins.

Myndin sýnir beina línu í xy-hnitaplani. x-ás hnitaplansins nær frá 0 til 350 í 50 eininga skrefum. y-ásinn nær frá 0 til 18 í 2 eininga skrefum. Beina línan liggur í gegnum punktana (0, 16), (150, 8) og (300, 0). Punktarnir (0, 16) og (300, 0) eru merktir og hnit þeirra tilgreind.

ⓐ Finnið skurðpunktana við x- og y-ás.
ⓑ Útskýrið hvað skurðpunktarnir við x- og y-ás merkja fyrir Ozzie.

Ritunarverkefni

207.

Hvernig finnið þið skurðpunkt grafsins við x-ás fyrir jöfnuna $3 x - 2 y = 6$ ?

208.

Kjósið þið fremur punktaaðferðina eða aðferðina með skurðpunktum við ása til að teikna graf jöfnunnar $4 x + y = −4$ ? Hvers vegna?

209.

Kjósið þið fremur punktaaðferðina eða aðferðina með skurðpunktum við ása til að teikna graf jöfnunnar $y = \frac{2}{3} x - 2$ ? Hvers vegna?

210.

Kjósið þið fremur punktaaðferðina eða aðferðina með skurðpunktum við ása til að teikna graf jöfnunnar $y = 6$ ? Hvers vegna?

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta tök ykkar á markmiðum hlutans.

Myndin sýnir töflu með fjórum röðum og fjórum dálkum. Fyrsta röðin er hauslína með heitum dálkanna. Fyrsti dálkurinn heitir „Ég get …“, annar „örugglega“, sá þriðji „með nokkurri hjálp“ og sá fjórði „nei — ég skil þetta ekki!“ Í fyrsta dálki stendur „greint skurðpunkta við x- og y-ás á grafi“, „fundið skurðpunkta við x- og y-ás út frá jöfnu línu“ og „teiknað graf línu með skurðpunktum við ása“. Í öðrum, þriðja og fjórða dálki eru auðir reitir þar sem nemandinn getur merkt við hversu góðum tökum hann hefur náð á hverju atriði.

ⓑ Hvað segir gátlistinn ykkur um tök ykkar á efni þessa hluta? Hvað ætlið þið að gera til að bæta þau?