22 Lausnir línulegra jafna og ójafna

2.1 Leysið jöfnur með því að draga sömu tölu frá eða leggja sömu tölu við báðar hliðar

Námsmarkmið

Að loknum þessum hluta eigið þið að geta:

Sannreynt lausn jöfnu
Leyst jöfnur með því að draga sömu tölu frá eða leggja sömu tölu við báðar hliðar
Leyst jöfnur sem þarf að einfalda
Sett orðalag fram sem jöfnu og leyst hana
Sett hagnýt verkefni fram með jöfnum og leyst þau

Sannreynið lausn jöfnu

Að leysa jöfnu líkist því að finna lausn á gátu. Markmiðið er að finna það gildi eða þau gildi breytunnar sem gera báðar hliðar jöfnunnar jafnar og gefa þannig sanna fullyrðingu. Sérhvert gildi breytunnar sem gerir jöfnuna sanna kallast lausn jöfnunnar. Það er svarið við gátunni.

Dæmi 2.1

Ákvarðið hvort $x = \frac{3}{2}$ sé lausn jöfnunnar $4 x - 2 = 2 x + 1$ .

Lausn

Þar sem lausn jöfnu er gildi breytunnar sem gerir jöfnuna sanna byrjum við á að setja gildi hugsanlegrar lausnar inn fyrir breytuna.



Margfaldið.
Dragið frá.

Þar sem $x = \frac{3}{2}$ gefur sanna jöfnu (4 er í raun jafnt 4) er $\frac{3}{2}$ lausn jöfnunnar $4 x - 2 = 2 x + 1$ .

Leysið jöfnur með því að draga sömu tölu frá eða leggja sömu tölu við báðar hliðar

Við notum líkan til að skýra ferlið við að leysa jöfnu. Umslag táknar breytuna, þar sem innihald þess er óþekkt, og hver talningarskífa táknar töluna einn. Við leggjum eitt umslag og nokkrar talningarskífur á vinnusvæðið eins og sýnt er á mynd 2.2. Á báðum hliðum vinnusvæðisins er sami fjöldi talningarskífa en nokkrar þeirra eru „faldar“ í umslaginu. Getið þið sagt hve margar talningarskífur eru í umslaginu?

Myndin sýnir vinnusvæði sem skiptist í tvær hliðar. Innihald vinstri hliðarinnar er jafnt innihaldi þeirrar hægri. Vinstra megin eru þrjár kringlóttar talningarskífur og umslag með óþekktum fjölda skífa. Hægra megin eru átta talningarskífur. — **Mynd 2.2.** Myndin sýnir líkan af jöfnu með einni breytu. Vinstra megin á vinnusvæðinu er óþekkt stærð, táknuð með umslagi, og þrjár talningarskífur en hægra megin eru átta talningarskífur.

Hvað eruð þið að hugsa? Hvaða skref takið þið í huganum til að finna hve margar talningarskífur eru í umslaginu?

Ef til vill hugsið þið: „Ég þarf að fjarlægja 3 talningarskífurnar neðst til vinstri svo að umslagið standi eitt eftir. Para má 3 skífurnar vinstra megin við 3 skífur hægra megin og því má taka þær af báðum hliðum. Þá verða fimm eftir hægra megin og því hljóta 5 talningarskífur að vera í umslaginu.“ Sjá mynd 2.3 til skýringar á þessu ferli.

Myndin sýnir tvö vinnusvæði sem hvort um sig skiptist í tvær hliðar. Vinstra megin á fyrra vinnusvæðinu eru þrjár talningarskífur innan fjólublás hrings og umslag með óþekktum fjölda skífa. Hægra megin eru átta skífur og þrjár þeirra eru einnig innan fjólublás hrings. Ör vísar frá fyrra vinnusvæðinu til þess síðara. Vinstra megin á síðara vinnusvæðinu er aðeins umslag en hægra megin eru fimm skífur. Síðara vinnusvæðið er eins og hið fyrra að öðru leyti en því að skífurnar þrjár innan fjólubláu hringjanna hafa verið fjarlægðar af báðum hliðum. — **Mynd 2.3.** Myndin sýnir líkan til að leysa jöfnu með einni breytu. Þrjár talningarskífur eru fjarlægðar af báðum hliðum vinnusvæðisins. Þá stendur óþekkta stærðin, táknuð með umslagi, ein eftir vinstra megin og fimm talningarskífur hægra megin. Óþekkta stærðin er því jöfn fimm.

Hvaða algebrujafna lýsir þessum aðstæðum? Á mynd 2.4 táknar hvor hlið vinnusvæðisins stæðu og miðlínan kemur í stað jafnaðarmerkisins. Við látum $x$ tákna innihald umslagsins.

Ritum nú með algebrutáknum skrefin sem við tókum til að finna hve margar talningarskífur voru í umslaginu:


Fyrst fjarlægðum við þrjár talningarskífur frá báðum hliðum.
Þá stóðu fimm eftir.

Sannprófun:

Fimm talningarskífur í umslaginu og þrjár í viðbót eru samtals átta.

5 + 3 = 8

Líkanið hefur gefið okkur hugmynd um hvernig leysa má eina gerð jafna. Markmiðið er að einangra breytuna öðrum megin við jafnaðarmerkið. Til að leysa slíkar jöfnur notum við regluna um að draga sömu tölu frá báðum hliðum jöfnu.

Skoðum hvernig þessi regla er notuð til að leysa jöfnu. Munið að markmiðið er að einangra breytuna öðrum megin við jafnaðarmerkið. Við sannreynum lausnir okkar með því að setja gildið inn í jöfnuna og ganga úr skugga um að fullyrðingin sé sönn.

Dæmi 2.2

Leysið: $y + 37 = −13 .$

Lausn

Til að einangra y drögum við 37 frá báðum hliðum samkvæmt frádráttarreglu jafnaðar.


Dragið 37 frá báðum hliðum til að snúa samlagningunni við.
Einfaldið.
Sannprófun:
Setjið inn y = −50

Þar sem $y = −50$ gerir $y + 37 = −13$ að sannri fullyrðingu höfum við fundið lausn jöfnunnar.

Hvað gerist þegar tala er dregin frá breytunni, eins og í jöfnunni $x - 5 = 8$ ? Þá notum við aðra jafnaðarreglu. Við viljum einangra breytuna og leggjum því töluna við báðar hliðar til að snúa frádrættinum við. Til þess notum við samlagningarreglu jafnaðar.

Í dæmi 2.2 var 37 lagt við y og því drógum við 37 frá til að snúa samlagningunni við. Í dæmi 2.3 þurfum við að snúa frádrætti við með samlagningarreglu jafnaðar.

Dæmi 2.3

Leysið: $a - 28 = −37 .$

Lausn


Leggið 28 við báðar hliðar til að snúa frádrættinum við.
Einfaldið.
Sannprófun:
Setjið inn a = −9

	Lausn jöfnunnar a − 28 = −37 er a = −9 .

Dæmi 2.4

Leysið: $x - \frac{5}{8} = \frac{3}{4} .$

Lausn


Notið samlagningarreglu jafnaðar.
Finnið minnsta samnefnarann til að leggja saman brotin hægra megin.
Einfaldið.
Sannprófun:
Setjið inn x = $\frac{11}{8}$ .
Dragið frá.
Einfaldið.
	Lausn jöfnunnar x − $\frac{5}{8}$ = $\frac{3}{4}$ er x = $\frac{11}{8}$ .

Í næsta dæmi er jafna með tugabrotum.

Dæmi 2.5

Leysið: $n - 0.63 = −4.2 .$

Lausn


Notið samlagningarreglu jafnaðar.
Leggið saman.
Sannprófun:
Látum n = −3.57.

Leysið jöfnur sem þarf að einfalda

Í dæmunum á undan gátum við einangrað breytuna með einni reikniaðgerð. Flestar jöfnur sem við rekumst á í algebru krefjast fleiri skrefa. Yfirleitt þarf að einfalda aðra eða báðar hliðar jöfnu áður en frádráttar- eða samlagningarregla jafnaðar er notuð.

Ávallt skal einfalda eins mikið og hægt er áður en reynt er að einangra breytuna. Að einfalda stæðu merkir að framkvæma allar reikniaðgerðir hennar. Einfaldið eina hlið jöfnunnar í einu. Athugið að einföldun er annað ferli en það að leysa jöfnu með því að beita sömu reikniaðgerð á báðar hliðar.

Dæmi 2.6

Hvernig leysa á jöfnur sem þarf að einfalda

Leysið: $9 x - 5 - 8 x - 6 = 7 .$

Lausn

Myndin sýnir töflu með þremur dálkum og fjórum línum. Fyrsti dálkurinn er hausdálkur og inniheldur heiti og númer hvers skrefs. Í öðrum dálki eru nánari skriflegar leiðbeiningar og í þeim þriðja er stærðfræðin. Í efstu línunni stendur í fyrsta reitnum til vinstri: „Skref 1. Einfaldið stæðurnar báðum megin eins mikið og hægt er.“ Í öðrum reitnum stendur: „Endurraðið liðunum með víxlreglu samlagningar. Sameinið samkynja liði. Athugið að nú hefur hvor hlið verið einfölduð eins mikið og hægt er.“ Í þriðja reitnum er jafnan 9 x mínus 5 mínus 8 x mínus 6 jafnt og 7. Þar fyrir neðan er sama jafna með endurröðuðum liðum: 9 x mínus 8 x mínus 5 mínus 6 jafnt og 7. Neðst er jafnan eftir að samkynja liðir hafa verið sameinaðir: x mínus 11 jafnt og 7.

Í annarri línu töflunnar stendur í fyrsta reitnum: „Skref 2. Einangrið breytuna.“ Í öðrum reitnum stendur: „Einangrið nú x. Snúið frádrættinum við með því að leggja 11 við báðar hliðar.“ Í þriðja reitnum er jafnan x mínus 11 plús 11 jafnt og 7 plús 11, og „plús 11“ er ritað með rauðu báðum megin.

Í þriðju línu töflunnar stendur í fyrsta reitnum: „Skref 3. Einfaldið báðar hliðar jöfnunnar.“ Annar reiturinn er auður. Í þriðja reitnum stendur x jafnt og 18.

Í fjórðu og neðstu línu töflunnar stendur í fyrsta reitnum: „Skref 4. Sannprófið lausnina.“ Annar reiturinn er auður. Í þriðja reitnum stendur: „Sannprófun: Setjið x jafnt og 18 inn.“ Þar fyrir neðan er jafnan 9 x mínus 5 mínus 8 x mínus 6 jafnt og 7. Næst kemur sama jafna þar sem 18 er ritað með rauðu innan sviga í stað hvers x: 9 sinnum 18 innan sviga mínus 5 mínus 8 sinnum 18 innan sviga mínus 6 jafnt og 7. Þar fyrir neðan er jafnan 162 mínus 5 mínus 144 mínus 6 jafnt og 7. Næst er jafnan 157 mínus 144 mínus 6 jafnt og 7. Þar fyrir neðan er 13 mínus 6 jafnt og 7. Í síðustu línunni er jafnan 7 jafnt og 7 með gátmerki við hliðina.

Dæmi 2.7

Leysið: $5 (n - 4) - 4 n = −8 .$

Lausn

Við einföldum báðar hliðar jöfnunnar eins mikið og hægt er áður en við reynum að einangra breytuna.


Beitið dreifireglunni vinstra megin.
Notið víxlregluna til að endurraða liðunum.
Sameinið samkynja liði.
Hvor hlið er nú einfölduð eins mikið og hægt er. Einangrið næst n.
Snúið frádrættinum við með samlagningarreglu jafnaðar.
Leggið saman.
Sannprófið. Setjið n = 12.
	Lausn jöfnunnar 5 ( n − 4 ) − 4 n = −8 er n = 12 .

Dæmi 2.8

Leysið: $3 (2 y - 1) - 5 y = 2 (y + 1) - 2 (y + 3) .$

Lausn

Við einföldum báðar hliðar jöfnunnar áður en við einangrum breytuna.


Beitið dreifireglunni báðum megin.
Notið víxlreglu samlagningar.
Sameinið samkynja liði.
Hvor hlið er nú einfölduð eins mikið og hægt er. Einangrið næst y.
Snúið frádrættinum við með samlagningarreglu jafnaðar.
Leggið saman.
Sannprófið. Látum y = −1.
	Lausn jöfnunnar 3 ( 2 y − 1 ) − 5 y = 2 ( y + 1 ) − 2 ( y + 3 ) er y = −1 .

Setjið orðalag fram sem jöfnu og leysið hana

Til að leysa hagnýt verkefni með algebru byrjum við á að þýða íslenskar setningar yfir í jöfnur. Fyrsta skrefið er að leita að orðinu eða orðunum sem tákna jafnaðarmerki. Tafla 2.1 sýnir nokkur algeng slík orð og orðasambönd.

Jafnt og =
erer jafnt oger sama ogniðurstaðan ergefurvarverður

Skrefin sem við notum til að setja setningu fram sem jöfnu eru talin upp hér á eftir.

Dæmi 2.9

Þýðið og leysið: Ellefu meira en x er jafnt og 54.

Lausn

Þýðið.
Dragið 11 frá báðum hliðum.
Einfaldið.
Sannprófun: Er 54 ellefu meira en 43? 43 + 11 = ? 54 54 = 54 ✓

Dæmi 2.10

Þýðið og leysið: Mismunurinn á $12 t$ og $11 t$ er $−14$ .

Lausn

Þýðið.
Einfaldið.
Sannprófun: 12 ( −14 ) − 11 ( −14 ) = ? −14 −168 + 154 = ? −14 −14 = −14 ✓

Setjið hagnýt verkefni fram sem jöfnur og leysið þau

Flestar spurningar sem krefjast algebrulegrar lausnar spretta af aðstæðum úr daglegu lífi. Í upphafi er spurningin sett fram á venjulegu máli en ekki með stærðfræðitáknum. Því er mikilvægt að geta sett hversdagslegar aðstæður fram á algebrumáli.

Við byrjum á að endursegja verkefnið í einni setningu, skilgreina breytu og þýða síðan setninguna yfir í jöfnu sem við leysum. Veljið bókstaf fyrir breytuna sem minnir á það sem leitað er að. Til dæmis mætti nota m fyrir fjölda mynta í verkefni um peninga.

Dæmi 2.11

Hvernig setja á hagnýt verkefni fram sem jöfnur og leysa þau

MacIntyre-fjölskyldan safnaði dagblöðum til endurvinnslu í tvo mánuði. Dagblöðin frá báðum mánuðunum vógu samtals 57 pund. Seinni mánuðinn vógu þau 28 pund. Hve mikið vógu dagblöðin fyrri mánuðinn?

Lausn

Myndin sýnir töflu með þremur dálkum og fjórum línum. Fyrsti dálkurinn er hausdálkur með heiti og númeri hvers skrefs. Í öðrum dálki eru nánari skriflegar leiðbeiningar og í þeim þriðja eru texti og algebra. Í efstu línunni stendur í fyrsta reitnum: „Skref 1. Lesið verkefnið. Gangið úr skugga um að öll orð og allar hugmyndir séu skiljanleg.“ Í öðrum reitnum stendur: „Verkefnið fjallar um þyngd dagblaða.“ Þriðji reiturinn er auður.

Í þriðju línu stendur í fyrsta reitnum: „Skref 3. Nefnið stærðina sem leitað er að. Veljið breytu til að tákna hana.“ Í öðrum reitnum stendur: „Veljið breytu.“ Í þriðja reitnum stendur: „Látum w tákna þyngd dagblaðanna fyrri mánuðinn.“

Í fjórðu línu stendur í fyrsta reitnum: „Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnu. Gagnlegt getur verið að endursegja verkefnið í einni setningu með mikilvægustu upplýsingunum.“ Í öðrum reitnum stendur: „Endursegið verkefnið. Við vitum að dagblöðin vógu 28 pund seinni mánuðinn.“ Í þriðja reitnum stendur: „Þyngd dagblaðanna fyrri mánuðinn plús þyngd þeirra síðari mánuðinn er 57 pund. Þyngd fyrri mánaðar plús 28 er 57.“ Einni línu neðar stendur í öðrum reitnum: „Setjið upplýsingarnar fram sem jöfnu með breytunni w.“ Í þriðja reitnum er jafnan w plús 28 jafnt og 57.

Í fimmtu línu stendur í fyrsta reitnum: „Skref 5. Leysið jöfnuna með vönduðum algebruaðferðum.“ Í öðrum reitnum stendur: „Leysið.“ Í þriðja reitnum er jafnan þar sem 28 er dregið frá báðum hliðum: w plús 28 mínus 28 jafnt og 57 mínus 28, og mínus 28 er ritað með rauðu. Fyrir neðan stendur w jafnt og 29.

Í sjöttu línu stendur í fyrsta reitnum: „Skref 6. Sannprófið svarið og gangið úr skugga um að það sé rökrétt.“ Í öðrum reitnum stendur: „Er þyngd fyrri mánaðar plús þyngd síðari mánaðar samtals 57 pund?“ Í þriðja reitnum er jafnan 29 plús 28 jafnt og 57. Fyrir neðan stendur 57 jafnt og 57 með gátmerki við hliðina.

Í sjöundu og síðustu línu stendur í fyrsta reitnum: „Skref 7. Svarið spurningunni með heilli setningu.“ Í öðrum reitnum stendur: „Ritið setningu sem svarar spurningunni: Hve mikið vógu dagblöðin síðari mánuðinn?“ Í þriðja reitnum stendur: „Dagblöðin síðari mánuðinn vógu 29 pund.“

Dæmi 2.12

Randell greiddi $28,675 fyrir nýja bílinn sinn. Það var $875 undir listaverði. Hvert var listaverð bílsins?

Lausn

Skref 1. Lesið verkefnið.
Skref 2. Finnið hvað leitað er að.	„Hvert var listaverð bílsins?“
Skref 3. Nefnið stærðina sem leitað er að. Veljið breytu til að tákna hana.	Látum s = tákna listaverð bílsins.
Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnu. Endursegið það í einni setningu.	$28,675 er $875 undir listaverðinu
Skref 5. Leysið jöfnuna.	$28,675 er $875 undir s 28,675 = s − 875 28,675 + 875 = s − 875 + 875 29,550 = s
Skref 6. Sannprófið svarið. Er upphæðin $875, sem er dregin frá $29,550, jöfn $28,675? 29,550 − 875 = ? 28,675 28,675 = 28,675 ✓
Skref 7. Svarið spurningunni með heilli setningu.	Listaverð bílsins var $29,550.

Verkefni úr hluta 2.1

Æfingin skapar meistarann

Sannreynið lausn jöfnu

Ákvarðið í eftirfarandi verkefnum hvort gefna gildið sé lausn jöfnunnar.

Er $y = \frac{5}{3}$ lausn jöfnunnar
$6 y + 10 = 12 y$ ?

Er $x = \frac{9}{4}$ lausn jöfnunnar
$4 x + 9 = 8 x$ ?

Er $u = - \frac{1}{2}$ lausn jöfnunnar
$8 u - 1 = 6 u$ ?

Er $v = - \frac{1}{3}$ lausn jöfnunnar
$9 v - 2 = 3 v$ ?

Leysið jöfnur með frádráttar- og samlagningarreglu jafnaðar

Leysið hverja jöfnu í eftirfarandi verkefnum með frádráttar- og samlagningarreglu jafnaðar.

$x + 24 = 35$

$x + 17 = 22$

$y + 45 = −66$

$y + 39 = −83$

$b + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

10.

$a + \frac{2}{5} = \frac{4}{5}$

11.

$p + 2.4 = −9.3$

12.

$m + 7.9 = 11.6$

13.

$a - 45 = 76$

14.

$a - 30 = 57$

15.

$m - 18 = −200$

16.

$m - 12 = −12$

17.

$x - \frac{1}{3} = 2$

18.

$x - \frac{1}{5} = 4$

19.

$y - 3.8 = 10$

20.

$y - 7.2 = 5$

21.

$x - 165 = −420$

22.

$z - 101 = −314$

23.

$z + 0.52 = −8.5$

24.

$x + 0.93 = −4.1$

25.

$q + \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$

26.

$p + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$

27.

$p - \frac{2}{5} = \frac{2}{3}$

28.

$y - \frac{3}{4} = \frac{3}{5}$

Leysið jöfnur sem þarf að einfalda

Leysið hverja jöfnu í eftirfarandi verkefnum.

29.

$c + 31 - 10 = 46$

30.

$m + 16 - 28 = 5$

31.

$9 x + 5 - 8 x + 14 = 20$

32.

$6 x + 8 - 5 x + 16 = 32$

33.

$−6 x - 11 + 7 x - 5 = −16$

34.

$−8 n - 17 + 9 n - 4 = −41$

35.

$5 (y - 6) - 4 y = −6$

36.

$9 (y - 2) - 8 y = −16$

37.

$8 (u + 1.5) - 7 u = 4.9$

38.

$5 (w + 2.2) - 4 w = 9.3$

39.

$6 a - 5 (a - 2) + 9 = −11$

40.

$8 c - 7 (c - 3) + 4 = −16$

41.

$6 (y - 2) - 5 y = 4 (y + 3)$
$- 4 (y - 1)$

42.

$9 (x - 1) - 8 x = −3 (x + 5)$
$+ 3 (x - 5)$

43.

$3 (5 n - 1) - 14 n + 9$
$= 10 (n - 4) - 6 n - 4 (n + 1)$

44.

$2 (8 m + 3) - 15 m - 4$
$= 9 (m + 6) - 2 (m - 1) - 7 m$

45.

$− (j + 2) + 2 j - 1 = 5$

46.

$− (k + 7) + 2 k + 8 = 7$

47.

$− (\frac{1}{4} a - \frac{3}{4}) + \frac{5}{4} a = −2$

48.

$− (\frac{2}{3} d - \frac{1}{3}) + \frac{5}{3} d = −4$

49.

$8 (4 x + 5) - 5 (6 x) - x$
$= 53 - 6 (x + 1) + 3 (2 x + 2)$

50.

$6 (9 y - 1) - 10 (5 y) - 3 y$
$= 22 - 4 (2 y - 12) + 8 (y - 6)$

Setjið orðalag fram sem jöfnu og leysið hana

Setjið hvert eftirfarandi orðalag fram sem jöfnu og leysið hana.

51.

Níu meira en $x$ er jafnt og 52.

52.

Summan af x og $−15$ er 23.

53.

Tíu minna en m er $−14$ .

54.

Þremur minna en y er $−19$ .

55.

Summan af y og $−30$ er 40.

56.

Tólf meira en p er jafnt og 67.

57.

Mismunurinn á $9 x og 8 x$ er 107.

58.

Mismunurinn á $5 c og 4 c$ er 602.

59.

Mismunurinn á $n$ og $\frac{1}{6}$ er $\frac{1}{2}$ .

60.

Mismunurinn á $f$ og $\frac{1}{3}$ er $\frac{1}{12}$ .

61.

Summan af $−4 n$ og $5 n$ er $−82$ .

62.

Summan af $−9 m$ og $10 m$ er $−95$ .

Setjið hagnýt verkefni fram sem jöfnur og leysið þau

Setjið hvert eftirfarandi verkefni fram sem jöfnu og leysið það.

63.

Vegalengd: Avril hjólaði samtals 18 mílur, fyrst að heiman á bókasafnið og þaðan á ströndina. Vegalengdin frá heimili Avril að bókasafninu er 7 mílur. Hve langt er frá bókasafninu að ströndinni?

64.

Lestur: Jeff las samtals 54 blaðsíður í kennslubókum sínum í sögu og félagsfræði. Hann las 41 blaðsíður í sögubókinni. Hve margar blaðsíður las hann í félagsfræðibókinni?

65.

Aldur: Dóttir Evu er 15 árum yngri en sonur hennar. Sonur Evu er 22 ára. Hve gömul er dóttir hennar?

66.

Aldur: Faðir Pablos er 3 árum eldri en móðir hans. Móðir Pablos er 42 ára. Hve gamall er faðir hans?

67.

Matarinnkaup: Fyrir afmæliskvöldverð fjölskyldunnar keypti Celeste kalkún sem var 5 pundum léttari en sá sem hún keypti fyrir þakkargjörðarhátíðina. Afmæliskalkúnninn vó 16 pund. Hve mikið vó kalkúnninn fyrir þakkargjörðarhátíðina?

68.

Þyngd: Allie er 8 pundum léttari en tvíburasystir hennar, Lorrie. Allie vegur 124 pund. Hve mikið vegur Lorrie?

69.

Heilsa: Hitastig Connors var 0.7 gráðum hærra í morgun en kvöldið áður. Hitastig hans í morgun var 101.2 gráður. Hvert var hitastig hans kvöldið áður?

70.

Heilsa: Hjúkrunarfræðingurinn sagði að dóttir Triciu hefði þyngst um 4.2 pund frá síðustu skoðun og vægi nú 31.6 pund. Hve mikið vó hún við síðustu skoðun?

71.

Laun: Laun Rons þessa viku voru $17.43 lægri en vikuna áður. Hann fékk $103.76 í laun þessa viku. Hve há voru laun hans vikuna áður?

72.

Kennslubækur: Stærðfræðibók Melissu var $22.85 ódýrari en myndlistarbókin hennar. Stærðfræðibókin kostaði $93.75. Hvað kostaði myndlistarbókin?

Stærðfræði daglegs lífs

73.

Smíðar: Miguel vill bora gat fyrir skrúfu sem er $\frac{5}{8}$ tomma að þvermáli. Þvermál gatsins á að vera $\frac{1}{12}$ tommu minna en þvermál skrúfunnar. Látum $d$ tákna þvermál gatsins sem hann á að bora. Leysið jöfnuna $d + \frac{1}{12} = \frac{5}{8}$ til að finna rétt þvermál gatsins.

74.

Bakstur Kelsey þarf $\frac{2}{3}$ bolla af sykri í smákökuuppskriftina. Hún á aðeins $\frac{3}{8}$ bolla og ætlar að fá afganginn lánaðan hjá nágranna sínum. Látum $s$ tákna sykurmagnið sem hún fær lánað. Leysið jöfnuna $\frac{3}{8} + s = \frac{2}{3}$ til að finna hve mikinn sykur hún þarf að fá lánaðan.

Ritunarverkefni

75.

Er $−8$ lausn jöfnunnar $3 x = 16 - 5 x$ ? Hvernig vitið þið það?

76.

Hvert er fyrsta skrefið í lausn ykkar á jöfnunni $10 x + 2 = 4 x + 26$ ?

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hve vel þið hafið náð markmiðum hlutans.

Taflan hefur sex línur og fjóra dálka. Í fyrstu línunni, sem er hauslína, stendur frá vinstri: „Ég get …“, „Örugglega“, „Með nokkurri hjálp“ og „Nei – ég skil þetta ekki!“ Í fyrsta dálkinum undir „Ég get …“ stendur: „sannreynt lausn jöfnu“, „leyst jöfnur með frádráttar- og samlagningarreglu jafnaðar“, „leyst jöfnur sem þarf að einfalda“, „sett orðalag fram sem jöfnu og leyst hana“ og „sett hagnýt verkefni fram sem jöfnur og leyst þau“. Aðrir reitir eru auðir.

ⓑ Ef flest gátmerkin ykkar voru við:

… örugglega. Til hamingju! Þið hafið náð markmiðum þessa hluta. Hugleiðið hvaða námsaðferðir þið notuðuð svo að þið getið beitt þeim áfram. Hvað gerðuð þið til að öðlast öryggi í þessum atriðum? Verið nákvæm.

… með nokkurri hjálp. Bregðast þarf fljótt við því að atriði sem þið náið ekki tökum á verða hindranir á leiðinni að árangri. Stærðfræði byggist upp í röð og hvert viðfangsefni styðst við fyrri þekkingu. Mikilvægt er að tryggja traustan grunn áður en haldið er áfram. Hvern getið þið beðið um hjálp? Samnemendur og kennari geta veitt góða aðstoð. Er hægt að fá aðstoð stærðfræðileiðbeinanda í skólanum? Getið þið bætt námsaðferðir ykkar?

… nei – ég skil þetta ekki! Þetta er alvarlegt og því má ekki hunsa það. Þið þurfið að fá hjálp strax, annars getur efnið fljótt orðið ykkur ofviða. Ræðið sem fyrst við kennarann um stöðuna. Saman getið þið gert áætlun um þá aðstoð sem þið þurfið.