44 Gröf

4.6 Finnið jöfnu línu

Námsmarkmið

Við lok þessa hluta eigið þið að geta:

Fundið jöfnu línu þegar hallatala og skurðpunktur við y-ás eru gefin
Fundið jöfnu línu þegar hallatala og punktur eru gefin
Fundið jöfnu línu þegar tveir punktar eru gefnir
Fundið jöfnu línu sem er samsíða gefinni línu
Fundið jöfnu línu sem er hornrétt á gefna línu

Hvernig geta netverslanir vitað, út frá vöru sem þið hafið nýlega pantað, að tiltekin vara gæti einnig höfðað til ykkar? Hvernig geta hagfræðingar vitað hvaða áhrif hækkun lágmarkslauna hefur á atvinnuleysi? Hvernig geta læknavísindamenn þróað lyf sem beinast gegn krabbameinsfrumum? Hvernig geta umferðarverkfræðingar spáð fyrir um áhrif hækkunar eða lækkunar eldsneytisverðs á ferðatíma ykkar til og frá vinnu? Allt byggist þetta á stærðfræði.

Þið hafið náð spennandi áfanga í stærðfræðináminu þar sem stærðfræðin sem þið lærið á sér áhugaverða hagnýtingu í raunveruleikanum.

Í raunvísindum, félagsvísindum og viðskiptalífinu eru fjölmargar aðstæður sem hægt er að lýsa með línulegum jöfnum sem tengja saman tvær breytur. Gögnum er safnað og þau sett fram á grafi. Ef gagnapunktarnir virðast liggja á beinni línu má nota jöfnu línunnar til að spá fyrir um gildi annarrar breytunnar út frá gildi hinnar.

Til að búa til stærðfræðilegt líkan af línulegum tengslum tveggja breyta þurfum við að geta fundið jöfnu línunnar. Í þessum hluta skoðum við nokkrar leiðir til að skrifa jöfnu línu. Upplýsingarnar sem gefnar eru ráða því hvaða aðferð við notum.

Finnið jöfnu línu þegar hallatala og skurðpunktur við y-ás eru gefin

Við getum auðveldlega fundið hallatölu línu og skurðpunkt hennar við y-ás ef jafnan er skrifuð á hallatöluformi, $y = m x + b .$ Nú snúum við ferlinu við: Við byrjum á hallatölunni og skurðpunktinum við y-ás og notum þessar upplýsingar til að finna jöfnu línunnar.

Dæmi 4.57

Finnið jöfnu línu með hallatöluna $−7$ og skurðpunktinn $(0, −1)$ við y-ás.

Lausn

Þar sem hallatala línunnar og skurðpunktur hennar við y-ás eru gefin getum við sett viðeigandi gildi inn í hallatöluformið, $y = m x + b$ .

Tilgreinið hallatöluna.
Tilgreinið skurðpunktinn við y-ás.
Setjið gildin inn í y = m x + b .

Stundum þarf að lesa hallatölu og skurðpunkt af grafi.

Dæmi 4.58

Finnið jöfnu línunnar sem sýnd er.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná hvor um sig frá −7 til 7. Lína sker y-ásinn í (0, −4), liggur um merkta punktinn (3, −2) og sker x-ásinn í (4, 0).

Lausn

Við þurfum að lesa hallatölu línunnar og skurðpunkt hennar við y-ás af grafinu svo við getum sett viðeigandi gildi inn í hallatöluformið, $y = m x + b$ .

Til að finna hallatöluna veljum við tvo punkta á grafinu.

Skurðpunkturinn við y-ás er $(0, −4)$ og grafið liggur um $(3, −2)$ .

Finnið hallatöluna með því að telja lóðréttu og láréttu breytinguna.

Finnið skurðpunktinn við y-ás.
Setjið gildin inn í y = m x + b .

Finnið jöfnu línu þegar hallatala og punktur eru gefin

Það hentar vel að nota hallatöluform jöfnu til að finna jöfnu línu þegar hallatalan og skurðpunkturinn við y-ás eru gefin eða þegar lesa má þau af grafi. En hvað gerum við þegar annar punktur er gefinn í stað skurðpunktsins við y-ás?

Við notum formúluna fyrir hallatölu til að leiða út annað form á jöfnu línu. Gerum ráð fyrir að lína hafi hallatöluna $m$ og liggi um tiltekinn punkt $(x_{1}, y_{1})$ og einhvern annan punkt sem við köllum einfaldlega $(x, y)$ . Við getum skrifað hallatölu línunnar og síðan umritað jöfnuna.

	m = y − y 1/x − x 1
Margfaldið báðar hliðar jöfnunnar með x − x 1.	m ( x − x 1 ) = ( y − y 1/x − x 1 ) ( x − x 1 )
Einfaldið.	m ( x − x 1 ) = y − y 1
Umritið jöfnuna þannig að y-liðirnir séu vinstra megin.	y − y 1 = m ( x − x 1 )

Þetta form kallast punkthallaform jöfnu línu.

Við getum notað punkthallaform jöfnu til að finna jöfnu línu þegar hallatalan og einn punktur eru gefin. Síðan umritum við jöfnuna á hallatöluform. Í flestum hagnýtum dæmum um línulegar jöfnur er hallatöluformið notað.

Dæmi 4.59

Finnið jöfnu línu þegar hallatala og punktur eru gefin

Finnið jöfnu línu með hallatöluna $m = \frac{2}{5}$ sem liggur um punktinn $(10, 3)$ . Skrifið jöfnuna á hallatöluformi.

Lausn

Myndin sýnir töflu með þremur dálkum og fjórum röðum. Fyrsti dálkurinn er fyrirsagnardálkur með heitum og númerum skrefanna. Í öðrum dálki eru nánari skriflegar leiðbeiningar og í þeim þriðja stærðfræðileg tákn og jöfnur. Í fyrstu röð stendur í reitnum vinstra megin: „Skref 1. Tilgreinið hallatöluna.“ Í öðrum reitnum stendur: „Hallatalan er gefin.“ Í þriðja reitnum er hallatala línu skilgreind sem m jafnt 2 fimmtu hlutum.

Í annarri röð stendur í fyrsta reitnum: „Skref 2. Tilgreinið punktinn.“ Í öðrum reitnum stendur: „Punkturinn er gefinn.“ Í þriðja reitnum er röðuð tvennd (10, 3). x með lágvísi 1 er skrifað yfir 10 og y með lágvísi 1 yfir 3.

Í skrefi 3 eru gildin sett inn í punkthallaformið: y mínus y með lágvísi einn er jafnt m sinnum x mínus x með lágvísi einn. Jafnan verður y mínus 3 jafnt 2/5 sinnum x mínus 10. Einföldun gefur y mínus 3 jafnt 2/5x mínus 4.

Í fjórðu röð stendur í fyrsta reitnum: „Skrifið jöfnuna á hallatöluformi.“ Annar reiturinn er auður. Í þriðja reitnum stendur y jafnt 2 fimmtu hlutum x mínus 1.

Dæmi 4.60

Finnið jöfnu línu með hallatöluna $m = - \frac{1}{3}$ sem liggur um punktinn $(6, −4)$ . Skrifið jöfnuna á hallatöluformi.

Lausn

Þar sem punktur og hallatala línunnar eru gefin getum við sett viðeigandi gildi inn í punkthallaformið, $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ .

Finnið hallatöluna.
Tilgreinið punktinn.
Setjið gildin inn í y − y¹ = m ( x − x¹ ) .

Einfaldið.
Skrifið á hallatöluformi.

Dæmi 4.61

Finnið jöfnu láréttrar línu sem liggur um punktinn $(−1, 2)$ . Skrifið jöfnuna á hallatöluformi.

Lausn

Hallatala sérhverrar láréttrar línu er 0. Við getum sett hallatöluna og punktinn inn í punkthallaformið, $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ .

Finnið hallatöluna.
Tilgreinið punktinn.
Setjið gildin inn í y − y¹ = m ( x − x¹ ) .

Einfaldið.


Skrifið á hallatöluformi.	Breytan yer einangruð en einnig mætti skrifa jöfnuna y = 0 x + 2.

Fengum við form láréttrar línu, $y = a$ ?

Finnið jöfnu línu þegar tveir punktar eru gefnir

Þegar gögnum úr raunveruleikanum er safnað má búa til línulegt líkan út frá tveimur gagnapunktum. Í næsta dæmi sjáum við hvernig finna má jöfnu línu þegar aðeins tveir punktar eru gefnir.

Hingað til höfum við tvo valkosti til að finna jöfnu línu: hallatöluform og punkthallaform. Þar sem við þekkjum tvo punkta er eðlilegra að nota punkthallaformið.

En þá þurfum við hallatöluna. Getum við fundið hana út frá aðeins tveimur punktum? Já. Þegar hallatalan er fundin getum við notað hana ásamt öðrum gefna punktinum til að finna jöfnuna.

Dæmi 4.62

Finnið jöfnu línu þegar tveir punktar eru gefnir

Finnið jöfnu línu sem liggur um punktana $(5, 4)$ og $(3, 6)$ . Skrifið jöfnuna á hallatöluformi.

Lausn

Tafla sem sýnir skrefin til að finna hallatölu línu. Skref 1: Finnið hallatöluna með formúlunni y tvö mínus y eitt, deilt með x tvö mínus x eitt. Útreikningurinn sýnir að hallatalan m er mínus einn.

Í annarri röð stendur í fyrsta reitnum: „Skref 2. Veljið annan punktinn.“ Í öðrum reitnum stendur: „Veljið hvorn punktinn sem er.“ Í þriðja reitnum er röðuð tvennd (5, 4), þar sem x með lágvísi 1 er yfir 5 og y með lágvísi 1 yfir 4.

Í þriðju röð stendur í fyrsta reitnum: „Skref 3. Setjið gildin inn í punkthallaformið, y mínus y með lágvísi 1 er jafnt m sinnum x mínus x með lágvísi 1 í sviga.“ Efsta línan í öðrum reitnum er auð. Í þriðja reitnum er punkthallaformið, y mínus y með lágvísi 1 er jafnt m sinnum x mínus x með lágvísi 1 í sviga. Fyrir neðan er punkthallaformið þar sem 5 er sett í stað x með lágvísi 1, 4 í stað y með lágvísi 1 og −1 í stað m: y mínus 4 er jafnt −1 sinnum x mínus 5 í sviga. Fyrir neðan stendur y mínus 4 er jafnt mínus x plús 5.

Í fjórðu röð stendur í fyrsta reitnum: „Skref 4. Skrifið jöfnuna á hallatöluformi.“ Annar reiturinn er auður. Í þriðja reitnum stendur y jafnt mínus x plús 9.

Notið punktinn $(3, 6)$ og sannreynið að sama jafna fáist.

Dæmi 4.63

Finnið jöfnu línu sem liggur um punktana $(−3, −1)$ og $(2, −2)$ . Skrifið jöfnuna á hallatöluformi.

Lausn

Þar sem tveir punktar eru gefnir finnum við jöfnu línunnar með punkthallaforminu. Fyrsta skrefið er að finna hallatöluna.

Finnið hallatölu línunnar sem liggur um (−3, −1) og (2, −2).



Veljið hvorn punktinn sem er.
Setjið gildin inn í y − y¹ = m ( x − x¹ ) .


Skrifið á hallatöluformi.

Dæmi 4.64

Finnið jöfnu línu sem liggur um punktana $(−2, 4)$ og $(−2, −3)$ . Skrifið jöfnuna á hallatöluformi.

Lausn

Aftur er fyrsta skrefið að finna hallatöluna.

Finnið hallatölu línunnar sem liggur um ( −2 , 4 ) og ( −2 , −3 ).	m = y² − y 1/x² − x¹
	m = −3 − 4/−2 − ( −2 )
	m = − $\frac{7}{0}$
	Hallatalan er óskilgreind.

Þetta segir okkur að línan sé lóðrétt. Báðir punktarnir hafa x-hnitið $−2$ . Jafna línunnar er því $x = −2$ . Þar sem $y$ kemur ekki fyrir getum við ekki skrifað jöfnuna á hallatöluformi.

Gott getur verið að skissa graf með gefnu punktunum tveimur. Samræmist grafið þeirri niðurstöðu okkar að línan sé lóðrétt?

Við höfum séð að nota má annaðhvort hallatöluformið eða punkthallaformið til að finna jöfnu línu. Upplýsingarnar sem gefnar eru ráða því hvaða form við notum. Þetta er tekið saman í töflu 4.47.

Til að skrifa jöfnu línu
Ef gefið er:	Notið:	Jöfnuform:
Hallatala og skurðpunktur við y-ás	hallatöluform	$y = m x + b$
Hallatala og punktur	punkthallaform	y − y 1 = m ( x − x 1 )
Tveir punktar	punkthallaform	y − y 1 = m ( x − x 1 )

Finnið jöfnu línu sem er samsíða gefinni línu

Gerum ráð fyrir að við þurfum að finna jöfnu línu sem liggur um tiltekinn punkt og er samsíða gefinni línu. Við getum nýtt okkur að samsíða línur hafa sömu hallatölu. Við höfum því punkt og hallatölu, einmitt það sem þarf til að nota punkthallaformið.

Skoðum þetta fyrst á grafi.

Grafið sýnir graf $y = 2 x - 3$ . Við viljum teikna línu sem er samsíða þessari línu og liggur um punktinn $(−2, 1)$ .

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná hvor um sig frá −7 til 7. Línan með jöfnuna y jafnt 2x mínus 3 sker y-ásinn í (0, −3) og x-ásinn í (3 helmingum, 0). Annars staðar á grafinu er punkturinn (−2, 1) merktur.

Við vitum að samsíða línur hafa sömu hallatölu. Seinni línan hefur því sömu hallatölu ogy = 2 x − 3. Hallatalan erm ∥ = 2. Við notum táknið $m_{∥}$ fyrir hallatölu línu sem er samsíða línu með hallatöluna $m$ . (Takið eftir að lágvísirinn $∥$ líkist tveimur samsíða línum.)

Seinni línan liggur um $(−2, 1)$ og hefur $m = 2$ . Til að teikna línuna byrjum við í $(−2, 1)$ og teljum lóðréttu og láréttu breytinguna. Með $m = 2$ (eða $m = \frac{2}{1}$ ), teljum við lóðréttu breytinguna 2 og láréttu breytinguna 1. Síðan drögum við línuna.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná hvor um sig frá −7 til 7. Línan með jöfnuna y jafnt 2x mínus 3 sker y-ásinn í (0, −3) og x-ásinn í (3 helmingum, 0). Punktarnir (−2, 1) og (−1, 3) eru merktir. Önnur lína, samsíða þeirri fyrri, sker x-ásinn í (−5 helmingum, 0), liggur um punktana (−2, 1) og (−1, 3) og sker y-ásinn í (0, 5).

Virðast línurnar vera samsíða? Liggur seinni línan um $(−2, 1)$ ?

Skoðum nú hvernig þetta er gert með algebru.

Við getum notað annaðhvort hallatöluformið eða punkthallaformið til að finna jöfnu línu. Hér þekkjum við einn punkt og getum fundið hallatöluna. Við notum því punkthallaformið.

Dæmi 4.65

Hvernig finna á jöfnu línu sem er samsíða gefinni línu

Finnið jöfnu línu sem er samsíða $y = 2 x - 3$ og liggur um punktinn $(−2, 1)$ . Skrifið jöfnuna á hallatöluformi.

Lausn

Í annarri röð stendur í fyrsta reitnum: „Skref 2. Finnið hallatölu samsíðu línunnar.“ Í öðrum reitnum stendur: „Samsíða línur hafa sömu hallatölu.“ Í þriðja reitnum er hallatala samsíðu línunnar skilgreind sem m með samsíðatákn jafnt 2.

Í fjórðu röð stendur í fyrsta reitnum: „Skref 4. Setjið gildin inn í punkthallaformið, y mínus y með lágvísi 1 er jafnt m sinnum x mínus x með lágvísi 1 í sviga.“ Efst í öðrum reitnum er autt. Í þriðja reitnum er punkthallaformið, y mínus y með lágvísi 1 er jafnt m sinnum x mínus x með lágvísi 1 í sviga. Fyrir neðan er formið þar sem −2 er sett í stað x með lágvísi 1, 1 í stað y með lágvísi 1 og 2 í stað m: y mínus 1 er jafnt 2 sinnum x mínus −2 í sviga. Línu neðar stendur „Einfaldið.“ í öðrum reitnum. Í hægri dálki stendur y mínus 1 er jafnt 2 sinnum x plús 2. Fyrir neðan stendur y mínus 1 er jafnt 2x plús 4.

Í fimmtu röð stendur í fyrsta reitnum: „Skref 5. Skrifið jöfnuna á hallatöluformi.“ Annar reiturinn er auður. Í þriðja reitnum stendur y jafnt 2x plús 5.

Er jafnan skynsamleg? Hver er skurðpunktur línunnar við y-ás? Hver er hallatalan?

Finnið jöfnu línu sem er hornrétt á gefna línu

Skoðum nú hornréttar línur. Gerum ráð fyrir að við þurfum að finna línu sem liggur um tiltekinn punkt og er hornrétt á gefna línu. Við getum nýtt okkur að hallatölur hornréttra lína eru neikvæðar margföldunarandhverfur hvor annarrar. Líkt og með samsíða línurnar notum við aftur punkthallaformið.

Grafið sýnir graf $y = 2 x - 3$ . Nú viljum við teikna línu sem er hornrétt á þessa línu og liggur um $(−2, 1)$ .

Við vitum að hallatölur hornréttra lína eru neikvæðar margföldunarandhverfur hvor annarrar. Við notum táknið $m_{⊥}$ fyrir hallatölu línu sem er hornrétt á línu með hallatöluna $m$ . (Takið eftir að lágvísirinn ⊥ líkist réttu hornunum sem tvær hornréttar línur mynda.)

\begin{matrix} y = 2 x - 3 & hornrétt lína \\ m = 2 & m_{⊥} = - \frac{1}{2} \end{matrix}

Við vitum nú að hornrétta línan liggur um $(−2, 1)$ og hefur $m_{⊥} = - \frac{1}{2}$ .

Til að teikna línuna byrjum við í $(−2, 1)$ og teljum lóðréttu breytinguna $−1$ og láréttu breytinguna 2. Síðan drögum við línuna.

Graf tveggja lína í xy-hnitakerfi. Fyrri línan, y jafnt 2x mínus 3, sker y-ásinn í −3 og x-ásinn í einum og hálfum, núlli. Önnur lína liggur um −2, 1 og myndar rétthyrndan þríhyrning með fyrri línunni.

Virðast línurnar vera hornréttar? Liggur seinni línan um $(−2, 1)$ ?

Skoðum nú hvernig þetta er gert með algebru. Við getum notað annaðhvort hallatöluformið eða punkthallaformið til að finna jöfnu línu. Í þessu dæmi þekkjum við einn punkt og getum fundið hallatöluna og því notum við punkthallaformið.

Dæmi 4.66

Hvernig finna á jöfnu línu sem er hornrétt á gefna línu

Finnið jöfnu línu sem er hornrétt á $y = 2 x - 3$ og liggur um punktinn $(−2, 1)$ . Skrifið jöfnuna á hallatöluformi.

Lausn

Í annarri röð stendur í fyrsta reitnum: „Skref 2. Finnið hallatölu hornréttu línunnar.“ Í öðrum reitnum stendur: „Hallatölur hornréttra lína eru neikvæðar margföldunarandhverfur.“ Í þriðja reitnum er hallatala hornréttu línunnar skilgreind sem m með hornréttumerki jafnt −1 helmingur.

Í þriðju röð stendur í fyrsta reitnum: „Skref 3. Tilgreinið punktinn.“ Í öðrum reitnum stendur: „Gefni punkturinn er (−2, 1).“ Í þriðja reitnum er röðuð tvennd (−2, 1), þar sem x með lágvísi 1 er yfir −2 og y með lágvísi 1 yfir 1.

Í fimmtu röð stendur í fyrsta reitnum: „Skref 5. Skrifið jöfnuna á hallatöluformi.“ Annar reiturinn er auður. Í þriðja reitnum stendur y jafnt −1 helmingur x.

Dæmi 4.67

Finnið jöfnu línu sem er hornrétt á $x = 5$ og liggur um punktinn $(3, −2)$ . Skrifið jöfnuna á hallatöluformi.

Lausn

Þar sem við þekkjum einn punkt virðist punkthallaformið aftur vænlegra en hallatöluformið. Til að nota það þurfum við hallatöluna og við vitum að nýja línan verður hornrétt á $x = 5$ . Sú lína er lóðrétt og því verður hornrétta línan lárétt. Þetta segir okkur $m_{⊥} = 0$ .

Tilgreinið punktinn.	( 3 , −2 )
Tilgreinið hallatölu hornréttu línunnar.	m ⊥ = 0
Setjið gildin inn í y − y¹ = m ( x − x 1 ).	y − y¹ = m ( x − x¹ ) y − ( −2 ) = 0 ( x − 3 ) y + 2 = 0
Einfaldið.	y = −2

Skissið gröf beggja lína. Virðast þær vera hornréttar?

Í dæmi 4.67 notuðum við punkthallaformið til að finna jöfnuna. Við hefðum einnig getað nálgast dæmið á annan hátt.

Við viljum finna línu sem er hornrétt á $x = 5$ og liggur um punktinn $(3, −2)$ . Grafið sýnir línuna $x = 5$ og punktinn $(3, −2)$ .

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná hvor um sig frá −7 til 7. Línan með jöfnuna x jafnt 5 sker x-ásinn í (5, 0) og er samsíða y-ásnum. Annars staðar á grafinu er punkturinn (3, −2) merktur.

Við vitum að sérhver lína sem er hornrétt á lóðrétta línu er lárétt og því skissum við láréttu línuna sem liggur um $(3, −2)$ .

Virðast línurnar vera hornréttar?

Ef við skoðum nokkra punkta á þessari láréttu línu sjáum við að allir hafa y-hnitið $−2$ . Jafna línunnar sem er hornrétt á lóðréttu línuna $x = 5$ er því $y = −2$ .

Dæmi 4.68

Finnið jöfnu línu sem er hornrétt á $y = −4$ og liggur um punktinn $(−4, 2)$ . Skrifið jöfnuna á hallatöluformi.

Lausn

Línan $y = −4$ er lárétt. Sérhver lína sem er hornrétt á hana verður að vera lóðrétt og á forminu $x = a$ . Þar sem hornrétta línan er lóðrétt og liggur um $(−4, 2)$ hafa allir punktar hennar x-hnitið $−4$ . Jafna hornréttu línunnar er $x = −4$ . Gott getur verið að skissa línurnar. Virðast þær vera hornréttar?

Verkefni úr hluta 4.6

Æfingin skapar meistarann

Finnið jöfnu línu þegar hallatala og skurðpunktur við y-ás eru gefin

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið finna jöfnu línu með gefna hallatölu og skurðpunkt við y-ás. Skrifið jöfnuna á hallatöluformi.

386.

hallatala 3 og skurðpunktur við y-ás $(0, 5)$

387.

hallatala 4 og skurðpunktur við y-ás $(0, 1)$

388.

hallatala 6 og skurðpunktur við y-ás $(0, −4)$

389.

hallatala 8 og skurðpunktur við y-ás $(0, −6)$

390.

hallatala $−1$ og skurðpunktur við y-ás $(0, 3)$

391.

hallatala $−1$ og skurðpunktur við y-ás $(0, 7)$

392.

hallatala $−2$ og skurðpunktur við y-ás $(0, −3)$

393.

hallatala $−3$ og skurðpunktur við y-ás $(0, −1)$

394.

hallatala $\frac{3}{5}$ og skurðpunktur við y-ás $(0, −1)$

395.

hallatala $\frac{1}{5}$ og skurðpunktur við y-ás $(0, −5)$

396.

hallatala $- \frac{3}{4}$ og skurðpunktur við y-ás $(0, −2)$

397.

hallatala $- \frac{2}{3}$ og skurðpunktur við y-ás $(0, −3)$

398.

hallatala 0 og skurðpunktur við y-ás $(0, −1)$

399.

hallatala 0 og skurðpunktur við y-ás $(0, 2)$

400.

hallatala $−3$ og skurðpunktur við y-ás $(0, 0)$

401.

hallatala $−4$ og skurðpunktur við y-ás $(0, 0)$

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið finna jöfnu línunnar sem sýnd er á hverju grafi. Skrifið jöfnuna á hallatöluformi.

402.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná hvor um sig frá −9 til 9. Punkturinn (1, −2) er merktur. Lína sker y-ásinn í (0, −5), liggur um punktinn (1, −2) og sker x-ásinn í (5 þriðju hlutum, 0).

403.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná hvor um sig frá −9 til 9. Punkturinn (2, 0) er merktur. Lína sker y-ásinn í (0, 4) og x-ásinn í (2, 0).

404.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná hvor um sig frá −9 til 9. Punkturinn (6, 0) er merktur. Lína sker y-ásinn í (0, −3) og x-ásinn í (6, 0).

405.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná hvor um sig frá −9 til 9. Punkturinn (4, 5) er merktur. Lína sker x-ásinn í (−8 þriðju hlutum, 0), sker y-ásinn í (0, 2) og liggur um punktinn (4, 5).

406.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná hvor um sig frá −9 til 9. Punkturinn (3, −1) er merktur. Lína sker y-ásinn í (0, 2), sker x-ásinn í (9 fjórðu hlutum, 0) og liggur um punktinn (3, −1).

407.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná hvor um sig frá −9 til 9. Punkturinn (2, −4) er merktur. Lína sker x-ásinn í (−2 þriðju hlutum, 0), sker y-ásinn í (0, −1) og liggur um punktinn (2, −4).

408.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná hvor um sig frá −9 til 9. Punkturinn (2, −2) er merktur. Lína sem er samsíða x-ásnum sker y-ásinn í (0, −2) og liggur um punktinn (2, −2).

409.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná hvor um sig frá −9 til 9. Punkturinn (−3, 6) er merktur. Lína sem er samsíða x-ásnum liggur um (−3, 6) og sker y-ásinn í (0, 6).

Finnið jöfnu línu þegar hallatala og punktur eru gefin

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið finna jöfnu línu með gefna hallatölu sem liggur um gefna punktinn. Skrifið jöfnuna á hallatöluformi.

410.

$m = \frac{5}{8}$ , punktur $(8, 3)$

411.

$m = \frac{3}{8}$ , punktur $(8, 2)$

412.

$m = \frac{1}{6}$ , punktur $(6, 1)$

413.

$m = \frac{5}{6}$ , punktur $(6, 7)$

414.

$m = - \frac{3}{4}$ , punktur $(8, −5)$

415.

$m = - \frac{3}{5}$ , punktur $(10, −5)$

416.

$m = - \frac{1}{4}$ , punktur $(−12, −6)$

417.

$m = - \frac{1}{3}$ , punktur $(−9, −8)$

418.

Lárétt lína sem liggur um $(−2, 5)$

419.

Lárétt lína sem liggur um $(−1, 4)$

420.

Lárétt lína sem liggur um $(−2, −3)$

421.

Lárétt lína sem liggur um $(−1, −7)$

422.

$m = - \frac{3}{2}$ , punktur $(−4, −3)$

423.

$m = - \frac{5}{2}$ , punktur $(−8, −2)$

424.

$m = −7$ , punktur $(−1, −3)$

425.

$m = −4$ , punktur $(−2, −3)$

426.

Lárétt lína sem liggur um $(2, −3)$

427.

Lárétt lína sem liggur um $(4, −8)$

Finnið jöfnu línu þegar tveir punktar eru gefnir

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið finna jöfnu línu sem liggur um gefnu punktana. Skrifið jöfnuna á hallatöluformi.

428.

$(2, 6)$ og $(5, 3)$

429.

$(3, 1)$ og $(2, 5)$

430.

$(4, 3)$ og $(8, 1)$

431.

$(2, 7)$ og $(3, 8)$

432.

$(−3, −4)$ og $(5 - 2)$

433.

$(−5, −3)$ og $(4, −6)$

434.

$(−1, 3)$ og $(−6, −7)$

435.

$(−2, 8)$ og $(−4, −6)$

436.

$(6, −4)$ og $(−2, 5)$

437.

$(3, −2)$ og $(−4, 4)$

438.

$(0, 4)$ og $(2, −3)$

439.

$(0, −2)$ og $(−5, −3)$

440.

$(7, 2)$ og $(7, −2)$

441.

$(4, 2)$ og $(4, −3)$

442.

$(−7, −1)$ og $(−7, −4)$

443.

$(−2, 1)$ og $(−2, −4)$

444.

$(6, 1)$ og $(0, 1)$

445.

$(6, 2)$ og $(−3, 2)$

446.

$(3, −4)$ og $(5, −4)$

447.

$(−6, −3)$ og $(−1, −3)$

448.

$(4, 3)$ og $(8, 0)$

449.

$(0, 0)$ og $(1, 4)$

450.

$(−2, −3)$ og $(−5, −6)$

451.

$(−3, 0)$ og $(−7, −2)$

452.

$(8, −1)$ og $(8, −5)$

453.

$(3, 5)$ og $(−7, 5)$

Finnið jöfnu línu sem er samsíða gefinni línu

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið finna jöfnu línu sem er samsíða gefnu línunni og liggur um gefna punktinn. Skrifið jöfnuna á hallatöluformi.

454.

lína $y = 4 x + 2$ , punktur $(1, 2)$

455.

lína $y = 3 x + 4$ , punktur $(2, 5)$

456.

lína $y = −2 x - 3$ , punktur $(−1, 3)$

457.

lína $y = −3 x - 1$ , punktur $(2, −3)$

458.

lína $3 x - y = 4$ , punktur $(3, 1)$

459.

lína $2 x - y = 6$ , punktur $(3, 0)$

460.

lína $4 x + 3 y = 6$ , punktur $(0, −3)$

461.

lína $2 x + 3 y = 6$ , punktur $(0, 5)$

462.

lína $x = −3$ , punktur $(−2, −1)$

463.

lína $x = −4$ , punktur $(−3, −5)$

464.

lína $x - 2 = 0$ , punktur $(1, −2)$

465.

lína $x - 6 = 0$ , punktur $(4, −3)$

466.

lína $y = 5$ , punktur $(2, −2)$

467.

lína $y = 1$ , punktur $(3, −4)$

468.

lína $y + 2 = 0$ , punktur $(3, −3)$

469.

lína $y + 7 = 0$ , punktur $(1, −1)$

Finnið jöfnu línu sem er hornrétt á gefna línu

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið finna jöfnu línu sem er hornrétt á gefnu línuna og liggur um gefna punktinn. Skrifið jöfnuna á hallatöluformi.

470.

lína $y = −2 x + 3$ , punktur $(2, 2)$

471.

lína $y = − x + 5$ , punktur $(3, 3)$

472.

lína $y = \frac{3}{4} x - 2$ , punktur $(−3, 4)$

473.

lína $y = \frac{2}{3} x - 4$ , punktur $(2, −4)$

474.

lína $2 x - 3 y = 8$ , punktur $(4, −1)$

475.

lína $4 x - 3 y = 5$ , punktur $(−3, 2)$

476.

lína $2 x + 5 y = 6$ , punktur $(0, 0)$

477.

lína $4 x + 5 y = −3$ , punktur $(0, 0)$

478.

lína $y - 3 = 0$ , punktur $(−2, −4)$

479.

lína $y - 6 = 0$ , punktur $(−5, −3)$

480.

lína: y-ásinn; punktur $(3, 4)$

481.

lína: y-ásinn; punktur $(2, 1)$

Blönduð verkefni

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið finna jöfnu hverrar línu. Skrifið jöfnuna á hallatöluformi.

482.

Liggur um punktana $(4, 3)$ og $(8, 1)$

483.

Liggur um punktana $(2, 7)$ og $(3, 8)$

484.

$m = \frac{1}{6}$ , liggur um punktinn $(6, 1)$

485.

$m = \frac{5}{6}$ , liggur um punktinn $(6, 7)$

486.

Samsíða línunni $4 x + 3 y = 6$ , liggur um punktinn $(0, −3)$

487.

Samsíða línunni $2 x + 3 y = 6$ , liggur um punktinn $(0, 5)$

488.

$m = - \frac{3}{4}$ , liggur um punktinn $(8, −5)$

489.

$m = - \frac{3}{5}$ , liggur um punktinn $(10, −5)$

490.

Hornrétt á línuna $y - 1 = 0$ , liggur um punktinn $(−2, 6)$

491.

Hornrétt á y-ásinn og liggur um punktinn $(−6, 2)$

492.

Liggur um punktana $(4, 3)$ og $(8, 1)$

493.

Liggur um punktana $(−2, 0)$ og $(−3, −2)$

494.

Samsíða línunni $x = −3$ , liggur um punktinn $(−2, −1)$

495.

Samsíða línunni $x = −4$ , liggur um punktinn $(−3, −5)$

496.

Liggur um punktana $(−3, −4)$ og $(2, −5)$

497.

Liggur um punktana $(−5, −3)$ og $(4, −6)$

498.

Hornrétt á línuna $x - 2 y = 5$ , liggur um punktinn $(−2, 2)$

499.

Hornrétt á línuna $4 x + 3 y = 1$ , liggur um punktinn $(0, 0)$

Stærðfræði daglegs lífs

500.

Kólesteról. Aldur, $x$ , og gildi lágþéttni lípópróteins (LDL), $y$ , hjá tveimur körlum eru gefin með punktunum $(18, 68)$ og $(27, 122)$ . Finnið línulega jöfnu sem lýsir tengslunum milli aldurs og LDL-kólesterólgildis.

501.

Eldsneytisnotkun. Fjöldi mílna á gallon í borgarakstri, $x$ , og á þjóðvegi, $y$ , fyrir tvo bíla er gefinn með punktunum $(29, 40)$ og $(19, 28)$ . Finnið línulega jöfnu sem lýsir tengslunum milli eldsneytisnýtingar í borgarakstri og á þjóðvegi.

Ritunarverkefni

502.

Hvers vegna eru allar láréttar línur samsíða?

503.

Útskýrið með eigin orðum hvers vegna hallatölur tveggja hornréttra lína þurfa að hafa gagnstæð formerki.

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum hlutans.

Tafla sem metur skilning nemenda á því að finna línulegar jöfnur. Dálkar: „Ég get …“, „Örugglega“, „Með nokkurri hjálp“ og „Nei — ég skil þetta ekki“. Raðirnar lýsa færni í að finna jöfnur út frá slope/intercept, slope/point, tveimur punktum, samsíða línum og hornréttum línum.

ⓑ Á kvarðanum 1–10, hvernig metið þið tök ykkar á efni hlutans með hliðsjón af svörunum á gátlistanum? Hvernig getið þið bætt þau?