22 Lausnir línulegra jafna og ójafna

2.4 Beitið almennri aðferð til að leysa línulegar jöfnur

Námsmarkmið

Að loknum þessum hluta eigið þið að geta:

Leyst jöfnur með almennri aðferð
Flokkað jöfnur

Leysið jöfnur með almennri aðferð

Hingað til höfum við leyst eitt tiltekið form línulegrar jöfnu í senn. Nú er tímabært að setja fram eina almenna aðferð sem nota má til að leysa hvaða línulegu jöfnu sem er. Sumar jöfnur krefjast ekki allra skrefanna en margar gera það.

Ef byrjað er á að einfalda hvora hlið jöfnunnar verða skrefin sem á eftir koma auðveldari.

Dæmi 2.37

Hvernig leysa má línulegar jöfnur með almennri aðferð

Leysið: $−6 (x + 3) = 24 .$

Lausn

Myndin sýnir töflu með þremur dálkum og fimm línum. Fyrsti dálkurinn er fyrirsagnardálkur með heitum og númerum skrefanna. Í öðrum dálki eru nánari skriflegar leiðbeiningar og í þeim þriðja er stærðfræði. Í efstu línunni stendur í fyrsta reitnum vinstra megin: „Skref 1. Einfaldið hvora hlið jöfnunnar eins mikið og hægt er.“ Í öðrum reitnum stendur: „Beitið dreifireglunni. Takið eftir að hvor hlið jöfnunnar hefur verið einfölduð eins mikið og hægt er.“ Í þriðja reitnum er jafnan mínus 6 sinnum x plús 3, þar sem x plús 3 er innan sviga, jafnt og 24. Fyrir neðan er sama jafna eftir að mínus 6 hefur verið dreift inn í svigann: mínus 6x mínus 18 er jafnt og 24.

Í annarri línu töflunnar stendur í fyrsta reitnum: „Skref 2. Færið alla breytuliði öðrum megin í jöfnunni.“ Í öðrum reitnum stendur: „Ekkert þarf að gera; allir x-liðirnir eru vinstra megin.“ Þriðji reiturinn er auður.

Í þriðju línu töflunnar stendur í fyrsta reitnum: „Skref 3. Færið föstu liðina á hina hlið jöfnunnar.“ Í öðrum reitnum stendur: „Til að aðeins fastir liðir verði hægra megin leggið 18 við báðar hliðar. Einfaldið.“ Í þriðja reitnum er sama jafna þar sem 18 hefur verið lagt við báðar hliðar: mínus 6x mínus 18 plús 18 er jafnt og 24 plús 18. Fyrir neðan er jafnan mínus 6x er jafnt og 42.

Í fjórðu línu töflunnar stendur í fyrsta reitnum: „Skref 4. Gerið stuðul breytuliðarins jafnan 1.“ Í öðrum reitnum stendur: „Deilið báðum hliðum með mínus 6. Einfaldið.“ Í þriðja reitnum er sama jafna þar sem báðum hliðum er deilt með mínus 6: mínus 6x yfir mínus 6 er jafnt og 42 yfir mínus 6. „Deilt með mínus 6“ er rauðlitað á báðum hliðum. Fyrir neðan er lausnin: x er jafnt og mínus 7.

Í fimmtu línu töflunnar stendur í fyrsta reitnum: „Skref 5. Sannreynið lausnina.“ Í öðrum reitnum stendur: „Látum x vera mínus 7. Einfaldið. Margfaldið.“ Í þriðja reitnum stendur „Sannprófun“ og hægra megin er upphaflega jafnan aftur: mínus 6 sinnum x plús 3, þar sem x plús 3 er innan sviga, er jafnt og 24. Fyrir neðan er sama jafna þar sem mínus 7 er sett inn fyrir x: mínus 6 sinnum mínus 7 plús 3, þar sem mínus 7 plús 3 er innan sviga, er jafnt og 24? Fyrir neðan er jafnan mínus 6 sinnum mínus 4 er jafnt og 24? Neðst er jafnan 24 er jafnt og 24 með gátmerki.

Dæmi 2.38

Leysið: $− (y + 9) = 8 .$

Lausn


Einfaldið hvora hlið jöfnunnar eins mikið og hægt er með því að dreifa inn í sviga.
Eini y-liðurinn er vinstra megin, svo allir breytuliðir eru vinstra megin í jöfnunni.
Leggið 9 við báðar hliðar til að færa alla fasta liði hægra megin í jöfnunni.
Einfaldið.
Endurritið − y sem −1 y.
Gerið stuðul breytuliðarins jafnan 1 með því að deila báðum hliðum með −1.
Einfaldið.
Sannprófun:
Látum y = −17.

Dæmi 2.39

Leysið: $5 (a - 3) + 5 = −10$ .

Lausn


Einfaldið hvora hlið jöfnunnar eins mikið og hægt er.
Beitið dreifireglu.
Sameinið samkynja liði.
Eini a-liðurinn er vinstra megin, svo allir breytuliðir eru öðrum megin í jöfnunni.
Leggið 10 við báðar hliðar til að færa alla fasta liði á hina hlið jöfnunnar.
Einfaldið.
Gerið stuðul breytuliðarins jafnan 1 með því að deila báðum hliðum með 5.
Einfaldið.
Sannprófun:
Látum a = 0.

Dæmi 2.40

Leysið: $\frac{2}{3} (6 m - 3) = 8 - m$ .

Lausn


Beitið dreifireglu.
Leggið m við svo breyturnar verði aðeins vinstra megin.
Einfaldið.
Leggið 2 við svo föstu liðirnir verði aðeins hægra megin.
Einfaldið.
Deilið með 5.
Einfaldið.
Sannprófun:
Látum m = 2.

Dæmi 2.41

Leysið: $8 - 2 (3 y + 5) = 0$ .

Lausn


Einfaldið með því að beita dreifireglunni.
Sameinið samkynja liði.
Leggið 2 við báðar hliðar til að færa föstu liðina hægra megin.
Einfaldið.
Deilið báðum hliðum með −6.
Einfaldið.
Sannprófun: Látum y = − $\frac{1}{3}$ .

Dæmi 2.42

Leysið: $4 (x - 1) - 2 = 5 (2 x + 3) + 6$ .

Lausn


Beitið dreifireglu.
Sameinið samkynja liði.
Dragið 4 x frá svo breyturnar verði aðeins hægra megin, þar sem 10 > 4.
Einfaldið.
Dragið 21 frá svo föstu liðirnir verði vinstra megin.
Einfaldið.
Deilið með 6.
Einfaldið.
Sannprófun:
Látum x = − $\frac{9}{2}$ .

Dæmi 2.43

Leysið: $10 [3 - 8 (2 s - 5)] = 15 (40 - 5 s)$ .

Lausn


Einfaldið fyrst innan innstu sviganna.
Sameinið samkynja liði innan hornklofanna.
Beitið dreifireglu.
Leggið 160 s við svo s-liðirnir verði hægra megin.
Einfaldið.
Dragið 600 frá svo föstu liðirnir verði vinstra megin.
Einfaldið.
Deilið.
Einfaldið.
Sannprófun:
Setjið inn s = −2.

Dæmi 2.44

Leysið: $0.36 (100 n + 5) = 0.6 (30 n + 15)$ .

Lausn


Beitið dreifireglu.
Dragið 18 n frá svo breyturnar verði vinstra megin.
Einfaldið.
Dragið 1.8 frá svo föstu liðirnir verði hægra megin.
Einfaldið.
Deilið.
Einfaldið.
Sannprófun:
Látum n = 0.4.

Flokkið jöfnur

Skoðum jöfnuna $7 x + 8 = −13$ . Lausnin sem við fundum var $x = −3$ . Það merkir að jafnan $7 x + 8 = −13$ er sönn þegar breytunni xer skipt út fyrir gildið $−3$ . Við sýndum þetta þegar við sannreyndum lausnina $x = −3$ og reiknuðum gildi $7 x + 8 = −13$ fyrir $x = −3$ .

Myndin sýnir hvers vegna við getum sagt að jafnan 7x plús 8 er jafnt og mínus 13 sé sönn þegar breytunni x er skipt út fyrir gildið mínus 3. Í fyrstu línu er mínus 3 sett inn fyrir x: 7 sinnum mínus 3 plús 8 er jafnt og mínus 13? Fyrir neðan er jafnan mínus 21 plús 8 er jafnt og mínus 13? Neðst er jafnan mínus 13 er jafnt og mínus 13 með gátmerki.

Ef við reiknum gildi $7 x + 8$ fyrir annað gildi xverður vinstri hliðin ekki $−13$ .

Jafnan $7 x + 8 = −13$ er sönn þegar breytunni xer skipt út fyrir gildið $−3$ , en ekki þegar x er skipt út fyrir annað gildi. Hvort jafnan $7 x + 8 = −13$ er sönn fer eftir gildi breytunnar. Slíkar jöfnur kallast skilyrtar jöfnur.

Allar jöfnurnar sem við höfum leyst hingað til eru skilyrtar jöfnur.

Skoðum nú jöfnuna $2 y + 6 = 2 (y + 3)$ . Takið þið eftir að vinstri og hægri hliðin eru jafngildar? Skoðum hvað gerist þegar við leysum fyrir y.


Beitið dreifireglu.
Dragið 2 y frá til að færa y-liðunum öðrum megin.
Einfaldið —y-liðirnir hverfa!

En $6 = 6$ er sönn fullyrðing.

Þetta merkir að jafnan $2 y + 6 = 2 (y + 3)$ er sönn fyrir hvaða gildi ysem er. Allar rauntölur eru því lausnir jöfnunnar. Jafna sem er sönn fyrir hvaða gildi breytunnar sem er kallast samsemd.

Hvað gerist þegar við leysum jöfnuna $5 z = 5 z - 1$ ?


Dragið 5 z frá svo fasti liðurinn verði einn hægra megin.
Einfaldið —z-liðirnir hverfa!

En $0 \neq − 1$ .

Þegar jafnan $5 z = 5 z - 1$ var leyst fékkst ósanna fullyrðingin $0 = −1$ . Jafnan $5 z = 5 z - 1$ er ekki sönn fyrir neitt gildi z. Hún hefur enga lausn. Jafna sem hefur enga lausn, eða er ósönn fyrir öll gildi breytunnar, kallast mótsögn.

Dæmi 2.45

Flokkið jöfnuna sem skilyrta jöfnu, samsemd eða mótsögn. Tilgreinið síðan lausnina.

$6 (2 n - 1) + 3 = 2 n - 8 + 5 (2 n + 1)$

Lausn


Beitið dreifireglu.
Sameinið samkynja liði.
Dragið 12 n frá til að færa n-liðunum öðrum megin.
Einfaldið.
Þetta er sönn fullyrðing.	Jafnan er samsemd.Allar rauntölur eru lausnir hennar.

Dæmi 2.46

Flokkið jöfnuna sem skilyrta jöfnu, samsemd eða mótsögn. Tilgreinið síðan lausnina.

$10 + 4 (p - 5) = 0$

Lausn


Beitið dreifireglu.
Sameinið samkynja liði.
Leggið 10 við báðar hliðar.
Einfaldið.
Deilið.
Einfaldið.
Jafnan er sönn þegar p = $\frac{5}{2}$ .	Þetta er skilyrt jafna.Lausnin er p = $\frac{5}{2}$ .

Dæmi 2.47

Flokkið jöfnuna sem skilyrta jöfnu, samsemd eða mótsögn. Tilgreinið síðan lausnina.

$5 m + 3 (9 + 3 m) = 2 (7 m - 11)$

Lausn


Beitið dreifireglu.
Sameinið samkynja liði.
Dragið 14 m frá báðum hliðum.
Einfaldið.
En 27 ≠ −22.	Jafnan er mótsögn.Hún hefur enga lausn.

Tegund jöfnu	Hvað gerist þegar hún er leyst?	Lausn
Skilyrt jafna	Sönn fyrir eitt eða fleiri gildi breytunnar og ósönn fyrir öll önnur gildi	Eitt eða fleiri gildi
Samsemd	Sönn fyrir hvaða gildi breytunnar sem er	Allar rauntölur
Mótsögn	Ósönn fyrir öll gildi breytunnar	Engin lausn

Verkefni úr hluta 2.4

Æfingin skapar meistarann

Leysið línulegar jöfnur með almennri aðferð

Leysið hverja línulega jöfnu í eftirfarandi verkefnum.

232.

$15 (y - 9) = −60$

233.

$21 (y - 5) = −42$

234.

$−9 (2 n + 1) = 36$

235.

$−16 (3 n + 4) = 32$

236.

$8 (22 + 11 r) = 0$

237.

$5 (8 + 6 p) = 0$

238.

$− (w - 12) = 30$

239.

$− (t - 19) = 28$

240.

$9 (6 a + 8) + 9 = 81$

241.

$8 (9 b - 4) - 12 = 100$

242.

$32 + 3 (z + 4) = 41$

243.

$21 + 2 (m - 4) = 25$

244.

$51 + 5 (4 - q) = 56$

245.

$−6 + 6 (5 - k) = 15$

246.

$2 (9 s - 6) - 62 = 16$

247.

$8 (6 t - 5) - 35 = −27$

248.

$3 (10 - 2 x) + 54 = 0$

249.

$−2 (11 - 7 x) + 54 = 4$

250.

$\frac{2}{3} (9 c - 3) = 22$

251.

$\frac{3}{5} (10 x - 5) = 27$

252.

$\frac{1}{5} (15 c + 10) = c + 7$

253.

$\frac{1}{4} (20 d + 12) = d + 7$

254.

$18 - (9 r + 7) = −16$

255.

$15 - (3 r + 8) = 28$

256.

$5 - (n - 1) = 19$

257.

$−3 - (m - 1) = 13$

258.

$11 - 4 (y - 8) = 43$

259.

$18 - 2 (y - 3) = 32$

260.

$24 - 8 (3 v + 6) = 0$

261.

$35 - 5 (2 w + 8) = −10$

262.

$4 (a - 12) = 3 (a + 5)$

263.

$−2 (a - 6) = 4 (a - 3)$

264.

$2 (5 - u) = −3 (2 u + 6)$

265.

$5 (8 - r) = −2 (2 r - 16)$

266.

$3 (4 n - 1) - 2 = 8 n + 3$

267.

$9 (2 m - 3) - 8 = 4 m + 7$

268.

$12 + 2 (5 - 3 y) = −9 (y - 1) - 2$

269.

$−15 + 4 (2 - 5 y) = −7 (y - 4) + 4$

270.

$8 (x - 4) - 7 x = 14$

271.

$5 (x - 4) - 4 x = 14$

272.

$5 + 6 (3 s - 5) = −3 + 2 (8 s - 1)$

273.

$−12 + 8 (x - 5) = −4 + 3 (5 x - 2)$

274.

$4 (u - 1) - 8 = 6 (3 u - 2) - 7$

275.

$7 (2 n - 5) = 8 (4 n - 1) - 9$

276.

$4 (p - 4) - (p + 7) = 5 (p - 3)$

277.

$3 (a - 2) - (a + 6) = 4 (a - 1)$

278.

$− (9 y + 5) - (3 y - 7)$
$= 16 - (4 y - 2)$

279.

$− (7 m + 4) - (2 m - 5)$
$= 14 - (5 m - 3)$

280.

$4 [5 - 8 (4 c - 3)]$
$= 12 (1 - 13 c) - 8$

281.

$5 [9 - 2 (6 d - 1)]$
$= 11 (4 - 10 d) - 139$

282.

$3 [−9 + 8 (4 h - 3)]$
$= 2 (5 - 12 h) - 19$

283.

$3 [−14 + 2 (15 k - 6)]$
$= 8 (3 - 5 k) - 24$

284.

$5 [2 (m + 4) + 8 (m - 7)]$
$= 2 [3 (5 + m) - (21 - 3 m)]$

285.

$10 [5 (n + 1) + 4 (n - 1)]$
$= 11 [7 (5 + n) - (25 - 3 n)]$

286.

$5 (1.2 u - 4.8) = −12$

287.

$4 (2.5 v - 0.6) = 7.6$

288.

$0.25 (q - 6) = 0.1 (q + 18)$

289.

$0.2 (p - 6) = 0.4 (p + 14)$

290.

$0.2 (30 n + 50) = 28$

291.

$0.5 (16 m + 34) = −15$

Flokkið jöfnur

Flokkið hverja jöfnu í eftirfarandi verkefnum sem skilyrta jöfnu, samsemd eða mótsögn og tilgreinið síðan lausnina.

292.

$23 z + 19 = 3 (5 z - 9) + 8 z + 46$

293.

$15 y + 32 = 2 (10 y - 7) - 5 y + 46$

294.

$5 (b - 9) + 4 (3 b + 9) = 6 (4 b - 5) - 7 b + 21$

295.

$9 (a - 4) + 3 (2 a + 5) = 7 (3 a - 4) - 6 a + 7$

296.

$18 (5 j - 1) + 29 = 47$

297.

$24 (3 d - 4) + 100 = 52$

298.

$22 (3 m - 4) = 8 (2 m + 9)$

299.

$30 (2 n - 1) = 5 (10 n + 8)$

300.

$7 v + 42 = 11 (3 v + 8) - 2 (13 v - 1)$

301.

$18 u - 51 = 9 (4 u + 5) - 6 (3 u - 10)$

302.

$3 (6 q - 9) + 7 (q + 4) = 5 (6 q + 8) - 5 (q + 1)$

303.

$5 (p + 4) + 8 (2 p - 1) = 9 (3 p - 5) - 6 (p - 2)$

304.

$12 (6 h - 1) = 8 (8 h + 5) - 4$

305.

$9 (4 k - 7) = 11 (3 k + 1) + 4$

306.

$45 (3 y - 2) = 9 (15 y - 6)$

307.

$60 (2 x - 1) = 15 (8 x + 5)$

308.

$16 (6 n + 15) = 48 (2 n + 5)$

309.

$36 (4 m + 5) = 12 (12 m + 15)$

310.

$9 (14 d + 9) + 4 d = 13 (10 d + 6) + 3$

311.

$11 (8 c + 5) - 8 c = 2 (40 c + 25) + 5$

Stærðfræði daglegs lífs

312.

Girðing Micah hefur 44 fet af girðingarefni til að gera hundagerði í garðinum sínum. Hann vill að lengdin sé 2,5 fetum meiri en breiddin. Finnið lengdina, L, með því að leysa jöfnuna $2 L + 2 (L - 2.5) = 44$ .

313.

Myntir Rhonda á $1,90 í fimm og tíu senta myntum. Tíu senta myntirnar eru einni færri en tvöfaldur fjöldi fimm senta myntanna. Finnið fjölda fimm senta mynta, n, með því að leysa jöfnuna $0.05 n + 0.10 (2 n - 1) = 1.90$ .

Ritunarverkefni

314.

Teljið með eigin orðum upp skref almennu aðferðarinnar við að leysa línulegar jöfnur.

315.

Útskýrið hvers vegna einfalda á báðar hliðar jöfnu eins mikið og hægt er áður en breytuliðirnir eru færðir öðrum megin og föstu liðirnir hinum megin.

316.

Hvert er fyrsta skrefið þegar þið leysið jöfnuna $3 - 7 (y - 4) = 38$ ? Hvers vegna er það fyrsta skrefið?

317.

Leysið jöfnuna $\frac{1}{4} (8 x + 20) = 3 x - 4$ og útskýrið öll skref lausnarinnar eins og gert er í dæmunum í þessum hluta.

Sjálfsmat

ⓐ Að verkefnunum loknum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hve góðum tökum þið hafið náð á markmiðum hlutans.

Þetta er tafla með þremur línum og fjórum dálkum. Fyrsta línan er fyrirsagnarlína og í reitunum stendur frá vinstri til hægri: „Ég get ...“, „Örugglega“, „Með nokkurri hjálp“ og „Nei — ég skil þetta ekki!“ Í fyrsta dálkinum undir „Ég get ...“ stendur: „leyst línulegar jöfnur með almennri aðferð“ og „flokkað jöfnur“. Aðrir reitir eru auðir.

ⓑ Á kvarðanum 1–10, hvernig metið þið tök ykkar á efni hlutans með hliðsjón af svörunum á gátlistanum? Hvernig getið þið bætt tökin?