Þegar tvær stærðir tengjast með hlutfallajöfnu segjum við að þær séu í hlutfalli hvor við aðra. Einnig má lýsa þessum tengslum með því hvernig stærðirnar breytast hvor með annarri. Í þessum hluta fjöllum við um bein og öfug hlutföll.
Leysið verkefni með beinum hlutföllum
Lindsay fær $15 á klukkustund í vinnunni. Ef s táknar laun hennar og h fjölda vinnustunda má lýsa aðstæðunum með jöfnunni
Laun Lindsay eru margfeldi fastans 15 og fjölda vinnustunda hennar. Við segjum að laun hennar séu í beinu hlutfalli við fjölda vinnustunda. Tvær breytur eru í beinu hlutfalli ef önnur er margfeldi fasta og hinnar.
Í verkefnum með beinum hlutföllum þekkjum við yfirleitt eitt gildapar breytanna og eigum að finna jöfnuna sem tengir x og y. Síðan má nota jöfnuna til að finna gildi y fyrir önnur gildi x.
Dæmi 8.86
Hvernig leysa má verkefni með beinum hlutföllum
Ef y er í beinu hlutfalli við x og þegar , finnið þá jöfnuna sem tengir x og y.
Lausn
Við skráum skrefin hér að neðan.
Nú leysum við nokkur hagnýt verkefni um bein hlutföll.
Dæmi 8.87
Þegar Raoul hleypur á hlaupabrettinu í líkamsræktarstöðinni er fjöldi hitaeininga c sem hann brennir í beinu hlutfalli við fjölda mínútna m sem hann notar brettið. Hann brenndi 315 hitaeiningum þegar hann notaði brettið í 18 mínútur.
ⓐ Skrifið jöfnuna sem tengir c og m.
ⓑ Hve mörgum hitaeiningum myndi hann brenna ef hann hlypi á brettinu í 25 mínútur?
Lausn
ⓐ
Fjöldi hitaeininga, c, er í beinu hlutfalli við fjölda mínútna, m, á hlaupabrettinu og c = 315 þegar m = 18.
Skrifið formúluna fyrir beint hlutfall.
Við notum c í stað y og m í stað x.
Setjið gefin gildi inn fyrir breyturnar.
Leysið með tilliti til hlutfallsstuðulsins.
Skrifið jöfnuna sem tengir c og m.
Setjið gildi hlutfallsstuðulsins inn í jöfnuna.
ⓑ
Finnið c þegar m = 25.
Skrifið jöfnuna sem tengir c og m.
Setjið gefið gildi inn fyrir m.
Einfaldið.
Raoul myndi brenna 437.5 hitaeiningum ef hann notaði hlaupabrettið í 25 mínútur.
Í fyrra sýnidæminu voru breyturnar c og m nefndar í verkefninu. Oftast er það þó ekki svo. Í næsta sýnidæmi þurfum við að nefna breyturnar sem hluta af lausninni, eins og í flestum hagnýtum verkefnum.
Dæmi 8.88
Fjöldi gallona af bensíni sem bíll Eunice notar er í beinu hlutfalli við fjölda mílna sem hún ekur. Í síðustu viku ók hún 469.8 mílur og notaði 14.5 gallon af bensíni.
ⓐ Skrifið jöfnuna sem tengir fjölda notaðra gallona af bensíni við fjölda ekinna mílna.
ⓑ Hve mörg gallon af bensíni myndi bíll Eunice nota ef hún æki 1000 mílur?
Lausn
Fjöldi gallona af bensíni er í beinu hlutfalli við fjölda ekinna mílna.
Fyrst nefnum við breyturnar.
Látum g = tákna fjölda gallona af bensíni og m = fjölda ekinna mílna.
Skrifið formúluna fyrir beint hlutfall.
Við notum g í stað y og m í stað x.
Setjið gefin gildi inn fyrir breyturnar.
Leysið með tilliti til hlutfallsstuðulsins.
Við námundum að næsta þúsundasta.
Skrifið jöfnuna sem ten g ir g og m.
Setjið gildi hlutfallsstuðulsins inn í jöfnuna.
ⓑ
Takið eftir að í þessu sýnidæmi eru einingar hlutfallsstuðulsins gallons/mile. Í daglegu máli tölum við yfirleitt um mílur/gallon.
Í sumum aðstæðum er önnur breytan í beinu hlutfalli við annað veldi hinnar. Þá er jafnan fyrir beint hlutfall . Við leysum þessi verkefni eins og þau fyrri: setjum gefin gildi inn í jöfnuna og leysum með tilliti til k.
Dæmi 8.89
Mesta byrði sem biti ber er í beinu hlutfalli við annað veldi hornalínu þversniðs bitans. Biti með 4 tommu hornalínu ber mest 75 punda byrði.
ⓐ Skrifið jöfnuna sem tengir mestu byrði og þversnið.
ⓑ Hver er mesta byrði sem biti með 8 tommu hornalínu getur borið?
Lausn
Mesta byrðin er í beinu hlutfalli við annað veldi hornalínu þversniðsins.
Nefnið breyturnar.
Látum L = tákna mestu byrði og c = hornalínu þversniðsins.
Skrifið formúluna f y rir beint hlutfall þar sem y er í beinu hlutfalli við annað veldi x.
Við notum L í stað y og c í stað x.
Setjið gefin gildi inn fyrir breyturnar.
Leysið með tilliti til hlutfallsstuðulsins.
Skrifið jöfnuna sem tengir L og c.
Setjið gildi hlutfallsstuðulsins inn í jöfnuna.
ⓑ
Leysið verkefni með öfugum hlutföllum
Í mörgum verkefnum eru tvær breytur í öfugu hlutfalli. Þegar önnur breytan vex minnkar hin. Jafnan sem tengir þær er .
Orðið „öfugt“ í öfugu hlutfalli vísar til margföldunarandhverfu. Margföldunarandhverfa x er .
Við leysum verkefni með öfugum hlutföllum á sama hátt og verkefni með beinum hlutföllum. Aðeins almennt form jöfnunnar breytist. Við endurtökum aðferðina hér og skiptum aðeins „beint“ út fyrir „öfugt“.
Dæmi 8.90
Ef y er í öfugu hlutfalli við og þegar , finnið þá jöfnuna sem tengir x og y.
Lausn
Skrifið formúluna fyrir öfugt hlutfall.
Setjið gefin gildi inn fyrir breyturnar.
Leysið með tilliti til hlutfallsstuðulsins.
Skrifið jöfnuna sem tengir x og y.
Setjið gildi hlutfallsstuðulsins inn í jöfnuna.
Dæmi 8.91
Eldsneytisnýting bíls er í öfugu hlutfalli við þyngd hans. Bíll sem vegur 3100 pund kemst 26 mílur á galloni á hraðbraut.
ⓐ Skrifið jöfnuna fyrir hlutfallið.
ⓑ Hver væri eldsneytisnýting bíls sem vegur 4030 pund?
Lausn
ⓐ
Eldsneytisnýtingin er í öfugu hlutfalli við þyngdina.
Fyrst nefnum við breyturnar.
Látum f = tákna eldsneytisnýtingu og w = þyngd.
Skrifið formúluna fyrir öfugt hlutfall.
Við notum f í stað y og w í stað x.
Setjið gefin gildi inn fyrir breyturnar.
Leysið með tilliti til hlutfallsstuðulsins.
Skri f ið jöfnuna sem tengir f og w.
Setjið gildi hlutfallsstuðulsins inn í jöfnuna.
ⓑ
Finnið f þegar w = 4030 .
Skrifið jöfnuna sem tengir f og w.
f = 80,600/w
Setjið gefið gildi inn fyrir w.
f = 80,
Einfaldið.
f = 20Bíll sem vegur 4030 pund hefði eldsneytisnýtinguna 20 mílur á galloni.
Dæmi 8.92
Tíðni gítarstrengs er í öfugu hlutfalli við lengd hans. 26 tommu langur strengur hefur tíðnina 440 sveiflur á sekúndu.
ⓐ Skrifið jöfnuna fyrir hlutfallið.
ⓑ Hve margar sveiflur verða á sekúndu ef lengd strengsins er minnkuð í 20 tommur með því að setja fingur á þverband?
Lausn
ⓐ
Tíðnin er í öfugu hlutfalli við lengdina.
Nefnið breyturnar.
Látum f = tákna tíðni og L = lengd.
Skrifið formúluna fyrir öfugt hlutfall.
Við notum f í stað y og L í stað x.
Setjið gefin gildi inn fyrir breyturnar.
Leysið með tilliti til hlutfallsstuðulsins.
Skri f ið jöfnuna sem tengir f og L.
Setjið gildi hlutfallsstuðulsins inn í jöfnuna.
ⓑ
Finnið f þegar L = 20 .
Skrifið jöfnuna sem tengir f og L.
f = 11,440/L
Setjið gefið gildi inn fyrir L.
f = 11,
Einfaldið.
f = 57220 tommu gítarstrengur hefur tíðnina 572 sveiflur á sekúndu.
Verkefni úr hluta 8.9
Æfingin skapar meistarann
Leysið verkefni með beinum hlutföllum
Leysið eftirfarandi verkefni.
463.
Ef er í beinu hlutfalli við og , finnið þá jöfnuna sem tengir .
464.
Ef er í beinu hlutfalli við og , finnið þá jöfnuna sem tengir .
465.
Ef er í beinu hlutfalli við w og v = 24 , þegar w = 8, finnið þá jöfnuna sem tengir v og w ..
466.
Ef er í beinu hlutfalli við b og a = 16 , þegar b = 4, finnið þá jöfnuna sem tengir a og b ..
467.
Ef er í beinu hlutfalli við q og p = 9.6 , þegar q = 3, finnið þá jöfnuna sem tengir p og q ..
468.
Ef er í beinu hlutfalli við x og y = 12.4 , þegar x = 4 ,, finnið þá jöfnuna sem tengir x og y.
469.
Ef er í beinu hlutfalli við b og a = 6 , þegar b = 1/3, finnið þá jöfnuna sem tengir a og b ..
470.
Ef er í beinu hlutfalli við w og v = 8 , þegar w = 1/2, finnið þá jöfnuna sem tengir v og w ..
471.
Fjárhæðin P sem Sally vinnur sér inn er í beinu hlutfalli við fjölda hálsmena n sem hún selur. Þegar Sally selur 15 hálsmen fær hún $150.
ⓐ Skrifið jöfnuna sem tengir P og n.
ⓑ Hve mikið myndi hún vinna sér inn ef hún seldi 4 hálsmen?
472.
Verðið P sem Eric greiðir fyrir bensín er í beinu hlutfalli við fjölda gallona g sem hann kaupir. Það kostar hann $50 að kaupa 20 gallon af bensíni.
ⓐ Skrifið jöfnuna sem tengir P og g.
ⓑ Hve mikið myndu 33 gallon kosta Eric?
473.
Terri þarf að baka bökur fyrir fjáröflun. Fjöldi epla a er í beinu hlutfalli við fjölda baka p. Níu epli þarf í tvær bökur.
ⓐ Skrifið jöfnuna sem tengir a og p.
ⓑ Hve mörg epli þyrfti Terri í sex bökur?
474.
Joseph er í bílferð. Vegalengdin d sem hann fer áður en hann stöðvar í hádegismat er í beinu hlutfalli við hraðann v. Hann getur farið 120 mílur á hraðanum 60 mílur á klukkustund.
ⓐ Skrifið jöfnuna sem tengir d og v.
ⓑ Hve langt færi hann áður en hann stöðvaði í hádegismat á hraðanum 65 mílur á klukkustund?
475.
Verðið sem Jesse greiðir fyrir bensín er í beinu hlutfalli við fjölda gallona sem hann kaupir. Hann keypti 10 gallon fyrir $39.80.
ⓐ Skrifið jöfnuna sem tengir verðið og fjölda gallona.
ⓑ Hve mikið kosta 15 gallon af bensíni fyrir Jesse?
476.
Vegalengdin sem Sarah fer er í beinu hlutfalli við aksturstímann. Hún fer 440 mílur á 8 klukkustundum.
ⓐ Skrifið jöfnuna sem tengir vegalengdina og fjölda klukkustunda.
ⓑ Hve langt getur Sally farið á 6 klukkustundum?
477.
Massi vökva er í beinu hlutfalli við rúmmál hans. Vökvi sem hefur massann 16 kílógrömm hefur rúmmálið 2 lítra.
ⓐ Skrifið jöfnuna sem tengir massann og rúmmálið.
ⓑ Hvert er rúmmál vökvans ef massi hans er 128 kílógrömm?
478.
Lengingin á gormi er í beinu hlutfalli við þyngdina sem hengd er neðan í hann. Þegar Sarah setti 10 punda vatnsmelónu á hengivog lengdist gormurinn um 5 tommur.
ⓐ Skrifið jöfnuna sem tengir lengingu gormsins og þyngdina.
ⓑ Hve þung vatnsmelóna myndi lengja gorminn um 6 tommur?
479.
Fallvegalengd hlutar er í beinu hlutfalli við annað veldi falltímans. Bolti fellur 45 fet á 3 sekúndum.
ⓐ Skrifið jöfnuna sem tengir vegalengdina og tímann.
ⓑ Hve langt fellur boltinn á 7 sekúndum?
480.
Mesta byrði sem biti ber er í beinu hlutfalli við annað veldi hornalínu þversniðs hans. Biti með 6 tommu hornalínu ber mest 108 punda byrði.
ⓐ Skrifið jöfnuna sem tengir byrðina og hornalínu þversniðsins.
ⓑ Hve mikla byrði ber biti með 10 tommu hornalínu?
481.
Flatarmál hrings er í beinu hlutfalli við annað veldi geislans. Hringlaga pítsa með 6 tommu geisla hefur flatarmálið 113.04 fertommur.
ⓐ Skrifið jöfnuna sem tengir flatarmálið og geislann.
ⓑ Hvert er flatarmál einstaklingspítsu með 4 tommu geisla?
482.
Fallvegalengd hlutar er í beinu hlutfalli við annað veldi falltímans. Bolti fellur 72 fet á 3 sekúndum.
ⓐ Skrifið jöfnuna sem tengir vegalengdina og tímann.
ⓑ Hve langt hefur boltinn fallið eftir 8 sekúndur?
Leysið verkefni með öfugum hlutföllum
Leysið eftirfarandi verkefni.
483.
Ef er í öfugu hlutfalli við x og y = 5 þegar x = 4, finnið þá jöfnuna sem tengir x og y ..
484.
Ef er í öfugu hlutfalli við q og p = 2 þegar q = 1, finnið þá jöfnuna sem tengir p og q ..
485.
Ef er í öfugu hlutfalli við w og v = 6 þegar w = 1/2, finnið þá jöfnuna sem tengir v og w ..
486.
Ef er í öfugu hlutfalli við b og a = 12 þegar b = 1/3, finnið þá jöfnuna sem tengir a og b ..
Skrifið jöfnu fyrir öfugt hlutfall til að leysa eftirfarandi verkefni.
487.
Eldsneytisnýting bíls er í öfugu hlutfalli við þyngd hans. Toyota Corolla vegur 2800 pund og kemst 33 mílur á galloni á hraðbraut.
ⓐ Skrifið jöfnuna sem tengir eldsneytisnýtinguna og þyngd bílsins.
ⓑ Hver væri eldsneytisnýting Toyota Sequoia sem vegur 5500 pund?
488.
Verðmæti bíls er í öfugu hlutfalli við aldur hans. Jackie keypti 10 ára bíl á $2,400.
ⓐ Skrifið jöfnuna sem tengir verðmæti bílsins og aldur hans.
ⓑ Hvert verður verðmæti bíls Jackie þegar hann er 15 ára?
489.
Tíminn sem tekur að tæma geymi er í öfugu hlutfalli við dæluafköstin. Janet var 5 klukkustundir að dæla úr kjallaranum eftir flóð með dælu sem afkastaði 200 gallonum á mínútu.
ⓐ Skrifið jöfnuna sem tengir klukkustundafjöldann og dæluafköstin.
ⓑ Hve lengi væri Janet að dæla úr kjallaranum með dælu sem afkastaði 400 gallonum á mínútu?
490.
Rúmmál gass í íláti er í öfugu hlutfalli við þrýstinginn á gasið. Helíumílát hefur rúmmálið 370 rúmtommur við þrýstinginn 15 pund á fertommu.
ⓐ Skrifið jöfnuna sem tengir rúmmálið og þrýstinginn.
ⓑ Hvert væri rúmmál gassins ef þrýstingurinn ykist í 20 pund á fertommu?
491.
Í strengjahljóðfæri er lengd strengs í öfugu hlutfalli við tíðni sveiflna hans. 11 tommu strengur á fiðlu hefur tíðnina 400 sveiflur á sekúndu.
ⓐ Skrifið jöfnuna sem tengir lengd strengsins og tíðni hans.
ⓑ Hver er tíðni 10 tommu strengs?
492.
Paul tannlæknir komst að því að fjöldi tannskemmda sem myndast árlega hjá sjúklingi er í öfugu hlutfalli við fjölda mínútna sem varið er í tannburstun á hverju kvöldi. Lori, sjúklingur hans, fékk 4 tannskemmdir þegar hún burstaði tennurnar í 30 sekúndur (0.5 mínútur) á hverju kvöldi.
ⓐ Skrifið jöfnuna sem tengir fjölda tannskemmda og burstunartímann.
ⓑ Hve mörgum tannskemmdum mætti Paul búast við hjá Lori ef hún hefði burstað tennurnar í 2 mínútur á hverju kvöldi?
493.
Fjöldi miða í íþróttafjáröflun er í öfugu hlutfalli við verð hvers miða. Brianna getur keypt 25 miða á $5each stykkið.
ⓐ Skrifið jöfnuna sem tengir fjölda miða og verð hvers miða.
ⓑ Hve marga miða gæti Brianna keypt ef hver miði kostaði $2.50?
494.
Lögmál Boyles segir að ef hitastig gass helst fast sé þrýstingurinn í öfugu hlutfalli við rúmmál gassins. Braydon kafari er með loftkút sem rúmar 6 lítra af lofti við þrýstinginn 220 pund á fertommu.
ⓐ Skrifið jöfnuna sem tengir þrýsting og rúmmál.
ⓑ Hve mikið loft rúmar loftkútur Braydons ef þrýstingurinn eykst í 330 pund á fertommu?
Blönduð verkefni
495.
Ef er í beinu hlutfalli við og , finnið þá jöfnuna sem tengir .
496.
Ef er í beinu hlutfalli við w og v = 21 , þegar w = 8 ., finnið þá jöfnuna sem tengir v og w ..
497.
Ef er í öfugu hlutfalli við q og p = 5 þegar q = 6, finnið þá jöfnuna sem tengir p og q ..
498.
Ef er í öfugu hlutfalli við x og y = 11 þegar x = 3, finnið þá jöfnuna sem tengir x og y ..
499.
Ef er í beinu hlutfalli við og , finnið þá jöfnuna sem tengir .
500.
Ef er í öfugu hlutfalli við w og v = 18 þegar w = 1/3, finnið þá jöfnuna sem tengir v og w ..
501.
Krafturinn sem þarf til að brjóta borð er í öfugu hlutfalli við lengd þess. Ef Tom beitir 20 punda þrýstingi til að brjóta 1.5 feta langt borð, hve margra punda þrýstingi þarf hann þá að beita til að brjóta 6 feta langt borð?
502.
Fjöldi klukkustunda sem ís er að bráðna er í öfugu hlutfalli við lofthitann. Ísklumpur bráðnar á 2.5 klukkustundum þegar hitinn er 54 gráður. Hve lengi væri sami ísklumpur að bráðna ef hitinn væri 45 gráður?
503.
Lengingin á gormi er í beinu hlutfalli við þyngdina sem hengd er neðan í hann. Þegar Meredith setti 6 punda melónu á hengivog lengdist gormurinn um 2 tommur. Hve mikið lengdist gormurinn ef melónan vægi 9 pund?
504.
Laun June eru í beinu hlutfalli við fjölda vinnustunda hennar. Þegar hún vann 15 klukkustundir fékk hún $111. Hve mikið fær hún fyrir 18 vinnustundir?
505.
Eldsneytisnýting bíls er í öfugu hlutfalli við þyngd hans. Ford Focus vegur 3000 pund og kemst 28.7 mílur á galloni á hraðbraut. Hver væri eldsneytisnýting Ford Expedition sem vegur 5,500 pund? Námundið að næsta tíunda.
506.
Rúmmál gass í íláti er í öfugu hlutfalli við þrýstinginn á gasið. Ef argonílát hefur rúmmálið 336 rúmtommur við þrýstinginn 2,500 pund á fertommu, hvert verður rúmmálið ef þrýstingurinn lækkar í 2,000 pund á fertommu?
507.
Fallvegalengd hlutar er í beinu hlutfalli við annað veldi falltímans. Ef hlutur fellur 52.8 fet á 4 sekúndum, hve langt fellur hann á 9 sekúndum?
508.
Flatarmál hliðar parísarhjóls er í beinu hlutfalli við annað veldi geislans. Ef flatarmál hliðar hjóls með þvermálið 150 fet er 70,650 ferfet, hvert er þá flatarmál hliðar hjóls með þvermálið 16 fet?
Stærðfræði daglegs lífs
509.
Akstursþjónusta: Ferð frá miðbænum að flugvellinum, 14 mílur, kostar $35.
ⓐ Skrifið jöfnuna sem tengir kostnaðinn c og fjölda mílna m.
ⓑ Hvað kostar að ferðast 22 mílur með þjónustunni?
510.
Bílferð: Fjöldi klukkustunda sem Jack þarf til að aka frá Boston til Bangor er í öfugu hlutfalli við meðalhraðann. Þegar hann ekur á meðalhraðanum 40 mílur á klukkustund tekur ferðin 6 klukkustundir.
ⓐ Skrifið jöfnuna sem tengir klukkustundafjöldann h og hraðann s.
ⓑ Hve lengi tæki ferðin ef meðalhraðinn væri 75 mílur á klukkustund?
Ritunarverkefni
511.
Útskýrið með eigin orðum muninn á beinu og öfugu hlutfalli.
512.
Búið til dæmi úr eigin reynslu um öfugt hlutfall.
Sjálfsmat
ⓐ Þegar þið hafið leyst verkefnin skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hve vel þið hafið náð markmiðum hlutans.
ⓑ Þegar þið hafið skoðað gátlistann, teljið þið ykkur vel undirbúin fyrir næsta kafla? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?
