44 Gröf

4.4 Skiljið hugtakið hallatala línu

4.4 Skilningur á hallatölu línu

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

Notað pinnabretti til að sýna hallatölu
Notað m = r i s e/r u n til að finna hallatölu línu út frá grafi hennar
Fundið hallatölu láréttra og lóðréttra lína
Notað formúluna fyrir hallatölu til að finna hallatölu línu milli tveggja punkta
Teiknað graf línu út frá punkti og hallatölu
Leyst dæmi um hallatölu

Þegar þið teiknið gröf línulegra jafna takið þið ef til vill eftir að sumar línur halla upp á við frá vinstri til hægri en aðrar niður á við. Sumar línur eru mjög brattar en aðrar flatari. Hvað ræður því hvort lína hallar upp eða niður og hvort hún er brött eða flöt?

Í stærðfræði kallast halli línu hallatala hennar. Hallatala kemur víða við sögu í daglegu lífi. Þakhalli, veghalli og skábraut fyrir hjólastóla eru dæmi þar sem halla má sjá með berum augum. Þegar þið hjólið finnið þið líka fyrir hallanum þegar þið stígið upp brekku eða rennið niður hana.

Í þessum hluta könnum við hugtakið hallatala.

Notið pinnabretti til að sýna hallatölu

Pinnabretti er bretti með reglulegu neti pinna. Með teygjum á pinnabretti getum við sýnt línur í hnitakerfi á áþreifanlegan hátt. Með því að strekkja teygju milli tveggja pinna getum við uppgötvað hvernig hallatala línu er fundin.

Við byrjum á að strekkja teygju milli tveggja pinna eins og sýnt er á mynd 4.19.

Myndin sýnir reglulegt net pinna með 5 dálkum og 5 röðum. Teygja er strengd milli pinnans í dálki 1, röð 4 og pinnans í dálki 4, röð 2, þannig að hún myndar línu.

Lítur þetta ekki út eins og lína?

Nú teygjum við hluta teygjunnar beint upp frá vinstri pinnanum og um þriðja pinna til að mynda skammhliðar rétthyrnds þríhyrnings, eins og sýnt er á mynd 4.20

Myndin sýnir reglulegt net pinna með 5 dálkum og 5 röðum. Teygja er strengd milli pinnans í dálki 1, röð 2, pinnans í dálki 1, röð 4 og pinnans í dálki 4, röð 2, þannig að hún myndar rétthyrndan þríhyrning. Pinninn (1, 2) er hornpunktur 90 gráðu hornsins en línan milli pinnanna (1, 4) og (4, 2) myndar langhlið þríhyrningsins.

Við myndum vandlega 90° horn umhverfis þriðja pinnann svo önnur nýja línan verði lóðrétt og hin lárétt.

Til að finna hallatölu línunnar mælum við vegalengdina eftir lóðréttri og láréttri skammhlið þríhyrningsins. Lóðrétta vegalengdin kallast lóðrétt breyting og sú lárétta lárétt breyting, eins og sýnt er á mynd 4.21.

Myndin sýnir tvær hornréttar línur með örvum. Fyrri línan vísar beint upp og er merkt „lóðrétt breyting“. Síðari örin vísar beint til hægri og er merkt „lárétt breyting“.

Ef pinnabrettið okkar og teygjan líta út eins og á mynd 4.22, er lóðrétta breytingin 2. Teygjan fer 2 einingar upp. Hvert bil er ein eining.

Hver er lárétta breytingin?

Teygjan nær 3 einingar þvert yfir. Lárétta breytingin er 3 (sjá mynd 4.22).

Hallatala línu er hlutfall lóðréttu breytingarinnar og láréttu breytingarinnar. Í stærðfræði er hún alltaf táknuð með stafnum $m$ .

Hver er hallatala línunnar á pinnabrettinu á mynd 4.22?

\begin{matrix} m & = & \frac{lóðrétt breyting}{lárétt breyting} \\ m & = & \frac{2}{3} \end{matrix}

Hallatala línunnar er $\frac{2}{3}$ . Það merkir að línan hækkar um 2 einingar fyrir hverjar 3 einingar í lárétta stefnu.

Þegar unnið er með pinnabretti er góð venja að byrja við pinna vinstra megin og tengja hann við pinna hægra megin. Ef lóðrétta breytingin stefnir upp er hún jákvæð en ef hún stefnir niður er hún neikvæð. Lárétta breytingin stefnir frá vinstri til hægri og er því jákvæð.

Dæmi 4.25

Hver er hallatala línunnar á pinnabrettinu sem sýnt er?

Myndin sýnir reglulegt net pinna með 5 dálkum og 5 röðum. Teygja er strengd milli pinnans í dálki 1, röð 5 og pinnans í dálki 5, röð 2, þannig að hún myndar línu.

Lausn

Notið skilgreiningu hallatölu: $m = \frac{lóðrétt breyting}{lárétt breyting} .$

Byrjið við vinstri pinnann og teljið bilin upp og til hægri að hinum pinnanum.

Myndin sýnir reglulegt net pinna með 5 dálkum og 5 röðum. Teygja er strengd milli pinnans í dálki 1, röð 2, pinnans í dálki 1, röð 5 og pinnans í dálki 5, röð 2, þannig að hún myndar rétthyrndan þríhyrning. Pinninn (1, 2) er hornpunktur 90 gráðu hornsins og línan frá pinnanum (1, 5) að pinnanum (5, 2) myndar langhlið þríhyrningsins. Línan frá pinnanum (1, 2) að pinnanum (1, 5) er merkt „3“. Línan frá pinnanum (1, 2) að pinnanum (5, 2) er merkt „4“.

Lóðrétta breytingin er 3.	m = 3/run
Lárétta breytingin er 4.	m = $\frac{3}{4}$
	Hallatalan er $\frac{3}{4}$ .

Það merkir að línan hækkar um 3 einingar fyrir hverjar 4 einingar í lárétta stefnu.

Dæmi 4.26

Hver er hallatala línunnar á pinnabrettinu sem sýnt er?

Myndin sýnir reglulegt net pinna með 5 dálkum og 5 röðum. Teygja er strengd milli pinnans í dálki 1, röð 3 og pinnans í dálki 4, röð 4, þannig að hún myndar línu.

Lausn

Notið skilgreiningu hallatölu: $m = \frac{lóðrétt breyting}{lárétt breyting} .$

Byrjið við vinstri pinnann og teljið einingarnar niður og til hægri að hinum pinnanum.

Myndin sýnir reglulegt net pinna með 5 dálkum og 5 röðum. Teygja er strengd milli pinnans í dálki 1, röð 3, pinnans í dálki 1, röð 4 og pinnans í dálki 4, röð 4, þannig að hún myndar rétthyrndan þríhyrning. Pinninn (1, 3) er hornpunktur 90 gráðu hornsins og línan frá pinnanum (1, 4) að pinnanum (4, 4) myndar langhlið þríhyrningsins. Línan frá pinnanum (1, 3) að pinnanum (1, 4) er merkt „mínus 1“. Línan frá pinnanum (1, 4) að pinnanum (4, 4) er merkt „3“.

Lóðrétta breytingin er −1.	= −1/run
Lárétta breytingin er 3.	m = − $\frac{1}{3}$ m = − $\frac{1}{3}$
	Hallatalan er − $\frac{1}{3}$ .

Það merkir að línan lækkar um 1 einingu fyrir hverjar 3 einingar í lárétta stefnu.

Takið eftir að í dæmi 4.25 er hallatalan jákvæð en í dæmi 4.26 neikvæð. Sjáið þið einhvern mun á línunum tveimur á mynd 4.23(a) og mynd 4.23(b)?

Myndin sýnir tvö regluleg net pinna, merkt (a) og (b). Í hvoru neti eru 5 dálkar og 5 raðir. Í neti (a) er teygja strengd milli pinnans í dálki 1, röð 5 og pinnans í dálki 5, röð 2, þannig að hún myndar línu. Undir netinu er hallatala línunnar skilgreind sem m er jafnt 3 fjórðu. Í neti (b) er teygja strengd milli pinnans í dálki 1, röð 3 og pinnans í dálki 4, röð 4, þannig að hún myndar línu. Undir netinu er hallatala línunnar skilgreind sem m er jafnt mínus 1 þriðjungur.

Við „lesum“ línu frá vinstri til hægri, rétt eins og íslenskan texta. Þegar lesið er frá vinstri til hægri hækkar línan á mynd 4.23(a) og hefur jákvæða hallatölu. Línan á mynd 4.23(b) lækkar og hefur neikvæða hallatölu.

Dæmi 4.27

Notið pinnabretti til að sýna línu með hallatöluna $\frac{1}{2}$ .

Lausn

Til að sýna línu á pinnabretti þurfum við lóðréttu og láréttu breytinguna.

Notið formúluna fyrir hallatölu.	m = rise/run
Setjið m í stað $\frac{1}{2}$ .	$\frac{1}{2}$ = rise/run

Lóðrétta breytingin er því 1 og sú lárétta 2.

Byrjið við pinna neðst til vinstri á pinnabrettinu.

Teygið teygjuna 1 einingu upp og síðan 2 einingar til hægri.

Myndin sýnir reglulegt net pinna með 5 dálkum og 5 röðum. Teygja er strengd milli pinnans í dálki 1, röð 3, pinnans í dálki 1, röð 4 og pinnans í dálki 3, röð 3, þannig að hún myndar rétthyrndan þríhyrning. Pinninn (1, 3) er hornpunktur 90 gráðu hornsins og línan frá pinnanum (1, 4) að pinnanum (3, 3) myndar langhlið þríhyrningsins. Línan frá pinnanum (1, 3) að pinnanum (1, 4) er merkt „1“. Línan frá pinnanum (1, 3) að pinnanum (3, 3) er merkt „2“.

Langhlið rétthyrnda þríhyrningsins sem teygjan myndar táknar línu með hallatöluna $\frac{1}{2}$ .

Dæmi 4.28

Notið pinnabretti til að sýna línu með hallatöluna $\frac{−1}{4} .$

Lausn

Notið formúluna fyrir hallatölu.	m = rise/run
Setjið m í stað − $\frac{1}{4}$ .	− $\frac{1}{4}$ = rise/run

Lóðrétta breytingin er því $−1$ og sú lárétta 4.

Þar sem lóðrétta breytingin er neikvæð veljum við upphafspinna efst til vinstri svo nægilegt rými sé til að telja niður.

Við teygjum teygjuna 1 einingu niður og síðan 4 einingar til hægri, eins og sýnt er.

Myndin sýnir reglulegt net pinna með 5 dálkum og 5 röðum. Teygja er strengd milli pinnans í dálki 1, röð 2, pinnans í dálki 1, röð 3 og pinnans í dálki 5, röð 3, þannig að hún myndar rétthyrndan þríhyrning. Pinninn (1, 3) er hornpunktur 90 gráðu hornsins og línan frá pinnanum (1, 2) að pinnanum (5, 3) myndar langhlið þríhyrningsins. Línan frá pinnanum (1, 2) að pinnanum (1, 3) er merkt „mínus 1“. Línan frá pinnanum (1, 3) að pinnanum (5, 3) er merkt „4“.

Langhlið rétthyrnda þríhyrningsins sem teygjan myndar táknar línu með hallatöluna $\frac{−1}{4}$ .

Notið m = lóðrétt breyting/lárétt breyting til að finna hallatölu línu út frá grafi hennar

Nú skoðum við nokkur gröf í $x y$ -hnitakerfi og sjáum hvernig hallatölur þeirra eru fundnar. Aðferðin er mjög lík þeirri sem við sýndum á pinnabrettunum.

Til að finna hallatöluna verðum við að telja lóðréttu og láréttu breytinguna. En hvar byrjum við?

Við finnum tvo punkta á línunni sem hafa heiltöluhnit. Síðan byrjum við við punktinn vinstra megin og teiknum rétthyrndan þríhyrning svo hægt sé að telja lóðréttu og láréttu breytinguna.

Dæmi 4.29

Hvernig á að nota $m = \frac{lóðrétt breyting}{lárétt breyting}$ til að finna hallatölu línu út frá grafi hennar

Finnið hallatölu línunnar sem sýnd er.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x-ásinn nær frá mínus 1 til 6 og y-ásinn frá mínus 4 til 2. Lína liggur í gegnum punktana (0, mínus 3) og (5, 1).

Lausn

Taflan hefur þrjá dálka og fjórar raðir. Í fyrstu röð stendur: „Skref 1. Finnið tvo punkta á grafinu sem hafa heiltöluhnit. Merkið (0, mínus 3) og (5, 1).“ Hægra megin er graf línu í xy-hnitakerfi. x-ásinn nær frá mínus 1 til 6 og y-ásinn frá mínus 4 til 2. Punktarnir (0, mínus 3) og (5, 1) eru merktir.

Í annarri röð stendur: „Skref 2. Byrjið við punktinn vinstra megin og teiknið rétthyrndan þríhyrning þannig að langhliðin liggi frá fyrri punktinum að þeim síðari. Byrjið í (0, mínus 3) og teiknið rétthyrndan þríhyrning að (5, 1).“ Á grafinu hægra megin er viðbótarpunktur merktur í (0, 1). Punktarnir þrír mynda rétthyrndan þríhyrning. Línan frá (0, mínus 3) að (5, 1) myndar langhliðina en línurnar frá (0, mínus 3) að (0, 1) og frá (0, 1) að (5, 1) mynda skammhliðarnar.

Í þriðju röð stendur: „Skref 3. Teljið lóðréttu og láréttu breytinguna eftir skammhliðum þríhyrningsins.“ Lóðrétta breytingin er 4 og sú lárétta 5.

Í fjórðu röð stendur: „Skref 4. Reiknið hlutfall lóðréttu og láréttu breytingarinnar til að finna hallatöluna. Notið formúluna fyrir hallatölu. Setjið inn gildi lóðréttu og láréttu breytingarinnar.“ Hægra megin er formúlan fyrir hallatölu: m er jafnt lóðrétt breyting deilt með láréttri breytingu. Hallatala línunnar er 4 deilt með 5, eða fjórir fimmtu hlutar. Það merkir að y hækkar um 4 einingar þegar x hækkar um 5 einingar.

Dæmi 4.30

Finnið hallatölu línunnar sem sýnd er.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x-ásinn nær frá mínus 1 til 9 og y-ásinn frá mínus 1 til 7. Lína liggur um punktana (0, 5), (3, 3) og (6, 1).

Lausn

Finnið tvo punkta á grafinu sem hafa heiltöluhnit.	( 0 , 5 ) og ( 3 , 3 )
Hvor punkturinn er vinstra megin?	( 0 , 5 )
Byrjið í ( 0 , 5 )og teiknið rétthyrndan þríhyrning að ( 3 , 3 ).
Teljið lóðréttu breytinguna — hún er neikvæð.	Lóðrétta breytingin er −2.
Teljið láréttu breytinguna.	Lárétta breytingin er 3.
Notið formúluna fyrir hallatölu.	m = rise/run
Setjið gildi lóðréttu og láréttu breytingarinnar inn í formúluna.	m = − $\frac{2}{3}$
Einfaldið.	m = − $\frac{2}{3}$
	Hallatala línunnar er − $\frac{2}{3}$ .

Því lækkar $y$ um 2 einingar þegar $x$ hækkar um 3 einingar.

Hvað ef við notuðum punktana $(−3, 7)$ og $(6, 1)$ til að finna hallatölu línunnar?

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná frá mínus 7 til 7. Lína liggur um punktana (mínus 3, 7) og (6, 1). Punktur er einnig merktur við (mínus 3, 1). Punktarnir þrír mynda rétthyrndan þríhyrning. Línan frá (mínus 3, 7) til (6, 1) myndar langhliðina og línurnar frá (mínus 3, 7) til (mínus 1, 7) og frá (mínus 1, 7) til (6, 1) mynda skammhliðar þríhyrningsins.

Lóðrétta breytingin væri $−6$ og sú lárétta 9. Þá er $m = \frac{−6}{9}$ , sem einfaldast í $m = - \frac{2}{3}$ . Munið að það skiptir ekki máli hvaða punkta þið notið — hallatala línunnar er alltaf sú sama.

Í síðustu tveimur dæmum voru skurðpunktar línanna við y-ás með heiltöluhnit og því var hentugt að nota skurðpunktinn við y-ás sem annan punktinn við útreikning hallatölunnar. Í næsta dæmi er y-hnit skurðpunktsins við y-ás brot. Í stað þess að nota þann punkt leitum við að tveimur öðrum punktum með heiltöluhnit. Það auðveldar útreikning hallatölunnar.

Dæmi 4.31

Finnið hallatölu línunnar sem sýnd er.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x-ásinn nær frá 0 til 8 og y-ásinn frá 0 til 7. Lína liggur um punktana (2, 3) og (7, 6).

Lausn

Finnið tvo punkta á grafinu sem hafa heiltöluhnit.	( 2 , 3 ) og ( 7 , 6 )
Hvor punkturinn er vinstra megin?	( 2 , 3 )
Byrjið í ( 2 , 3 )og teiknið rétthyrndan þríhyrning að ( 7 , 6 ).
Teljið lóðréttu breytinguna.	Lóðrétta breytingin er 3.
Teljið láréttu breytinguna.	Lárétta breytingin er 5.
Notið formúluna fyrir hallatölu.	m = rise/run
Setjið gildi lóðréttu og láréttu breytingarinnar inn í formúluna.	m = $\frac{3}{5}$
	Hallatala línunnar er $\frac{3}{5}$ .

Þetta þýðir að $y$ hækkar um 5 einingar þegar $x$ hækkar um 3 einingar.

Þegar við kynntum hugtakið hallatölu með pinnabrettum sögðum við að alltaf skyldi byrja við punktinn vinstra megin og telja lóðréttu og láréttu breytinguna að punktinum hægra megin. Þannig var lárétta breytingin alltaf jákvæð og sú lóðrétta réð því hvort hallatalan var jákvæð eða neikvæð.

Hvað myndi gerast ef við byrjuðum við punktinn hægra megin?

Notum aftur punktana $(2, 3)$ og $(7, 6)$ en byrjum nú í $(7, 6)$ .

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x-ásinn nær frá 0 til 8 og y-ásinn frá 0 til 7. Lína liggur um punktana (2, 3) og (7, 6). Punktur er einnig merktur við (7, 3). Punktarnir þrír mynda rétthyrndan þríhyrning. Línan frá (2, 3) til (7, 6) myndar langhliðina og línurnar frá (2, 3) til (7, 3) og frá (7, 3) til (7, 6) mynda skammhliðar þríhyrningsins.

Teljið lóðréttu breytinguna.	Lóðrétta breytingin er −3.
Teljið láréttu breytinguna. Hún liggur frá hægri til vinstri og er því neikvæð.	Lárétta breytingin er −5.
Notið formúluna fyrir hallatölu.	m = rise/run
Setjið gildi lóðréttu og láréttu breytingarinnar inn í formúluna.	m = −3/−5
	Hallatala línunnar er −3/−5.

Það skiptir ekki máli hvar þið byrjið — hallatala línunnar er alltaf sú sama.

Finnið hallatölu láréttra og lóðréttra lína

Munið þið hvað var sérstakt við láréttar og lóðréttar línur? Jöfnur þeirra höfðu aðeins eina breytu.

\begin{matrix} Lárétt lína y = b & Lóðrétt lína x = a \\ y -hnitin eru eins. & x -hnitin eru eins. \end{matrix}

Hvernig finnum við þá hallatölu láréttu línunnar $y = 4$ ? Ein leið er að teikna línuna, finna tvo punkta á henni og telja lóðréttu og láréttu breytinguna. Skoðum hvað gerist þegar við gerum þetta.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x-ásinn nær frá mínus 1 til 5 og y-ásinn frá mínus 1 til 7. Lína liggur um punktana (0, 4) og (3, 4).

Hver er lóðrétta breytingin?	Lóðrétta breytingin er 0.
Teljið láréttu breytinguna.	Lárétta breytingin er 3.
Hver er hallatalan?	$\frac{m = rise}{run m} = \frac{0}{3 m = 0}$
	Hallatala láréttu línunnar y = 4 er 0.

Allar láréttar línur hafa hallatöluna 0. Þegar y-hnitin eru eins er lóðrétta breytingin 0.

Gólfið í herberginu ykkar er lárétt. Hallatala þess er 0. Ef þið legðuð bolta varlega á gólfið myndi hann ekki rúlla af stað.

Nú skoðum við lóðrétta línu.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x-ásinn nær frá mínus 1 til 5 og y-ásinn frá mínus 2 til 2. Lína liggur um punktana (3, 0) og (3, 2).

Hver er lóðrétta breytingin?	Lóðrétta breytingin er 2.
Teljið láréttu breytinguna.	Lárétta breytingin er 0.
Hver er hallatalan?	$\frac{m = rise}{run m} = \frac{2}{0}$

En við getum ekki deilt með 0. Deiling með 0 er ekki skilgreind. Við segjum því að hallatala lóðréttu línunnar $x = 3$ sé óskilgreind.

Hallatala sérhverrar lóðréttrar línu er óskilgreind. Þegar öll x-hnit punkta línu eru eins er lárétta breytingin 0.

Dæmi 4.32

Finnið hallatölu hvorrar línu:

ⓐ $x = 8$ ⓑ $y = −5$ .

Lausn

ⓐ $x = 8$
Þetta er lóðrétt lína.
Hallatala hennar er óskilgreind.
ⓑ $y = −5$
Þetta er lárétt lína.
Hallatala hennar er 0.

Munið að við „lesum“ línu frá vinstri til hægri, rétt eins og ritað mál.

Notið formúluna fyrir hallatölu til að finna hallatölu línu milli tveggja punkta

Stundum þurfum við að finna hallatölu línu milli tveggja punkta án þess að hafa graf til að telja lóðréttu og láréttu breytinguna. Við gætum merkt punktana á rúðustrikaðan pappír og talið breytingarnar þar, en eins og við munum sjá er hægt að finna hallatöluna án þess að teikna graf. Áður en við skoðum þá aðferð þurfum við að kynna nokkra algebrulega rithætti.

Við höfum séð að röðuð tvennd $(x, y)$ gefur hnit punkts. En þegar við vinnum með hallatölur notum við tvo punkta. Hvernig getur sama táknið $(x, y)$ táknað tvo ólíka punkta? Stærðfræðingar nota lágvísa til að greina punktana að.

\begin{matrix} (x_{1}, y_{1}) & lesið „ x lágvísir 1, y lágvísir 1“ \\ (x_{2}, y_{2}) & lesið „ x lágvísir 2, y lágvísir 2“ \end{matrix}

Notkun lágvísa í stærðfræði líkist mjög því að nota fyrsta staf eftirnafns til að greina samnefnda nemendur að í grunnskóla. Kannski munið þið eftir Láru B. og Láru M. í þriðja bekk?

Við notum $(x_{1}, y_{1})$ fyrir fyrri punktinn og $(x_{2}, y_{2})$ fyrir seinni punktinn.

Ef punktarnir væru fleiri en tveir gætum við notað $(x_{3}, y_{3})$ , $(x_{4}, y_{4})$ og svo framvegis.

Skoðum tengsl lóðréttu og láréttu breytingarinnar við hnit punktanna tveggja með því að skoða aftur hallatölu línunnar milli punktanna $(2, 3)$ og $(7, 6)$ .

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná frá 0 til 7. Lína liggur um punktana (2, 3) og (7, 6), sem eru merktir inn og auðkenndir. Röðuðu tvenndin (2, 3) er auðkennd sem (x með lágvísi 1, y með lágvísi 1). Röðuðu tvenndin (7, 6) er auðkennd sem (x með lágvísi 2, y með lágvísi 2). Punktur er einnig merktur við (2, 6). Punktarnir þrír mynda rétthyrndan þríhyrning. Línan frá (2, 3) til (7, 6) myndar langhliðina og línurnar frá (2, 3) til (2, 6) og frá (2, 6) til (7, 6) mynda skammhliðarnar. Fyrri skammhliðin, frá (2, 3) til (2, 6), er merkt y með lágvísi 2 mínus y með lágvísi 1, 6 mínus 3 og 3. Seinni skammhliðin, frá (2, 3) til (7, 6), er merkt x með lágvísi 2 mínus x með lágvísi 1, y mínus 2 og 5.

Þar sem við höfum tvo punkta notum við rithátt með lágvísum, $(\overset{x_{1},}{2,} \overset{y_{1}}{3})$ $(\overset{x_{2}, y_{2}}{7, 6})$ .

Á grafinu töldum við lóðréttu breytinguna 3 og láréttu breytinguna 5.

Takið eftir að lóðrétta breytingin 3 fæst með því að draga y-hnitin 6 og 3 hvort frá öðru.

3 = 6 - 3

Lárétta breytingin 5 fæst með sama hætti með því að draga x-hnitin 7 og 2 hvort frá öðru.

5 = 7 - 2

Við vitum að $m = \frac{lóðrétt breyting}{lárétt breyting}$ . Því er $m = \frac{3}{5}$ .

Við endurritum lóðréttu og láréttu breytinguna með því að setja inn hnitin $m = \frac{6 - 3}{7 - 2}$ .

En 6 er $y_{2}$ , y-hnit seinni punktsins, og 3 er $y_{1}$ , y-hnit fyrri punktsins.

Við getum því endurritað hallatöluna með lágvísum. $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{7 - 2}$

Einnig er 7 jafnt $x_{2}$ , x-hniti seinni punktsins, og 2 jafnt $x_{1}$ , x-hniti fyrri punktsins.

Við endurritum því hallatöluna aftur með lágvísum. $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Við höfum sýnt að $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ er í raun önnur útgáfa af $m = \frac{lóðrétt breyting}{lárétt breyting}$ . Við getum notað þessa formúlu til að finna hallatölu línu þegar við þekkjum tvo punkta á henni.

Dæmi 4.33

Notið formúluna fyrir hallatölu til að finna hallatölu línunnar milli punktanna $(1, 2)$ og $(4, 5)$ .

Lausn

Við köllum ( 1 , 2 ) punkt nr. 1 og ( 4 , 5 ) punkt nr. 2.	( 1 , 2 x¹ , y¹ ) ( 4 , 5 x² , y² )
Notið formúluna fyrir hallatölu.	m = y² − y 1/x² − x¹ .
Setjið gildin inn.
y seinni punktsins mínus y fyrri punktsins	m = 5 − 2/x² − x¹ .
x seinni punktsins mínus x fyrri punktsins	m = 5 − $\frac{2}{4}$ − 1 .
Einfaldið teljarann og nefnarann.	m = $\frac{3}{3}$ .
Einfaldið.	m = 1 .

Staðfestum þetta með því að telja breytingarnar á grafi með $m = \frac{lóðrétt breyting}{lárétt breyting}$ .

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná frá 0 til 7. Lína liggur um punktana (1, 2) og (4, 5), sem eru merktir inn. Punktur er einnig merktur við (1, 5). Punktarnir þrír mynda rétthyrndan þríhyrning. Línan frá (1, 2) til (4, 5) myndar langhliðina og línurnar frá (1, 2) til (1, 5) og frá (1, 5) til (4, 5) mynda skammhliðarnar. Skammhliðin frá (1, 2) til (1, 5) er merkt „lóðrétt breyting“ og skammhliðin frá (1, 5) til (4, 5) er merkt „lárétt breyting“.

Það skiptir ekki máli hvorn punktinn þið kallið punkt nr. 1 og hvorn punkt nr. 2. Hallatalan verður sú sama. Prófið útreikninginn sjálf.

Dæmi 4.34

Notið formúluna fyrir hallatölu til að finna hallatölu línunnar gegnum punktana $(−2, −3)$ og $(−7, 4)$ .

Lausn

Við köllum ( −2 , −3 ) punkt nr. 1 og ( −7 , 4 ) punkt nr. 2.	( −2 , −3 x¹ , y¹ ) ( −7 , 4 x² , y² )
Notið formúluna fyrir hallatölu.	m = y² − y 1/x² − x¹ .
Setjið gildin inn.
y seinni punktsins mínus y fyrri punktsins	m = 4 − ( −3 )/x 2 − x¹ .
x seinni punktsins mínus x fyrri punktsins	m = 4 − ( −3 )/−7 − ( −2 ) .
Einfaldið.	m = 7/−5 m = − $\frac{7}{5}$

Staðfestum hallatöluna á grafinu sem sýnt er.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x-ásinn nær frá mínus 8 til 2 og y-ásinn frá mínus 6 til 5. Lína liggur um punktana (mínus 7, 4) og (mínus 2, mínus 3), sem eru merktir inn og auðkenndir. Punktur er einnig merktur við (mínus 7, mínus 3). Punktarnir þrír mynda rétthyrndan þríhyrning. Línan frá (mínus 7, 4) til (mínus 2, mínus 3) myndar langhliðina og línurnar frá (mínus 7, 4) til (mínus 7, mínus 3) og frá (mínus 7, mínus 3) til (mínus 2, mínus 3) mynda skammhliðarnar. Skammhliðin frá (mínus 7, 4) til (mínus 7, mínus 3) er merkt „lóðrétt breyting“ og skammhliðin frá (mínus 7, mínus 3) til (mínus 2, mínus 3) er merkt „lárétt breyting“.

\begin{matrix} m & = & \frac{lóðrétt breyting}{lárétt breyting} \\ m & = & \frac{−7}{5} \\ m & = & - \frac{7}{5} \end{matrix}

Teiknið graf línu þegar punktur og hallatala eru gefin

Fram að þessu höfum við í þessum kafla teiknað gröf lína með því að merkja inn punkta, nota skurðpunkta við ása og þekkja láréttar og lóðréttar línur.

Önnur aðferð til að teikna gröf lína kallast punkthallaaðferð. Við notum hana þegar við þekkjum einn punkt og hallatölu línunnar. Fyrst merkjum við punktinn inn og notum síðan skilgreiningu hallatölu til að teikna graf línunnar.

Dæmi 4.35

Aðferð: Teiknið graf línu þegar punktur og hallatala eru gefin

Teiknið graf línunnar sem liggur um punktinn $(1, −1)$ og hefur hallatöluna $m = \frac{3}{4}$ .

Lausn

Taflan hefur þrjá dálka og fjórar raðir. Í fyrstu röð stendur: „Skref 1. Merkið gefna punktinn inn. Merkið (1, mínus 1) inn.“ Til hægri er graf í xy-hnitakerfi. x-ásinn nær frá mínus 1 til 7 og y-ásinn frá mínus 3 til 4. Punkturinn (0, mínus 1) er merktur inn.

Í annarri röð stendur: „Skref 2. Notið formúluna m jafnt lóðrétt breyting deilt með láréttri breytingu til að finna breytingarnar.“ Lóðrétta og lárétta breytingin eru 3 og 4, svo m er jafnt 3 deilt með 4.

Í þriðju röð stendur: „Skref 3. Byrjið við gefna punktinn og teljið lóðréttu og láréttu breytinguna til að merkja inn seinni punktinn.“ Við byrjum í (1, mínus 1) og teljum breytingarnar: þrjár einingar upp og 4 einingar til hægri. Á grafinu til hægri eru tveir punktar til viðbótar merktir inn: (1, 2), sem er 3 einingum ofan við (1, mínus 1), og (5, 2), sem er 3 einingum ofar og 4 einingum til hægri frá (1, mínus 1).

Í fjórðu röð stendur: „Skref 4. Tengið punktana með línu.“ Á grafinu til hægri er lína dregin um punktana (1, mínus 1) og (5, 2). Línan er einnig langhlið rétthyrnda þríhyrningsins sem punktarnir þrír mynda: (1, mínus 1), (1, 2) og (5, 2).

Dæmi 4.36

Teiknið graf línunnar sem hefur skurðpunktinn 2 við y-ás og hallatöluna $m = - \frac{2}{3}$ .

Lausn

Merkið gefna punktinn, skurðpunktinn við y-ás $(0, 2)$ , inn.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná frá mínus 5 til 5. Punkturinn (0, 2) er merktur inn.

Finnið lóðréttu og láréttu breytinguna.	m = − $\frac{2}{3}$
	rise/run = − $\frac{2}{3}$
	rise = −2
	run = 3

Teljið lóðréttu og láréttu breytinguna. Merkið seinni punktinn inn.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná frá mínus 5 til 5. Punktarnir (0, 2), (0, 0) og (3,0) eru merktir inn og auðkenndir. Línan frá (0, 2) til (0, 0) er merkt „2 niður“ og línan frá (0, 0) til (3, 0) er merkt „3 til hægri“.

Tengið punktana tvo með línu.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná frá mínus 5 til 5. Lína liggur um innmerktu punktana (0, 2) og (3,0).

Þið getið yfirfarið lausnina með því að finna þriðja punktinn. Þar sem hallatalan er $m = - \frac{2}{3}$ , má rita hana sem $m = \frac{2}{−3}$ . Farið aftur í $(0, 2)$ og teljið lóðréttu breytinguna, 2, og þá láréttu, $−3$ .

Dæmi 4.37

Teiknið graf línunnar sem liggur um punktinn $(−1, −3)$ og hefur hallatöluna $m = 4 .$

Lausn

Merkið gefna punktinn inn.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná frá mínus 5 til 5. Punkturinn (mínus 1, mínus 3) er merktur inn og auðkenndur.

Finnið lóðréttu og láréttu breytinguna.	m = 4
Ritið 4 sem brot.	rise/run = $\frac{4}{1}$
	rise = 4 , run = 1

Teljið lóðréttu og láréttu breytinguna og merkið seinni punktinn inn.

Myndin sýnir hvernig graf línunnar sem liggur um punktinn (mínus 1, mínus 3) og hefur hallatöluna 4 er teiknað. Fyrsta skrefið er að finna lóðréttu og láréttu breytinguna. Sú lóðrétta er 4 og sú lárétta 1. 4 deilt með 1 er 4, svo hallatalan er 4. Næst teljum við breytingarnar og merkjum seinni punktinn inn. Til hægri er graf í xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná frá mínus 5 til 5. Við byrjum við innmerkta punktinn (mínus 1, mínus 3) og teljum lóðréttu breytinguna, 4. Við komum að punktinum (mínus 1, 1), sem við merkjum inn. Síðan teljum við láréttu breytinguna 1 frá þessum punkti. Við komum að punktinum (0, 1), sem er merktur inn. Síðasta skrefið er að tengja punktana tvo með línu. Við drögum línu um punktana (mínus 1, mínus 3) og (0, 1).

Tengið punktana tvo með línu.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná frá mínus 5 til 5. Lína liggur um innmerktu punktana (−1, −3) og (1,0).

Þið getið yfirfarið lausnina með því að finna þriðja punktinn. Þar sem hallatalan er $m = 4$ , má rita hana sem $m = \frac{−4}{−1}$ . Farið aftur í $(−1, −3)$ og teljið lóðréttu breytinguna, $−4$ , og þá láréttu, $−1$ .

Leysið hagnýt verkefni um hallatölu

Í upphafi kaflans sögðum við að hallatala kæmi víða við sögu í daglegu lífi. Skoðum nú nokkur dæmi.

Dæmi 4.38

„Þakhalli“ byggingar er hallatala þaksins. Mikilvægt er að þekkja þakhallann á svæðum þar sem snjóar mikið. Ef þakið er af flatt getur snjóþunginn valdið því að það hrynur. Hver er hallatala þaksins sem sýnt er?

Myndin sýnir hús með hallandi þaki. Á öðrum helmingi þaksins stendur „þakhalli“. Línustrik með örvum á báðum endum mælir lóðrétta lengd þaksins og er merkt „lóðrétt breyting er 9 fet“. Annað línustrik með örvum á báðum endum mælir lárétta lengd þaksins og er merkt „lárétt breyting er 18 fet“.

Lausn

Notið formúluna fyrir hallatölu.	m = rise/run
Setjið inn gildi lóðréttu og láréttu breytingarinnar.	m = $\frac{9}{18}$
Einfaldið.	m = $\frac{1}{2}$
Hallatala þaksins er $\frac{1}{2}$ .
	Þakið hækkar um 1 fet þegar lárétta breytingin er 2 fet.

Dæmi 4.39

Hafið þið einhvern tíma hugsað um frárennslislagnirnar sem liggja frá húsinu ykkar að götunni? Þær verða að halla niður um $\frac{1}{4}$ tommu á hvert fet til að vatnið renni rétt. Hver þarf hallatalan að vera?

Lausn

Notið formúluna fyrir hallatölu.	m = rise/run m = − $\frac{1}{4}$ inch/1 foot m = − $\frac{1}{4}$ inch/12 inches
Einfaldið.	m = − $\frac{1}{48}$
	Hallatala lagnarinnar er − $\frac{1}{48}$ .

Lögnin lækkar um 1 tommu fyrir hverjar 48 tommur í lárétta átt.

Æfingar úr kafla 4.4

Æfingin skapar meistarann

Notið pinnabretti til að sýna hallatölu

Finnið hallatöluna sem sýnd er á hverju pinnabretti í eftirfarandi æfingum. no-selfclose

211.

Myndin sýnir reglulegt net pinna með 5 dálkum og 5 röðum. Teygja er strengd milli pinnans í dálki 1, röð 3, og pinnans í dálki 5, röð 2, þannig að hún myndar línu.

212.

Myndin sýnir reglulegt net pinna með 5 dálkum og 5 röðum. Teygja er strengd milli pinnans í dálki 2, röð 4, og pinnans í dálki 5, röð 2, þannig að hún myndar línu.

213.

214.

Myndin sýnir reglulegt net pinna með 5 dálkum og 5 röðum. Teygja er strengd milli pinnans í dálki 3, röð 4, og pinnans í dálki 5, röð 1, þannig að hún myndar línu.

215.

Myndin sýnir reglulegt net pinna með 5 dálkum og 5 röðum. Teygja er strengd milli pinnans í dálki 2, röð 1, og pinnans í dálki 4, röð 4, þannig að hún myndar línu.

216.

Myndin sýnir reglulegt net pinna með 5 dálkum og 5 röðum. Teygja er strengd milli pinnans í dálki 1, röð 3, og pinnans í dálki 5, röð 4, þannig að hún myndar línu.

217.

Myndin sýnir reglulegt net pinna með 5 dálkum og 5 röðum. Teygja er strengd milli pinnans í dálki 1, röð 1, og pinnans í dálki 5, röð 4, þannig að hún myndar línu.

218.

Myndin sýnir reglulegt net pinna með 5 dálkum og 5 röðum. Teygja er strengd milli pinnans í dálki 2, röð 2, og pinnans í dálki 4, röð 5, þannig að hún myndar línu.

Sýnið hverja hallatölu í eftirfarandi æfingum. Teiknið mynd af niðurstöðunni.

219.

$\frac{2}{3}$

220.

$\frac{3}{4}$

221.

$\frac{1}{4}$

222.

$\frac{4}{3}$

223.

$- \frac{1}{2}$

224.

$- \frac{3}{4}$

225.

$- \frac{2}{3}$

226.

$- \frac{3}{2}$

Notið $m = \frac{lóðrétt breyting}{lárétt breyting}$ til að finna hallatölu línu út frá grafi hennar

Finnið hallatölu hverrar línu sem sýnd er í eftirfarandi æfingum.

227.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná frá mínus 10 til 10. Lína liggur um punktana (mínus 10, mínus 8), (0, mínus 4) og (10, 0).

228.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná frá mínus 7 til 7. Lína liggur um punktana (mínus 2, mínus 8) og (2, mínus 2).

229.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná frá mínus 7 til 7. Lína liggur um punktana (mínus 4, mínus 6) og (4, 4).

230.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná frá mínus 7 til 7. Lína sker y-ásinn í (0, mínus 2) og liggur um punktinn (3, 3).

231.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná frá mínus 7 til 7. Lína liggur um punktana (mínus 3, 3) og (3, 1).

232.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná frá mínus 7 til 7. Lína liggur um punktana (mínus 2, 4) og (2, 2).

233.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná frá mínus 7 til 7. Lína sker y-ásinn í (0, 6) og liggur um punktinn (4, 3).

234.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná frá mínus 7 til 7. Lína liggur um punktinn (mínus 3, 1) og sker y-ásinn í (0, mínus 1).

235.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná frá mínus 7 til 7. Lína liggur um punktana (mínus 2, 1) og (2, 4).

236.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná frá mínus 7 til 7. Lína liggur um punktana (mínus 1, 1) og (2, 3).

237.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná frá mínus 7 til 7. Lína liggur um punktana (mínus 1, 6) og (1, 1).

238.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná frá mínus 7 til 7. Lína liggur um punktinn (mínus 1, 3) og sker x-ásinn í (3, 0).

239.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná frá mínus 7 til 7. Lína liggur um punktana (mínus 2, 6) og (1, 4).

240.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná frá mínus 10 til 10. Lína liggur um punktana (mínus 1, 3) og (1, 2).

241.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná frá mínus 10 til 10. Lína sker x-ásinn í (mínus 2, 0) og liggur um punktinn (2, 1).

242.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná frá mínus 10 til 10. Lína liggur um punktana (4, 2) og (7, 3).

Finnið hallatölu láréttra og lóðréttra lína

Finnið hallatölu hverrar línu í eftirfarandi æfingum.

243.

$y = 3$

244.

$y = 1$

245.

$x = 4$

246.

$x = 2$

247.

$y = −2$

248.

$y = −3$

249.

$x = −5$

250.

$x = −4$

Notið formúluna fyrir hallatölu til að finna hallatölu línu milli tveggja punkta

Notið formúluna fyrir hallatölu í eftirfarandi æfingum til að finna hallatölu línunnar milli hvers punktapars.

251.

$(1, 4), (3, 9)$

252.

$(2, 3), (5, 7)$

253.

$(0, 3), (4, 6)$

254.

$(0, 1), (5, 4)$

255.

$(2, 5), (4, 0)$

256.

$(3, 6), (8, 0)$

257.

$(−3, 3), (4, −5)$

258.

$(−2, 4), (3, −1)$

259.

$(−1, −2), (2, 5)$

260.

$(−2, −1), (6, 5)$

261.

$(4, −5), (1, −2)$

262.

$(3, −6), (2, −2)$

Teiknið graf línu þegar punktur og hallatala eru gefin

Teiknið graf hverrar línu í eftirfarandi æfingum með gefnum punkti og hallatölu.

263.

$(1, −2)$ ; $m = \frac{3}{4}$

264.

$(1, −1)$ ; $m = \frac{2}{3}$

265.

$(2, 5)$ ; $m = - \frac{1}{3}$

266.

$(1, 4)$ ; $m = - \frac{1}{2}$

267.

$(−3, 4)$ ; $m = - \frac{3}{2}$

268.

$(−2, 5)$ ; $m = - \frac{5}{4}$

269.

$(−1, −4)$ ; $m = \frac{4}{3}$

270.

$(−3, −5)$ ; $m = \frac{3}{2}$

271.

skurðpunktur viðy-ás 3; $m = - \frac{2}{5}$

272.

skurðpunktur viðy-ás 5; $m = - \frac{4}{3}$

273.

skurðpunktur viðx-ás $−2$ ; $m = \frac{3}{4}$

274.

skurðpunktur viðx-ás $−1$ ; $m = \frac{1}{5}$

275.

$(−3, 3)$ ; $m = 2$

276.

$(−4, 2)$ ; $m = 4$

277.

$(1, 5)$ ; $m = −3$

278.

$(2, 3)$ ; $m = −1$

Stærðfræði daglegs lífs

279.

Þakhalli. Einföld leið til að ákvarða hallatölu þaks er að leggja annan enda 12 tommu hallamáls á þakflötinn og halda því láréttu. Mælið síðan frá hinum enda hallamálsins niður að þakfletinum með málbandi eða reglustiku. Þannig fæst hallatala þaksins. Byggingarmenn kalla þetta stundum þakhalla og lýsa honum sem „ $x$ á móti 12 halla“, sem merkir $\frac{x}{12}$ , þar sem $x$ er fjarlægðin frá þakinu að hallamálinu — lóðrétta breytingin. Stundum er þetta einnig kallað „ $x$ á móti 12 halli“.

ⓐ Hver er hallatala þaksins á þessari mynd?
ⓑ Hver er þakhallinn samkvæmt orðalagi byggingariðnaðarins?

280.

Hallatala þaksins sem sýnt er hér er mæld með 12 tommu hallamáli og reglustiku. Hver er hallatala þaksins?

Myndin sýnir aðra hlið hallandi húsþaks. Lóðrétta breyting þaksins er mæld með reglustiku og er 7 tommur. Lárétta breytingin er mæld með tólf tommu hallamáli og er 12 tommur.

281.

Veghalli. Vegur í nágrenninu hefur hallann 6%. Veghalli er hallatala vegarins gefin upp í prósentum. Finnið hallatölu vegarins sem brot og fullstyttið það. Hvaða lóðréttu og láréttu breytingar samsvara þessari hallatölu eða þessum veghalla?

282.

Hallatala þjóðvegar. Vegur í nágrenninu hækkar um 2 fet þegar lárétta vegalengdin er 50 fet.

ⓐ Hver er hallatala vegarins?
ⓑ Veghalli er hallatala vegar gefin upp í prósentum. Hver er veghalli þessa vegar?

283.

Hjólstólarampur. Samkvæmt reglum um hjólstólarampa má lóðrétt hækkun að hámarki vera 1 tomma fyrir hverjar 12 tommur í lárétta átt.

ⓐ Hversu langur þarf rampurinn að vera til að ná 24 tommu hækkun upp að dyrunum?
ⓑ Búið til líkan af rampinum.

284.

Hjólstólarampur. Ef lóðrétt hækkun er 1 tomma fyrir hverjar 16 tommur í lárétta átt er auðveldara fyrir hjólastólanotanda að fara upp rampinn.

ⓐ Hversu langur þarf rampur að vera svo auðvelt sé að ná 24 tommu hækkun upp að dyrunum?
ⓑ Búið til líkan af rampinum.

Ritunaræfingar

285.

Hvað segir formerki hallatölunnar um línu?

286.

Hvernig er graf línu með hallatöluna $m = \frac{1}{2}$ frábrugðið grafi línu með hallatöluna $m = 2$ ?

287.

Hvers vegna er hallatala lóðréttrar línu „óskilgreind“?

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið æfingunum skulið þið nota þennan gátlista til að meta hversu góðum tökum þið hafið náð á markmiðum kaflans.

Taflan hefur sjö raðir og fjóra dálka. Fyrsta röðin er fyrirsagnarröð sem auðkennir dálkana. Fyrsti dálkurinn heitir „Ég get …“, annar „Örugglega“, þriðji „Með nokkurri hjálp“ og sá síðasti „Nei — ég skil þetta ekki“. Í dálkinum „Ég get …“ stendur í annarri röð „notað pinnabretti til að sýna hallatölu“. Í þriðju röð stendur „notað m jafnt lóðrétt breyting deilt með láréttri breytingu til að finna hallatölu línu út frá grafi hennar“. Í fjórðu röð stendur „fundið hallatölu láréttra og lóðréttra lína“. Í fimmtu röð stendur „notað formúluna fyrir hallatölu til að finna hallatölu línu milli tveggja punkta“. Í sjöttu röð stendur „teiknað graf línu þegar punktur og hallatala eru gefin“. Í síðustu röð stendur „leyst hagnýt verkefni um hallatölu“. Hinir dálkarnir eru auðir.

ⓑ Hversu góðum tökum teljið þið ykkur hafa náð á efni kaflans á kvarðanum 1–10 í ljósi svaranna á gátlistanum? Hvernig getið þið bætt ykkur?

4.4 Skilningur á hallatölu línu

Námsmarkmið

Notið pinnabretti til að sýna hallatölu

Dæmi 4.25

Dæmi 4.26

Dæmi 4.27

Dæmi 4.28

Notið m = lóðrétt breyting/lárétt breyting til að finna hallatölu línu út frá grafi hennar

Dæmi 4.29

Hvernig á að nota m=lóðrétt breytinglárétt breyting til að finna hallatölu línu út frá grafi hennar

Dæmi 4.30

Dæmi 4.31

Finnið hallatölu láréttra og lóðréttra lína

Dæmi 4.32

Notið formúluna fyrir hallatölu til að finna hallatölu línu milli tveggja punkta

Dæmi 4.33

Dæmi 4.34

Teiknið graf línu þegar punktur og hallatala eru gefin

Dæmi 4.35

Aðferð: Teiknið graf línu þegar punktur og hallatala eru gefin

Dæmi 4.36

Dæmi 4.37

Leysið hagnýt verkefni um hallatölu

Dæmi 4.38

Dæmi 4.39

Æfingar úr kafla 4.4

Æfingin skapar meistarann

Stærðfræði daglegs lífs

Ritunaræfingar

Sjálfsmat

Hvernig á að nota $m = \frac{lóðrétt breyting}{lárétt breyting}$ til að finna hallatölu línu út frá grafi hennar