44 Gröf

4.5 Notið hallatöluform jöfnu línu

4.5 Notkun hallatöluforms jöfnu línu

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

Greint tengslin milli grafs og hallatöluforms jöfnu línu
Fundið hallatölu og skurðpunkt við y-ás út frá jöfnu línu
Teiknað graf línu með hallatölu hennar og skurðpunkti við y-ás
Valið hentugustu aðferðina til að teikna graf línu
Teiknað gröf og túlkað hagnýt dæmi með hallatöluformi
Notað hallatölur til að þekkja samsíða línur
Notað hallatölur til að þekkja hornréttar línur

Greinið tengslin milli grafs og hallatöluforms jöfnu línu

Við höfum teiknað gröf línulegra jafna með því að merkja inn punkta, nota skurðpunkta við ása, þekkja láréttar og lóðréttar línur og beita punkthallaaðferðinni. Þegar við höfum séð hvernig jafna á hallatöluformi tengist grafi hennar höfum við enn eina aðferð til að teikna gröf lína.

Í kaflanum Teiknið gröf línulegra jafna með tveimur breytum, teiknuðum við graf jöfnunnar $y = \frac{1}{2} x + 3$ með því að merkja inn punkta. Sjá mynd 4.24. Finnum hallatölu línunnar.

Myndin sýnir línu á grafi í xy-hnitakerfi. x-ásinn nær frá mínus 8 til 8 og y-ásinn frá mínus 8 til 8. Línan er merkt með jöfnunni y jafnt einum helmingi x plús 3. Punktarnir (0, 3), (2, 4) og (4, 5) eru einnig auðkenndir. Rauð lóðrétt lína byrjar í punktinum (2, 4) og endar einni einingu fyrir ofan hann. Hún er merkt „Lóðrétt breyting er 1“. Rauð lárétt lína byrjar við enda lóðréttu línunnar og endar í punktinum (4, 5). Hún er merkt „Lárétt breyting er 2“. Rauðu línurnar mynda rétthyrndan þríhyrning þar sem línan y jafnt einum helmingi x plús 3 er langhliðin.

Rauðu línurnar sýna að lóðrétta breytingin er 1 og sú lárétta 2. Setjum gildin inn í formúluna fyrir hallatölu:

\begin{matrix} m & = & \frac{lóðrétt breyting}{lárétt breyting} \\ m & = & \frac{1}{2} \end{matrix}

Hver er skurðpunktur línunnar við y-ás? Skurðpunkturinn við y-ás er þar sem línan sker y-ásinn og er því $(0, 3)$ . Jafna línunnar er:

Takið eftir að línan hefur:

Þegar línuleg jafna hefur verið le $y$ . með tilliti til y er stuðull $x$ -liðsins hallatalan og fasti liðurinn y-hnit skurðpunktsins við y-ás. Við segjum að jafnan $y = \frac{1}{2} x + 3$ sé á hallatöluformi.

Myndin sýnir fullyrðinguna „m er einn helmingur; skurðpunkturinn við y-ás er (0, 3)“. Hallatalan, einn helmingur, er rauð og talan 3 í skurðpunktinum við y-ás blá. Fyrir neðan stendur jafnan y jafnt einum helmingi x plús 3. Brotið einn helmingur er rautt og talan 3 blá. Þar fyrir neðan stendur jafnan y jafnt mx plús b. Breytan m er rauð og breytan b blá.

Hallatöluformið er stundum kallað „y-form“.

Dæmi 4.40

Notið grafið til að finna hallatölu og skurðpunkt línunnar við y-ás $y = 2 x + 1$ .

Berið þessi gildi saman við jöfnuna $y = m x + b$ .

Lausn

Til að finna hallatölu línunnar þurfum við að velja tvo punkta á henni. Við notum punktana $(0, 1)$ og $(1, 3)$ .


Finnið lóðréttu og láréttu breytinguna.


Finnið skurðpunkt línunnar við y-ás.	Punkturinn (0, 1) er skurðpunkturinn við y-ás.

Hallatalan er jöfn stuðli $x$ og y-hnit skurðpunktsins við y-ás er jafnt fasta liðnum.

Finnið hallatölu og skurðpunkt við y-ás út frá jöfnu línu

Í kaflanum Skiljið hallatölu línu teiknuðum við graf línu með hallatölu og einum punkti. Þegar jafna á hallatöluformi er gefin getum við notað skurðpunktinn við y-ás sem punktinn og talið breytingarnar þaðan samkvæmt hallatölunni. Æfum okkur að finna hallatölu og skurðpunkt við y-ás út frá jöfnu línu.

Dæmi 4.41

Finnið hallatölu og skurðpunkt línunnar við y-ás með jöfnuna $y = −3 x + 5$ .

Lausn

Við berum jöfnuna okkar saman við hallatöluform jöfnu.


Ritið jöfnu línunnar.
Finnið hallatöluna.
Finnið skurðpunktinn við y-ás.

Þegar jafna línu er ekki gefin á hallatöluformi er fyrsta skrefið að leysa jöfnuna með tilliti til $y$ .

Dæmi 4.42

Finnið hallatölu og skurðpunkt línunnar við y-ás með jöfnuna $x + 2 y = 6$ .

Lausn

Jafnan er ekki á hallatöluformi. Til að bera hana saman við hallatöluformið verðum við fyrst að leysa hana með tilliti til $y$ .

Leysið með tilliti til y.	x + 2 y = 6
Dragið x frá báðum hliðum.
Deilið báðum hliðum með 2.
Einfaldið.
( Remember: a + b/c = a/c + b/c )
Einfaldið.
Ritið hallatöluform jöfnu línunnar.
Ritið jöfnu línunnar.
Finnið hallatöluna.
Finnið skurðpunktinn við y-ás.

Teiknið graf línu með hallatölu hennar og skurðpunkti við y-ás

Nú þegar við kunnum að finna hallatölu línu og skurðpunkt hennar við y-ás út frá jöfnunni getum við teiknað grafið með því að merkja skurðpunktinn inn og nota síðan hallatöluna til að finna annan punkt.

Dæmi 4.43

Aðferð: Teiknið graf línu með hallatölu hennar og skurðpunkti við y-ás

Teiknið graf línunnar sem hefur jöfnuna $y = 4 x - 2$ með því að nota hallatölu hennar og skurðpunkt við y-ás.

Lausn

Myndin sýnir skrefin við að teikna graf jöfnunnar y jafnt 4x mínus 2. Skref 1 er að finna hallatöluform jöfnunnar. Jafnan er þegar á hallatöluformi.

Skref 2 er að finna hallatölu og skurðpunkt við y-ás. Notið jöfnuna y jafnt mx plús b. Jafnan y jafnt mx plús b er sýnd með breytuna m rauða og breytuna b bláa. Fyrir neðan stendur jafnan y jafnt 4 x plús mínus 2. Talan 4 er rauð og mínus 2 blá. Af jöfnunni sést að m er 4 og b er mínus 2, svo hallatalan er 4 og skurðpunkturinn við y-ás (0, mínus 2).

Skref 3 er að merkja skurðpunktinn við y-ás inn. Sýnt er xy-hnitakerfi þar sem x-ásinn nær frá mínus 8 til 8 og y-ásinn frá mínus 8 til 8. Punkturinn (0, mínus 2) er merktur inn.

Skref 4 er að nota formúluna m jafnt lóðrétt breyting deilt með láréttri breytingu til að finna breytingarnar. Þar sem m er 4 er lóðrétt breyting deilt með láréttri breytingu jafnt 4 deilt með 1. Af þessu fæst að lóðrétta breytingin er 4 og sú lárétta 1.

Skref 5 er að byrja við skurðpunktinn við y-ás og telja lóðréttu og láréttu breytinguna til að merkja inn seinni punktinn. Byrjið því í punktinum (0, mínus 2) og teljið breytingarnar. Sú lóðrétta er 4 upp og sú lárétta 1 til hægri. Í xy-hnitakerfinu byrjar rauð lóðrétt lína í punktinum (0, mínus 2) og hækkar um 4 einingar. Frá enda hennar liggur rauð lárétt lína 1 einingu til hægri að punktinum (1, 2). Punkturinn (1, 2) er merktur inn.

Skref 6 er að tengja punktana með línu. Í xy-hnitakerfinu eru punktarnir (0, mínus 2) og (1, 2) merktir inn og lína dregin um þá. Línan er graf jöfnunnar y jafnt 4 x mínus 2.

Dæmi 4.44

Teiknið graf línunnar sem hefur jöfnuna $y = − x + 4$ með því að nota hallatölu hennar og skurðpunkt við y-ás.

Lausn

	y = m x + b
Jafnan er á hallatöluformi.	y = − x + 4
Finnið hallatölu og skurðpunkt við y-ás.	m = −1
	Skurðpunkturinn við y-ás er (0, 4)
Merkið skurðpunktinn við y-ás inn.	Sjá grafið hér fyrir neðan.
Finnið lóðréttu og láréttu breytinguna.	m = − $\frac{1}{1}$
Teljið lóðréttu og láréttu breytinguna til að merkja inn seinni punktinn.	lóðrétt breyting −1, lárétt breyting 1
Dragið línuna.
Þið getið yfirfarið lausnina með því að finna annan punkt á línunni og ganga úr skugga um að hann sé lausn jöfnunnar. Á grafinu sést að línan liggur um (4, 0).
Athugið.y = − x + 4 0 = ? − 4 + 4 0 = 0 ✓

Dæmi 4.45

Teiknið graf línunnar sem hefur jöfnuna $y = - \frac{2}{3} x - 3$ með því að nota hallatölu hennar og skurðpunkt við y-ás.

Lausn

	y = m x + b
Jafnan er á hallatöluformi.	y = − $\frac{2}{3}$ x − 3
Finnið hallatölu og skurðpunkt við y-ás.	m = − $\frac{2}{3}$ ; skurðpunkturinn við y-ás er (0, −3)
Merkið skurðpunktinn við y-ás inn.	Sjá grafið hér fyrir neðan.
Finnið lóðréttu og láréttu breytinguna.
Teljið lóðréttu og láréttu breytinguna til að merkja inn seinni punktinn.
Dragið línuna.

Dæmi 4.46

Teiknið graf línunnar sem hefur jöfnuna $4 x - 3 y = 12$ með því að nota hallatölu hennar og skurðpunkt við y-ás.

Lausn

	4 x − 3 y = 12
Finnið hallatöluform jöfnunnar.	−3 y = −4 x + 12
	− 3 y/3 = −4 x + 12/−3
Jafnan er nú á hallatöluformi.	y = $\frac{4}{3}$ x − 4
Finnið hallatölu og skurðpunkt við y-ás.	m = $\frac{4}{3}$
	Skurðpunkturinn við y-ás er (0, −4)
Merkið skurðpunktinn við y-ás inn.	Sjá grafið hér fyrir neðan.
Finnið lóðréttu og láréttu breytinguna; teljið þær síðan til að merkja inn seinni punktinn.
Dragið línuna.

Við höfum hingað til notað hnitakerfi þar sem bæði $x$ og $y$ ná frá um $−10$ til 10 fyrir allar jöfnurnar sem við höfum teiknað. Ekki er hægt að teikna allar línulegar jöfnur í svo litlu hnitakerfi. Oft, einkum í hagnýtum dæmum með raunverulegum gögnum, þurfum við að láta ásana ná að stærri jákvæðum eða lægri neikvæðum tölum.

Dæmi 4.47

Teiknið graf línunnar sem hefur jöfnuna $y = 0.2 x + 45$ með því að nota hallatölu hennar og skurðpunkt við y-ás.

Lausn

Við notum hnitakerfi þar sem ásarnir ná frá um $−80$ til 80.

	y = m x + b
Jafnan er á hallatöluformi.	y = 0.2 x + 45
Finnið hallatölu og skurðpunkt við y-ás.	m = 0.2
	Skurðpunkturinn við y-ás er (0, 45)
Merkið skurðpunktinn við y-ás inn.	Sjá grafið hér fyrir neðan.
Teljið lóðréttu og láréttu breytinguna til að merkja inn seinni punktinn. Hallatalan er m = 0.2; rituð sem brot er hún m = $\frac{2}{10}$ . Vegna kvarðans á grafinu er auðveldara að nota jafngilda brotið m = $\frac{10}{50}$ .
Dragið línuna.

Nú þegar við höfum teiknað gröf lína með hallatölu og skurðpunkti við y-ás skulum við draga saman allar aðferðirnar sem við höfum notað. Sjá mynd 4.25 .

Taflan hefur tvær raðir og fjóra dálka. Fyrsta röðin nær yfir alla fjóra dálkana og er fyrirsagnarröð með textanum „Aðferðir til að teikna gröf lína“. Önnur röðin skiptist í fjóra dálka. Fyrsti dálkurinn heitir „Merkja inn punkta“ og sýnir minni töflu með fjórum röðum og tveimur dálkum. Fyrsta röðin er fyrirsagnarröð þar sem fyrri dálkurinn heitir „x“ og sá síðari „y“. Aðrir reitir töflunnar eru auðir. Fyrir neðan töfluna stendur: „Finnið þrjá punkta. Merkið punktana inn, gangið úr skugga um að þeir liggi á sömu línu og dragið síðan línuna.“ Annar dálkurinn heitir „Hallatöluform“ og sýnir jöfnuna y jafnt mx plús b. Fyrir neðan stendur: „Finnið hallatölu og skurðpunkt við y-ás. Byrjið við skurðpunktinn við y-ás og teljið síðan breytingarnar samkvæmt hallatölunni til að finna seinni punktinn.“ Þriðji dálkurinn heitir „Skurðpunktar við ása“ og sýnir minni töflu með fjórum röðum og tveimur dálkum. Fyrsta röðin er fyrirsagnarröð þar sem fyrri dálkurinn heitir „x“ og sá síðari „y“. Í annarri röð er 0 í x-dálkinum en y-dálkurinn er auður. Í næstu röð er x-dálkurinn auður en 0 í y-dálkinum. Síðasta röðin er auð. Fyrir neðan töfluna stendur: „Finnið skurðpunktana við ása og þriðja punktinn. Merkið punktana inn, gangið úr skugga um að þeir liggi á sömu línu og dragið síðan línuna.“ Fjórði dálkurinn heitir „Þekkið lóðréttar og láréttar línur“. Þar fyrir neðan stendur: „Jafnan hefur aðeins eina breytu.“ Jafnan x jafnt a er lóðrétt lína og jafnan y jafnt b lárétt lína.

Veljið hentugustu aðferðina til að teikna graf línu

Nú höfum við séð nokkrar aðferðir til að teikna gröf lína. Hvernig vitum við hvaða aðferð hentar tiltekinni jöfnu?

Þótt alltaf megi merkja inn punkta, nota hallatöluformið eða finna skurðpunkta við ása fyrir hvaða jöfnu sem er verður vinnan auðveldari ef við þekkjum hentugustu leiðina fyrir hverja gerð jöfnu. Yfirleitt er ekki skilvirkast að teikna graf línu með því að merkja inn punkta. Við sáum betri aðferðir í köflum 4.3 og 4.4 og fyrr í þessum kafla. Skoðum nokkur mynstur sem hjálpa okkur að velja hentugustu aðferðina.

Hér eru sex jöfnur sem við teiknuðum gröf af í þessum kafla og aðferðin sem við notuðum fyrir hverja þeirra.

\begin{matrix} Jafna & Aðferð \\ #1 & x = 2 & Lóðrétt lína \\ #2 & y = 4 & Lárétt lína \\ #3 & − x + 2 y = 6 & Skurðpunktar \\ #4 & 4 x - 3 y = 12 & Skurðpunktar \\ #5 & y = 4 x - 2 & Hallatöluform \\ #6 & y = − x + 4 & Hallatöluform \end{matrix}

Jöfnur nr. 1 og 2 hafa aðeins eina breytu hvor. Munið að í jöfnum af þessu tagi er gildi breytunnar fasti og óháð gildi hinnar breytunnar. Gröf slíkra jafna eru lóðréttar eða láréttar línur.

Í jöfnum nr. 3 og 4 eru bæði $x$ og $y$ sömu megin við jafnaðarmerkið. Jöfnurnar eru á forminu $A x + B y = C$ . Við settum $y = 0$ inn til að finna skurðpunktinn við x-ás og $x = 0$ til að finna skurðpunktinn við y-ás. Síðan fundum við þriðja punktinn með því að velja annað gildi fyrir $x$ eða $y$ .

Jöfnur nr. 5 og 6 eru ritaðar á hallatöluformi. Eftir að hafa fundið hallatölu og skurðpunkt við y-ás út frá jöfnunni notuðum við þau til að teikna graf línunnar.

Af þessu fæst eftirfarandi aðferð.

Dæmi 4.48

Ákvarðið hentugustu aðferðina til að teikna graf hverrar línu.

ⓐ $y = −6$ ⓑ $5 x - 3 y = 15$ ⓒ $x = 7$ ⓓ $y = \frac{2}{5} x - 1$ .

Lausn

ⓐ $y = −6$
Jafnan hefur aðeins eina breytu, $y$ . Graf hennar er lárétt lína sem sker y-ásinn í $−6$ .
ⓑ $5 x - 3 y = 15$
Jafnan er á forminu $A x + B y = C$ . Auðveldast er að teikna graf hennar með því að finna skurðpunktana við ása og einn punkt til viðbótar.
ⓒ $x = 7$
Jafnan hefur aðeins eina breytu, $x$ . Grafið er lóðrétt lína sem sker x-ásinn í 7.
ⓓ $y = \frac{2}{5} x - 1$
Þar sem jafnan er á $y = m x + b$ formi er auðveldast að teikna graf línunnar með hallatölu og skurðpunkti við y-ás.

Teiknið gröf og túlkið hagnýt dæmi með hallatöluformi

Mörg hagnýt dæmi úr daglegu lífi eru sett fram með línulegum jöfnum. Hér skoðum við nokkur slík dæmi til að sjá hvernig jöfnur á hallatöluformi tengjast raunverulegum aðstæðum.

Þegar línuleg jafna lýsir raunverulegum aðstæðum eru yfirleitt notaðir aðrir bókstafir fyrir breyturnar en x og y. Heiti breytanna minna okkur á hvaða stærðir eru mældar.

Dæmi 4.49

Jafnan $F = \frac{9}{5} C + 32$ er notuð til að umreikna hitastig $C$ , á Celsíus-kvarða í hitastig $F$ , á Fahrenheit-kvarða.

ⓐ Finnið Fahrenheit-hitastigið þegar Celsíus-hitastigið er 0. ⓑ
Finnið Fahrenheit-hitastigið þegar Celsíus-hitastigið er 20. ⓒ Túlkið hallatölu
og skurðpunkt jöfnunnar við F-ás. ⓓ
Teiknið graf jöfnunnar.

Lausn

ⓐ Finnið Fahrenheit-hitastigið þegar Celsíus-hitastigið er 0. Finnið F þegar C = 0. Einfaldið.	F = $\frac{9}{5}$ C + 32 F = $\frac{9}{5}$ ( 0 ) + 32 F = 32
ⓑ Finnið Fahrenheit-hitastigið þegar Celsíus-hitastigið er 20. Finnið F þegar C = 20. Einfaldið. Einfaldið.	F = $\frac{9}{5}$ C + 32 F = $\frac{9}{5}$ ( 20 ) + 32 F = 36 + 32 F = 68

Þótt jafnan noti $F$ og $C$ , er hún samt á hallatöluformi.

Myndin sýnir þrjár jöfnulínur. Í fyrstu línu stendur y jafnt mx plús b. Í annarri stendur F jafnt mC plús b og í þeirri þriðju F jafnt níu fimmtu sinnum C plús 32.

Hallatalan $\frac{9}{5}$ , merkir að Fahrenheit-hitastigið (F) hækkar um 9 gráður þegar Celsíus-hitastigið (C) hækkar um 5 gráður.

Skurðpunkturinn við F-ás merkir að þegar hitastigið er $0 °$ á Celsíus-kvarða er það $32 °$ á Fahrenheit-kvarða.

ⓓ Teiknið graf jöfnunnar.

Við þurfum stærri kvarða en venjulega. Byrjið við skurðpunktinn við F-ás $(0, 32)$ og teljið síðan lóðréttu breytinguna 9 og þá láréttu 5 til að finna seinni punktinn. Sjá mynd 4.26 .

Graf þar sem x-ásinn nær frá −20 til 50 og y-ásinn frá −20 til 50. Lína hækkar og liggur um punktinn (0, 32) og annan punkt sem nemandinn á að finna. — **Mynd 4.26.** Mynd 4.26

Rekstrarkostnaður sumra fyrirtækja skiptist í tvo hluta —fastan kostnað og breytilegan kostnað. Fasti kostnaðurinn er alltaf sá sami óháð því hversu margar einingar eru framleiddar. Þar undir falla húsaleiga, tryggingar, búnaður, auglýsingar og aðrir liðir sem greiða þarf reglulega. Breytilegi kostnaðurinn ræðst af fjölda framleiddra eininga og nær til efnis og vinnu sem þarf fyrir hverja vöru.

Dæmi 4.50

Stella rekur heimafyrirtæki sem selur sælkerapítsur. Jafnan $C = 4 p + 25$ lýsir tengslunum milli vikulegs kostnaðar hennar Cí dölum og fjölda pítsa psem hún selur.

ⓐ Finnið kostnað Stellu í viku þegar hún selur enga
pítsu. ⓑ Finnið kostnaðinn í viku þegar hún selur 15
pítsur. ⓒ Túlkið hallatölu og skurðpunkt jöfnunnar við C-ás.
ⓓ Teiknið graf jöfnunnar.

Lausn

ⓐ Finnið kostnað Stellu í viku þegar hún selur enga pítsu.
Finnið C þegar p = 0.
Einfaldið.
	Fasti kostnaður Stellu er $25 þegar hún selur enga pítsu.
ⓑ Finnið kostnaðinn í viku þegar hún selur 15 pítsur.
Finnið C þegar p = 15.
Einfaldið.

	Kostnaður Stellu er $85 þegar hún selur 15 pítsur.
ⓒ Túlkið hallatölu og skurðpunkt jöfnunnar við C-ás.
	Hallatalan 4 merkir að kostnaðurinn hækkar um $4 fyrir hverja pítsu sem Stella selur. Skurðpunkturinn við C-ás merkir að vikulegur kostnaður hennar er $25 jafnvel þegar hún selur enga pítsu.
ⓓ Teiknið graf jöfnunnar. Við þurfum stærri kvarða en venjulega. Byrjið við skurðpunktinn við C-ás (0, 25) og teljið síðan lóðréttu breytinguna 4 og þá láréttu 1 til að finna seinni punktinn.

Notið hallatölur til að þekkja samsíða línur

Hallatala línu segir til um hve brött hún er og hvort hún hækkar eða lækkar þegar hún er lesin frá vinstri til hægri. Tvær línur með sömu hallatölu kallast samsíða línur. Samsíða línur skerast aldrei.

Myndin sýnir þrjú pör lína hlið við hlið. Línurnar í parinu vinstra megin hækka á ská frá vinstri til hægri. Þær liggja hlið við hlið og skerast ekki. Línurnar í miðjuparinu lækka á ská frá vinstri til hægri. Þær liggja hlið við hlið og skerast ekki. Línurnar í parinu hægra megin lækka einnig á ská frá vinstri til hægri en hallinn er minni. Þær liggja hlið við hlið og skerast ekki.

Formlegri lýsing í rétthyrndu hnitakerfi er þessi: Tvær línur með sömu hallatölu en ólíka skurðpunkta við y-ás kallast samsíða línur . Sjá mynd 4.27 .

Myndin sýnir tvær línur á grafi í xy-hnitakerfi. x-ásinn nær frá mínus 8 til 8 og y-ásinn frá mínus 8 til 8. Önnur línan liggur um punktana (mínus 5,1) og (5,5). Hin línan liggur um punktana (mínus 5, mínus 4) og (5,0). — **Mynd 4.27.** Sannreynið að báðar línurnar hafi sömu hallatöluna $m = \frac{2}{5}$ en ólíka skurðpunkta við y-ás.

Hvað um lóðréttar línur? Hallatala lóðréttrar línu er óskilgreind og því falla lóðréttar línur ekki undir skilgreininguna hér að ofan. Við segjum að lóðréttar línur með ólíka skurðpunkta við x-ás séu samsíða. Sjá mynd 4.28 .

Myndin sýnir tvær lóðréttar línur á grafi í xy-hnitakerfi. x-ásinn nær frá mínus 8 til 8 og y-ásinn frá mínus 8 til 8. Önnur línan liggur um punktana (2,1) og (2,5). Hin línan liggur um punktana (5, mínus 4) og (5,0). — **Mynd 4.28.** Lóðréttar línur með ólíka skurðpunkta við x-ás eru samsíða.

Teiknum gröf jafnanna $y = −2 x + 3$ og $2 x + y = −1$ í sama hnitakerfi. Fyrri jafnan er þegar á hallatöluformi: $y = −2 x + 3$ . Við leysum seinni jöfnuna með tilliti til $y$ :

\begin{matrix} 2 x + y & = & −1 \\ y & = & −2 x - 1 \end{matrix}

Teiknið gröf línanna.

Myndin sýnir tvær línur á grafi í xy-hnitakerfi. x-ásinn nær frá mínus 8 til 8 og y-ásinn frá mínus 8 til 8. Önnur línan liggur um punktana (mínus 4, 7) og (3, mínus 7). Hin línan liggur um punktana (mínus 2, 7) og (5, mínus 7).

Takið eftir að línurnar virðast samsíða. Hver er hallatala hvorrar línu? Hver er skurðpunktur hvorrar línu við y-ás?

\begin{matrix} y & = & m x + b & y & = & m x + b \\ y & = & −2 x + 3 & y & = & −2 x - 1 \\ m & = & −2 & m & = & −2 \\ b & = & 3, (0, 3) & b & = & −1, (0, −1) \end{matrix}

Hallatölur línanna eru eins en skurðpunktarnir við y-ás ólíkir. Við vitum því að línurnar eru samsíða.

Þar sem samsíða línur hafa sömu hallatölu en ólíka skurðpunkta við y-ás getum við nú einfaldlega skoðað hallatöluform jafna línanna og ákvarðað hvort þær séu samsíða.

Dæmi 4.51

Notið hallatölur og skurðpunkta við y-ás til að ákvarða hvort línurnar $3 x - 2 y = 6$ og $y = \frac{3}{2} x + 1$ séu samsíða.

Lausn

Leysið fyrri jöfnuna með tilliti til y.	3 x − 2 y = 6 − 2 y = −3 x + 6 −2 y/−2 = −3 x + 6/−2	og	y = $\frac{3}{2}$ x + 1
Jafnan er nú á hallatöluformi.	y = $\frac{3}{2}$ x − 3
Jafna seinni línunnar er þegar á hallatöluformi.			y = $\frac{3}{2}$ x + 1
Finnið hallatölu og y-skurðpunkt beggja lína.	y = $\frac{3}{2}$ x − 3 y = m x + b m = $\frac{3}{2}$		y = $\frac{3}{2}$ x + 1 y = m x + b m = $\frac{3}{2}$
	y -intercept is (0, −3)		y -intercept is (0, 1)

Línurnar hafa sömu hallatölu en ólíka skurðpunkta við y-ás og eru því samsíða. Þið getið teiknað gröf línanna til að staðfesta að þær séu samsíða.

Dæmi 4.52

Notið hallatölur og skurðpunkta við y-ás til að ákvarða hvort línurnar $y = −4$ og $y = 3$ séu samsíða.

Lausn

	y = −4 y = 0 x − 4	og	y = 3 y = 0 x + 3
Ritið hvora jöfnu á hallatöluformi.	y = 0 x − 4		y = 0 x + 3
Þar sem enginn x-liður er til staðar ritum við 0 x.	y = m x + b		y = m x + b
Finnið hallatölu og y-skurðpunkt beggja lína.	m = 0		m = 0
	y -intercept is (0, 4)		y -intercept is (0, 3)

Línurnar hafa sömu hallatölu en ólíka skurðpunkta við y-ás og eru því samsíða.

Einnig má skoða dæmið á annan hátt. Ef þið sjáið strax af jöfnunum að línurnar eru láréttar vitið þið að hallatala beggja er 0. Þar sem láréttu línurnar skera y-ásinn í $y = −4$ og $y = 3$ vitum við að skurðpunktarnir við y-ás eru $(0, −4)$ og $(0, 3)$ . Línurnar hafa sömu hallatölu en ólíka skurðpunkta við y-ás og eru því samsíða.

Dæmi 4.53

Notið hallatölur og skurðpunkta við y-ás til að ákvarða hvort línurnar $x = −2$ og $x = −5$ séu samsíða.

Lausn

x = - 2 og x = - 5 x = - 2 og x = - 5

Þar sem ekkert $y$ er í jöfnunum er ekki hægt að rita þær á hallatöluformi. Við sjáum hins vegar að þær eru jöfnur lóðréttra lína. Skurðpunktar þeirra við x-ás eru $−2$ og $−5$ . Þar sem skurðpunktarnir við x-ás eru ólíkir eru lóðréttu línurnar samsíða.

Dæmi 4.54

Notið hallatölur og skurðpunkta við y-ás til að ákvarða hvort línurnar $y = 2 x - 3$ og $−6 x + 3 y = −9$ séu samsíða. Þið getið einnig teiknað gröf línanna til að sjá hvernig þær líta út.

Lausn

	y = 2 x − 3	og	−6 x + 3 y = −9
Fyrri jafnan er þegar á hallatöluformi.	y = 2 x − 3
Leysið seinni jöfnuna með tilliti til y.			− 6 x + 3 y = −9 3 y = 6 x − 9 3 y/3 = 6 x − $\frac{9}{3}$ y = 2 x − 3
Seinni jafnan er nú á hallatöluformi.	y = 2 x − 3
Finnið hallatölu og y-skurðpunkt beggja lína.	y = 2 x − 3 y = m x + b m = 2		y = 2 x − 3 y = m x + b m = 2
	y -intercept is (0, −3)		y -intercept is (0, −3)

Línurnar hafa sömu hallatölu og einnig sama skurðpunkt við y-ás. Jöfnurnar tákna því sömu línuna. Þær eru ekki samsíða línur heldur ein og sama línan.

Notið hallatölur til að þekkja hornréttar línur

Skoðum línurnar með jöfnurnar $y = \frac{1}{4} x - 1$ og $y = −4 x + 2$ sem sýndar eru á mynd 4.29.

Myndin sýnir tvær línur á grafi í xy-hnitakerfi. x-ásinn nær frá mínus 8 til 8 og y-ásinn frá mínus 8 til 8. Önnur línan er merkt með jöfnunni y jafnt mínus 4x plús 2 og liggur um punktana (0,2) og (1, mínus 2). Hin línan er merkt með jöfnunni y jafnt einum fjórða x mínus 1 og liggur um punktana (0, mínus 1) og (4,0).

Línurnar liggja í sama fleti og skerast hornrétt. Við köllum þær hornréttar.

Hvað takið þið eftir við hallatölur línanna? Þegar lesið er frá vinstri til hægri hækkar línan $y = \frac{1}{4} x - 1$ og hallatala hennar er því jákvæð. Línan $y = −4 x + 2$ lækkar frá vinstri til hægri og hefur því neikvæða hallatölu. Er rökrétt að hallatölur tveggja hornréttra lína hafi gagnstæð formerki?

Ef við skoðum hallatölu fyrri línunnar, $m_{1} = \frac{1}{4}$ , og hallatölu þeirrar síðari, $m_{2} = −4$ , sjáum við að þær eru gagnstæðar margföldunarandhverfur hvor annarrar. Þegar þær eru margfaldaðar saman er margfeldið $−1 .$

\begin{matrix} m_{1} \cdot m_{2} \\ \frac{1}{4} (−4) \\ - 1 \end{matrix}

Þetta gildir alltaf um hornréttar línur og leiðir til eftirfarandi skilgreiningar.

Við gátum skoðað hallatöluform línulegra jafna og ákvarðað hvort línurnar væru samsíða. Sama aðferð gildir um hornréttar línur.

Við finnum hallatöluform jöfnunnar og athugum hvort hallatölurnar séu gagnstæðar margföldunarandhverfur. Ef margfeldi hallatalnanna er $−1$ eru línurnar hornréttar. Hornréttar línur geta haft sama skurðpunkt við y-ás.

Dæmi 4.55

Notið hallatölur til að ákvarða hvort línurnar $y = −5 x - 4$ og $x - 5 y = 5$ séu hornréttar.

Lausn

Fyrri jafnan er þegar á hallatöluformi.	y = −5 x − 4
Leysið seinni jöfnuna með tilliti til y.	x − 5 y = 5 − 5 y = − x + 5 −5 y/−5 = − x + 5/−5 y = $\frac{1}{5}$ x − 1
Finnið hallatölu hvorrar línu.	y = −5 x − 4 y = m x + b m¹ = −5	y = 1/5 x − 1 y = m x + b m² = 1/5

Hallatölurnar eru gagnstæðar margföldunarandhverfur hvor annarrar og því eru línurnar hornréttar. Við staðfestum þetta með því að margfalda hallatölurnar:

\begin{matrix} m_{1} \cdot m_{2} \\ - 5 (\frac{1}{5}) \\ - 1 ✓ \end{matrix}

Dæmi 4.56

Notið hallatölur til að ákvarða hvort línurnar $7 x + 2 y = 3$ og $2 x + 7 y = 5$ séu hornréttar.

Lausn

Leysið jöfnurnar með tilliti til y.	7 x + 2 y = 3 2 y = −7 x + 3 2 y/2 = −7 x + $\frac{3}{2}$ y = − $\frac{7}{2}$ x + $\frac{3}{2}$	2 x + 7 y = 5 7 y = −2 x + 5 7 y/7 = −2 x + $\frac{5}{7}$ y = − $\frac{2}{7}$ x + $\frac{5}{7}$
Finnið hallatölu hvorrar línu.	y = m x + b m¹ = − 7/2	y = m x + b m² = − 2/7

Hallatölurnar eru margföldunarandhverfur en hafa sama formerki. Þar sem þær eru ekki gagnstæðar margföldunarandhverfur eru línurnar ekki hornréttar.

Æfingar úr kafla 4.5

Æfingin skapar meistarann

Greinið tengslin milli grafs og hallatöluforms jöfnu línu

Notið grafið í eftirfarandi æfingum til að finna hallatölu og skurðpunkt við y-ás hverrar línu. Berið gildin saman við jöfnuna $y = m x + b$ .

288.

Myndin sýnir línu á grafi í xy-hnitakerfi. x-ásinn nær frá mínus 10 til 10 og y-ásinn frá mínus 10 til 10. Línan liggur um punktana (0, mínus 5) og (1, mínus 2).

$y = 3 x - 5$

289.

Myndin sýnir línu á grafi í xy-hnitakerfi. x-ásinn nær frá mínus 10 til 10 og y-ásinn frá mínus 10 til 10. Línan liggur um punktana (0, mínus 2) og (1,2).

$y = 4 x - 2$

290.

Myndin sýnir línu á grafi í xy-hnitakerfi. x-ásinn nær frá mínus 10 til 10 og y-ásinn frá mínus 10 til 10. Línan liggur um punktana (0,4) og (1,3).

$y = − x + 4$

291.

Myndin sýnir línu á grafi í xy-hnitakerfi. x-ásinn nær frá mínus 10 til 10 og y-ásinn frá mínus 10 til 10. Línan liggur um punktana (0,1) og (1, mínus 2).

$y = −3 x + 1$

292.

Myndin sýnir línu á grafi í xy-hnitakerfi. x-ásinn nær frá mínus 10 til 10 og y-ásinn frá mínus 10 til 10. Línan liggur um punktana (0,1) og (3, mínus 3).

$y = - \frac{4}{3} x + 1$

293.

Myndin sýnir línu á grafi í xy-hnitakerfi. x-ásinn nær frá mínus 10 til 10 og y-ásinn frá mínus 10 til 10. Línan liggur um punktana (0,3) og (1,5).

$y = - \frac{2}{5} x + 3$

Finnið hallatölu og skurðpunkt við y-ás út frá jöfnu línu

Finnið hallatölu og skurðpunkt við y-ás hverrar línu í eftirfarandi æfingum.

294.

$y = −7 x + 3$

295.

$y = −9 x + 7$

296.

$y = 6 x - 8$

297.

$y = 4 x - 10$

298.

$3 x + y = 5$

299.

$4 x + y = 8$

300.

$6 x + 4 y = 12$

301.

$8 x + 3 y = 12$

302.

$5 x - 2 y = 6$

303.

$7 x - 3 y = 9$

Teiknið graf línu með hallatölu hennar og skurðpunkti við y-ás

Teiknið graf línunnar fyrir hverja jöfnu í eftirfarandi æfingum með hallatölu hennar og skurðpunkti við y-ás.

304.

$y = x + 3$

305.

$y = x + 4$

306.

$y = 3 x - 1$

307.

$y = 2 x - 3$

308.

$y = − x + 2$

309.

$y = − x + 3$

310.

$y = − x - 4$

311.

$y = − x - 2$

312.

$y = - \frac{3}{4} x - 1$

313.

$y = - \frac{2}{5} x - 3$

314.

$y = - \frac{3}{5} x + 2$

315.

$y = - \frac{2}{3} x + 1$

316.

$3 x - 4 y = 8$

317.

$4 x - 3 y = 6$

318.

$y = 0.1 x + 15$

319.

$y = 0.3 x + 25$

Veljið hentugustu aðferðina til að teikna graf línu

Ákvarðið hentugustu aðferðina til að teikna graf hverrar línu í eftirfarandi æfingum.

320.

$x = 2$

321.

$y = 4$

322.

$y = 5$

323.

$x = −3$

324.

$y = −3 x + 4$

325.

$y = −5 x + 2$

326.

$x - y = 5$

327.

$x - y = 1$

328.

$y = \frac{2}{3} x - 1$

329.

$y = \frac{4}{5} x - 3$

330.

$y = −3$

331.

$y = −1$

332.

$3 x - 2 y = −12$

333.

$2 x - 5 y = −10$

334.

$y = - \frac{1}{4} x + 3$

335.

$y = - \frac{1}{3} x + 5$

Teiknið gröf og túlkið hagnýt dæmi með hallatöluformi

336.

Jafnan $P = 31 + 1.75 w$ lýsir tengslunum milli mánaðarlegrar vatnsreikningsgreiðslu Tuyet Pí dölum og fjölda notaðra vatnseininga w.

ⓐ Finnið greiðslu Tuyet fyrir mánuð þegar 0 vatnseiningar eru notaðar.
ⓑ Finnið greiðslu Tuyet fyrir mánuð þegar 12 vatnseiningar eru notaðar.
ⓓ Teiknið graf jöfnunnar.

337.

Jafnan $P = 28 + 2.54 w$ lýsir tengslunum milli mánaðarlegrar greiðslu Randys fyrir vatnsnotkun Pí dölum og fjölda notaðra vatnseininga w.

ⓐ Finnið greiðsluna fyrir mánuð þegar Randy notaði 0 vatnseiningar.
ⓑ Finnið greiðsluna fyrir mánuð þegar Randy notaði 15 vatnseiningar.
ⓓ Teiknið graf jöfnunnar.

338.

Bruce notar bílinn sinn í vinnunni. Jafnan $R = 0.575 m + 42$ lýsir tengslunum milli endurgreiðslunnar Rí dölum og fjölda mílna msem hann ekur á einum degi.

ⓐ Finnið upphæðina sem Bruce fær endurgreidda fyrir dag þegar hann ekur 0 mílur.
ⓑ Finnið upphæðina sem Bruce fær endurgreidda fyrir dag þegar hann ekur 220 mílur.
ⓓ Teiknið graf jöfnunnar.

339.

Janelle hyggst leigja bíl í fríinu. Jafnan $C = 0.32 m + 15$ lýsir tengslunum milli daglegs kostnaðar Cí dölum og fjölda mílna msem hún ekur á einum degi.

ⓐ Finnið kostnaðinn ef Janelle ekur bílnum 0 mílur á einum degi.
ⓑ Finnið kostnaðinn fyrir dag þegar Janelle ekur bílnum 400 mílur.
ⓓ Teiknið graf jöfnunnar.

340.

Cherie vinnur við smásölu og vikulaun hennar fela í sér söluþóknun. Jafnan $S = 400 + 0.15 c$ lýsir tengslunum milli vikulauna hennar Sí dölum og söluupphæðarinnar cí dölum.

ⓐ Finnið vikulaun Cherie þegar sala hennar var 0.
ⓑ Finnið vikulaun Cherie þegar sala hennar var 3600.
ⓓ Teiknið graf jöfnunnar.

341.

Vikulaun Patels fela í sér grunnlaun og söluþóknun. Jafnan $S = 750 + 0.09 c$ lýsir tengslunum milli vikulauna hans Sí dölum og söluupphæðarinnar cí dölum.

ⓐ Finnið vikulaun Patels þegar sala hans var 0.
ⓑ Finnið vikulaun Patels þegar sala hans var 18.540.
ⓓ Teiknið graf jöfnunnar.

342.

Costa skipuleggur hádegisverðarveislu. Jafnan $C = 450 + 28 g$ lýsir tengslunum milli veislukostnaðarins Cí dölum og fjölda gesta g.

ⓐ Finnið kostnaðinn ef gestirnir eru 40.
ⓑ Finnið kostnaðinn ef gestirnir eru 80.
ⓓ Teiknið graf jöfnunnar.

343.

Margie skipuleggur kvöldverðarveislu. Jafnan $C = 750 + 42 g$ lýsir tengslunum milli veislukostnaðarins C í dölum og fjölda gesta g.

ⓐ Finnið kostnaðinn ef gestirnir eru 50.
ⓑ Finnið kostnaðinn ef gestirnir eru 100.
ⓓ Teiknið graf jöfnunnar.

Notið hallatölur til að þekkja samsíða línur

Notið hallatölur og skurðpunkta við y-ás í eftirfarandi æfingum til að ákvarða hvort línurnar séu samsíða.

344.

$y = \frac{3}{4} x - 3; 3 x - 4 y = - 2$

345.

$y = \frac{2}{3} x - 1; 2 x - 3 y = - 2$

346.

$2 x - 5 y = - 3; y = \frac{2}{5} x + 1$

347.

$3 x - 4 y = - 2; y = \frac{3}{4} x - 3$

348.

$2 x - 4 y = 6; x - 2 y = 3$

349.

$6 x - 3 y = 9; 2 x - y = 3$

350.

$4 x + 2 y = 6; 6 x + 3 y = 3$

351.

$8 x + 6 y = 6; 12 x + 9 y = 12$

352.

$x = 5; x = - 6$

353.

$x = 7; x = - 8$

354.

$x = - 4; x = - 1$

355.

$x = - 3; x = - 2$

356.

$y = 2; y = 6$

357.

$y = 5; y = 1$

358.

$y = - 4; y = 3$

359.

$y = - 1; y = 2$

360.

$x - y = 2; 2 x - 2 y = 4$

361.

$4 x + 4 y = 8; x + y = 2$

362.

$x - 3 y = 6; 2 x - 6 y = 12$

363.

$5 x - 2 y = 11; 5 x - y = 7$

364.

$3 x - 6 y = 12; 6 x - 3 y = 3$

365.

$4 x - 8 y = 16; x - 2 y = 4$

366.

$9 x - 3 y = 6; 3 x - y = 2$

367.

$x - 5 y = 10; 5 x - y = - 10$

368.

$7 x - 4 y = 8; 4 x + 7 y = 14$

369.

$9 x - 5 y = 4; 5 x + 9 y = - 1$

Notið hallatölur til að þekkja hornréttar línur

Notið hallatölur og skurðpunkta við y-ás í eftirfarandi æfingum til að ákvarða hvort línurnar séu hornréttar.

370.

$3 x - 2 y = 8; 2 x + 3 y = 6$

371.

$x - 4 y = 8; 4 x + y = 2$

372.

$2 x + 5 y = 3; 5 x - 2 y = 6$

373.

$2 x + 3 y = 5; 3 x - 2 y = 7$

374.

$3 x - 2 y = 1; 2 x - 3 y = 2$

375.

$3 x - 4 y = 8; 4 x - 3 y = 6$

376.

$5 x + 2 y = 6; 2 x + 5 y = 8$

377.

$2 x + 4 y = 3; 6 x + 3 y = 2$

378.

$4 x - 2 y = 5; 3 x + 6 y = 8$

379.

$2 x - 6 y = 4; 12 x + 4 y = 9$

380.

$6 x - 4 y = 5; 8 x + 12 y = 3$

381.

$8 x - 2 y = 7; 3 x + 12 y = 9$

Stærðfræði daglegs lífs

382.

Jöfnuna $C = \frac{5}{9} F - 17.8$ má nota til að umreikna Fahrenheit-hitastig Fí Celsíus-hitastig C.

ⓐ Útskýrið hvað hallatala jöfnunnar merkir.
ⓑ Útskýrið hvað skurðpunktur jöfnunnar við C-ás merkir.

383.

Jafnan $n = 4 T - 160$ er notuð til að áætla fjölda tísta frá krybbum, n, á einni mínútu út frá hitastiginu Tá Fahrenheit-kvarða.

ⓐ Útskýrið hvað hallatala jöfnunnar merkir.
ⓑ Útskýrið hvað skurðpunktur jöfnunnar við n-ás merkir. Eru þetta raunhæfar aðstæður?

Ritunaræfingar

384.

Útskýrið með eigin orðum hvernig þið ákveðið hvaða aðferð skuli nota til að teikna graf línu.

385.

Hvers vegna eru allar láréttar línur samsíða?

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið æfingunum skulið þið nota þennan gátlista til að meta hversu góðum tökum þið hafið náð á markmiðum kaflans.

Taflan hefur átta raðir og fjóra dálka. Fyrsta röðin er fyrirsagnarröð sem auðkennir dálkana. Fyrsti dálkurinn heitir „Ég get …“, annar „Örugglega“, þriðji „Með nokkurri hjálp“ og sá síðasti „Nei — ég skil þetta ekki“. Í dálkinum „Ég get …“ stendur í annarri röð „greint tengsl grafs og hallatöluforms jöfnu línu“. Í þriðju röð stendur „fundið hallatölu og skurðpunkt við y-ás út frá jöfnu línu“. Í fjórðu röð stendur „teiknað graf línu með hallatölu hennar og skurðpunkti við y-ás“. Í fimmtu röð stendur „valið hentugustu aðferðina til að teikna graf línu“. Í sjöttu röð stendur „teiknað gröf og túlkað hagnýt dæmi með hallatöluformi“. Í sjöundu röð stendur „notað hallatölur til að þekkja samsíða línur“ og í síðustu röð „notað hallatölur til að þekkja hornréttar línur“. Hinir dálkarnir eru auðir.

ⓑ Eftir að hafa skoðað gátlistann teljið þið ykkur vel undirbúin fyrir næsta kafla? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?